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Método de Gauss - Contenido educativo

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Subido el 27 de mayo de 2021 por Jose S.

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Bien, vamos a ver. Voy a aplicar el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones. 00:00:00
¿De acuerdo? Entonces, vamos a ver. 00:00:08
Bien, entonces, vamos a ello. Tenemos este sistema de ecuaciones, tres ecuaciones y tres incógnitas. 00:00:14
Entonces, el teorema de Gauss dice que si yo un sistema de ecuaciones lo sustituyo por otro, de manera que una de las ecuaciones sea el resultado de la combinación lineal de las ecuaciones del sistema, 00:00:19
el sistema que obtengo es equivalente. 00:00:43
Es decir, que tiene las mismas soluciones. 00:00:50
Voy a explicar esto qué es. 00:00:53
Vamos a ver. 00:00:55
Esta es la herramienta que vamos a utilizar para resolver los sistemas por el método de Gauss. 00:00:56
Imaginad que tengo una ecuación. 00:01:02
Cuando pongo E1 quiero decir la ecuación primera de un sistema. 00:01:05
¿Vale? 00:01:09
Imaginad que tengo otra ecuación. 00:01:10
E2. Y pongamos que tengo otra E3. ¿Bien? Podría tener muchas más, ¿eh? ¿Se ve la idea? Pues bien, ¿qué es una combinación? Esto es un sistema de ecuaciones, ¿sí o no? 00:01:13
Tres ecuaciones, con las incógnitas que sea cada uno lo que sea. ¿Estamos de acuerdo? ¿Entendemos en qué estamos? Pues bien, si yo sustituyo, por ejemplo, la ecuación 3 00:01:26
Por una combinación lineal de ella con otras 00:01:39
El sistema que obtengo es equivalente 00:01:44
Es decir, ¿qué es una combinación lineal? 00:01:47
Pues es esto 00:01:50
Por ejemplo, alfa E1 más beta E3 00:01:52
Esto es una combinación lineal de la ecuación 1 y la ecuación 3 00:02:01
¿Se ve o no? 00:02:07
Es un número por la ecuación 1 más otro número por la ecuación 2 00:02:09
Sea cual sean esos números 00:02:16
También podría ser una combinación lineal así con tres cosas 00:02:19
Con las tres ecuaciones 00:02:24
Fi e3 00:02:25
Esto sería una combinación lineal de las tres ecuaciones 00:02:29
¿Se entiende o no? 00:02:35
Pues mirad, lo que dice el teorema de Gauss es, si un sistema de ecuaciones como este lo sustituyo por, o sea, una ecuación la dejas igual, la otra también, y la tercera, o la que sea la que hayas elegido, la sustituyes por una combinación lineal, el sistema que obtienes es equivalente. 00:02:37
Es decir, que en lugar de poner aquí E3, pongo el resultado de hacer esta operación, esta combinación lineal, este sistema de ecuaciones, este es S1 y este es S2, sistema de ecuaciones 1, sistema de ecuaciones 2. 00:02:59
Pues estos dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones. 00:03:19
Esta es la herramienta fundamental con la que vamos a trabajar para resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. 00:03:26
Bien, ¿se entiende la herramienta? 00:03:35
Repito, sustituyes cualquier ecuación por una combinación lineal de ella con otras ecuaciones del sistema. 00:03:38
¿Vale? Bien. Hay que tener cuidado con un tema, con un asunto, y es que quizá el sistema 2 es más difícil de resolver que el sistema 1. 00:03:50
Entonces esto no sirve, ¿entendéis o no? La idea sería que el sistema resultante, el sistema 2, sea más sencillo de resolver que el sistema primero de ecuaciones. 00:04:03
¿Entendéis o no? Lo que hay que lograr es que, al hacer esta operación de sustituir por una combinación lineal, el sistema quede más sencillo. Si no, pues esto no hemos hecho un buen negocio. 00:04:20
¿Ha quedado claro? Bien. ¿Cómo logro que sea más sencillo? Pues mirad, en el fondo, un sistema es sencillo de resolver cuando está escalonado. 00:04:35
Voy a poneros un ejemplo de sistema escalonado 00:04:53
Este sistema está escalonado 00:04:57
¿Se ve o no? 00:05:05
¿Por qué está escalonado? 00:05:09
Porque en la ecuación de abajo solo tengo una incógnita, la Z 00:05:11
En la segunda tengo dos y en la tercera tres 00:05:17
Parece una escalera 00:05:22
¿Qué ventajas tiene este sistema por el hecho de estar escalonado? 00:05:24
De abajo despejo Z, su valor lo sustituyo aquí y me permite despejar X y los valores de... 00:05:28
Ah, perdona, esto sería una Y. Quiero poner una Y en realidad, ¿eh? 00:05:40
¿Vale? Y con Y y con Z sustituyendo aquí despejaría X. 00:05:44
Esa es la ventaja de que un sistema esté escalonado. ¿Sí o no? 00:05:51
Daros cuenta de un detalle. Está escalonado porque, en realidad, aquí pone 0 por x más, y aquí pone 0 por x más 0 por y más 7z. ¿Se entiende o no? ¿Se ve la idea? 00:05:54
y, en consecuencia, al hacer estas operaciones de sustituir un sistema por otro equivalente, 00:06:17
digamos que el sistema debería de acercarse lo más posible al sistema escalonado, ¿vale? 00:06:32
¿Cómo lo vamos a hacer? Pues, primero haciendo un cero aquí y un cero aquí. 00:06:44
Y el último paso va a ser haciendo cero en la i de aquí abajo 00:06:50
¿Se ha visto? Vamos a la práctica 00:06:58
Entonces, en nuestro sistema, lo que quiero es obtener un sistema equivalente a este 00:07:01
¿Sí o no? 00:07:13
Que tenga aquí el qué? Cero 00:07:16
Y aquí, cero 00:07:20
¿Se entiende? 00:07:22
Para lo cual, lo que voy a hacer es 00:07:23
A esta ecuación, por cierto, la llamo E1 00:07:27
A esta, E2 00:07:33
Y a esta, E3 00:07:36
¿De acuerdo? 00:07:39
Bien 00:07:41
Y entonces 00:07:41
Perdón que había un 3 aquí 00:07:43
¿Vale? Me equivoco 00:07:46
Bien, vamos a ello entonces 00:07:47
¿Cómo logro hacer un 0 aquí? 00:07:49
Pues mirad 00:07:52
Me acuerdo del método de reducción 00:07:53
¿Qué pasa cuando una ecuación en X 00:07:55
Por ejemplo esta 00:07:59
5X más 2Y menos Z igual a 9 00:08:01
Menos 5X menos 3Y más 7Z igual a 4 00:08:04
Si sumo esta ecuación y esta, la X desaparece 00:08:10
¿Sí o no? 00:08:13
¿Por qué ha sucedido eso? 00:08:15
Porque el coeficiente de la X 00:08:17
Tiene el mismo número pero cambiado de signo 00:08:19
¿Sí o no? 00:08:23
Bueno, esto es lo que tengo que trabajar. Digamos que tengo que buscar la combinación lineal. Voy a sustituir, perdón, la ecuación 2 por una combinación lineal de ella con otras, de manera que la x desaparezca. 00:08:23
¿Y qué combinación lineal es la buena? Pues mira, si multiplico, por ejemplo, menos 3 por e1 y e2, la dejo tal cual y sumo, las x se van. 00:08:44
Lo hacemos 00:09:04
Menos 3 E1 00:09:06
¿Quién es? 00:09:09
Pues mira, donde pone X 00:09:11
Multiplico E1 por menos 3 00:09:12
Menos 3 X 00:09:15
Menos 3 Y 00:09:17
Más 9 Z 00:09:19
Igual a 00:09:20
Más 27 00:09:22
¿Sí o no? 00:09:24
Menos 3 por menos 9 más 27 00:09:25
¿Sí o no? 00:09:27
Bien, E2 la pongo abajo, ¿vale? 00:09:28
Y tenemos 3X menos 2Y 00:09:30
¿Y ahora qué hacemos? Sumo 00:09:35
Se va 00:09:40
Un momentito 00:09:43
Bueno, y como vemos 00:09:46
La ecuación que me queda aquí 00:09:54
Que es resultado de hacer esta combinación lineal 00:09:58
Me ha desaparecido la X 00:10:02
Entonces, según el teorema de Gauss 00:10:05
que hemos visto antes, si sustituyo este sistema 00:10:07
de ecuaciones por este, y en lugar de poner 00:10:11
E2, pongo este valor 00:10:23
¿Sí o no? ¿Se ve? 00:10:27
Y ahora, pues, y pusiera aquí 00:10:39
esta otra ecuación, esto es una I, perdón 00:10:42
Según el teorema de Gauss, este sistema es equivalente 00:10:46
Porque he sustituido la ecuación segunda por una combinación lineal, esta. 00:10:53
¿Se entiende o no? 00:10:59
Bien. 00:11:00
Ahora lo suyo sería hacer, lograr un cero aquí. 00:11:04
¿Verdad? 00:11:08
Espera, eso todavía no. 00:11:11
¿Me entendéis o no? 00:11:13
Por lo tanto, hagamos un cero aquí. 00:11:15
¿Qué hago? 00:11:20
Pues mira, busco esa combinación lineal que me va a hacer que esto desaparezca, la X. ¿Se ve o no? ¿Cuál es? Pues mira, puede ser que sustituya E3. Ahora son estas las ecuaciones. 00:11:20
Entonces, E1, esta sería E2 y esta es E3, ¿no? Pues lo que hago es, E3 la voy a sustituir por menos 2E1 más E3, ¿sí o no? 00:11:38
Y voy a lograr que se vayan las X. 00:11:57
También podría hacerlo 2E1 más menos 1E3. 00:12:02
También me vale. 00:12:11
¿Entendéis? 00:12:13
Lo que importa es que el coeficiente de las X tengan el mismo valor, pero cambiado de signo. 00:12:13
¿Se ha entendido? 00:12:22
Bien. 00:12:23
Como norma general, vale decir lo siguiente. 00:12:27
que este 2 de aquí va a ser el que multiplique a la ecuación E1. 00:12:32
Y el coeficiente de aquí, que es un 1, va a multiplicar a la ecuación E3. 00:12:38
Como norma general eso serviría. 00:12:44
¿Entendéis o no? 00:12:46
Y luego, según el signo, pues se le cambia o no. 00:12:47
¿Vale? 00:12:51
Pues vamos a ello. 00:12:51
2E1 sería... 00:12:54
Perdón. 00:13:01
2E1 es 00:13:04
Multiplico E1 por 2 00:13:07
Y luego, menos 1 00:13:12
Sumamos 00:13:23
Se va 00:13:34
Y nos da esto 00:13:36
Así que se ha ido la X 00:13:46
Y lo que estoy haciendo es 00:13:47
Sustituir E3 por una combinación lineal 00:13:49
De E3 con otras ecuaciones del sistema 00:13:52
Por lo tanto, me va a dar lugar a un sistema equivalente con las mismas soluciones. Así que sustituyo E3 por esta ecuación. Y obtengo... Ahora lo que hago es... Voy a sustituir E3 por lo que hemos calculado, la combinación sin lineal que ha salido. ¿Sí o no? 00:13:55
Entonces, nos queda este sistema de ecuaciones, que está más cerca de un sistema escalonado. ¿Y dónde me faltaría poner un cero para que se escalone del todo? Aquí. 00:14:17
Y una pregunta, esto es importante. Trabajo con, aquí tenemos E1, E2 y E3. ¿Cuál sería el problema de trabajar con E1 y E3? Pues que la X aparecería otra vez. ¿Os dais cuenta? 00:14:38
entre E2 y E3 00:15:08
porque esas dos ecuaciones 00:15:10
no tienen término en X 00:15:12
¿se entiende o no? 00:15:15
bien, ahora 00:15:18
¿qué combinación lineal 00:15:19
es la válida para hacer un 0 aquí? 00:15:21
pues mira, lo de siempre 00:15:25
el menos 3 00:15:26
va a multiplicar a esta ecuación 00:15:29
o sea, voy a sustituir 00:15:31
E3 por 00:15:34
Menos 3 00:15:36
Y luego el 5 00:15:40
Menos 5 multiplicaría el 3 00:15:42
Pero que si no va a quedar 00:15:45
El mismo 00:15:46
Entonces lo que hago es en lugar de multiplicar por menos 5 00:15:47
Multiplico por 5 00:15:51
Entonces ahora sería menos 3 E2 00:15:55
Ya digo que 00:16:01
Habría que sumar 00:16:03
Y este menos 5 multiplicaría 00:16:04
de 3, pero para que cambie el signo 00:16:07
lo voy a multiplicar por 5 00:16:09
porque si no, no me van a quedar con los signos 00:16:10
cambiados, aquí lo único que hay 00:16:13
que pensar es que si no vas a usar 00:16:15
¿entendéis o no? 00:16:16
porque el coeficiente 00:16:18
de x de aquí multiplica abajo 00:16:21
el coeficiente de x de aquí multiplica 00:16:23
arriba, y lo único que nos queda 00:16:25
es determinar con qué signo multiplica 00:16:27
el objetivo es claro 00:16:29
tiene que aparecer signos 00:16:31
contrarios, ¿de acuerdo? 00:16:33
Así que nada, esta es la combinación lineal que me va a permitir hacer un 0 aquí. Ahora ya la operamos, la resolvemos. ¿De acuerdo? Sería menos 3E2 sería 15X menos 36Z menos 78. 00:16:35
¿De acuerdo? Y ahora, 5E3, que sería menos 15X, 00:17:09
X, perdón, que es Y, que me he equivocado, y aquí Y, menos 15Y, menos 35Z, menos 135. 00:17:16
Y ahora, hacemos la suma que nos pide la combinación lineal, sumamos, ¿no? 00:17:33
Y nos queda, esto se va, que es lo que buscábamos, menos, ¿esto da cuánto? Y esto, 200 menos 213. Muy bien. Y ahora ya dejamos Z, menos 71, ¿y esto qué da? Da 3. 00:17:39
Bueno, antes de nada, perdón, antes de resolver esto, perdón. Esta es, lo quiero hacer bien, formalmente, esta sería el resultado de la combinación lineal. Es decir, voy a sustituir E3 por el resultado de la combinación lineal, que es este. 00:18:11
Y por el teorema de Gauss, el sistema que obtengo es un sistema equivalente, es decir, con las mismas soluciones. 00:18:27
Entonces, pondríamos E1 igual, E2 igual, ¿se ve? 00:18:40
Y este sistema de ecuaciones está escalonado. 00:19:04
Y esto ya me permite resolver de manera casi inmediata el sistema 00:19:09
Despejamos Z de abajo, ¿vale? 00:19:18
Queda 3 00:19:26
Y ahora ya sustituyo el 3 aquí 00:19:27
Me queda menos 5Y más 12 por 3 igual a 26 00:19:29
Y de aquí despejo Y 00:19:37
Y sería menos 10 entre menos 5 que es 2 00:19:39
Así que ya tenemos el valor de Y, que es 2. Ya tenemos Z e Y. Y ahora, en la ecuación primera, sustituimos el valor de Z y de Y y despejamos X. Y vale 2 menos 3 por Z, que es menos 3 por 3, igual a menos 9 y despejamos X, que da menos 2. 00:19:43
Y aquí tenemos la solución del sistema de ecuaciones 00:20:06
Por cierto, ¿cómo puedo comprobar que efectivamente es solución del sistema de ecuaciones? 00:20:10
Primero, sustituyendo en X y Z y viendo que las igualdades son ciertas 00:20:21
Pero hagamos un pequeño repaso y cierro 00:20:25
Esta es la solución de este sistema 00:20:28
Y este es equivalente a este 00:20:32
porque el movimiento que hemos hecho es mediante el teorema de Gauss 00:20:35
sustituyendo una ecuación por una combinación lineal del resto 00:20:40
lo mismo con este y lo mismo con esto 00:20:43
por lo tanto este y este son equivalentes 00:20:45
y por tanto las soluciones de este son las mismas que las soluciones de este 00:20:49
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Jose S.
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Fecha:
27 de mayo de 2021 - 13:26
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
20′ 55″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
150.70 MBytes

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