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4MAC - 01 - Números reales - 03 - Producto y cociente de radicales - Contenido educativo

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Subido el 28 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, en este vídeo vamos a estudiar cómo podemos hacer multiplicaciones y divisiones de radicales con distinto índice. 00:00:02

Recordad que para el producto y cociente de radicales con el mismo índice lo hemos estudiado en el vídeo de las propiedades de los radicales, ¿vale? 00:00:11

Día anterior. 00:00:19

Bueno, cuando a mí me pidan hacer un producto o un cociente de radicales que tengan el distinto índice, 00:00:20

necesito hallar radicales equivalentes a los que ya tengo hasta conseguir que todos tengan el mismo índice 00:00:28

para poder aplicar la propiedad aquella, ¿vale? 00:00:36

Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer? 00:00:39

Pues buscar radicales equivalentes que tengan el mismo índice 00:00:41

hallando el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales que me dan, ¿vale? 00:00:47

Cuando tenga el mínimo común múltiplo voy a pensar por qué factor, bueno, multipliqué para hallar el mínimo común múltiplo y elevaré los radicandos a ese valor, ¿vale? 00:00:53

Creo que una vez que hagamos estos cuatro ejemplos lo vais a entender bastante mejor. Vamos a ver. 00:01:07

En este caso yo me encuentro que tengo que hacer el producto de una raíz quinta por una raíz cuadrada, ¿vale? 00:01:12

¿Vale? Bueno, 5 y 2 son números primos entre sí, su mínimo común múltiplo es 10, ¿vale? 00:01:18

Entonces voy a reescribir aquí, voy a hallar un radical equivalente a este y un radical equivalente al segundo, 00:01:28

pero en este caso que tengan el índice 10. 00:01:35

Vamos a pensar un poquito, mirad, yo para pasar de 5 a 10 lo que hice fue multiplicar por 2, ¿vale? 00:01:38

Hice 5 por 2 y obtuve el 10. 00:01:46

Entonces, la misma operación de multiplicar por 2 se la voy a tener que hacer al exponente del 6, ¿vale? 00:01:49

Voy a tener que elevar el 6 a 2, ¿de acuerdo? 00:01:55

Vamos a repetir el proceso con el siguiente radical. 00:01:58

Yo tenía aquí raíz cuadrada de 3. 00:02:01

El 2 del índice lo multipliqué en este caso por 5 para obtener este 10, ¿vale? 00:02:03

El segundo 10, el del índice. 00:02:08

Entonces, si yo multiplique por 5 el índice, voy a tener que multiplicar por 5 el exponente 00:02:10

Como no había exponente, entiendo que era un 1, 1 por 5 es 5 00:02:20

Y en el momento, recordad la propiedad que nos decía 00:02:23

Que yo puedo multiplicar radicales con el mismo índice 00:02:28

Ahora ya tengo el mismo índice 00:02:33

¿Vale? Entonces, como tengo el mismo índice, puedo escribir bajo el mismo signo radical de índice 10 el producto de 6 al cuadrado por 3 a la quinta. 00:02:35

¿Vale? Bueno, realmente queda más elegante si yo reescribo este ejercicio con potencias de números primos. 00:02:47

Entonces lo que voy a hacer va a ser reescribir el 6 como 2 por 3 y entonces en vez de tener 6 al cuadrado voy a tener 2 por 3 al cuadrado y aparte voy a escribir el 3 a la quinta que ya tenía. 00:02:58

De esta manera voy a poder escribir 2 por 3 al cuadrado como 2 al cuadrado por 3 al cuadrado y después el 3 a la quinta que ya tenía. 00:03:11

Y de esta manera, pues bueno, finalmente voy a poder agrupar los 3, ¿vale? No tenía otra motivación que poder agrupar y en vez de poner 3 al cuadrado por 3 a la quinta, poner 3 a la séptima, ¿vale? 00:03:22

Así estaría terminado este producto. 00:03:34

Vamos a ver ahora un siguiente ejemplo donde tenemos que hacer una raíz cúbica por una raíz cuadrada, ¿vale? 00:03:37

En este caso, dados cuenta que tengo, bueno, también ambos radicandos son números compuestos que después descompondré, ¿vale? 00:03:44

O sea, descompondré como producto de factores primos y volveré a hacer el mismo proceso de agrupar, ¿vale? 00:03:53

Pero ya recordad que lo primero que tengo que hacer es poner el índice común, hallar radicales equivalentes pero que tengan el mismo índice. 00:04:00

¿Cuál va a ser ese índice? Pues el mínimo común múltiplo de los dos que tengo. 00:04:10

El mínimo común múltiplo de 3 y de 2 es 6, ¿vale? 00:04:14

Entonces reescribo los dos radicales con índice 6. 00:04:18

Y ahora pienso, vale, si yo tenía aquí raíz cúbica y ahora tengo raíz sexta es porque el 3 lo he multiplicado por 2 para obtener el 6. 00:04:24

Por tanto, ahora el 15 lo tendré que elevar a 2, ¿vale? 00:04:32

Para que el radical sea equivalente. 00:04:37

De igual forma, yo antes tenía aquí raíz cuadrada de 75 y el índice 2 lo multipliqué por 3 para obtener este 6. 00:04:38

Por tanto, ahora el 75 lo tendré que elevar a 3, que es 3 más b. 00:04:47

Ahora, ¿vale? 00:04:52

Bueno, una vez que tenemos esto así escrito, ya tenemos radicales del mismo índice multiplicándose 00:04:54

y por tanto puedo hacer, o al menos indicar, la multiplicación bajo el signo radical, ¿vale? 00:05:00

con el mismo signo radical. Una vez que tenemos esto así escrito, pues la verdad que queda 00:05:08

poco elegante, son números que no tienen interés para lo que nosotros estamos manejando 00:05:13

hallar estas cifras y es mucho más interesante poder descomponer factorialmente estos dos 00:05:19

números, ¿vale? Lo que son las bases, el 15 y el 75. Pensamos, venga, 15 es lo mismo 00:05:24

que 3 por 5, no me hace falta hacer todo el proceso de descomposición, ¿vale? Porque 00:05:30

que es así de sencillo. 75, pues vamos a ver quién es 75. Podéis hacer el proceso 00:05:35

de la raya, pero a mí me gusta más que a estas alturas del cuento pensemos quién es 00:05:40

75. Bueno, a mí me sale, a poquito que pienso, que 75 es lo mismo que 3 por 25, ¿vale? Y 00:05:45

como 25 es 5 al cuadrado, resulta que 75 es 3 por 5 al cuadrado. Que a alguno nos sale 00:05:53

esto no pasa absolutamente nada, hacéis 75, raya y empezáis a hacer la descomposición, 00:06:00

¿de acuerdo? Pero bueno, yo he llegado a que 75 es 3 por 5 al cuadrado, lo escribo 00:06:07

y como 75 estaba elevado al cubo, pues ahora tiene que aparecer 75 al cubo, ¿de acuerdo? 00:06:14

Voy a borrar esto, que luego me va a molestar. Bueno, y una vez que tenemos esto así escrito, 00:06:20

Pues nada, lo que voy a hacer, perdón, se me olvidó aquí el índice 6 00:06:27

Con las propiedades de las potencias, pues bueno, si tengo un producto elevado a una potencia 00:06:30

Puedo reescribirlo como 3 al cuadrado por 5 al cuadrado en este caso 00:06:37

Y haré lo mismo aquí detrás, que tendré 3 elevado al cubo 00:06:42

Y daos cuenta que 5 al cuadrado tiene que estar elevado al cubo 00:06:47

Potencia de una potencia se multiplica en exponentes, me queda 5 a la sexta 00:06:51

¿Vale? Una vez que tengo esto así escrito, puedo agrupar potencias, las que tienen la misma base, sumaré los exponentes y las que tienen, o sea, el 3 al cuadrado y el 3 al cubo los puedo agrupar como 3 a la quinta, 00:06:55

y 5 al cuadrado y 5 a la sexta también los puedo agrupar, ¿vale? Como 5 a la octava, ¿de acuerdo? Entonces tendré aquí 3 a la quinta por 5 elevado a 8, ¿vale? 00:07:08

Bueno, una vez que hemos llegado aquí no hemos terminado del todo, ¿vale? 00:07:20

Porque si os dais cuenta, bueno, siempre en estos ejercicios vamos a intentar simplificar al máximo posible 00:07:25

y dejar lo más elegante posible el resultado final 00:07:33

Lo que vamos a hacer es extraer los factores que podamos 00:07:36

Podríamos haberlo hecho en pasos anteriores pero lo vamos a hacer aquí ahora de forma general 00:07:40

Si os dais cuenta, 3 está elevado a 5, estamos dentro de una raíz sexta 00:07:44

Por tanto, no hacemos grupo suficiente para poder sacar un factor de la raíz. 00:07:49

Sin embargo, con 5 sí que hacemos grupo suficiente, ¿vale? 00:07:53

Porque tenemos 8 5, ¿de acuerdo? 00:07:56

Que puedo hacer un grupito de 6 que saldrían del radical, ¿vale? 00:07:58

Y me quedan dentro 2 5, pues que bueno, que no se van a juntar con nadie los pobrecitos y no van a poder salir del radical, ¿vale? 00:08:03

Por tanto, me quedará dentro del radical 3 a la quinta que no lo pude sacar y los 2 5 que tampoco pude sacar, ¿vale? 00:08:10

Y este será el resultado final. 00:08:18

Vamos ahora con estos dos últimos ejemplos, ¿vale? 00:08:22

En este caso tenemos aquí un producto de tres radicales en el que vamos a hacer exactamente el mismo proceso. 00:08:26

Vamos a buscar el mínimo común múltiplo de tres, de cuatro y de dos. 00:08:33

En este caso el mínimo común múltiplo de tres, cuatro y dos es doce, ¿vale? 00:08:38

Entonces podré reescribir esto como 3 radicales de índice 12. 00:08:44

Vale, aquí tenía un 25 y resulta que si yo el 3 lo tuve que multiplicar por 4 para llegar aquí a este 12, el 25 también lo tendré que elevar a 4, ¿vale? 00:08:53

El 20 del segundo radical, a ver qué pasa con él. 00:09:07

Pues bueno, si yo tenía aquí un índice 4 y lo tuve que transformar en 12, fue porque multipliqué por 3. 00:09:10

Por tanto, el exponente aquí era un 1, pero bueno, lo que voy a hacer es elevar el 20 a 3. 00:09:16

Y por último, pues yo tenía aquí un índice 2, ¿vale? 00:09:21

Que tuve que multiplicar por 6 para llegar a este 12. 00:09:24

Por tanto, lo que le voy a hacer al 5 es elevarlo a ese 6, ¿vale? 00:09:28

Al número por el que multipliqué el índice, ¿de acuerdo? 00:09:32

¿Verdad? Una vez que lo tenemos escrito de esta manera, hago un gran signo radical con el índice 12 y ya puedo escribir la multiplicación dentro. 00:09:35

¿Vale? 25 a la cuarta, perdonadme que me salió la letra muy pequeña, por 5, 20 al cubo, por 5 a la sexta. 00:09:46

Venga, una vez que lo tenemos así escrito, estas operaciones no las puedo hacer a priori, pero sí que puedo agrupar factores primos. 00:09:54

Entonces lo que voy a hacer es descomponer cada base, cada base compuesta del 5 ya es primo. 00:10:03

Entonces lo que voy a hacer es escribir el radical de índice 12 y ahora voy a reescribir 25 como su descomposición factorial. 00:10:10

25 es lo mismo que 5 al cuadrado, entonces en vez de 25 a la cuarta voy a escribir 5 al cuadrado a la cuarta. 00:10:18

En lugar de 20 al cubo voy a poner como base la factorización del 20. 00:10:26

A ver, yo no sé para vosotros, para mí 20 es 4 por 5 y como 4 es 2 al cuadrado, no me ha hecho falta hacer el proceso de la raya porque mentalmente, si yo voy descomponiendo en productos, llego a su descomposición factorial. 00:10:32

Entonces, en lugar del 20 voy a escribir 2 al cuadrado por 5 y todo aquello estaba elevado a 3. 00:10:48

Y por último, el 5 a la sexta no se le hace nada. 00:10:55

¿Vale? Bueno, entonces, una vez que tengo esto así escrito, lo que voy a hacer, a ver, lo primero que voy a hacer es dejar aquí más hueco, 00:10:58

que no me va a caber si no, y, venga, lo que hacemos es, pues bueno, usando las propiedades de las potencias, simplificar esto, quitarnos los paréntesis, ¿vale? 00:11:06

radical de índice 12 00:11:17

5 elevado a 2 elevado a 4 es lo mismo que 5 elevado a 8 00:11:19

y aquí multiplicamos por 2 al cuadrado elevado a 3 00:11:23

por 5 elevado a 3 00:11:27

ya sabéis que si tengo un producto como base de una potencia 00:11:28

cada factor se elevaría a esa potencia 00:11:31

entonces tendría 2 al cuadrado 00:11:35

todo ello elevado a 3 00:11:38

por 5 al cubo 00:11:40

y luego el 5 a la sexta que me quedaba por ahí 00:11:42

¿de acuerdo? 00:11:46

Bueno, una vez que tengo esto así escrito, voy aquí a otra línea más abajo y, bueno, voy a quitar esa potencia que me quedó, entonces escribo 5 a la octava por 2 a la sexta, porque 2 elevado a 2 elevado a 3, multiplicamos exponentes, 2 por 3 es 6, 5 al cubo por 5 a la sexta, ¿vale? 00:11:47

Una vez que ya tenemos todo descompuesto, lo que hacemos es agrupar, ¿vale? 00:12:10

Agrupar potencias de la misma base, de tal forma que, a ver, 2 a la sexta, el pobrecito no se agrupa con nadie, 00:12:14

pero los 5 sí se agrupan, ¿vale? 00:12:21

Potencias de la misma base con distinto exponente que se multiplican entre sí, se suman los exponentes. 00:12:24

Entonces, vamos a escribir como exponente la suma de 8 más 3 más 6. 00:12:30

8 más 3 es 11 y más 6 es 17, ¿vale? 00:12:35

Y nada, pues llegados a este punto, ya solo nos queda intentar simplificar y poner más bonita esta expresión, para lo cual, pues mira, simplemente nos damos cuenta de que tengo aquí más 5 que lo que me indica el índice, ¿vale? 00:12:39

Porque aquí el exponente es 17, por tanto lo que voy a hacer es que de estos 17 cincos que tengo, voy a hacer un grupito de 12 y por ese grupo de 12, ¿qué pasa? Ay, perdón, perdón, es que se queda pillado, por ese grupo de 12 sale un 5 del radical y dentro del radical quedaría el 2 a la sexta que no pude agrupar con nadie y los 5 cincos que han sobrado hasta 17, ¿de acuerdo? 00:12:55

elevado al este sería el resultado final venga vamos a hacer ahora el último ejercicio en el 00:13:26

que tenemos un cociente en este caso de radicales vale para poder expresar esto como un único 00:13:34

radical que tenga dentro un cociente el radicando sea un cociente no sé si estáis dando cuenta de lo 00:13:42

importante que es controlar el lenguaje o sea tener muy claro que es radical que es índice 00:13:49

que es radicando, porque si no lo tenéis claro, esto os debe estar sonando rarísimo 00:13:54

todo lo que estoy contando, pero bueno, como ya, yo creo que ya lo habéis estudiado, pues 00:13:58

ya lo controláis entonces. Para poder meter todo dentro del mismo radical necesito hacer 00:14:01

el mínimo común múltiplo de los índices. Mínimo común múltiplo de 5 y de 3 es 15, 00:14:09

¿vale? Entonces reescribo el 15 y aquí voy a reescribir 48. Como para pasar de 5 a 15 00:14:13

multiplique por 3, 48 lo voy a elevar a 3, como para pasar de 3 a 15 multiplique por 5, 32 lo elevaré a 5, ¿vale? 00:14:21

Una vez que tengo esto así escrito ya puedo hacer un gran radical de índice 15 donde tendré dentro un cociente 00:14:32

donde tendré en el numerador 48 al cubo y en el denominador 32 a la quinta, ¿vale? 00:14:41

Una vez que tengo esto escrito, pues ya sabéis que esto no queda muy elegante, vamos a factorizar las bases, ¿vale? Escribo el gran radical y reescribo el 48. A ver, este lo voy a hacer con la calculadora, voy a factorizar 48 y me da que es 16 por 3, es decir, 2 a la cuarta por 3, ¿vale? 00:14:48

Y como 48 estaba elevado al cubo, pues elevo 2 a la cuarta por 3 al cubo 00:15:19

Es que estoy cansadísima ya, os estoy contando mi vida como en clase 00:15:24

Pero es que estoy muy cansada y ya no puedo ni pensar 00:15:27

El 32 sí que me lo sé, vale, 32 es 2 a la quinta, de acuerdo 00:15:31

Y como 32 estaba elevado a 5, elevo 2 a la quinta también a 5, vale 00:15:35

Venga, entonces ahora lo que nos queda como radicando es un ejercicio de potencias que tenemos que simplificar, de acuerdo 00:15:42

arriba tendríamos 2 a la cuarta elevado al cubo por 3 al cubo 00:15:48

y aquí abajo si queréis aquí echamos la cuenta y pondríamos 2 elevado a 5 elevado a 5 es 2 elevado a 25 00:15:55

de esta forma nos queda arriba 2 elevado a 12 por 3 elevado a 3 00:16:01

todo ello dividido de 2 elevado a 25 00:16:11

¿Vale? Como estamos en un ejercicio de potencias tengo 2 es arriba y abajo 00:16:15

Podemos simplificar y escribir aquí la raíz de índice 15 00:16:19

2 es de arriba con 12 de abajo 00:16:25

Puedo simplificar y dejar solo abajo 13 y me quedaría aquí 2 elevado a 13 00:16:29

Y aquí arriba 3 elevado a 3 00:16:35

¿Vale? Y aquí no podríamos hacer más 00:16:38

No podemos sacar factores porque los exponentes de estas potencias son más pequeños que el índice. 00:16:40

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Fecha:: 28 de septiembre de 2020 - 22:23
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