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Progresión aritmética: 7.Demostración de la fórmula de la suma - Contenido educativo
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Demostración rigurosa de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
En este vídeo sobre progresiones aritméticas vamos a tratar de explicar de una manera más rigurosa la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética que sabemos que se representa por S sub n.
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Hemos dado algunos ejemplos ya de cómo se usa esta fórmula y aquí lo que tratamos es de explicarla o de deducirla de una manera más rigurosa.
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La fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es esta, es el resultado de sumar el primero y el último de los términos de la progresión, es decir los extremos,
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dividirlo después entre dos, o sea hacer la semisuma, y después multiplicar por n, es decir por el número de términos que queramos sumar.
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Normalmente suele decirse así, es la semisuma de los términos extremos, o sea el primero y el último, multiplicada por el número de términos.
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Lo que nosotros queremos sumar es S sub n, y esto es lo que queremos sumar, es decir el primer término sumado con el segundo, con el tercero, hasta llegar al penúltimo, que sería A sub n menos uno,
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y por último tendríamos A sub n, el último término de la progresión aritmética, que tendría n términos, y queremos saber cómo podemos sumarlo.
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Vamos a intentar deducir esa fórmula, y lo primero que vamos a hacer es darnos cuenta de una cosa muy sencilla, que simplemente da igual sumar los términos desde A sub 1 hasta A sub n,
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o sumarlos desde A sub n hasta A sub 1. ¿Qué vamos a hacer ahora? Bueno, vamos a colocar S sub n, la suma de los n primeros términos, pero vamos a escribirlos todos en función del primero,
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en función de A sub 1. Según esto, escribiríamos A sub 1 como el primero, y ahora en vez de escribir A sub 2, el segundo término de la progresión, vamos a escribir A sub 1 más D,
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es decir, yo puedo tener el segundo término si cojo el primero y le sumo la diferencia. De la misma manera puedo tener el tercero si cojo el primero y sumo dos veces la diferencia.
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Puedo tener el cuarto si cojo el primero, A sub 1, y sumo tres veces la diferencia. Esto así continuaría, y el antepenúltimo, el término A sub n-1, ¿cómo podría llegar a escribir ese término en función de A sub 1?
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Bueno, un poquito más complicado de pensarlo, pero si lo pensamos quizá pudiéramos llegar a sacarlo. Aquí el nivel de abstracción es un poquito más alto y es posible que nos cueste trabajo,
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sobre todo esta fórmula en concreto que vamos a escribir ahora, sería A sub 1 más n menos dos veces la diferencia, es decir, para llegar al término n-1, tengo que sumar una vez menos la diferencia del término al que quiero llegar.
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Si quiero llegar al n-1, pues tengo que sumar n menos dos veces la diferencia a A sub 1. Y por último, el término A sub n, directamente la fórmula que nos da el término general de las progresiones aritméticas,
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sería sumar A sub 1 con n menos una veces d. Bueno, aquí he escrito esta fórmula pero en función de A sub 1, todos los términos están escritos en función de A sub 1.
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Vamos a hacer ahora lo mismo, pero vamos a escribir la segunda fórmula, la que tenemos arriba, es decir, vamos a empezar a escribir desde el último, desde A sub n hacia atrás, y además lo vamos a escribir todos en función de A sub n, del último.
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Según esto, pues tendríamos que sumar A sub n, y ahora en vez de poner A sub n menos 1, vamos a escribir A sub n menos 1 en función de A sub n. ¿Cómo puedo hacer esto? Pues muy sencillo.
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Si yo lo que quiero es el término que está antes del A sub n, ¿qué tengo que hacer? Pues restarle A sub n d, es decir, tendría que escribir A sub n menos d. En vez de A sub n menos 1, escribo A sub n menos d.
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En vez de el siguiente término, en este orden, pues sería A sub n menos 2 veces d. El siguiente sería A sub n menos 3 veces d. Y así hasta que llegara al término que estaría el penúltimo, que sería A sub n menos n menos 2 veces d.
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¿De acuerdo? Esto si lo pensamos un poquito, podemos llegar a ver que es este, el término que estaría ahí. Y por último tendríamos A sub 1. ¿Cómo puedo yo escribir A sub 1 en función de A sub n? Pues tendría que coger A sub n y quitarle n menos 1 a veces d.
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Una vez que hemos escrito esto, nos fijamos, si yo sumo estas dos expresiones que tengo ahí, resulta que tendría que el doble de la suma que yo voy buscando, es decir, dos veces A sub n, sumaríamos A sub 1 con A sub n.
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Y ahora, a partir de aquí, vamos a darnos cuenta de que cuando yo sumo, me voy a encontrar que d que suma y d que resta se van y me queda A sub 1 más A sub n. En la siguiente expresión, 2 d que suma y 2 d que resta se me van y me quedaría A sub 1 más A sub n.
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En la siguiente expresión, se me irían también 3 d arriba y abajo sumando y restando y me quedaría A sub 1 más A sub n. En fin, si sigo, pues vería que aquí también se me irían, me quedaría A sub 1 más A sub n y por último aquí también se me iría y me quedaría A sub 1 más A sub n.
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¿De acuerdo? Claro, esto es un poco abstracto, es más general y en un nivel de abstracción alto, pero a poco que lo pensemos, no es tan difícil de llegar a entender cómo se deducen todas estas expresiones.
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Bueno, una vez que hemos llegado hasta aquí, ¿cuántas veces sumo yo A sub n más A sub n? ¿Cuántas veces estoy sumando A sub 1 más A sub n? ¿Cuántas veces lo tengo? Pues lo tendría un total de, vamos a pensarlo un poquito, n veces.
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¿De acuerdo? Yo lo tendría ahí n veces, puesto que tengo n términos y lo estoy sumando, he hecho la suma término a término, pues lo que tengo es n veces A sub 1 más A sub n. Bueno, pues una vez que tengo esto, resulta que si dos veces S sub n es igual a A sub 1 más A sub n n veces, si yo lo que quiero despejar, pues tendría que S sub n sería igual a A sub 1 más A sub n dividido entre 2 por n.
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Es decir, simplemente paso el 2 dividiendo. Y esta es la fórmula que yo quería demostrar. ¿Cómo sacarla? ¿De acuerdo? Bueno, pues hasta aquí hemos llegado a este vídeo. Ya os digo que es un vídeo un poquito abstracto, no es un vídeo accesible quizá a todo el alumnado, pero es un vídeo interesante de que al menos algunos alumnos y alumnas lo vean y reflexionen sobre él.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
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- Primer Curso
- Autor/es:
- José Antonio Ortega
- Subido por:
- EducaMadrid
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 7305
- Fecha:
- 4 de enero de 2011 - 12:27
- Visibilidad:
- Público
- Enlace Relacionado:
- José Antonio Ortega
- Descripción ampliada:
Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).
Extraído de Open Trigo.- Duración:
- 06′ 49″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 800x600 píxeles
- Tamaño:
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