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2ºM EJEMPLO FUNCIÓN 6 1ª parte - Contenido educativo

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Subido el 13 de marzo de 2021 por Jesús A. B.

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Bien, esta es la otra que os puse, que me habéis pedido que la haga también. 00:00:00
El primer apartado, como siempre, primero dominio. 00:00:06
Bueno, tengo dos trozos. 00:00:11
El primero es un polinomio, así que aquí el dominio es todo R, es decir, para los x menores o iguales que 0 no hay ningún problema. 00:00:13
El segundo trozo ya sí tiene problemas, porque tiene el denominador. 00:00:23
¿Cuándo x cuadrado menos 9 es 0? 00:00:27
Pues cuando la x vale más o menos 3 00:00:32
Este segundo trozo está definido cuando la x es positiva 00:00:36
O sea que en x igual a más 3, en x igual a 3 00:00:41
Sí que hay un problema 00:00:46
x igual a 3 no se lo puedo dar 00:00:47
¿Vale? 00:00:50
Entonces, en conclusión 00:00:52
El dominio es todos los reales excepto el 3. 00:00:54
En el 3 tengo discontinuidad, tendré asíntota, voy a hacerlo bien, tendré asíntota, o sea que en el 3 tengo problema para el dominio y luego tengo otras cosas, claro. 00:01:00
Lo que pasa es que de momento no me piden nada. 00:01:19
El dominio. Ahora sí, ahora me piden, estoy viendo las asíntotas. No, me estoy colgando. Lo siguiente que me piden es hallar a para que sea derivable. Vamos a ver, debe de faltar algo en la frase. 00:01:21
Entonces, tiene que ser para que sea derivable en su dominio o para que sea derivable, y yo creo que me piden el estudio en x igual a cero. 00:01:45
Yo no lo debí de copiar completo, ¿vale? 00:01:57
Entonces, yo lo voy a preparar, vamos a hacerlo para que sea derivable en x igual a cero. 00:02:00
Me paso ya al azul. 00:02:11
Entonces, la derivada fuera del cero, pues se hace, la derivada del polinomio sería 2x más la derivada de ax es a y nada más. 00:02:15
Y esta sería la derivada si la x es menor que cero, no en el cero. 00:02:32
Y en el otro trozo, pues tengo que derivar el cociente de polinomios. 00:02:37
Vamos a hacer una cosa, lo derivo aparte, porque si tengo que hacer varios pasos, así ya pondré ahí directamente el resultado final de la derivada. 00:02:44
Entonces, esta es la función que tenemos que derivar. 00:02:55
Esperad, que lo voy a poner bien. 00:03:02
¿Vale? Entonces me voy aparte, no voy al sucio, digo, vale, esta es la que tengo que derivar. 00:03:04
Venga, pues a ver, tengo el denominador al cuadrado. 00:03:15
Ahora, derivada del numerador, 1 por el denominador sin derivar, como es multiplicar por 1, pues nada, ya está. 00:03:24
menos el numerador sin derivar, que es x más 1, entre paréntesis por la derivada del denominador, que es 2x. 00:03:31
Aquí no hay nada para sacar factor común. 00:03:40
Aquí lo que hay que hacer es hacer estas pequeñas operaciones. 00:03:43
Entonces esto me queda una x cuadrada menos un 9 menos, ahora, 2x por x es menos 2x cuadrado. 00:03:46
Y 1 por 2x es 2x, pero con el menos de delante, menos 2x. Y partido por el x cuadrado menos 9 al cuadrado. Eso es. Definitivamente esto sería en sucio, ¿vale? O bueno, o no en sucio, o aparte, un poco aparte, no tiene por qué ser sucio. 00:04:00
Definitivamente, ¿qué me queda? 00:04:24
x cuadrado se queda en menos x cuadrada 00:04:28
Luego tengo menos 2x 00:04:31
Y luego tengo el menos 9 00:04:34
Y partido por x cuadrado menos 9 al cuadrado 00:04:36
Bueno, pues esto es lo que tengo que poner aquí 00:04:43
Como resultado de la derivada del segundo trozo 00:04:45
A ver, aquí 00:04:49
me quedan fatal las rayas de la fracción, al cuadrado. 00:04:54
Y esto es siempre que la x sea mayor que 0. 00:04:59
Ahora, ¿qué pasa en el 0? 00:05:04
Y en x igual a 0, ahí está la pregunta, ¿es derivable en x igual a 0? 00:05:06
Bueno, pues en el 0 lo primero que tiene que ser es continua. 00:05:13
Así que habría que poner aquí. 00:05:18
Y estudiemos la continuidad en x igual a cero. 00:05:21
Dos puntos. 00:05:28
Tiene que existir función en el cero. 00:05:31
Bueno, pues existe porque está definida aquí arriba. 00:05:34
Y cuando la x vale cero, pues sale cero, cero, menos un noveno. 00:05:37
Pero además tiene que existir límite. 00:05:42
Lo voy a hacer aquí. 00:05:45
Tiene que haber límite cuando x tiende a cero de mi función f de x. 00:05:46
Vale, pues resulta que el límite no es el mismo si tiendo por la izquierda que por la derecha de cero porque tengo distinta función. 00:05:54
Así que tengo que poner límite cuando x tiende a cero por la izquierda y límite cuando x tiende a cero por la derecha. 00:06:03
¿Y qué función tengo a la izquierda? 00:06:13
el x cuadrado más ax menos un noveno 00:06:15
y mi función por la derecha es x más 1 00:06:20
partido por x cuadrado menos 9 00:06:24
¿en qué sale este límite cuando la x tiende a 0? 00:06:28
pues menos un noveno 00:06:31
y este otro, pues 1 arriba y abajo 9 00:06:33
anda, sí que da menos un noveno 00:06:37
entonces resulta que todo coincide 00:06:40
La función, el límite, existe el límite, que vale menos un noveno, por lo tanto, en x igual a cero, la función es continua. 00:06:42
Bueno, pero que sea continua no quiere decir que sea derivable. 00:06:57
Entonces, para que sea derivable, en x igual a cero, la derivada por la izquierda, que es esta, 00:07:02
Y la derivada por la derecha, que es esta, tienen que coincidir. 00:07:10
¿De acuerdo? 00:07:14
Entonces, voy a cambiar de página. 00:07:15
No, voy a subir esto simplemente. 00:07:19
Entonces, vamos a calcular la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha. 00:07:22
f' de 0 por la izquierda es, vamos a ponerlo bien, 00:07:29
es el límite cuando x tiende a 0, por la izquierda, de 2x más a. 00:07:36
Vale, no hay más que sustituir. 00:07:43
Esto es la f' por la izquierda del 0, pues sustituyo la x por 0 aquí y me sale a. 00:07:46
Y ahora f' en el 0 por la derecha es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de... 00:07:52
Bueno, pues ahora aquí tengo todo este polinomio. 00:08:03
Que es el que me ha quedado con el dinamio arriba y con el dinamio abajo. 00:08:06
Esto es lo que me ha quedado la derivada por la derecha. 00:08:10
Bueno, pues a ver qué pasa cuando la x tiende a 0. 00:08:15
0, 0, arriba da menos 9. 00:08:18
Y abajo, ¿qué sale? 00:08:21
Un menos 9 al cuadrado. 00:08:23
Un menos 9 al cuadrado. 00:08:26
Pues un menos 9 de arriba con un menos 9 de abajo se va. 00:08:29
Total, que queda menos un noveno. 00:08:34
Conclusión, para que exista derivada, estas dos derivadas, la de por la izquierda y la de por la derecha, tienen que coincidir. 00:08:38
Y no tengo ni siquiera que resolver una ecuación, porque ya me sale directamente que la a tiene que valer menos un noveno. 00:08:49
O sea, que esto sale muy mal. 00:08:59
Porque aquí y aquí podría haberme salido algo más complicado 00:09:01
Esto tendría que coincidir, podría haberme salido una ecuación un poquito más difícil 00:09:05
Pero es que ni ecuación tengo, solamente a igual a menos 9 00:09:09
¿De acuerdo? Pues este ejercicio ya estaría 00:09:13
En el apartado b me dicen que para a igual a 0 que estudie las asíntotas 00:09:16
Bueno, pues para a igual a 0 ya no tengo a 00:09:23
Este primer trozo se queda así y el otro no ha cambiado nada 00:09:26
Bueno, pues las asíntotas las tengo que estudiar independientemente en cada trozo. Entonces tengo que poner, ¿qué pasa con el primer trozo? Pues lo ponemos con palabras. En el primer trozo, ¿vale?, ¿qué tengo con respecto a asíntotas? 00:09:30
Pues ninguna porque se trata de un polinomio, además es de grado 2, o sea que es una parábola, se trata de un polinomio y por lo tanto no tiene asíntotas, ¿vale? 00:09:48
He escrito con palabras la frase. 00:10:08
Y ahora vamos con en el segundo trozo. 00:10:11
Pues en el segundo trozo, pues sí que voy a tener asíntotas. 00:10:17
Vamos a ver. 00:10:21
En el segundo trozo no habíamos dicho que x igual a 3 hacía cero el denominador. 00:10:22
Era el único valor positivo que me salía que hacía cero el denominador. 00:10:29
y que por lo tanto no había función, pues esto tiene toda la pinta de que va a haber una asíntota vertical, ¿vale? 00:10:35
Veamos en x igual a 3, veamos el límite de x más 1 partido por x cuadrado menos 9 cuando la x tiende a 3. 00:10:45
Bueno, pues este límite sale 4 partido por 0, lo que yo quería. 00:10:59
k partido por cero es un infinito y sí que tengo asíntota. 00:11:07
Estudiamos el límite cuando x tiende a 3 por la izquierda y el límite cuando x tiende a 3 por la derecha de la función. 00:11:12
Y sabemos que es un infinito y estudiamos si es más o si es menos infinito. 00:11:24
¿Vale? 00:11:33
Bueno, pues esto es lo de siempre. 00:11:34
Ver qué signo me sale, si más o menos. 00:11:35
A ver cómo razonamos. Si estoy a la izquierda del 3, es un 2,99. No llega a 3. Eso quiere decir que este cuadrado es más pequeño que 9. Luego, al restarle 9, lo de abajo da negativo. Lo de arriba no hay problema porque es positivo. Así que tengo más entre menos, menos. 00:11:38
En el otro límite, a la derecha del 3 es 3, algo 00:11:59
Si es 3, algo, el cuadrado es más grande que 9 00:12:05
Así que esta resta da positivo 00:12:09
Positivo entre positivo, pues más 00:12:10
Si no tengo, como no tengo apartado C de dibujo 00:12:13
Pues hacemos el pequeño dibujito 00:12:17
Ya sabéis, esto van a ser los ejes 00:12:21
en x igual a 3 00:12:24
vamos a suponer que es la asíntota 00:12:26
esto estaría en el 3 00:12:31
y la función que hace 00:12:33
a la izquierda del 3 se va a menos infinito 00:12:35
y a la derecha a más infinito 00:12:38
así 00:12:41
bueno pues ahora vamos con 00:12:41
asíntotas verticales 00:12:44
no, digo horizontales u oblicuas 00:12:46
en el segundo trozo 00:12:48
estamos solamente aquí 00:12:51
Entonces, a la vista de los grados no hay asíntota oblicua 00:12:52
Pues lo tenemos que poner, no hay asíntota oblicua 00:12:57
¿Y va a haber horizontal? Pues no lo sé 00:13:03
Vamos a ver el estudio para asíntota horizontal 00:13:07
Pues para eso tenemos que hacer el límite cuando la x tiende a más infinito de 00:13:11
de x más 1 partido por x cuadrado menos 9 00:13:18
y este límite es un cociente de infinitos 00:13:23
dos polinomios, pero el grado de abajo es mayor que el de arriba 00:13:27
el infinito de abajo se apodera 00:13:31
el infinito de arriba es mucho más pequeño que el de abajo 00:13:33
este límite es cero 00:13:36
por lo tanto, sí que la recta 00:13:38
la recta 00:13:42
y igual a cero, o sea el eje x 00:13:45
Es asíntota horizontal 00:13:47
¿Tengo que hacer el límite cuando x tiende a menos infinito? 00:13:51
Pues no, porque estoy en el segundo trozo 00:13:57
Y la x es positiva 00:13:59
No puedo tender la x a menos infinito 00:14:01
Aquí la x solo puede tender a más infinito 00:14:04
Así que no debo poner nada del límite 00:14:06
Cuando la x tiende a menos infinito 00:14:10
Lo que me faltaría por estudiar es 00:14:12
La posición de la curva 00:14:15
con respecto a esa asíntota. 00:14:16
Tengo que hacer el límite cuando x tiende a más infinito 00:14:20
de esta función menos el cero, 00:14:22
lo cual me queda solo la función, 00:14:27
porque el cero restando ni lo escribo, 00:14:29
y yo ya sé que ese límite es cero, 00:14:33
pero tengo que ver si es algo positivo o algo negativo. 00:14:35
Pues cuando la x tiende a más infinito, 00:14:39
fijaros, esto es positivo, 00:14:41
Subido por:
Jesús A. B.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
66
Fecha:
13 de marzo de 2021 - 17:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SANTA TERESA DE JESUS
Duración:
14′ 44″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
121.82 MBytes

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