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AN4. 3.3. Puntos críticos de la derivada segunda y puntos de inflexión +3.4. Puntos de inflexión a partir de la curvatura +3.5. Puntos de inflexión a partir de las derivadas sucesivas - Contenido educativo

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Subido el 24 de noviembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las derivadas. 00:00:22
En la videoclase de hoy estudiaremos los puntos críticos de la función derivada segunda y 00:00:28
los puntos de inflexión de una función. 00:00:36
En esta videoclase vamos a estudiar la determinación de los puntos de inflexión de una función. 00:00:39
que son aquellos en los cuales la función cambia de ser cóncava a convexa o viceversa. 00:00:52
Son los puntos en donde cambia la curvatura de la función. 00:00:57
De la misma manera, de forma análoga, en la que los extremos relativos 00:01:00
marcaban puntos en los cuales cambiaba la monotonía de la función. 00:01:06
De ser creciente a decreciente teníamos un máximo, 00:01:10
de ser decreciente a ser creciente teníamos un mínimo. 00:01:13
Nosotros vamos a denominar puntos de inflexión indistintamente 00:01:16
a los puntos donde cambia de cóncava convexa o viceversa. Como resultado conocido para poder 00:01:20
caracterizar los puntos de inflexión, sabemos que en las abstizas donde tenemos un punto de 00:01:26
inflexión de una cierta función, la derivada segunda se anula, de forma análoga a lo que 00:01:32
pasaba con los extremos relativos, en aquel caso con la derivada primera. Así pues, lo que haremos 00:01:36
será, a partir de la función, determinar los ceros de la derivada segunda. A estos se les 00:01:42
de una mina puntos críticos de la función derivada segunda, para poder distinguirlos 00:01:48
de los puntos críticos de la función derivada primera, son los ceros, en este caso, de la 00:01:52
función derivada segunda, y sabemos que de entre ellos podremos seleccionar los que son 00:01:57
puntos de inflexión, puesto que al igual que ocurría con los puntos críticos de la 00:02:03
derivada primera, no necesariamente todos los puntos críticos de la función derivada 00:02:06
segunda van a ser puntos de inflexión, en algún caso será otro tipo de puntos. ¿Cómo 00:02:11
vamos a determinar cuál de los puntos críticos de la función derivada segunda, cuál o cuáles 00:02:16
son puntos de inflexión? Pues de forma análoga a cómo en videoclases anteriores estudiábamos 00:02:21
o determinábamos los extremos relativos. Vamos a utilizar, por ejemplo, en primer lugar 00:02:27
y como método más sencillo, el estudio de la curvatura. En su momento veíamos que para 00:02:34
determinar la curvatura de una función lo que hacíamos era tomar la función, determinar 00:02:40
su dominio, hacer la función derivada primera, determinar su dominio. Bien, con la derivada 00:02:45
primera determinar la función derivada segunda, determinar su dominio y decíamos que lo que 00:02:50
podíamos hacer era determinar a continuación los ceros de esa función derivada segunda, 00:02:56
lo que ahora vamos a llamar puntos críticos de la función derivada segunda, y estos iban 00:03:01
a dividir el dominio de la función en distintos intervalos, dentro de los cuales íbamos a 00:03:05
estudiar la curvatura mirando cuál era el signo. Cuando la derivada segunda era positiva, teníamos 00:03:11
una función que era convexa. Cuando la derivada segunda era negativa, teníamos una función que 00:03:17
era cóncava dentro de cada uno de esos intervalos. Pues bien, en aquellos puntos críticos donde cambia 00:03:22
el signo a izquierda y a derecha de la función derivada segunda, donde cambia la curvatura de 00:03:28
cóncavo a convexo o de convexo a cóncavo, diremos que en esos puntos tenemos puntos de inflexión. 00:03:34
En aquellos puntos donde a izquierda y a derecha la curvatura sea la misma, bien cóncava o bien convexa, no tendremos puntos de flexión, tendremos otro tipo de puntos. 00:03:39
Igual que ocurría con el estudio de los extremos relativos, en aquel caso a partir del signo de la función derivada utilizando la monotonía, 00:03:49
podríamos no hacer este estudio, en este caso de la curvatura, sino que a partir de las derivadas sucesivas, 00:03:57
mirando únicamente el signo de las derivadas tercera, cuarta, quinta, etcétera, en ese punto 00:04:03
de abstisa en el cual tenemos un punto crítico de la derivada segunda, podemos decidir si nos 00:04:09
encontramos con un punto de inflexión o no. Operando de una forma análoga a como lo hacíamos 00:04:16
en la determinación de los extremos relativos. Supongamos que tenemos un cierto punto en donde 00:04:21
en esa abstisa tenemos que la derivada segunda se anula, tenemos un punto crítico de la derivada 00:04:27
segunda. ¿Cómo podemos decidir si en ese punto tenemos o no un punto de inflexión? 00:04:32
Bien, pues lo que haremos será ir determinando las derivadas sucesivas, en este caso sería 00:04:38
a partir de la derivada segunda, la derivada tercera, cuarta, quinta, etc. Y lo que vamos 00:04:43
a hacer es buscar cuál es la primera en la cual en esta abscisa encontramos un valor 00:04:49
distinto de cero, un valor no nulo. Dependiendo de cuál sea el orden de esa derivada, podremos 00:04:54
decidir si se trata o no de un punto de inflexión. Y en el caso de los puntos de inflexión, para que 00:05:02
los sean, necesitamos que esa primera derivada, en la cual al sustituir esta abstisa x0 obtenemos 00:05:07
un valor distinto de 0, sea de orden impar. Así pues, sería la derivada tercera, quinta, séptima, etc. 00:05:15
Indistintamente de cuál sea el signo, en este caso no es relevante, en ese caso diremos que la función 00:05:22
tiene un punto de inflexión en esta abscisa x0. Como veis aquí, al igual que decía en el caso de 00:05:28
los extremos relativos, típicamente nos encontraremos o nos encontraríamos con que la primera derivada 00:05:34
con valor distinto de 0 va a ser la siguiente. En este caso podríamos estudiar típicamente los 00:05:39
puntos de inflexión viendo que o comprobando que la derivada tercera en estas abscisas es distinta 00:05:45
de 0. Con lo que hemos visto en este vídeo clase y en el anterior podremos resolver este ejercicio 00:05:50
que veremos en clase, posiblemente veremos en alguna videoclase posterior. 00:05:57
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
24 de noviembre de 2024 - 14:55
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
06′ 48″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
17.57 MBytes

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