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Ejercicio 1 Parcial 1 T2 2024 - Solución - Contenido educativo

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Subido el 23 de enero de 2024 por Manuel D.

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Ejercicio 1 Parcial 1 T2 2024 - Solución

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Bueno, pues vamos a explicar la solución del examen que hicimos ayer cuyos contenidos 00:00:00
eran vectores y trigonometría. Os recuerdo el examen tenía unos ejercicios sobre vectores 00:00:08
y algunos ejercicios con ecuaciones trigonométricas y algunas cuestiones sobre funciones trigonométricas. 00:00:15
Vamos con el primer ejercicio en el que nos hablan primero de significado geométrico de 00:00:20
combinación lineal de vectores. Esta es una cuestión teórica, recordad que si yo tengo 00:00:25
un vector E, pues el vector vendrá dado por un punto origen y un punto final. Recuerdo que es 00:00:31
un segmento orientado y entonces multiplicar A por E significa exactamente coger este vector A, 00:00:39
este vector E1 y estirarlo encogiendo o encogerlo en función de los valores de A. Si A es mayor que 00:00:48
cero entonces el vector E1 por A tiene la misma dirección y si A es negativo pues el vector A por 00:00:58
E1 tiene sentido opuesto. Esto cuando sólo tenemos un vector, cuando tenemos dos vectores y hacemos 00:01:11
la combinación lineal, lo que tenemos que hacer es primero el producto de cada uno de los numeritos 00:01:17
A y B. Recuerdo que son los coeficientes de la combinación lineal, son numeritos reales. El 00:01:24
símbolo pertenece a un número real. Entonces básicamente lo que tenemos es por un lado el 00:01:29
vector A por E1 y por otro lado el otro vector que será B por E2 donde E1 es por ejemplo este 00:01:35
y E2 será por ejemplo este de aquí. Me falta por poner flechas en todos los vectores y entonces 00:01:47
lo que estamos haciendo cuando hacemos la combinación lineal es trazar los lados de un 00:01:55
paralelogramo y la suma de estos dos vectores es la diagonal de este paralelogramo, es decir, 00:02:01
que el vector resultante, lo pongo en negro, sería justo la diagonal. Este vector sería la 00:02:10
combinación lineal de A por E1 más B por E2, exactamente ese de ahí. Bueno, esto respecto, 00:02:16
habría que explicar todo eso respecto del primer punto del examen. Respecto del segundo, fijaos 00:02:25
que nos están pidiendo que calculemos respecto de estos dos vectores y desde este origen las 00:02:30
coordenadas de este punto. Bueno, fijaos que este punto sería el punto 8 1 pero no va a ser el 00:02:36
punto 8 1 porque lo que vamos a hacer es trazar unos ejes con ese origen y esas direcciones y 00:02:42
entonces lo que tenemos que hacer es comprobar qué combinación lineal hace que nosotros tengamos 00:02:49
el vector OP escrito como combinación lineal de U y de V. Lo podemos hacer respecto de, 00:02:56
vamos a algebraicamente o gráficamente. Vamos a hacerlo primero gráficamente. Gráficamente, 00:03:04
el vector OP1, voy a dibujarlo en rojo, que es el que tenemos que calcular, es este vector de aquí. 00:03:10
Para hacerlo gráficamente lo que tengo que hacer es trazar paralelas a los ejes, como aquí, 00:03:15
y entonces nos damos cuenta de que este vector rojo será tres veces el vector U menos, 00:03:23
porque tenemos que cambiar de sentido, vamos a poner este de negro, no, vamos a poner estos 00:03:31
vectores de verde para que se vea bien, este será el vector 3U y este de aquí es el opuesto de V, 00:03:39
es decir, este es el menos V, de donde se deduce que pues el vector OP es 3 por U menos V y por 00:03:46
lo tanto las coordenadas de P respecto de este nuevo sistema de referencias son 3 menos 1. 00:03:57
¿Cómo lo podemos hacer esto algebraicamente? Bueno, pues algebraicamente lo primero que 00:04:02
tendríamos que hacer, es decir, algebraicamente me refiero a resolviendo un sistema de ecuaciones, 00:04:06
sería calcular las coordenadas de OP, que OP es este vector rojo y como veis este vector rojo 00:04:10
es el vector que va desde el abscisa 3 hasta el abscisa 8, es decir, avanza 5 y baja 1, 00:04:16
es decir, es el 5 menos 1. Yo tengo que escribir el vector 5 menos 1 como combinación lineal del 00:04:21
vector U y del vector V, es decir, el 5 menos 1 tiene que ser igual a A por, ¿cuál es el vector 00:04:29
U? Pues 2U, A por 2U más B por 1, 4. Bien, y esto es un sistema de ecuaciones en el que las 00:04:38
incógnitas son A y B. Lo escribo como sistema de ecuaciones 5, la primera coordenada será igual a 00:04:50
2 por A, es decir, estoy igualando las primeras coordenadas de esta suma de vectores. 5 será igual 00:04:56
a 2 por A más 1 por B y menos 1 será igual a 1 por A más 4 por B. ¿Y qué tengo que hacer? Bueno, 00:05:04
pues lo que tenemos que hacer es, vamos a subrayar esto de amarillo, creo que no sé si me lo voy a 00:05:19
cargar, pues anda que no, no, está bien. Entonces, lo que tengo que hacer es resolver este sistema 00:05:25
de ecuaciones. ¿Cómo? Bueno, pues como queráis, es decir, sustitución, igualación, reducción o a ojo, 00:05:30
como queráis. El caso es que fijaos que las soluciones a este sistema son precisamente las 00:05:36
soluciones que había encontrado antes, A igual a 3 y B igual a menos 1. Vamos a comprobarlo sustituyendo 00:05:41
2 por 3, 6, menos 1, 5 y 3 más 4 por menos 1, 3 menos 4, menos 1. O sea, que estas serían las 00:05:49
soluciones que son, por tanto, las coordenadas respecto del sistema de referencia dado por UV 00:05:57
y el origen nuevo. Bueno, pues esto respecto del apartado B y el apartado C es un ejercicio 00:06:04
estándar, súper estándar, de cálculo de ángulo entre dos vectores. Yo tengo el vector, vamos con 00:06:13
el apartado C, yo tengo el vector que era el 2, 1 y tengo el vector, si no recuerdo mal, que era el 1, 4, 00:06:19
y me piden calcular el ángulo formado por estos dos vectores. No hay más que recordar que el 00:06:26
coseno de ese ángulo es producto escalar partido por producto de los módulos, es decir, 2, 1 por 1, 4 00:06:34
partido por módulo del primero por módulo del segundo. Y esto nos da 2 por 1. Recuerdo, por cierto, 00:06:44
que el producto escalar tiene que dar un número, no puede dar un vector, porque es un producto escalar. 00:06:56
Y bueno, pues nos va a dar 2 por 1 más 4 son 6, 6 partido por raíz de 5 y raíz de 17 y esto resulta 00:07:02
que es el coseno del ángulo que forman estos dos vectores. Calculando coseno la menos uno de este 00:07:15
valor, el ángulo prácticamente son como unos 49 grados con la calculadora. Lo podéis comprobar 00:07:22
yo creo recordar que daba unos 49 grados porque acabo de corregir algunos exámenes que lo tenéis bien. 00:07:32
Bueno, pues esto es el final del primer ejercicio. Enseguida nos ponemos con el siguiente. 00:07:36
Autor/es:
Manuel Romero Muro
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
37
Fecha:
23 de enero de 2024 - 12:11
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 42″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
17.27 MBytes

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