Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.
AL2. 4 Determinantes de orden superior (a tres) - Contenido educativo
Ajuste de pantallaEl ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
00:00:18
de la unidad AL2 dedicada a los determinantes. En la videoclase de hoy estudiaremos el cálculo
00:00:23
de determinantes de orden superior a 3. En esta videoclase vamos a estudiar el cálculo
00:00:34
de determinantes de orden superior a 3. Os recuerdo que en la primera videoclase de esta
00:00:50
unidad vimos cómo calcular determinantes, las reglas para determinantes de orden 1, 2 y 3. En
00:00:55
este caso teníamos la regla de Sarrus y decíamos que todos los determinantes en el fondo se
00:01:01
calculaban como una combinación de sumandos y restandos. Cada uno de ellos lo que hacía era
00:01:07
incluir elementos de cada una de las filas y cada una de las columnas afectado por un signo. Las
00:01:12
reglas para determinantes de orden 1, 2 y 3 son muy sencillas, la regla de Sarrus realmente es
00:01:18
sencilla, pero a partir de orden 4 y superiores se vuelve muy complicada. En este caso, lo que
00:01:23
vamos a hacer es utilizar otro tipo de estrategias para poder calcular los determinantes, aprovechando
00:01:29
ciertas regularidades. En primer lugar, la primera técnica que vamos a ver en esta videoclase es el
00:01:34
cálculo a partir de las propiedades de los determinantes. Esto es muy útil cuando nos
00:01:41
encontramos con determinantes como estos que tenemos aquí en este ejemplo que tienen ocultas
00:01:45
ciertas regularidades que vamos a poder aprovechar y lo que vamos a hacer es utilizar transformaciones
00:01:51
elementales. Vamos a sumar a cada una de las filas o algunas de las filas una combinación
00:01:56
lineal de las otras o vamos a introducir o sacar factores multiplicando o dividiendo o vamos a
00:02:02
Aprovechar que nos encontramos dentro de una misma fila o dentro de una misma columna la suma de 2, 3, 4 sumando, siempre los mismos, para poder descomponer un determinante en suma o resta de varios o bien para extraer factores o bien en última instancia, y esta es la clave, para transformar las matrices en triangulares.
00:02:10
puesto que con independencia de cuál sea el orden de la matriz
00:02:31
en el caso en el que tengamos una matriz triangular superior o inferior
00:02:34
o bien en el caso extremo una matriz diagonal
00:02:38
el determinante se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal.
00:02:40
¿A qué me refiero con vamos a utilizar las propiedades de los determinantes?
00:02:46
¿Vamos a utilizar combinaciones elementales, operaciones elementales
00:02:51
para convertir un determinante en el determinante de una matriz triangular?
00:02:56
Bueno, pues el camino consiste en ir escalonando la matriz utilizando, por ejemplo, el método de Gauss.
00:03:01
Fijaos como un primer ejemplo en este determinante que tenemos aquí.
00:03:08
Tiene una cierta regularidad. Resulta que todos los elementos en la primera fila y en la primera columna son iguales a A.
00:03:13
Todos los elementos restantes de la segunda fila y la segunda columna son iguales a B.
00:03:19
Todos los elementos restantes de la tercera fila y tercera columna son iguales a C.
00:03:25
Y este último elemento, el último restante de la cuarta fila y cuarta columna, es igual a d.
00:03:29
¿Qué regularidad podríamos encontrar?
00:03:34
Bueno, pues fijaos, en esta columna todos los elementos son iguales.
00:03:36
Podríamos a la segunda fila restarle la primera, a la tercera también la primera, y a la cuarta también la primera, por ejemplo.
00:03:41
Y lo que tendríamos sería a menos a igual a cero en este elemento, a menos a igual a cero en este elemento,
00:03:49
perdón, a menos a igual a cero en este elemento, en el camino
00:03:54
hemos hecho cero debajo de este elemento, lo que obtendríamos
00:03:58
con esas transformaciones es una matriz escalonada, todavía no es triangular
00:04:03
pero estamos en el camino. Podríamos continuar aplicando esas propiedades
00:04:06
para poder hacer esto. En este otro caso
00:04:10
podríamos también hacer algo parecido. Podríamos, por ejemplo,
00:04:14
a la segunda fila restarle a veces la primera
00:04:18
a esta restarle a cuadrado veces la primera o incluso a por la segunda
00:04:22
a esta restarle al cubo veces la primera o bien al cuadrado la segunda o bien a por la tercera
00:04:29
y con eso lo que obtendríamos sería en estos elementos sendos ceros.
00:04:36
Estamos en el camino de escalonar la matriz, en el camino hacia convertirla en triangular.
00:04:40
Fijaos en que en muchas ocasiones va a haber más de una posibilidad
00:04:46
y llega un momento en el que probando nos encontremos con que hemos hecho una simplificación pero no sabemos cómo continuar
00:04:49
y una opción alternativa nos habría llevado a un camino mucho mejor en el que sí vemos cómo podemos continuar.
00:04:57
En un momento dado esto puede ser algo complicado porque necesitamos experiencia para visualizar cuál es la transformación más adecuada
00:05:04
para conseguir escalonar y en última instancia convertir en triangular la madre.
00:05:13
Una segunda alternativa, más directa que la anterior, consiste en lo que se llama el desarrollo por una fila o columna.
00:05:18
Lo que vamos a hacer es sustituir el cálculo de un determinante de orden n, puede ser de orden 4, si tenemos una matriz de orden 4, puede ser de orden 3, si tenemos una matriz de orden 3, por n determinantes de orden n-1.
00:05:28
Si tenemos que calcular el determinante de una matriz de orden 4, como puede ser este,
00:05:43
lo que vamos a hacer es sustituir ese cálculo por el de 4 determinantes de orden 3.
00:05:48
Esos podemos calcularlos con la regla de Sarrus.
00:05:52
Incluso aquí, en este caso, podríamos sustituir el cálculo de un determinante de orden 3, fácil como es,
00:05:54
por el de 3 determinantes de orden 2, mucho más fácil todavía.
00:06:01
Por supuesto, en el caso en el que tuviéramos que calcular un determinante de orden 5 u orden 6,
00:06:05
El desarrollo por una fila o por columna no nos permite directamente hacer el cálculo del determinante, porque si tuviéramos un determinante de orden 5, tendríamos que calcular 5 determinantes de orden 4.
00:06:09
Cada uno de ellos se podría sustituir por 4 determinantes de orden 3, y aquí sí utilizar la regla de Sarrus.
00:06:21
20 determinantes de orden 3. En ese caso, tal vez el método anterior pudiera ser más sencillo, siempre y cuando la matriz tuviera una cierta regularidad.
00:06:28
Bien, vamos a ver cómo hacer este desarrollo por una fila o por una columna.
00:06:36
Lo que vamos a hacer es utilizar estas fórmulas que vemos aquí.
00:06:41
Vamos a considerar una fila o columna, una cualquiera, la que quiera que sea,
00:06:45
y el determinante de la matriz se va a calcular multiplicando cada uno de los elementos de esa fila o columna por el adjunto que le corresponda.
00:06:50
Así que, si por ejemplo tenemos este determinante de orden 4 y quisiéramos hacer el desarrollo por la segunda columna, por ejemplo, lo que haríamos sería multiplicar 6 por el adjunto 2,1, puesto que este elemento es el 2,1, más 2 por el adjunto 2,2, puesto que este es el elemento 2,2, más menos 5 por el adjunto 3,2, puesto que este es el elemento 3,2,
00:06:59
más, por último, perdón, 3 por el adjunto 4, 2, puesto que este es el elemento 4, 2.
00:07:27
Como veis aquí, la selección de la fila o de la columna no va a ser arbitraria,
00:07:35
no vamos a coger, venga, la primera fila o la primera columna siempre porque sea más fácil.
00:07:40
Tened en cuenta que si dentro de esa fila o columna hay algún elemento que sea 0,
00:07:44
como por ejemplo aquí o por ejemplo aquí, el desarrollo por esa fila o columna que contenga ese 0
00:07:49
o el mayor número posible de ceros, me va a simplificar la vida, puesto que, por ejemplo, si hago el desarrollo por la tercera columna,
00:07:54
6 por el adjunto, 1, 3, más 2 por el adjunto, 2, 3, esos adjuntos hay que calcularlos, más 0 por el adjunto, 3, 3, ese me lo ahorro,
00:08:03
0 por, me da igual el valor que tenga, puesto que va a ser 0. Cuantos más ceros tenga la fila o columna, mejor va a ser para mí.
00:08:14
Llegará un momento en el que no sólo buscaremos que haya el mayor número de ceros, sino que en un momento dado haremos un poco de trabajo extra, utilizaremos transformaciones elementales para conseguir que la fila tenga el mayor número de ceros posibles.
00:08:23
Por ejemplo, si me estoy fijando en esta columna y quiero hacer el desarrollo por esta tercera columna porque tiene un cero, veo que, por ejemplo, si a la primera fila le restara tres veces la fila dos, aquí obtendría un cero.
00:08:37
Y una vez hecha esa transformación elemental, me ahorro un determinante. E incluso, si a esta cuarta fila le sumo dos veces la fila dos, aquí también obtendría un cero.
00:08:54
Con esas dos transformaciones elementales, tendría un 0 aquí, este que ya tengo, y aquí, únicamente tengo que hacer un determinante de orden 3 en lugar de 4.
00:09:06
Así pues, esto del desarrollo por una fila o columna puede ser muy útil en un momento dado.
00:09:17
Estos ejercicios, así como el anterior, los resolveremos en clase, así como en alguna videoclase posterior.
00:09:23
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
00:09:31
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
00:09:41
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
00:09:46
Un saludo y hasta pronto.
00:09:51
- Idioma/s:
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 20
- Fecha:
- 22 de agosto de 2024 - 16:31
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 10′ 19″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 24.27 MBytes
