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Cálculo de áreas y perímetros simples - Contenido educativo

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Subido el 5 de febrero de 2024 por Carolina H.

27 visualizaciones

Teorema de Tales
Teorema de Pitágoras
Perímetros de una figura plana
Área de paralelogramo, triángulo, rombo y trapecio
Longitud de circunferencia
Área de círculo

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Vale, vamos a empezar la clase del cálculo de áreas y de longitudes de figura plana. 00:00:00
Hemos visto todos los elementos que hay en la geometría y la geometría más básica es la geometría plana. 00:00:06
Entonces, hay dos herramientas que son muy útiles a la hora de empezar a hacer cálculos de áreas y perímetros y de longitudes, 00:00:11
que es por lo que nos interesa estudiarlo. 00:00:18
Son dos teoremas, uno es el teorema de Tales y otro es el teorema de Pitágoras. 00:00:21
Con estos dos teoremas se hacen prácticamente todos los ejercicios que necesites cuando hay alguna medida que no conoces. 00:00:25
El teorema de Tales se basa en la semejanza de triángulos, entonces también utilizaremos la semejanza en los problemas en que nos venga bien. 00:00:32
Y el teorema de Pitágoras solo se puede usar en triángulos rectángulos. 00:00:42
Pero además es una relación que se conoce desde hace mucho tiempo, 00:00:47
que no solamente utilizaban los griegos, sino que ya en tablillas de los babilonios, 00:00:50
aparecían números que estaban en relación del teorema de Tales, del teorema de Pitágoras, perdón, ¿vale? 00:00:55
Entonces, vamos a poner por aquí lo que dice cada uno de los teoremas. 00:01:02
El teorema de Tales, lo que te dice el teorema de Tales es que si tú tienes dos rectas secantes, 00:01:06
es decir, dos rectas que se cortan en un punto, que van a ser esta y esta, 00:01:13
si yo atravieso esas rectas por paralelas, por rectas paralelas, 00:01:19
mira lo que sucede, si yo esta la atravieso por rectas paralelas, 00:01:25
puedo poner dos, puedo poner más, podría poner otra por aquí, otra por aquí, ¿de acuerdo? 00:01:31
Lo que te dice es que los segmentos que se generan sobre las secantes también son proporcionales. 00:01:36
Es decir, que este segmento y este son proporcionales. 00:01:46
Y que este segmento y este... 00:01:52
Y que este segmento y este... 00:01:53
Y que este segmento y este... 00:01:54
Y que este segmento y este... 00:01:54
Y que este son proporcionales. 00:01:55
Fíjate que esto va más allá de la semejanza. 00:01:57
Voy a girar esto para que veas a qué me refiero. 00:02:01
Tú aquí podrías sacar dos triángulos semejantes, ¿verdad? 00:02:07
Podrías sacar el triángulo que estoy pintando de amarillo, que sería este, 00:02:12
que tiene de lados A', A', 00:02:19
y aquí una medida C, ¿vale? 00:02:25
Pero también podrías sacar este triángulo largo, este de aquí, ¿lo ves? 00:02:30
Este. 00:02:35
Entonces, si ponemos este, yo tendría... 00:02:36
¿Cuánto vale el lado de la izquierda? 00:02:40
Esto era B', ¿te acuerdas? 00:02:44
Es que está girado. 00:02:46
Vamos a girar esto, que estaba así. 00:02:48
Y esto, que estaba así. 00:02:50
Este era B, y este era B', ¿te acuerdas? 00:02:55
Sí, sería A y B, o solo sería B. 00:03:00
¿Vale? 00:03:05
En la izquierda, ¿cuánto vale todo este lado? 00:03:05
No, esto más esto. 00:03:11
Ah, vale, A por B. 00:03:14
A' más B'. 00:03:15
Más. 00:03:17
¿Y cuánto vale todo este lado? 00:03:18
A más B. 00:03:21
A más B. 00:03:23
Uy, ¿por qué he puesto aquí una prima? 00:03:23
Perdona. 00:03:25
A más B. 00:03:27
Y aquí sí, aquí C'. 00:03:29
Entonces, lo que te dice la semejanza es que tú podrías hacer una semejanza entre este lado y este, y este lado y este. 00:03:31
¿Vale? 00:03:41
Ah, vale, vale. 00:03:41
Entonces, tú podrías poner que A' es A' más B', igual que A es A más B. 00:03:42
¿Vale? 00:03:53
Esto te lo dice la semejanza, esto es proporcionalidad. 00:03:55
Lo que hemos estado viendo en el tema de proporcionalidad. 00:03:58
De la misma manera que podía haber puesto que A' es A' más B', por ejemplo. 00:04:02
De la misma manera que C es AC'. 00:04:11
¿Lo ves? 00:04:14
Esto es semejanza. 00:04:20
Pero esto no es lo que te dice Tales. 00:04:21
Lo que te dice Tales... 00:04:23
Lo que te dice Tales... 00:04:24
Esto siempre se puede usar si las figuras semejantes. 00:04:24
Pero él va más allá y te dice, no, no, ojo, no solo esto, sino que si esta recta de aquí y esta recta son rectas que son paralelas, 00:04:27
es decir, estoy en dos triángulos semejantes y me la estás cortando, 00:04:37
lo que vamos a hacer es que además tú puedes establecer una... 00:04:41
... 00:04:48
... 00:04:49
... 00:04:51
... 00:04:52
... 00:04:53
... 00:04:53
... 00:04:54
... 00:04:54
... 00:04:54
... 00:04:54
... 00:04:54
... 00:04:55
... 00:04:55
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:57
... 00:04:58
... 00:04:58
... 00:04:58
... 00:04:58
es decir que A es A', igual que B es AB', no con la figura semejante, sino directamente entre los segmentos proporcionales. 00:04:58
¿Vale? 00:05:11
Pero ojo, solo entre los segmentos que están sobre las secantes. 00:05:11
Este y este no tienen nada que ver. 00:05:16
Si tú quieres sacar la medida de las transversales, te tienes que ir a hacer proporcionalidad. 00:05:18
Esta es la única. 00:05:23
forma de hacerlo, eso lo ves, porque lo que te dice tal es, es que los segmentos sobre 00:05:23
las secantes son proporcionales, no los otros, ¿ha quedado claro?, vale, vamos a hacer un 00:05:31
ejercicio que tenemos por aquí, ves, aquí te dice, calcula el valor de la X, tengo este 00:05:39
valor 3,31, este valor 2,31, este valor 1,35 y esto es X, aquí yo tendría que sacarlo 00:05:46
los dos triángulos y hacer una semejanza entre los dos triángulos, es decir, sacaría 00:05:53
por un lado el triángulo pequeño, 3,31 y 2,31 y por el otro lado el triángulo grande, 00:05:59
¿qué me diría?, 3,31 más 1,35, claro, que son, 00:06:13
y aquí X, ¿qué son?, ¿lo entiendes?, ¿vale?, entonces, ¿qué podrías establecer?, ¿puedes 00:06:23
aplicar tales?, no, porque la X está sobre la paralela, entonces, yo lo único que puedo 00:06:43
decir con tales es que este segmento es asequible, ¿vale?, entonces, ¿qué podrías establecer?, 00:06:51
este segmento, como este segmento es este segmento, pero yo quiero otro que es el de 00:06:53
la X, así que tengo que aplicar, a ver, aplico tales, pero aplico semejanza, no aplico el 00:07:00
teorema de tales tal cual, sino aplico semejanza de triángulos, ¿cómo?, con una proporción 00:07:07
directa, 3,31 es a 4,96, ves, este lado es a este lado, ¿cómo?, ¿cómo?, ¿cómo?, 00:07:11
2,31, que es este, es a este, y ahora ya resuelvo la X como una regla de 3, una proporcionalidad 00:07:23
directa, tú sabes que al ser dos razones iguales, los productos cruzados se mantienen, 00:07:40
3,31 con X por X es igual a 2,31 por 4,96, o lo que tú calculas directamente como regla 00:07:45
de 3, 00:07:53
3, que es, la X es 2,31 por 4,96 entre 3,31, ¿vale?, lo hemos hecho por semejanza, ¿por 00:07:53
qué?, porque la X está sobre el lado de la paralela, no sobre las secantes, entonces 00:08:04
no puedo aplicar tales, ¿vale?, ¿de acuerdo?, claro, no, no, tales es solo si están sobre 00:08:09
las secantes, este trozo es a este trozo, ¿cómo?, 00:08:18
este trocito es a este, eso sí lo podrías hacer, si esto fuera ahí, sí que podría 00:08:23
aplicar tales, vamos a aplicar tales para calcular ahí el valor de la Y, fíjate que 00:08:32
no voy a coger todo el trozo, yo no voy a coger todo el trozo de los triángulos, pero 00:08:36
sí puedo aplicar tales porque lo que me dice es que si esto es paralelo a esto, entonces 00:08:41
3,31 es, no, no, 3,31 es proporcionalmente, no, no, no, no, 3,31 es proporcionalmente, 00:08:47
perfecto, no, no, tiene que ser más, es una proporcionalidad, que me al monto, entonces 00:08:53
dices, así lo comparto, no, no, vale, o sea, 광 Om, o sea, entre 4 y 0 sisters, electricidad, 00:09:01
2,0 y 0, por 00:09:09
eso, así es. 00:09:21
muchas cosas que ver porque la semejanza se basa en la proporcionalidad esto 00:09:22
también pero el teorema de tal es tal cual lo que te dice es que cuando tú 00:09:26
tienes dos rectas que se cortan que son secantes en un punto si las cortas por 00:09:30
paralelas los segmentos que se producen sobre las secantes también son 00:09:36
proporcionales entre sí y esto es lo que utilizas en dibujo para dividir un 00:09:42
segmento en tres partes por ejemplo entonces tú puedes dividir en dos con la 00:09:46
mediatriz como se aprende en el tema anterior o en cuatro o en ocho pero no 00:09:51
en tres por ejemplo entonces qué es lo que hago si yo quiero dividir este 00:09:57
segmento en cinco partes iguales utilizo la proporcionalidad de tales me invento 00:10:01
otra recta que sea secante con esta una recta auxiliar por aquí y esta la 00:10:07
divido en cinco partes iguales con la regla o el compás 00:10:15
vale 1 2 3 4 5 y este es el punto en el que se cortan fíjate este punto con quien 00:10:21
tiene que ser homólogo con este entonces si estos estos trocitos son iguales 00:10:34
si yo hago sus paralelas los trocitos de aquí abajo también serán iguales 00:10:44
iguales 00:10:49
y de esta manera 00:10:51
divido el segmento de abajo en cinco partes iguales lo entiendes porque los 00:10:57
de arriba son iguales y son proporcionales a los de abajo ha quedado claro si vale 00:11:08
vamos al segundo teorema que es importante que es el teorema de 00:11:13
el teorema de pitágoras 00:11:21
se llama así porque pitágoras hizo una demostración formal vale pero no es suyo 00:11:23
de acuerdo entonces la primera cosa es que tienes una condición aquí en el 00:11:34
teorema de tales la condición es que las rectas de estas fueran paralelas sino 00:11:39
no lo puedes aplicar si esta recta y esta recta no son paralelas yo no puedo 00:11:44
aplicar tales pues en el teorema de pitágoras la condición es que las 00:11:48
filas que ven ya ven en este escenario se utilizan como unaзы a las que sí 00:11:51
funcionan las que no aplicas compren Smoke parte 00:11:56
eker al igual que por ejemplo el teorema cinco Topo 00:11:59
que el porcentaje como damos unapresa a todos losér condiciones es porque 00:12:03
entonces la cabeza resta así lo que es lo que losUM prepara para entrar 00:12:07
aquí los Hamuitos pensé an architectural 드�중 00:12:10
esto va muy bien no lo buscamos aquí he venido aquí nuestro registro National 00:12:12
National 00:12:15
presentó que no canc inner 00:12:16
ours 00:12:18
claro que no 00:12:18
y podcast 00:12:19
hipotenusa justo esta, que es el lado que está opuesto al ángulo recto, y a los otros 00:12:19
dos se les llama catetos. En este caso, ¿quién es la hipotenusa? La diagonal de la derecha, 00:12:31
muy bien, esta es la hipotenusa, y este se llama cateto, y este se llama cateto. Los 00:12:44
catetos son los que están siempre en perpendicular, ¿vale? ¿Ha quedado claro? Entonces, ¿qué 00:12:50
es lo que me dice el teorema de Pitágoras? Voy a borrar este. Pues una cosa muy curiosa, 00:12:56
dice, construye un cuadrado sobre cada uno de los lados. Entonces voy a construir un 00:13:04
cuadrado sobre la hipotenusa. 00:13:10
¿Vale? Si esto, ahora voy a construir un cuadrado sobre este cateto, que tiene de medida 00:13:14
el lado del cateto, y otro cuadrado sobre este cateto. Uy, me ha salido un poco chulo. 00:13:24
Entonces, fíjate, en realidad lo que yo estoy haciendo es una relación entre los lados, 00:13:38
porque es lo que te dice la hipotenusa. 00:13:44
Lo que te dice es que el área cuadrada, a ver, quiero rojo, toda esta superficie aquí 00:13:44
que tienes cuadrada, roja, va a ser igual a la suma del área verde, 00:13:59
más el área amarilla. Es decir, que este cuadrado de aquí tiene un área, ocupa una 00:14:14
superficie equivalente a esta de aquí, más esta de aquí. Entonces, fíjate que en realidad 00:14:29
me está dando una relación entre los lados del triángulo. A la hipotenusa la voy a llamar 00:14:34
Y a los lados, a un cateto, como no tienen por qué ser iguales, lo voy a llamar A, y otro 00:14:44
cateto lo voy a llamar B. Normalmente se ponen en sentido, que los puedas ver en sentido 00:14:57
contrario a las agujas del reloj. ¿Vale? Y los vértices se ponen, justo este sería 00:15:03
el vértice A, con mayúscula, se pone opuesto al lado. Este sería el vértice A, con mayúscula, 00:15:10
sería el vértice B, porque está opuesto al lado B, y este sería el ángulo C, con 00:15:14
el vértice C, que sería el ángulo recto. ¿Vale? Entonces, fíjate, voy a quitar ahora 00:15:20
los vértices y los ángulos, que estos no los necesitamos para nada de momento. ¿Por 00:15:26
qué? Porque el teorema de Pitágoras solamente habla de esto, de la relación entre los lados. 00:15:31
Si este lado mide C, ¿cuánto, cuál es el área de este cuadrado? 00:15:36
¿El área de un cuadrado? ¿Cómo se calcula? 00:15:42
Ah, el lado de un lado. 00:15:44
¿El área de un lado? 00:15:44
Lado por lado, entonces sería C por C. 00:15:44
C por C. 00:15:46
Así que este área de aquí es C al cuadrado, C por C. 00:15:47
Vale. 00:15:53
Y este área de aquí, el del verde, ¿cuál sería? 00:15:55
A, lado por lado. 00:15:58
¿Qué sería? 00:16:00
A por A. 00:16:01
Pues A al cuadrado. 00:16:03
A al cuadrado. 00:16:04
¿Y qué sería el amarillo? 00:16:05
B al cuadrado. 00:16:07
B al cuadrado. 00:16:08
Entonces, lo que me estás diciendo es que este área B al cuadrado más este área al cuadrado, 00:16:10
es igual al área de C al cuadrado. 00:16:14
Bueno, necesito tener los cuadrados. 00:16:17
En realidad, lo que me estás dando es una relación entre los lados. 00:16:20
Mira, si yo borro este cuadrado de aquí, este cuadrado de aquí, 00:16:23
y este cuadrado de aquí, 00:16:29
lo que tú me estás diciendo es que este lado al cuadrado, 00:16:37
va a ser igual a este lado al cuadrado, 00:16:45
más este lado al cuadrado. 00:16:50
¿Necesito tener los cuadrados? 00:16:59
No. 00:17:00
Por eso aprendimos que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 00:17:01
En realidad, lo que te está diciendo es que el área del cuadrado que puedo construir sobre la hipotenusa 00:17:08
es igual a la suma de los catetos. 00:17:13
de las áreas de los cuadrados que puedo construir sobre los catetos y eso se 00:17:14
cumple para cualquier triángulo rectángulo como sea de la posición que 00:17:19
sea y esté como éste vale entonces mira por ejemplo en este ejercicio de aquí 00:17:22
te dice cuánto me da la diagonal del terreno de juego de un campo de fútbol 00:17:29
la diagonal es ésta 00:17:33
si las dimensiones son 107 por 67 metros quienes 107 00:17:37
la base o la altura perdón 505 la base la base es 105 metros 00:17:44
y quién es la altura tienes un triángulo rectángulo porque 00:17:52
porque tienes entonces puedes eliminar esta parte 00:18:04
así 00:18:14
y quedarte solo con el triángulo lo es entonces que podrías escribir fíjate 00:18:29
aquí le tienes que poner un hombre porque tienes dos medidas pero te hace 00:18:36
falta una tercera esta de aquí la de la hipotenusa como la 00:18:40
vas a llamar? C, D, X, diagonal, D, D, diagonal, para que no te olvides, D. Entonces vamos 00:18:44
a establecer y a escribir lo que me dice el teorema de Pitágoras, que es que la diagonal 00:18:52
al cuadrado, ¿a quién es igual? A 65, 67 metros, al cuadrado, más 105 al cuadrado, 00:18:57
eso es, pues mira que fácil es, la diagonal al cuadrado, ¿qué me quedaría? 67 al cuadrado, 00:19:14
toma calculadora. 00:19:21
4.489, ¿y 105 al cuadrado? Tienes una tecla que es X cuadrado, ¿la ves? Si pones 105 00:19:27
y marcas X cuadrado ya te da el, arriba, en las juntas. 00:19:52
En las de función, ¿lo ves? En la calculadora tienes aquí una tecla que pone X cuadrado, 00:19:57
si la marcas. 00:20:02
11.025, suma las dos. 00:20:04
11.025 más 4.489. 00:20:14
15.514. 00:20:21
En este caso, metros cuadrados, porque esto eran metros y esto eran metros, así que metros 00:20:27
cuadrados, pero yo no quiero D al cuadrado, ¿yo quién quiero? Solamente. ¿Quiero la 00:20:33
diagonal al cuadrado o solo el lado? Solo la diagonal. Mira, ¿quieres D al cuadrado 00:20:39
o quieres D? 00:20:47
¿Y cómo calculas D si tienes D al cuadrado? 00:20:49
Pasándolo, ¿no? 00:20:54
Su, no, calculando el lado. 00:20:55
D, cuyo cuadrado da todo esto, es decir, 00:20:57
Ah, la raíz cuadrada de... 00:21:02
Sí. 00:21:06
Mira, tienes aquí la raíz cuadrada. 00:21:07
Espera, espera. 00:21:12
Esta es la raíz cúbica, aquí la tienes. 00:21:14
124,55. 00:21:19
Si no, no sé, me he equivocado calculando. 00:21:25
Gracias a la relación del teorema de Pitágoras, puedes calcular la diagonal. 00:21:27
Ah, vale, siempre se hace la raíz cuadrada. 00:21:35
Si tienes el cuadrado... 00:21:40
Si tenemos el metro cuadrado, si nos pide solo... 00:21:41
Claro, si tú tienes la superficie, esto sería 15.514, sería la superficie de un cuadrado 00:21:43
colocado aquí, pero yo solo quiero el lado, pues tengo que calcular la raíz cuadrada, 00:21:50
cuyo cuadrado es 15.514. 00:21:54
Ajá. 00:21:57
La longitud, o sea, qué lado tengo que tener para que el lado al cuadrado me dé 15.514, 00:21:58
esa es la definición de raíz cuadrada. 00:22:05
Vale. 00:22:07
¿Lo has entendido? 00:22:08
Sí. 00:22:09
Me daría igual tener la incógnita aquí, que me dieran la diagonal, por ejemplo, imagínate 00:22:10
que te dicen, vamos a ver, este es un triángulo, esto vale 3, espera, lo voy a exponer en otra 00:22:13
posición que luego flipáis un poco cuando os cambia. 00:22:19
Esto vale 3, esto vale 3, esto vale 3, esto vale 3, esto vale 3, esto vale 3, esto vale 00:22:21
3, esto vale 3, esto vale 3, esto vale 3. 00:22:26
Esto vale 5 y esto vale x. 00:22:27
Busca primero siempre el ángulo recto, ¿quién es el ángulo recto? 00:22:31
Entre qué dos lados, ¿qué dos lados forman el ángulo recto? 00:22:37
El 3. 00:22:40
¿Y? 00:22:41
El 5. 00:22:42
No. 00:22:43
Este ángulo no es recto. 00:22:44
Arriba. 00:22:45
Arriba, este. 00:22:46
Muy bien. 00:22:47
Esto es lo importante, porque entonces encuentras tu hipotenusa. 00:22:48
Vale. 00:22:50
¿Y tú qué escribirías? 00:22:51
Que tu hipotenusa al cuadrado, que es... 00:22:52
5 al cuadrado es igual a 3 al cuadrado más x al cuadrado. 00:22:56
Muy bien. 00:23:06
Entonces, yo pondría que 25 es igual a 9 más x al cuadrado. 00:23:07
¿Cómo encuentro x al cuadrado? 00:23:12
Quita 9 a los dos. 00:23:16
Si yo quito 9 aquí y quito 9 aquí, me quedo con x al cuadrado nada más, ¿no? 00:23:19
Lo ves, luego x al cuadrado, ¿a qué es igual? 00:23:25
Si tú eres igual a mí, yo soy igual a ti, x al cuadrado es igual a menos 9, que son... 00:23:40
16. 00:23:48
Muy bien. 00:23:49
Pues si x al cuadrado es 16, ¿cuánto vale x? 00:23:51
16 por 16 sería... 00:23:54
No. 00:23:57
La raíz cuadrada de 16. 00:23:58
Ah, vale. 00:23:59
¿Lo has entendido? 00:24:01
Sí. 00:24:02
¿Seguro? 00:24:03
Sí. 00:24:04
Vale. 00:24:05
Pues estos son los dos teoremas que son importantes. 00:24:06
Uno, porque teniendo dos lados los que sean de un triángulo rectángulo, siempre puedo 00:24:11
conseguir el tercero a partir del teorema de Pitágoras. 00:24:22
Entonces, cada vez que yo pueda... 00:24:23
El acostumbrarse a ver triángulos rectángulos está muy bien, porque yo ya sé que en un 00:24:27
triángulo rectángulo tengo un dato más, ¿vale? 00:24:32
Entonces, me permite siempre, si tengo dos lados, calcular el tercero en un triángulo 00:24:35
rectángulo. 00:24:41
Y Tales me permite hacer lo mismo en triángulos semejantes o en triángulos que están en posición 00:24:42
de Tales, que es decir, que tienen un lado paralelo. 00:24:47
Vale. 00:24:50
Entonces. 00:24:51
Por ejemplo, vamos a ver cómo lo aplicamos al cálculo de áreas. 00:24:52
Vamos a ver. 00:25:02
Las fórmulas de las áreas hay que sabérselas, pero en realidad os las sabéis casi todas. 00:25:03
¿Vale? 00:25:10
Si yo te dijera que me dijeras cuántos cuadraditos tengo aquí de esta medida, ¿tú qué harías? 00:25:11
Aporando. 00:25:20
Aporando. 00:25:21
Pues primero dividir en esta medida y dividir en esta medida a ver cuántos cuadraditos salen. 00:25:22
Puedes contar los cuadraditos, pero es muy lento, sobre todo si la medida es grande. 00:25:33
¿Se te ocurre una manera de contarlos más fácilmente? 00:25:37
Sí. 00:25:41
¿Cómo? 00:25:42
Multiplicar. 00:25:43
Si aquí hay A cuadraditos y aquí hay B cuadraditos. 00:25:44
Es 2, 4 y 6 por... 00:25:47
Por 6. 00:25:49
O sea, sería A por 6. 00:25:50
Sí. 00:25:51
A por B. 00:25:52
A por B. 00:25:53
Luego, fíjate que cuando yo quiero el área de un rectángulo, eso es lo que hago. 00:25:54
Esta la llamo base, porque me apoyo en ella. 00:26:00
A esto lo llamo altura, se suele usar la letra B. 00:26:03
A esto lo llamo altura, porque es lo que subo el rectángulo y se le suele llamar H de Huygen 00:26:06
inglés. 00:26:12
Pues, ¿cuál va a ser el área de un rectángulo? 00:26:13
A por B. 00:26:15
Base. 00:26:16
Base por altura. 00:26:17
Por altura. 00:26:18
Y si yo quisiera el de un triángulo... 00:26:19
¿Qué tendría que hacer? 00:26:21
Quitar este, ¿verdad? 00:26:30
Este fuera y este fuera. 00:26:34
Pero ¿me podrías...? 00:26:39
Si el área total es base por altura, ¿cuánto vale este área de aquí? 00:26:40
¿Cuánto vale este área de aquí? 00:26:46
Claro, la mitad, así que va a ser base por altura, que es el rectángulo, entre 2. 00:26:50
¿Vale? 00:26:59
Y aunque tú inclines el rectángulo, te pasa igual, porque mira, esto es un paralelogramo, 00:27:00
¿no? 00:27:11
No es un rectángulo. 00:27:12
El rectángulo yo lo tendría aquí. 00:27:13
¿Vale? 00:27:15
¿Vale? 00:27:17
¿Vale? 00:27:18
¿Vale? 00:27:19
Pero fíjate que esto que estoy añadiendo aquí es lo mismo que estoy quitando de aquí. 00:27:20
Entonces, yo en realidad, cuando tengo este paralelogramo, lo podría convertir en este 00:27:29
rectángulo. 00:27:38
Y el área es la misma. 00:27:39
¿Por qué? 00:27:47
Porque si lo añado aquí, se lo quito aquí. 00:27:48
¿Lo ves? 00:27:53
Sí. 00:27:54
Entonces, ¿qué tienen en común estos dos rectángulos? 00:27:55
Que tienen base. 00:27:56
Que tienen la base. 00:27:57
La base es la misma, ¿verdad? 00:27:58
Sí. 00:27:59
Esta de aquí. 00:28:00
Esta es la misma base. 00:28:01
¿Y qué otra cosa tienen en común? 00:28:02
La altura. 00:28:03
La altura. 00:28:04
Que es esta. 00:28:05
Es la misma para los dos. 00:28:06
¿Vale? 00:28:07
Sí. 00:28:08
¿Y qué otra cosa tienen en común? 00:28:09
La altura. 00:28:10
La altura. 00:28:11
¿Qué es esta? 00:28:12
Es la misma para los dos. 00:28:13
¿Y qué otra cosa tienen en común? 00:28:14
La altura. 00:28:15
¿Qué es esta? 00:28:16
Es la misma para los dos. 00:28:17
¿Lo ves? 00:28:19
Si yo tiro una cuerda desde esta vertical, desde este puntito de aquí, lo tiro en vertical 00:28:20
con una plomada, me da la misma medida que esta de aquí. 00:28:25
Luego los dos tienen la misma altura, así que aunque mi paralelogramo, mi rectángulo 00:28:29
se incline, su área siempre sigue siendo base por altura. 00:28:33
Luego estos son muy fáciles, tanto el paralelogramo como el rectángulo como el triángulo están 00:28:41
chupados. 00:28:45
Pero esto es más fácil aún. 00:28:46
Mira. 00:28:47
Vamos al rombo. 00:28:48
¿Cómo consigo el rombo? 00:28:49
Si yo tengo aquí una goma, lo que hago es agrando la goma. 00:28:50
Si esto fueran unos clavos... 00:28:53
Espera, esto tiene que estar en la mitad. 00:28:56
Esto no está en la mitad. 00:28:57
¿Vale? 00:28:58
¿Vale? 00:28:59
¿Vale? 00:29:00
¿Vale? 00:29:01
¿Vale? 00:29:02
¿Vale? 00:29:03
¿Vale? 00:29:04
¿Vale? 00:29:05
¿Vale? 00:29:06
¿Vale? 00:29:07
¿Vale? 00:29:08
¿Vale? 00:29:09
¿Vale? 00:29:10
¿Vale? 00:29:11
¿Vale? 00:29:12
¿Vale? 00:29:13
¿Vale? 00:29:14
¿Vale? 00:29:15
Para tener un rombo, el rombo es simétrico. 00:29:16
Yo agrando y tengo aquí este lado, este lado, este lado y este lado. 00:29:21
¿Vale? 00:29:27
Podría calcularlo sumando los cuatro triángulos. 00:29:32
¿Lo ves? 00:29:36
El área de los cuatro. 00:29:37
Pero hay una forma más sencilla. 00:29:38
Si soy un poquito... 00:29:40
¿Yo qué he necesitado pintar para poder pintar bien el rombo? 00:29:42
Que tiene todos los lados iguales. 00:29:45
Este lado y este y este y este son iguales. 00:29:47
Si no, no es un rombo. 00:29:49
Eso lo vimos en la clase anterior. 00:29:50
En el tema anterior. 00:29:51
Entonces, fíjate que yo para poderlo pintar, ¿de qué partido? 00:29:52
De la cruz. 00:29:53
De la cruz. 00:29:54
¿Verdad? 00:29:55
Este lado largo de aquí, ¿cómo se llama? 00:29:56
Si une dos vértices aquí. 00:29:57
¿Verdad? 00:29:58
¿Verdad? 00:29:59
¿Verdad? 00:30:00
¿Verdad? 00:30:01
¿Verdad? 00:30:02
¿Verdad? 00:30:03
¿Verdad? 00:30:04
¿Verdad? 00:30:05
¿Verdad? 00:30:06
¿Verdad? 00:30:07
¿Verdad? 00:30:08
¿Verdad? 00:30:09
¿Verdad? 00:30:10
¿Verdad? 00:30:11
¿Verdad? 00:30:12
También son vértices no consecutivos, de un polígono. 00:30:15
Diagonal. 00:30:19
Diagonal. 00:30:20
Diagonal. 00:30:21
Y este lado de aquí, también une dos vértices no consecutivos de un polígono, ¿no? 00:30:22
Así que son dos diagonales. 00:30:28
Y tienen que ser una grande y una pequeña porque si son iguales lo que me sale es un 00:30:30
cuadrado, no me sale un rombo. 00:30:34
Vaya, vale, entonces una tiene que ser grande y otra pequeña. 00:30:35
Pues a la azul que es la grande, la voy a llamar de mayúscula. 00:30:39
Y a la pequeña la voy a llamar de minúscula. 00:30:43
Entonces, yo podría sumar el área de los cuatro triángulos. Vale, vamos a hacerlo, venga. El área de este triángulo rojo, hemos dicho que es base por altura entre dos, ¿no? 00:30:45
Sí. ¿Quién es la base de este triángulo? El doble, ¿no? No. ¿Quién es su base? La D. ¿La D pequeña? ¿Entera? 00:31:11
¿Entera? ¿Entera es desde aquí hasta aquí? ¿Entera es desde aquí hasta aquí? Pero yo quiero, jolín, yo quiero... 00:31:27
¿Entera? ¿Entera es desde aquí hasta aquí? Pero yo quiero... 00:31:41
Yo quiero... 00:31:41
¿Este triángulo de aquí? 00:31:41
¿O quieres hacerlo entero? 00:31:44
Ah, la D sería, ¿no? 00:31:46
No, no, ¿qué triángulo quieres calcular? 00:31:47
¿Sería el cuadrado? 00:31:50
No. 00:31:52
¿Qué triángulo quieres calcular? 00:31:53
¿Este pequeño o quieres calcular todo esto? 00:31:54
Me lo tienes que decir. 00:31:57
Vale, todo. 00:31:58
¿Todo? 00:31:59
Vale, entonces, ¿quién es tu base? 00:32:00
¿D? Verde. 00:32:04
D verde. 00:32:05
Vale, la D minúscula verde. 00:32:05
Vale, la diagonal pequeña. 00:32:07
¿Quién es la altura? 00:32:09
La D mayúscula, ¿no? 00:32:11
¿Entera? 00:32:13
Ah, no. 00:32:15
Solo la mitad. 00:32:15
Solo la mitad. 00:32:16
Claro. 00:32:17
Por D entre 2, ¿lo veis? 00:32:24
Y luego, otra vez, entre 2. 00:32:26
Así que, en realidad, lo que tienes es 00:32:31
D por D, 00:32:33
o sea, el producto de diagonales entre 2 y entre 2. 00:32:35
Para hacer el área del rombo, 00:32:41
¿cuántas veces tienes que coger este triángulo? 00:32:43
Yo he hecho solo este área de aquí. 00:32:49
Jolín. 00:32:52
La tienes que coger 2 veces. 00:32:54
Luego será 2 veces por 00:33:00
diagonal 00:33:03
y 2 veces por diagonal. 00:33:06
2 con 2. 00:33:12
2 con 2. 00:33:13
2 con 2. 00:33:14
Perdón, esto es en azul. 00:33:15
No. 00:33:16
El 2 con el 2 se pueden ir. 00:33:17
Así que, ¿cuál es el área del rombo? 00:33:18
El producto de las dos diagonales, yo lo voy a poner en negro. 00:33:19
Cojo la D. 00:33:20
Esta pizarra hace lo que le da la gana. 00:33:21
A ver si me da la gana. 00:33:22
¿Tengo el 2? 00:33:23
¿Tengo el 2? 00:33:24
¿Tengo el 2? 00:33:25
¿Tengo el 2? 00:33:26
¿Tengo el 2? 00:33:27
¿Tengo el 2? 00:33:28
¿Tengo el 2? 00:33:29
¿Tengo el 2? 00:33:30
¿Tengo el 2? 00:33:31
¿Tengo el 2? 00:33:32
¿Tengo el 2? 00:33:33
¿Tengo el 2? 00:33:34
No. 00:33:35
¿Tengo el 2? 00:33:36
¿Tengo el 2? 00:33:37
¿Tengo el 2? 00:33:38
No. 00:33:39
No es lo que le da la gana. 00:33:40
Y lo divido entre 2. 00:33:41
¿Lo ves? 00:33:42
La mitad del producto de las dos diagonales. 00:33:43
Está muy bien, pero ha sido complicado, ¿verdad? 00:33:47
Un poquito. 00:33:50
Sí. 00:33:51
Hay una forma mucho más sencilla. 00:33:52
A partir del área del paralelogramo que yo me sé. 00:33:53
Digo, mira, voy a meter este rombo en un rectángulo porque yo sí que sé calcular 00:33:56
áreas de rectángulos que son muy fáciles. 00:34:05
fáciles. ¿Quién es este lado de aquí, la base del rectángulo? ¿Quién es la base? 00:34:07
¿Con quién coincide? ¿Cuál? Con la de verde. ¿Y quién es la altura? La de azul. 00:34:22
Así que el área del rectángulo, todo este área del rectángulo de aquí, es el producto 00:34:35
de las dos diagonales. ¿Tú quieres todo este ángulo de ahí? O sea, todo este área 00:34:42
de ahí, o solo quieres esta? La roja, ¿no? La del rombo. ¿Qué relación hay entre el 00:34:46
área del rectángulo y el rombo? ¿El área del rectángulo a qué es igual? ¿Cuántas 00:34:54
veces tienes que coger el rectángulo? ¿Cuántas veces tienes que coger el rectángulo? 00:35:04
¿Cuántas veces tienes que coger el área del rombo para igualar a la del rectángulo? 00:35:05
Dos. El área del rectángulo es el doble que la del rombo. Pues lo tengo fácil. Si 00:35:08
el producto de las dos diagonales es el doble del área del rombo, ¿quién es el área 00:35:21
del rombo? La mitad del área del rectángulo. 00:35:24
Más fácil, ¿no? ¿Sí? Y vamos también con otro que es el trapecio. ¿Vale? Te voy 00:35:35
a decir cómo pintamos un trapecio. Un trapecio no es, es un cuadrilátero, pero no es un 00:35:48
paralelogramo, porque solo tiene una pareja de lados paralelos. Eso significa que tiene 00:35:55
que tener dos lados paralelos, pero de distinta medida. No puede tener la misma medida. 00:35:59
¿Vale? Pues a lo mejor puedo ser así, si quieres, pero tiene que tener dos lados que 00:36:05
no sean paralelos. ¿Vale? Los voy a poner un poquito distintos para que no, para que 00:36:11
sea lo más genérico posible. ¿Vale? Entonces, voy a coger un trapecio, yo que sé calcular 00:36:16
áreas de rectángulos o de paralelogramos. Yo aquí, para poder pintar esto, he tenido 00:36:23
que conocer la base grande del trapecio, la base pequeña y cuadrilátero. 00:36:29
¿Cuánto las tengo que separar? Es decir, que también conozco esta altura. ¿Lo ves? 00:36:35
Vale. Voy a coger este mismo trapecio y lo voy a poner dado la vuelta aquí al lado. 00:36:41
¿Lo ves? Fíjate, ahora sí que te sale un paralelogramo, ¿lo ves? Y esto sí que lo 00:36:55
sabes calcular. Esto es un paralelogramo. 00:37:01
Y el área sí lo sabemos calcular. ¿Quién es este trocito de aquí? La base pequeña. 00:37:05
¿Quién es este trocito de aquí? La base grande. ¿Y quién es la altura del paralelogramo? 00:37:14
La misma. ¿Lo ves? Entonces, ¿puedo calcular el área del paralelogramo? Sí. He dicho que 00:37:20
era la base. 00:37:33
La base, por la altura. ¿Quién es la base del paralelogramo? 00:37:35
¿Solo? No, la b por b. No. Muy bien, b más b. Y las tengo que juntar, ojo, porque tengo 00:37:41
que unirlas, tengo que hacer todo el cacho largo. ¿Y quién es la altura? La verde, la 00:37:55
h. Muy bien. 00:38:02
Sí. 00:38:03
¿Cómo se relaciona con el área de mi trapecio? 00:38:05
Porque no te olvides que yo no quiero la del paralelogramo, yo quiero la del trapecio. 00:38:07
¿Cómo se relaciona con el área del trapecio? 00:38:12
Este área del paralelogramo que has calculado. 00:38:14
Tú has calculado todo esto. 00:38:16
Pero tú no quieres todo esto. 00:38:21
Tú solo quieres este trozo. 00:38:23
¿Cómo lo calculas? 00:38:27
Has calculado el doble, ¿no? Porque has cogido dos trapecios. 00:38:35
Vale, pues entonces el área del trapecio, ¿quién será? 00:38:39
B más B por altura también va. 00:38:43
Claro. 00:38:49
Por altura y más B. 00:38:49
No, entre dos, la mitad. 00:38:52
Ah, vale, por la mitad. 00:38:54
Porque tú quieres la mitad del área del paralelogramo nada más. 00:38:56
El área del trapecio es la mitad del paralelogramo. 00:38:59
¿Lo has entendido? 00:39:01
Sí, sí, sí. 00:39:02
Vale, entonces de ahí te salen estas fórmulas. 00:39:03
Fórmulas de aquí. 00:39:05
¿Qué tenemos aquí? ¿Ves? 00:39:08
Rectángulo, base por altura. 00:39:10
Cuadrado es un rectángulo en que la base y la altura son iguales, así que lado por lado igual a lado al cuadrado. 00:39:11
Paralelogramo sigue siendo base por altura. 00:39:19
Triángulo, la mitad del paralelogramo, así que base por altura entre dos. 00:39:21
El rombo, acuérdate que lo puedes meter en un paralelogramo 00:39:25
cuyas medidas son... 00:39:33
Base por altura, B por B, y como es la mitad, pues B por B entre dos. 00:39:35
Y el trapecio, acuérdate que le podías poner el otro trapecio aquí. 00:39:40
Así que esta es la B pequeña, la altura y que tenías la mitad. 00:39:45
B más B por H entre dos. 00:39:49
O sea que se calcularía y luego se dividiría entre dos. 00:39:54
¿Lo ves? 00:39:57
Sí. 00:39:58
Vale. 00:39:59
Nos queda el polígono regular y el círculo. 00:40:00
Vamos a ver. 00:40:05
Vamos a ver. 00:40:05
Vamos a ver. 00:40:05
Vamos a ver qué pasa con un polígono regular. 00:40:05
Cuando yo estoy con un polígono regular, hay una cosa que se... 00:40:07
Los polígonos regulares tienen todos los lados y los ángulos iguales, ¿vale? 00:40:11
Eso significa que yo los puedo meter en una circunferencia. 00:40:16
Los puedo inscribir en una circunferencia. 00:40:22
¿Vale? 00:40:26
Del centro del polígono al vértice se llama radio del polígono. 00:40:26
Pero también puedo... 00:40:33
Puedo... 00:40:34
Inscribir una circunferencia en ellos. 00:40:35
¿Qué es la circunferencia inscrita? 00:40:39
También mantiene el mismo centro. 00:40:41
Y yo puedo encontrar el radio de esta circunferencia haciendo desde el centro del polígono justo al punto medio del lado. 00:40:44
Y a esto se le llama apotema. 00:40:57
¿Vale? 00:41:00
¿De acuerdo? 00:41:01
Hasta aquí lo hemos entendido lo que es cada cosa. 00:41:02
Vale. 00:41:04
Entonces... 00:41:05
Cuando yo tengo un polígono como este, fíjate que yo tengo un montón de radios iguales. 00:41:06
A ver si puedo... 00:41:21
No sé si lo puedo copiar. 00:41:27
Fíjate. 00:41:35
Todos los radios son iguales, ¿no? 00:41:44
Sí. 00:41:46
Luego, en realidad, yo lo que tengo es un montón de triángulos iguales. 00:41:48
Que son isósceles, a no ser que sea un hexágono, en cuyo caso el triángulo es equilátero. 00:41:53
En el resto son... 00:41:57
Este es el radio y este es el radio. 00:41:59
¿Vale? 00:42:02
Y esto de aquí es el apotema. 00:42:02
Y esto de aquí abajo es el lado. 00:42:10
En este caso, el lado y radio coinciden porque es un hexágono. 00:42:13
Pero en el resto de los polígonos, no. 00:42:15
¿Eso lo entiendes? 00:42:18
Sí. 00:42:19
Vale. 00:42:20
Pues entonces, ¿cómo podría yo calcular todo el área del polígono regular? 00:42:20
Con lo que yo sé de áreas. 00:42:28
A base por altura, ¿no? 00:42:32
Claro, calculando el área del triángulo. 00:42:35
Entonces, ¿el área del triángulo cómo es? 00:42:37
Base por altura. 00:42:42
Base por altura, que sería la del rectángulo, pero... 00:42:43
Partido por dos. 00:42:46
Partido por dos. 00:42:47
Vale. 00:42:48
Vamos a ver. 00:42:48
Vamos a sustituir. 00:42:49
¿Quién es mi base de este triángulo? 00:42:50
Ah. 00:42:53
¿Quién es la base de este triángulo? 00:42:57
No. 00:43:01
El lado. 00:43:02
¿Quién es la altura? 00:43:04
El radio. 00:43:08
No. 00:43:10
No, el común. 00:43:10
Apotema. 00:43:11
Apotema, el apotema. 00:43:12
Y lo tengo que dividir entre dos. 00:43:14
¿No? 00:43:18
Sí. 00:43:19
¿Cuántos tengo que hacer? 00:43:20
¿El área del polígono? 00:43:21
¿Cuántos triángulos como este va a tener? 00:43:24
Cinco. 00:43:28
¿En este momento lo ves sin cinco? 00:43:29
Uno, dos, tres... 00:43:32
¿Siete? 00:43:36
Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis. 00:43:38
¿Por qué seis? 00:43:41
¿Con quién coincide? 00:43:43
Si tuviera cinco lados, ¿cuántos triángulos me saldrían? 00:43:46
Ay, no sabía, pero... 00:43:51
Ay. 00:43:53
Si yo tengo cinco lados, ¿cuántos triángulos me salen? 00:43:54
Si yo tengo cuatro lados, ¿cuántos triángulos me salen? 00:44:02
Cuatro. 00:44:12
Si yo tengo seis lados, si yo tengo ocho lados, si yo tengo veinte lados. 00:44:13
Entonces, para un polígono de n lados, 00:44:19
porque tú lo vas a hacer, yo no he dicho que sea un hexágono, 00:44:25
yo quiero un polígono de n lados para calcular el área. 00:44:27
Pues, ¿cuántos triángulos tendré que coger? 00:44:33
¿Lo ves? 00:44:42
Entonces, el área del polígono regular 00:44:44
va a ser igual a n veces el lado por el ángulo. 00:44:52
El apotema entre dos. 00:44:57
¿A qué llamas n veces el lado si el polígono es regular? 00:44:59
¿Seis veces el lado qué sería? 00:45:04
Vamos a coger seis veces el lado aquí. 00:45:06
Una, dos, tres, cuatro, cinco, seis. 00:45:11
¿Qué estoy cogiendo? 00:45:18
¿Cómo se llama eso? 00:45:20
El contorno de la figura cerrada se llama 00:45:22
perímetro. 00:45:25
Perímetro. 00:45:27
Así que esto que yo estoy poniendo aquí, 00:45:29
en realidad, 00:45:36
es el perímetro. 00:45:40
Por eso, de pequeñita aprendiste que para las áreas de los polígonos regulares 00:45:50
un perímetro por apotema entre dos. 00:45:54
Mmm. 00:45:56
Pero no hace falta que te lo aprendas. 00:45:56
Porque si tú sabes calcular el área de un triángulo, 00:45:58
lo multiplicas por el número de lados que tienes y tienes lo mismo. 00:46:02
Así que aquí, en realidad, encontrar las fórmulas de las áreas es muy sencillo. 00:46:05
¿Lo has entendido? 00:46:10
Y ahora, ¿cómo encontramos la del círculo? 00:46:12
Os he puesto una demostración sin palabras. 00:46:19
¿Vale? 00:46:21
Pero yo creo que aquí te la puedes imaginar. 00:46:22
Digo, mira. 00:46:24
Voy a coger un círculo. 00:46:25
Este va a ser el radio, ¿verdad? 00:46:27
Sí. 00:46:29
¿Tú has visto esas... 00:46:30
esos círculos de... 00:46:31
que hacen... 00:46:33
espirales que hacen de... 00:46:34
de gominolas? 00:46:35
Sí. 00:46:36
Vale. 00:46:37
Pues es lo que voy a hacer. 00:46:38
Lo voy a cortar. 00:46:39
Por aquí. 00:46:40
Y lo voy a abrir. 00:46:41
Por tanto, si yo esto lo abro para acá, 00:46:42
y esto lo abro para acá, 00:46:44
este punto se sigue quedando aquí. 00:46:46
Pero esto... 00:46:52
Pero esto... 00:46:54
Esto sigue siendo R. 00:46:55
Y esto de aquí... 00:46:59
es esto de aquí. 00:47:09
¿No? 00:47:10
Que es el perímetro... 00:47:14
de la circunferencia. 00:47:16
Luego, en realidad, 00:47:22
esto es un triángulo. 00:47:24
Si yo sé calcular el perímetro de la circunferencia, 00:47:26
yo puedo calcular el área de la circun... 00:47:29
el área del círculo. 00:47:31
¿Lo ves? 00:47:32
Entonces, la dificultad es calcular el perímetro de la circunferencia. 00:47:33
En realidad, eso es algo que se conoce desde hace muchísimo tiempo. 00:47:36
Ya todos los griegos sabían que da igual el tamaño de círculo que tú tengas... 00:47:42
Si tú coges y divides el perímetro entre el diámetro, 00:47:48
que el diámetro normalmente se pone con un fi así... 00:47:56
Me da lo mismo que este perímetro más grande entre este diámetro más grande... 00:47:59
Y me da lo mismo que este perímetro más chico entre este diámetro más chico. 00:48:08
Entre este diámetro más chico. 00:48:16
Siempre cabe el mismo número de veces. 00:48:20
El diámetro cabe en el perímetro siempre un tres y un poquito. 00:48:23
Número de veces en el perímetro de la circunferencia. 00:48:27
Es decir, que si yo cojo esta medida y la coloco aquí, sobre la circunferencia, 00:48:31
la voy a colocar una vez, otra vez, otra vez... 00:48:37
y un poquito. 00:48:45
Esta medida de aquí, ¿lo ves? 00:48:49
Pero si yo tengo una medida más grande, como esta, 00:48:52
la voy a colocar una vez, otra vez, otra vez... 00:48:58
y un poquito. 00:49:06
Pero en realidad son semejantes, ¿lo ves? 00:49:08
Si yo divido una entre la otra, siempre hay una razón de semejanza. 00:49:11
Y eso es lo que llamamos nosotros número pi. 00:49:15
Así que, sea cual sea el tamaño de la circunferencia, 00:49:18
el perímetro de una circunferencia... 00:49:22
pi veces el diámetro. 00:49:26
El radio, perdón. 00:49:29
No, el diámetro... 00:49:32
No, si lo he dicho bien. 00:49:34
El perímetro es igual a pi veces el diámetro. 00:49:36
¿Y qué relación hay entre el diámetro y el radio? 00:49:44
Si yo quiero aquí el radio y la circunferencia... 00:49:52
El radio lo tengo aquí, pero también lo tengo aquí. 00:49:55
Así que, ¿cuánto ocupa el diámetro? 00:50:01
Lo mismo que el pi. 00:50:06
No. 00:50:08
¿Este diámetro a quién es igual? 00:50:09
Ah, vale, a... 00:50:11
Este por este, ¿no? 00:50:14
Más. 00:50:16
Más. 00:50:17
Al radio más el radio. 00:50:18
Es decir, a dos veces el radio. 00:50:19
Por eso puedes encontrar que el perímetro es pi veces el diámetro, 00:50:21
tres veces y un poquito veces el diámetro, 00:50:24
o que el perímetro es igual a pi veces... 00:50:26
Más pi, ¿no? 00:50:32
Y el diámetro es por dos y por r. 00:50:34
Dos pi r. 00:50:37
Vale. 00:50:38
¿Vale? 00:50:39
De acuerdo. 00:50:40
Entonces, si el perímetro es dos pi r, fíjate. 00:50:41
Vamos a ver aquí cuál es el área del círculo. 00:50:43
Esta de aquí, que es lo que sí estoy calculando. 00:50:45
Es base por altura entre dos de este triángulo de aquí. 00:50:54
De este de aquí, ¿lo ves? 00:50:59
Sí. 00:51:01
Vale. 00:51:02
¿Quién es la base? 00:51:03
El perímetro de la circunferencia, que he dicho que es pi por dos por el radio. 00:51:04
El radio es r mayúscula, así que voy a poner una r mayúscula. 00:51:11
¿Quién es ahora la altura? 00:51:18
¿Quién es la altura del triángulo? 00:51:22
La r mayúscula. 00:51:24
¿El radio? 00:51:27
El radio. 00:51:28
Y entre dos, ¿no? 00:51:29
Sí. 00:51:31
Vale. 00:51:32
Dos con dos se va. 00:51:33
Y me queda que el área del círculo es pi por el radio al cuadrado. 00:51:35
Tiene unidades de superficie radio al cuadrado, mientras que el perímetro tiene unidades de longitud nada más. 00:51:41
¿Lo ves? 00:51:47
Sí. 00:51:48
Vale. 00:51:49
Por eso te dice aquí en el círculo que el área es pi por r al cuadrado y la longitud del círculo es dos pi r. 00:51:50
¿Lo ves? 00:51:56
Sí. 00:51:57
¿Ha quedado claro? 00:51:58
Sí. 00:51:59
Y para encontrar el área del sector es sencillo. 00:52:00
Solo tengo que hacer una proporcionalidad. 00:52:02
No hace falta que me aprenda la fórmula. 00:52:04
Porque mira. 00:52:09
Si yo tengo un círculo, ¿cuánto es el ángulo que barre el círculo completo? 00:52:10
Pues, si yo la cruzo, ¿cuánto vale este ángulo? 00:52:20
Es recto, ¿no? 00:52:27
Sí. 00:52:30
¿Cuánto vale? 00:52:31
Noventa. 00:52:32
Noventa. 00:52:33
Pero aquí también tengo otro ángulo recto, ¿no? 00:52:34
Noventa, sí. 00:52:36
¿Y aquí? 00:52:37
Noventa. 00:52:38
¿Y aquí? 00:52:39
Noventa. 00:52:40
¿Y aquí? 00:52:41
Noventa. 00:52:42
Así que ¿cuánto es la circunferencia total? 00:52:43
Noventa por noventa. 00:52:47
No, noventa más noventa es decir, noventa por cuatro. 00:52:49
¿Qué son? 00:52:54
¿Nueve por cuatro? 00:52:55
Treinta y seis. 00:52:57
Treinta y seis. 00:52:58
Lo que me estás diciendo, voy a borrar todo un momentito. 00:52:59
Es que, 00:53:06
es que esto son 360 grados, 90 por 4 son 360 grados, el círculo completo barre 360 grados, ¿vale? 00:53:07
Y se corresponde con un perímetro total, una longitud que depende de lo lejos que yo esté del centro, ¿no? 00:53:21
Es decir, del radio, así que se corresponde con una longitud que hemos visto que es 2 por pi por r. 00:53:30
¿Vale? 00:53:37
¿Qué es la longitud total? 00:53:41
Pues yo ahora voy a coger y en la misma circunferencia, en lugar de hacerlo todo, voy a coger solo este trozo que barre un ángulo alfa. 00:53:44
30 grados, 60 grados, un ángulo alfa. 00:53:59
Entonces, lo que yo quiero es saber qué longitud voy a... 00:54:03
Recorrer aquí. 00:54:07
Pues es una proporcionalidad. 00:54:09
Porque al doble de ángulo, ¿el doble de longitud recorrida? 00:54:12
Si yo camino aquí 2 alfa, ¿no recorreré aquí 2l? 00:54:18
El camino que yo hago por aquí es la longitud. 00:54:25
¿No será el doble si yo cojo un ángulo doble? 00:54:27
Sí. 00:54:30
Entonces hay una proporcionalidad directa, el doble, el doble. 00:54:31
Pues entonces yo puedo decir que la longitud total... 00:54:34
La longitud total es a 360 grados, como la longitud l es al ángulo alfa. 00:54:37
¿Y alguna proporcionalidad? 00:54:44
Esta la voy a saber. 00:54:46
Esto es 2 por pi por r. 00:54:48
Me puede decir que me den el radio, que me den el ángulo y me pidan qué longitud barro. 00:54:52
Pues la x aquí. 00:54:57
¿Lo ves? 00:54:59
La x estaría aquí. 00:55:00
¿Vale? 00:55:01
¿Vale? 00:55:01
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:02
¿Vale? 00:55:03
¿Vale? 00:55:03
¿Vale? 00:55:03
¿Vale? 00:55:03
¿Vale? 00:55:04
¿Vale? 00:55:05
Me pueden decir la longitud del sector y el ángulo del sector y pedirme el radio de 00:55:06
la circunferencia. 00:55:14
La x estaría aquí. 00:55:15
¿Lo ves? 00:55:17
Sí. 00:55:18
Y no me tengo que aprender ninguna fórmula. 00:55:20
Me podrían decir que la longitud del sector que recorro y sobre el radio de la circunferencia 00:55:24
que tengo y pedirme el ángulo del sector. 00:55:30
La x estaría aquí. 00:55:33
Y es una regla. 00:55:35
Es una regla de tres, normal y corriente, como todas las que hemos aprendido a hacer. 00:55:36
¿Lo ves? 00:55:40
Sí. 00:55:41
¿Qué es lo único que tengo que saber? 00:55:42
Que la longitud total se corresponde con 360 grados. 00:55:44
Y me pasa igual con el área del sector. 00:55:48
Entonces, con el área del sector sería lo que yo ocupo. 00:55:52
Para 360 grados, ¿qué área hemos dicho que ocupábamos? 00:55:55
Pi por el radio al cuadrado, ¿te acuerdas? 00:56:00
Sí. 00:56:03
Pues para el ángulo de la circunferencia. 00:56:04
Sí. 00:56:05
Para el ángulo alfa, barreré este área, el área del sector. 00:56:06
Que me dan el área del sector y su ángulo, consigo el radio de la circunferencia. 00:56:13
Que me dan el radio y el ángulo, consigo el área del sector. 00:56:18
Que me dan el área del sector y el radio, consigo el ángulo que estoy barriendo. 00:56:21
¿Lo has entendido? 00:56:24
Sí. 00:56:25
¿Seguro? 00:56:26
Sí. 00:56:27
Pues esto es todo lo que necesitas para calcular cualquier tipo de ángulo. 00:56:28
De área. 00:56:30
De área, perdón. 00:56:31
Entonces, vamos a calcular unas cuantas. 00:56:32
Áreas compuestas, aquí hasta el 10, hasta el 20, lo tenéis resuelto. 00:56:35
Voy a coger las compuestas, ¿vale? 00:56:41
Voy a coger la del 22, por ejemplo, que tenemos que aplicar de todo. 00:56:45
Entonces, lo primero que tengo que hacer es dividir la figura, que muchas veces me viene 00:56:50
dividida, en cosas que yo conozca, de las áreas que yo conozco. 00:56:54
Entonces, fíjate que aquí tendría aquí un paralelogramo. 00:56:59
¿Vale? 00:57:02
Sí. 00:57:03
¿Vale? 00:57:04
Aquí tengo el área 1, al que voy a llamar área 1. 00:57:05
Luego le añadiría este cuadrado, así que le sumo este cuadrado, que es el área 2, 00:57:09
y además le tengo que añadir este triángulo, que es el área 3. 00:57:18
Pues lo que yo voy a hacer ahora, y eso es el área total. 00:57:27
¿Lo ves? 00:57:29
Sí. 00:57:31
¿Vale? 00:57:32
Sí. 00:57:33
¿Vale? 00:57:34
Sí. 00:57:35
Pues lo que yo voy a hacer es poner las medidas que necesito aquí, a ver si soy capaz de 00:57:36
encontrarlas. 00:57:40
¿Vale? 00:57:41
De encontrar todas las que necesito. 00:57:42
Entonces, fíjate, en esta, ¿qué tengo? 00:57:46
Necesitaría la base y la altura, a no ser que sea un rombo, que tiene pinta, porque 00:57:51
si es un rombo, en lugar de ser un paralelogramo, ¿qué tiene pinta? 00:58:01
¿Vale? 00:58:02
Si es un rombo, en lugar de ser un paralelogramo, ¿qué necesitaría? 00:58:03
¿Nos vamos ya? 00:58:05
9 y 10. 00:58:06
¿9 y 10? 00:58:07
Sí. 00:58:08
Vale. 00:58:09
Vale, nos vamos. 00:58:10
Bueno, pues intento, os subo las correcciones de los que quedan. 00:58:11
Vale. 00:58:12
¿Vale? 00:58:13
Y yo, por lo menos, están explicadas todas las áreas. 00:58:14
Sí, vale, sí. 00:58:15
¿De acuerdo? 00:58:16
Vale. 00:58:17
Venga. 00:58:18
Gracias. 00:58:19
Gracias. 00:58:20
Gracias. 00:58:21
Gracias. 00:58:22
Gracias. 00:58:23
Gracias. 00:58:24
Gracias. 00:58:25
Gracias. 00:58:26
Gracias. 00:58:27
Gracias. 00:58:28
Gracias. 00:58:29
Gracias. 00:58:30
Gracias. 00:58:31
Gracias. 00:58:32
Autor/es:
Carolina Hassmann
Subido por:
Carolina H.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
5 de febrero de 2024 - 20:03
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Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
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