Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Derivabilidad de Funciones a Trozos (3) - Contenido educativo

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 26 de octubre de 2020 por Esteban S.

355 visualizaciones

Hola otra vez, chicas y chicos de matemáticas de segundo de bachillerato. 00:00:02

Estamos en el tercer vídeo de esta serie en el que estábamos estudiando la derivabilidad de funciones a trozos. 00:00:08

En este caso nos encontramos con esta cuestión bastante interesante, nos dan una función a trozos, ¿veis? 00:00:16

El primer tramo es una parábola, el segundo tramo es una función polinómica de grado 3 00:00:23

y nos piden que hallemos los valores de a y b para que exista f' de 1. 00:00:28

Entonces empezamos. 00:00:36

Como nos piden que exista f' de 1, me ciño a estudiar el 1, nada más. 00:00:38

Bueno, pues entonces, para que exista f' de 1, lo primero es que f tiene que ser continua en x igual a 1. 00:00:46

Eso es fundamental. 00:00:56

Así que primero tenemos que obligar a la función a que sea continua en x igual a 1. 00:00:58

f debe ser continua en x igual a 1. 00:01:04

Fundamental. 00:01:11

¿Qué significa que f sea continua igual a 1? 00:01:11

Significa que el límite por la izquierda de la función, cuando yo lo calcule, 00:01:15

tiene que ser igual al límite, le tengo que obligar a que sea igual al límite por la derecha de la función. 00:01:21

Y que sea igual a f de 1. 00:01:26

Esto ya nos lo dan gratis porque como f de 1 y el límite por la derecha es el mismo, pues ya está. 00:01:27

Aquí estaría en el primer tramo, aquí estaría en el segundo tramo y aquí estaría en el segundo tramo. 00:01:33

En el primer tramo, el límite, cuando x tiende a 1 por la izquierda, quien rige aquí en este tramo es esta parábola. 00:01:38

Sustituyendo la x por 1 me queda 1 más a más 1, es decir, a más 2. 00:01:49

Muy bien, en el segundo tramo, cuando x tiende a 1 por la derecha, ¿quién rige? 00:01:59

Es esta función polinómica de grado 3, 1 cúbica, sustituyendo por 1 sería menos 1, más b, más 3, es decir, 2. 00:02:05

¿Por qué? Pues no, aquí me he equivocado. No, pero no voy a repetir el vídeo. 00:02:20

no voy a repetir el vídeo 00:02:24

rectificar es de sabios 00:02:26

no digo que yo sea un sabio 00:02:29

pero bueno, aquí rectifico 00:02:30

muy bien, aquí quien gobierna 00:02:32

es menos x cubo 00:02:35

más bx cuadrado 00:02:37

más 2, luego esto es menos 1 00:02:38

más b más 2 00:02:40

y esto no es ni más ni menos que 00:02:42

b más 00:02:44

1 y f de 1 00:02:46

que estoy en el segundo tramo, pues vale lo mismo 00:02:48

b más 1, muy bien 00:02:50

Y luego, escribo con precisión, para que f sea continua en x igual a 1, tiene que cumplirse, pues esto que viene aquí, que a más 2 se igual a b más 1. 00:02:52

Ahí lo tengo 00:03:16

¿Que lo queréis escribir de una manera más bonita? 00:03:18

Pues sí, lo podéis escribir 00:03:21

Pues de esta manera, si queréis 00:03:22

Es decir, a menos b 00:03:24

Igual a menos 1 00:03:26

Genial, esto es muy importante 00:03:28

Lo recuadramos 00:03:32

Ahí está recuadrado, perfecto 00:03:33

Luego ya sé 00:03:36

Que para que sea derivable en 1 00:03:37

Por lo pronto 00:03:39

Lo que tiene que ocurrir es que a menos b 00:03:41

Es igual a menos 1, porque esto era quizá continua 00:03:43

Muy bien 00:03:46

Siguiente paso 00:03:46

Fijaros que todavía no puedo resolver 00:03:48

Me falta otra condición, otra regla 00:03:50

Muy bien, la otra regla 00:03:53

Es que para que sea continua 00:03:54

Pues entonces ya pongo 00:03:56

La derivada de la función 00:03:57

Salvo 00:04:01

Ay, cuántas veces lo tendremos que decir esto 00:04:05

En x igual a 1 00:04:07

Porque todavía no sé lo que va a pasar 00:04:09

Aunque le voy a obligar 00:04:11

Pues sería, la derivada de eso sería 2x 00:04:13

Más a 00:04:15

Esto sería menos 3x cuadrado 00:04:16

más 2bx y la derivada de 2 es 0 00:04:18

si x menor que 1 00:04:21

y x mayor que 1 00:04:23

entonces para que exista f' de 1 00:04:24

debe 00:04:27

existir 00:04:30

f' de 1, tengo que obligarlo 00:04:32

de 1 00:04:34

para que exista f' de 1 pues ya sabéis 00:04:35

lo que tengo que hacer, tengo que obligar a que en esta función 00:04:38

derivada el límite por la izquierda 00:04:40

sea igual al límite 00:04:42

por la derecha 00:04:48

porque os recuerdo siempre que la derivada 00:04:49

es un límite 00:04:52

Muy bien, límite por la izquierda, ¿quién gobierna cuando la x se acerca al 1 por la izquierda? 00:04:52

Pues gobierna esa bonita función 2x más a 00:04:59

Luego esto es 2 más a 00:05:01

Y aquí el límite por la derecha, ¿quién gobierna? 00:05:05

Pues esta función, menos 3x2 más 2x 00:05:10

Sustituyendo por 1 me queda menos 3 más 2 00:05:14

Muy bien, luego para que exista f' de 1 00:05:17

como esto debe existir 00:05:21

para que exista f' de 1 00:05:24

estos dos valores deben ser iguales 00:05:25

así que lo pongo 00:05:28

para que exista 00:05:29

además de esto de aquí 00:05:34

que ya lo habíamos visto 00:05:39

pues para que exista 00:05:40

debe ser 00:05:43

¿qué debe ser? 00:05:45

debe ser que 2 más a sea igual a 00:05:46

menos 3 más 2b 00:05:48

si esto lo queréis poner bonito 00:05:50

pasamos las incógnitas al primer miembro 00:05:52

y me queda menos 3 menos 2 menos 5 00:05:55

No te equivoques Esteban, que sería horrible 00:05:56

Y ya terminamos el problema 00:05:58

Lo pongo más pequeñito 00:06:02

Vosotros tenéis una vista 00:06:04

Ya lo he dicho y ya está 00:06:06

Entonces, ¿qué tiene que ocurrir para que exista la derivada? 00:06:08

Pues tienen que cumplirse dos cosas 00:06:12

Primero esta de aquí 00:06:14

Que a menos b sea menos 1 00:06:15

Y luego tiene que cumplirse que a menos 2b sea igual a menos 5 00:06:19

¿Esto qué es? 00:06:23

Pues esto no es ni más ni menos que un sistema de ecuaciones 00:06:24

Un sistema de ecuaciones que hay que resolverlo 00:06:26

y ya está. ¿Vale? ¿Cómo resolvemos este sistema de ecuaciones? Pues, ¿cómo lo hacemos? 00:06:30

Yo lo hago por reducción, por reducción, es facilísimo, resto estas dos ecuaciones 00:06:40

y ya está. A menos A no es nada, menos B menos menos 2B, B menos 1 menos menos 5, 00:06:46

menos 1 más 5, una vez que tengo que la B vale 4, la pongo aquí por ejemplo, luego 00:06:54

La A tiene que valer, la solución es A igual a 3, B igual a 4. 00:07:02

Recuerde que una solución de un sistema tiene que tener dos valores, en este caso porque son dos incógnitas. 00:07:13

Y ya está. 00:07:19

Solo me queda poner la respuesta para que mi profesor y mi profesora se pongan contentos. 00:07:21

Para que exista F' de 1, debe ser A igual a 3 y B igual a 4. 00:07:29

Y si encima lo recuadro, pues ya está. Y aquí se terminó el problema. Un problema bien bonito. 00:07:38

De nuevo, hemos vuelto a insistir en que para que exista la derivada, primero tengo que obligar a que sea continua y luego tengo que obligar a que las derivadas existan por la izquierda, o sea, los límites por la izquierda y por la derecha coinciden. 00:07:56

Muy bien, y con esto hemos terminado la serie de los tres vídeos sobre derivabilidad o estudio de la derivada en funciones atroces. 00:08:17

Ahora os toca a vosotros, a vosotras, hacer los problemas que os pondremos del libro para que practiquéis. 00:08:26

Muchas gracias por haber escuchado. 00:08:34