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Matrices importantes - Contenido educativo

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Subido el 28 de octubre de 2021 por Roberto A.

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Bueno, el objetivo de este vídeo es comentar dos tipos de matrices que tienen una particularidad muy importante. 00:00:00
La primera de ellas son las matrices indecontentes, que son aquellas matrices que son iguales a su cuadrado. 00:00:09
Es decir, si yo tengo A por A, me da ella misma. 00:00:17
Es decir, la matriz al cuadrado, el cuadrado de la matriz, es igual a ella misma. 00:00:21
Vamos a ver un ejemplo. 00:00:26
Nosotros tenemos nuestra matriz A, que es una matriz 2x2, donde tenemos 2 tercios, 1 tercio, 2 tercios y 1 tercio. 00:00:28
Si nosotros calculamos el cuadrado de la matriz A al cuadrado, hacemos el producto de matrices A por A, es decir, multiplicamos la matriz A por sí misma. 00:00:37
Recordamos que para multiplicar cogemos primero la fila 1 y la multiplicamos por la columna 1 00:00:51
y nos da como resultado el elemento A11. 00:00:58
Aquí tenemos 2 tercios por 2 tercios son cuadro novenos, más 1 tercio por 2 tercios, 2 novenos. 00:01:04
Para calcular el elemento A1-2, cogemos la primera fila otra vez, la primera fila, pero ahora la segunda columna, ¿de acuerdo? 00:01:12
Entonces tenemos 2 tercios por 1 tercio son 2 novenos, y 1 tercio por 1 tercio, 1 noveno. 00:01:24
Para calcular el elemento A2-1, cogemos la fila 2 de la primera matriz y la columna 1 de la segunda matriz. 00:01:31
Es decir, para calcular el elemento A21, cogemos la segunda fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda matriz, que en este caso son iguales. 00:01:41
Por lo tanto, tenemos 2 tercios más 2 tercios, 2 tercios por 2 tercios son 4 novenos, más 1 tercio por 2 tercios, 2 novenos. 00:01:54
Para calcular el elemento ASUS22, pues lo que cogemos nosotros es la segunda fila de la matriz 1 y segunda columna de la matriz 2. 00:02:07
Por lo tanto, tenemos 2 tercios por 2 tercios, que es igual a, perdón, a 2 tercios por 1 tercio, que son 2 novenos, ¿vale? Es decir, 2 tercios de aquí que multiplican 1 tercio de aquí me hacen 2 novenos, y luego 1 tercio de aquí y 1 tercio de aquí que multiplicado es 1 noveno. 00:02:26
Si nosotros operamos, tenemos que 4 novenos más 2 novenos son 6 novenos, 2 novenos más 1 noveno son 3 novenos, 4 novenos más 2 novenos son 6 novenos y 2 novenos más 1 noveno son 9 novenos. 00:02:48
Si todos estos elementos los dividimos entre 3, 6 novenos se convierte en 2 tercios, 3 novenos se convierte en 1 tercio, 6 novenos vemos también que se convierte en 2 tercios, y 3 novenos se convierte en 1 tercio. 00:03:03
Y eso precisamente qué es, pues la matriz. 00:03:18
¿Vale? 00:03:21
Entonces, este tipo de matriz cumple que su cuadrado es igual a sí mismo. 00:03:22
Y son las llamadas matrices idempotentes. 00:03:28
¿Qué particularidades tienen estas matrices? 00:03:32
Pues que la matriz impotente es aquella cuyo cuadrado es igual a 5 00:03:36
Entonces si vamos a calcular cuánto vale a cubo 00:03:43
Pues hacemos a cubo es igual a a cuadrado por a 00:03:46
Pero como hemos dicho que a cuadrado vale a 00:03:50
Pues entonces sustituimos a cuadrado por a 00:03:54
Con lo cual, a al cubo es igual a a por a, y precisamente a por a que es a al cuadrado. 00:03:57
¿Y qué era a al cuadrado? Pues a. Parece un poco lío, pero si lo hacéis paso por paso, veréis cómo se cumplen todas estas propiedades. 00:04:06
a al cubo, al cubo lo ponemos como a al cuadrado por a 00:04:16
a al cuadrado por definición, que es una matriz importante 00:04:21
a al cuadrado es igual a a, pues sustituyo a al cuadrado por a 00:04:26
y luego esta a de aquí la vuelvo a poner aquí 00:04:30
pero entonces ¿qué tenemos? a por a, y a por a es a al cuadrado 00:04:33
y a al cuadrado por definición es a 00:04:37
con lo cual tenemos que a al cubo es lo mismo que a al cuadrado y a la vez es igual que a 00:04:39
vamos a ver que ocurre ahora con A a la cuarta 00:04:45
A a la cuarta lo podemos descomponer 00:04:48
como A al cubo por A 00:04:50
pero este A al cubo 00:04:52
hemos visto que es igual a 00:04:55
A al cuadrado y que inclusive A 00:04:56
pues yo sustituyo este A al cubo 00:04:58
por A 00:05:01
y este A lo pongo aquí 00:05:02
y A por A que es 00:05:04
A al cuadrado y como por definición 00:05:06
una matriz idempotente 00:05:08
A al cuadrado es igual que A 00:05:10
pues tenemos que A a la cuarta 00:05:12
es a su vez igual que a al cubo, que a al cuadrado, que a. 00:05:14
Y así sucesivamente, con a5 lo vemos, tenemos a a la cuarta por a, 00:05:19
donde a a la cuarta, hemos visto aquí que a a la cuarta es lo mismo que a, 00:05:24
lo sustituimos aquí, a pasa a ser también a, 00:05:29
y ahora que tenemos a por a es igual a a al cuadrado, que es igual a a por definición. 00:05:33
Entonces vemos que A a la quinta es igual que A a la cuarta, que es igual que A al cubo, A al cuadrado es igual que A. 00:05:38
Y así sucesivamente, toda matriz A elevada a cualquier exponente, por ejemplo, A elevado a 1000 es igual a A, 00:05:47
o A elevado a 8503 es igual a la matriz A, o A elevado a 18 es igual a la matriz A, ¿vale? 00:05:57
solamente las matrices idempotentes cumplen esa propiedad, ¿vale? 00:06:07
En la cual a elevada a cualquier potencia, pues es igual que ella misma. 00:06:13
Eso son las matrices idempotentes, que se definen como a al cuadrado igual a a. 00:06:22
Otro tipo de matrices que no tienen nombre, no vamos a entrar en eso, 00:06:30
Son aquellas matrices que su cuadrado es igual a la identidad. 00:06:34
Antes la idempotente era a al cuadrado igual a a. 00:06:40
Y ahora estas matrices, cuando hacemos la multiplicación de esa matriz por sí misma, nos da la identidad. 00:06:43
Por ejemplo, tenemos la matriz 5 menos 4 es 6 menos 5. 00:06:50
Que si calculamos a al cuadrado, que es a por a, pues multiplicamos la matriz a por ella misma. 00:06:54
y entonces vemos aquí que 5 por 5 es 25 00:07:02
más menos 4 por 6, menos 24, 25 menos 24 00:07:06
nos da 1, ¿de acuerdo? 00:07:11
vamos a calcular el 0 este de aquí 00:07:17
¿cómo sería? pues primera fila, ¿no? 00:07:19
segunda columna, 5 por menos 4, menos 20 00:07:21
menos 4, menos 5, más 20, menos 20, más 20, 0 00:07:25
vamos a calcular este de aquí 00:07:29
sería primera fila de la primera matriz 00:07:32
segunda fila de la primera matriz 00:07:37
por la primera columna de la segunda matriz 00:07:41
este es el A21 00:07:44
entonces la segunda fila de la primera matriz 00:07:46
primera columna de la segunda matriz 00:07:49
6 por 5, 30 00:07:51
y menos 5 por 6, menos 30 00:07:52
30 menos 30, 0 00:07:54
y este de aquí que es el elemento A22 00:07:56
dos, cogemos la segunda fila de la primera matriz y segunda columna de la segunda matriz. 00:07:59
6 por menos 4 es menos 24, menos 24 más menos 5 por menos 5, que es 25, 25 menos 4, 1. ¿Vale? 00:08:06
Entonces, esta matriz de aquí se caracteriza porque al multiplicar por sí misma, es decir, 00:08:17
La A al cuadrado es igual que la matriz identidad, ¿vale? 00:08:25
A al cuadrado es igual a la matriz identidad. 00:08:29
¿Y qué ocurre con estas matrices? 00:08:33
Pues que si yo hallo A al cubo, si yo hallo A al cubo, 00:08:35
pues yo A al cubo lo puedo descomponer como A al cuadrado por A. 00:08:40
Pero ¿qué pasa? 00:08:44
Que por definición, A al cuadrado, aquí hemos dicho que es a la matriz identidad. 00:08:45
Por lo cual, A al cuadrado lo sustituimos por la matriz identidad. 00:08:49
Y este A nos lo llevamos aquí. 00:08:52
Entonces, ¿qué hemos dicho también para todas las matrices? 00:08:55
¿Qué ocurre para todas las matrices? 00:08:59
Si tú multiplicas la matriz de identidad por una matriz, te queda ella misma. 00:09:00
Con lo cual vemos que A al cubo es lo mismo que A. 00:09:05
Vamos a ver qué pasa con A al cuadrado. 00:09:11
A al cuadrado es lo mismo que A al cubo por A. 00:09:13
Pero hemos visto justo anteriormente que A al cubo es lo mismo que A. 00:09:16
Aquí vemos que A al cubo es igual que A. 00:09:23
Por lo tanto, sustituimos A al cubo por A. 00:09:27
Y esta A la llevamos aquí. 00:09:30
¿Y cuánto es A por A? 00:09:33
Pues precisamente con la definición, A por A es igual a la matriz de identidad. 00:09:34
con lo cual tenemos que A a la cuarta es igual a la matriz identidad 00:09:41
vamos a ver que pasa con A5 00:09:46
A5 es igual que A4 por A 00:09:49
pero este A4 acabamos de ver que es la matriz identidad 00:09:51
A es ella misma 00:09:55
y toda matriz que se multiplica por la matriz identidad 00:09:57
queda la matriz A 00:10:01
por lo tanto I por A es igual a A 00:10:02
entonces tenemos que A a la quinta es igual que la matriz A 00:10:04
vamos a hacer un último ejemplo 00:10:09
con A a la 6. A a la 6 que es igual a A a la 5 por A. Aquí vemos que A a la 5 es igual 00:10:11
que A, con lo cual sustituimos A a la 5 por A y esta A la ponemos aquí. ¿Y A por A qué 00:10:18
es? Pues en este tipo de matrices A por A es igual a la identidad, con lo cual tenemos 00:10:25
A a la 6 igual a la matriz identidad. Si nosotros continuamos, pues A a la 7 va a ser A y A 00:10:30
a la octava va a ser la identidad, a la novena va a ser a, a la décima va a ser la matriz de identidad. 00:10:38
Es decir, siempre que el exponente de la matriz sea un número par, con 2k representamos todos los números pares, 00:10:45
pues tú sabes que todos los números pares es un múltiplo de 2, pues con 2k es la forma de representar los números pares, ¿vale? 00:10:55
con 2K representamos los números pares. 00:11:04
Entonces, A elevado a 2K es igual que a la matriz de identidad. 00:11:07
Lo hemos visto con A al cuadrado, lo hemos visto con A a la cuarta y lo hemos visto con A a la sexta. 00:11:11
Sin embargo, con 2K más 1 representamos los números impares, es decir, el siguiente al número par es un número impar. 00:11:20
Entonces, cuando el exponente de la matriz está elevado a un exponente impar, entonces es igual que la matriz. 00:11:28
Vamos a poner ejemplos. 00:11:41
En este caso de aquí, si yo tengo, cálculame cuánto vale a elevado a 3003. 00:11:42
Como 3003 es un número impar, pues yo sé que es igual a. 00:11:53
¿Cuánto vale a elevado a 22.408? 00:11:58
Como sé que es par, pues igual a la matriz identidad. 00:12:04
¿Vale? 00:12:09
Otra cosa muy importante que cumplen estas matrices cuyo cuadrado es igual a la identidad. 00:12:10
¿Vale? Estas matrices, su cuadrado es igual a la identidad. 00:12:16
¿Vale? 00:12:24
Pues yo tengo A por A es igual a la identidad por la definición. 00:12:30
Si ahora nosotros multiplicamos por la izquierda esta igualdad que tenemos aquí, 00:12:35
la multiplicamos por A-1, pues tenemos A-1 por A por A, que es igual a A-1 por I. 00:12:39
Es igual que los sistemas de ecuaciones matriciales, ¿vale? 00:12:48
Pero ¿qué ocurre? Que por definición, si tú multiplicas una matriz por su inversa, 00:12:53
Pues es igual a la matriz identidad. 00:12:58
La multiplicación de una matriz por su inversa es igual a la identidad. 00:13:02
Con lo cual, a-1, que es la inversa de a, por a, es igual a la identidad. 00:13:05
Este a es aquí. 00:13:11
¿Y qué ocurre? 00:13:12
Que toda matriz multiplicada por la identidad es ella misma. 00:13:13
Con lo cual, la inversa de a por i es igual a la inversa de a. 00:13:17
Por ese mismo motivo, cualquier matriz multiplicada por la identidad es ella misma. 00:13:22
Como aquí tenemos la matriz de identidad por A, pues I por A es igual a A. 00:13:28
Y de aquí tenemos que es la inversa. 00:13:34
Con lo cual, todas las matrices cuyo cuadrado sea igual a la identidad, además cumplen que A es igual a su inversa. 00:13:36
Esto es súper importante para saberlo de cara a hacer sistemas de ecuaciones matriciales. 00:13:48
O aquí, por ejemplo, nos piden pues eso, ¿no? 00:13:55
¿cuánto vale A elevado a 5.005? 00:13:58
pues como sé que es un número impar 00:14:03
pues es igual que A 00:14:05
y si A está elevado a un exponente par 00:14:06
pues sé que es igual a la identidad 00:14:09
pero es que además sé que si me piden 00:14:11
hallar la inversa 00:14:14
pues yo sé que por esa propiedad de aquí 00:14:16
se cumple siempre 00:14:19
por esto de aquí, esto habría que ponerlo en el examen 00:14:20
¿vale? 00:14:23
habría que ponerlo en el examen 00:14:24
a es igual a a menos 1 00:14:26
¿vale? 00:14:30
cualquier duda de aquí 00:14:32
me preguntáis 00:14:34
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
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86
Fecha:
28 de octubre de 2021 - 20:12
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
14′ 37″
Relación de aspecto:
1.69:1
Resolución:
1220x720 píxeles
Tamaño:
77.83 MBytes

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