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AN4. 3.1. Curvatura de una función+3.2. Curvatura a partir del signo de la derivada segunda - Contenido educativo

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Subido el 24 de noviembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta 00:00:17
serie de videoclases de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las 00:00:21
derivadas. En la videoclase de hoy estudiaremos la 00:00:26
curvatura de una función. En esta videoclase vamos a iniciar el 00:00:33
estudio de la curvatura y los puntos de inflexión de una función. En concreto en 00:00:49
esta videoclase vamos a referirnos a la curvatura. Nosotros diremos que en un cierto intervalo la 00:00:53
función es convexa cuando tenga esta forma, la que corresponde a un símbolo de unión con esta 00:00:57
curvatura, mientras que diremos que una función es cóncava cuando tenga la fórmula opuesta, esta que 00:01:03
vemos aquí, la que se correspondería al símbolo de la intersección. Y tenemos que tener cuidado 00:01:09
porque distintos matemáticos especializados en distintos campos pueden referirse a estas 00:01:14
curvaturas con nombres contrarios y a esto llamarlo cóncavo y a esto llamarlo convexo, 00:01:20
en lugar de como haremos nosotros, convexo y cóncavo. Entonces, en ciertos contextos, 00:01:30
para evitar equívocos, se refieren a esta forma como cóncava hacia arriba, indicando que las 00:01:35
ramas del símbolo de la unión van hacia arriba, y a esto cóncava hacia abajo, indicando que tienen 00:01:41
las ramas hacia abajo. Nosotros lo que vamos a utilizar es la forma de denotarlo, convexo de 00:01:47
esta manera, cóncavo de esta otra forma. Bien, pues nosotros vamos a estudiar la curvatura de 00:01:54
la función, insisto, convexo, cuando tenga forma del símbolo de la unión, cóncavo, cuando tenga 00:02:01
forma del símbolo de la intersección, utilizando para ello el signo de la segunda derivada de forma 00:02:06
análoga a como en la monotonía hacíamos estudiando el signo de la función 00:02:12
derivada primera, puesto que en este caso es la función derivada segunda, en 00:02:16
concreto su signo, quien nos va a indicar si la función es cóncava o convexa en un 00:02:20
cierto punto, puesto que como veis aquí, en el caso en el que la función derivada 00:02:25
segunda en los puntos de abscisa en los cuales la función derivada segunda sea 00:02:30
positiva, sabremos que la función es convexa y tiene esta forma, mientras que 00:02:34
en los puntos donde la función derivada segunda sea negativa sabremos que la función es cóncava 00:02:39
y tendrá esta forma. Igual que en el caso de la monotonía, ¿cómo relacionamos la curvatura en 00:02:45
un intervalo con la curvatura en un cierto punto? Pues de la misma manera. En el caso en el que la 00:02:51
función sea convexa en un cierto intervalo, lo será en todos los puntos del intervalo, lo mismo 00:02:56
en el caso en el que sea cóncava. Como decía, utilizaremos el signo de la derivada segunda para 00:03:00
distinguir la curvatura de una función, si la función es bien cóncava, bien convexa, 00:03:06
y impararemos para ello un algoritmo análogo al que utilizábamos para distinguir la monotonía 00:03:11
con la función derivada primera. Así pues, lo que haremos será a partir de una cierta 00:03:16
función real, de variable real, de la que se nos pida que estudiemos la curvatura. 00:03:21
Bien, pues determinaremos el dominio de la función, por supuesto. Habremos determinado 00:03:25
ya la derivada y su dominio. A partir de la función derivada determinaremos la función 00:03:30
derivada segunda y su dominio, y en principio lo que habríamos de hacer es resolver la 00:03:35
inequación derivada segunda positiva, los intervalos que resuelvan esta inequación 00:03:40
serán los intervalos en donde la función sea convexa, y luego derivada segunda negativa, 00:03:44
los intervalos que sean la solución de esta inequación, serán aquellos donde la función 00:03:50
sea cóncava. Igual que decíamos en el caso del estudio de la monotonía con el signo 00:03:54
de la función derivada primera, no es habitual que resolvamos estas dos inequaciones una 00:04:00
a continuación de la otra, sino que lo hagamos todo de una vez. Y entonces, una vez que hayamos 00:04:04
determinado el dominio de la función derivada segunda, lo primero que haremos será buscar sus 00:04:09
ceros, los puntos donde la derivada segunda se anule. Esos puntos dividirán el dominio de la 00:04:14
función derivada segunda en distintos intervalos y en esos intervalos es donde determinaremos el 00:04:20
signo de la función. De tal forma que intervalo a intervalo, si determinamos que la función derivada 00:04:25
segunda es positiva, diremos que en ese intervalo la función va a ser convexa y lo uniremos al resto 00:04:31
de intervalos donde esto ocurra. Si el signo de la función derivada segunda es negativa, diremos que 00:04:36
en él la función va a ser cóncava y lo uniremos al resto de intervalos donde esto ocurra. Y así 00:04:41
determinaremos en qué intervalos la función es convexa, en qué intervalos la función es cóncava. 00:04:47
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:04:52
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web 00:05:00
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual 00:05:05
Un saludo y hasta pronto 00:05:10
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
24 de noviembre de 2024 - 14:53
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
05′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
13.89 MBytes

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