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1º bach sistemas de ecuaciones logarítmicas - Contenido educativo

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Subido el 2 de octubre de 2020 por Francisco M.

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Hola chicos, os voy a explicar cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones 00:00:05
logarítmicas. Bueno, en primer lugar deciros que un sistema de ecuaciones 00:00:11
logarítmicas es un sistema en el que una o dos ecuaciones aparecen las 00:00:15
incógnitas dentro de logaritmos. Lo que vamos a hacer son tres ejemplos. Yo creo 00:00:21
que los tres son un poco distintos pero también en el fondo al final veréis que 00:00:27
son más o menos iguales. Este es el primero en el que la primera ecuación es una ecuación lineal 00:00:30
normal y corriente y la segunda es una ecuación logarítmica. Este segundo, la primera ecuación 00:00:36
es una ecuación logarítmica y la segunda es una ecuación exponencial. Y el tercero es un sistema 00:00:43
en que las dos ecuaciones son logarítmicas. Bueno, vamos con el primero. El primero es un sistema, 00:00:50
Muy fácil de resolver. La primera ecuación la dejamos como está, x más y igual a 22. Y la segunda, usando las propiedades de los logaritmos, lo vamos a poner como logaritmo de x partido de y igual... 00:00:57
Bueno, voy a poner aquí, para que quede logaritmo igual a logaritmo, logaritmo de 10, porque ya sabéis que el exponente al que hay que elevar la base de estos logaritmos, 00:01:28
que como no pone nada es logaritmo decimal, el logaritmo al que hay que elevar 10 para que quede 10 es 1, ¿vale? Entonces el logaritmo en base de 10 es 1. 00:01:37
Y, bueno, seguimos aquí, bueno, la primera ecuación seguimos sin tocarla, 22, y de aquí deducimos entonces que x partido por y es 10. 00:01:49
También podríamos haber dejado aquí el 1, o sea, podríamos haber dejado aquí el 1 y haber aplicado la definición del logaritmo. 00:02:02
El logaritmo de x partido de y igual a 1 significa que 1 es el exponente al que hay que elevar la base, que es 10, para que de x partido por y. 00:02:10
Es decir, que al final quedaría que 10 elevado a 1 es X partido por Y. Por cierto, acabo de ver que aquí me he dejado el 10. 00:02:18
Y esto ya es un sistema normal y corriente que lo voy a resolver por sustitución, porque si aquí despejo X, queda que X es 10Y, sustituyo en la de arriba, 00:02:30
y queda que 10Y más Y igual a 22, es decir, que queda que 11Y es 22, así que Y igual a 2. Y X sería entonces 10Y, es decir, 10X es igual a 10 por 2, que sería 20. 00:02:41
Por lo tanto, la solución de este sistema sería 22 y ya estaría resuelto. Ya veis que no tiene mucha complicación. 00:03:07
Bueno, vamos con el segundo. El segundo aparentemente es un sistema muy complicado porque tiene ahí una ecuación logarítmica, tiene una ecuación exponencial, pero bueno, vamos a ver que es más o menos igual. 00:03:25
Por cierto, como os dije el otro día, con las ecuaciones exponenciales y también con las logarítmicas, para que un sistema de ecuaciones exponenciales y logarítmicas salga, tiene que estar más o menos preparado. 00:03:34
Porque si no, lo más probable es que nos encontremos con sistemas que no tenemos ni idea de por dónde cogerlos. 00:03:50
Entonces, bueno, todos estos, pues por ejemplo aquí fijaos un 2 a la 11 y tal, o un logaritmo de 33 que parecen cosas muy raras, 00:03:57
es porque están preparados para que salgan las soluciones sean números sencillos. 00:04:05
Entonces, bueno, lo mismo, primera ecuación, aplico las propiedades de los logaritmos y queda que el logaritmo de x más y 00:04:10
por x menos y es igual al logaritmo de 33. Si hay una suma de logaritmos, eso viene de hacer un producto. 00:04:19
Y la segunda ecuación, aplico las propiedades de las potencias y queda que 2 elevado a x más y es 2 elevado a 11. 00:04:33
Con lo cual el sistema se nos ha quedado así. En la primera ecuación, como dos logaritmos son iguales, 00:04:42
Entonces, significa que si son iguales, pues lo de dentro es lo mismo. X más Y por X menos Y es 33. Y en el de abajo queda X más Y igual a 11. 00:04:47
Con lo cual, bueno, nos hemos librado de los logaritmos, las exponenciales y queda este sistema que, a ver, podéis hacer dos cosas. 00:05:04
Aquí, perdón, he puesto un 1 y es un 11. Podéis hacer dos cosas. Atajo x más y es 11, entonces sustituís el 11 aquí. Es decir, quedaría 11 por x menos y es 33. 00:05:11
Es decir, X menos Y igual a 3 y X más Y es 11. Con lo cual, tendríamos este sistema que es muy fácil de resolver sumando las dos ecuaciones queda 2X igual a 14, es decir, X es 7 y la Y, por ejemplo, de aquí podemos sacar la Y ya que queda que 7 más Y es 11, es decir, que Y es 4. 00:05:29
Así que la solución es 7, 4. Si no os dais cuenta de este atajo no pasa nada porque esta primera ecuación quedaría x cuadrado menos y cuadrado aplicando los productos notables igual a 33 y x más y igual a 11. 00:05:59
Con lo cual, es un poco más complicado, pero de aquí podéis despejar, por ejemplo, la Y, que es 11 menos X y sustituís en la ecuación de arriba y al final vais a obtener la misma solución. 00:06:19
De acuerdo, o sea que eso no habría ningún problema si uno no se da cuenta de eso, pero bueno, si uno ve un atajo y ve que lo puede aprovechar, pues se puede aprovechar. 00:06:38
Bueno, vamos con el último. El último se puede hacer también de dos maneras. Yo os lo voy a hacer primero de la manera fácil y todos este tipo de sistemas yo creo que lo mejor es hacerlos de esta forma. 00:06:49
Fijaos que esto, si en vez de poner logaritmo de X y logaritmo de Y pusiera X e Y solamente, es un sistema normal y corriente, es un sistema lineal. 00:07:03
Entonces yo puedo resolverlo como si fuera un sistema lineal, por ejemplo, por reducción. 00:07:13
La segunda ecuación la voy a multiplicar por menos 2, voy a ponerlo así, por menos 2, con lo cual va a quedar así. 00:07:19
menos 2 logaritmo de x, menos 2 logaritmo de y, igual a menos 2. Y la ecuación de arriba la pongo tal cual, 2 logaritmo de x, menos 3 logaritmo de y, igual a 7. 00:07:28
Sumo las dos ecuaciones y me queda menos 5 logaritmo de Y igual a 5. 00:07:44
Es decir, logaritmo de Y igual a menos 1. 00:07:51
Y luego aquí, pues, o menos 1 lo convertís en un logaritmo, que es el logaritmo de 10 a la menos 1, 00:07:55
porque el exponente que hay que elevar 10 para que 10 a la menos 1 es menos 1, o podéis aplicar la definición de logaritmo. 00:08:02
El logaritmo en base 10 de Y es menos 1, significa que menos 1 es el exponente que hay que elevar la base, 00:08:08
que es 10, para que dé y. Es decir, menos 1 es el exponente al que hay que elevar la base, para que dé y. 00:08:14
Así que ya tengo la y, ¿vale? Y lo voy a poner mejor así, pero bueno, se puede dejar así, como 10 a la menos 1. 00:08:21
Y una vez que tengo esto, pues ahora tenemos varias opciones para seguir. Puedo sustituir la y en el sistema de partida 00:08:30
y despejar logaritmo de X. Pero también podemos coger un atajo y es que el logaritmo de Y es menos 1. 00:08:40
Es decir, que yo podría poner esto. Me cojo, por ejemplo, la ecuación de abajo que es más sencilla 00:08:49
y tengo logaritmo de X más el logaritmo de Y que es menos 1 igual a 1. 00:08:54
Es decir, queda logaritmo de X igual a 2 y ahora vuelvo a aplicar la propiedad de los logaritmos 00:09:00
o convierto 2 en un logaritmo decimal que sería el logaritmo de 100. 00:09:06
Entonces el logaritmo de base 10 de x es 2 significa que 2 es el exponente al que hay que elevar 10 para que de x 00:09:10
Es decir, 2 es el exponente al que hay que elevar 10 para que de x 00:09:17
Y ya tengo entonces que x es 10 al cuadrado o 100 00:09:22
Y la solución sería pues 100, 1 partido de 10 00:09:26
Y ya tengo resuelto el último sistema 00:09:33
Vale, otra cosa que podéis hacer es aplicar otra vez el método de reducción, pero en este caso para, en vez de despejar logaritmo de y, para que quedase logaritmo de x. Por ejemplo, podéis multiplicar la ecuación de abajo por 3 y sumarlas y entonces al final también sale logaritmo de 3. 00:09:37
Y bueno, normalmente la mayoría de los sistemas que vamos a resolver nosotros son parecidos a estos tres. Serán o de este tipo, que ya veréis que son la mayoría de los que vamos a hacer, van a ser así, o del primer tipo, ¿de acuerdo? En el que una ecuación ya no tiene logaritmo ni tiene, es una ecuación normal y corriente. 00:09:58
Vale, bueno, pues con esto termino y espero que os sirva para hacer los ejercicios que os mandaré en la tarea. 00:10:19
Idioma/s:
es
Autor/es:
FMP
Subido por:
Francisco M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
73
Fecha:
2 de octubre de 2020 - 20:34
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS GARCIA BERLANGA
Duración:
10′ 28″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
34.10 MBytes

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