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Tema 6.- Progresiones 2ª Sesión 08-04-2025 - Contenido educativo

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Subido el 8 de abril de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 8 de abril. 00:00:00
Estamos con el tema de progresiones aritméticas y geométricas. 00:00:05
Y hoy vamos a ver cuáles son las principales aplicaciones de estas progresiones. 00:00:10
Que van a ser la interpolación de términos dentro de una sucesión, aritmética o geométrica, 00:00:17
y el interés compuesto, que es una aplicación de las progresiones geométricas. 00:00:24
¿Qué es esto de interpolar términos? Pues interpolar términos significa que coloque números entre dos extremos que me den siguiendo una cierta norma o bien que todos estén a la misma distancia siendo la sucesión que queda una progresión geométrica o bien que todos terminen saliendo del anterior término multiplicado por una razón. 00:00:30
Si es que estoy en una progresión geométrica. Entonces vemos, por ejemplo, aquí estos dos ejemplos. Digo, quiero interpolar cuatro términos entre el número 4 y el 44. 00:00:59
Cuando me esté hablando de interpolación aritmética, a esos términos les voy a llamar medios diferenciales, que es lo que está aquí puesto en negrita. 00:01:14
Que interpolar n medios diferenciales entre dos números a y b es encontrar n números que formen progresión aritmética y que estén entre esos dos números a y b. 00:01:24
visto aquí en el ejemplo, quiero interpolar entre el 4 y el 44 00:01:37
cuatro números, como sé que están en progresión aritmética 00:01:42
lo que me interesaría saber es quién es la diferencia que estoy sumando 00:01:47
en esa progresión aritmética, bueno, ¿cómo podría hallar esa diferencia? 00:01:52
pues calculando con la fórmula del término general 00:01:58
quién es esa diferencia, bueno, pues es el término a sub n 00:02:02
que en este caso sería el término 6, es el 44 00:02:07
y el primer término que querían que pusiese era el 4 00:02:12
si tengo que sumar 6 menos 1 00:02:16
una vez esa diferencia que necesito en mi progresión aritmética 00:02:20
¿qué me quedaría? Pues resuelvo esta ecuación de primer grado 00:02:26
y me queda 44 menos 4, 40 00:02:32
y 6 menos 1, 5 por D, 5D 00:02:36
luego la D que estoy buscando es 40 entre 5 que es 8 00:02:40
luego sé que lo que voy sumando es de 8 en 8 00:02:44
¿has visto lo que hemos hecho Yolanda? o lo escribimos paso a paso 00:02:47
en vez de aquí en el ejemplo escrito ya 00:02:52
mejor lo escribimos por favor 00:02:54
vámonos a nuestra pizarrita y lo escribimos 00:02:59
Quiero interpolar, interpolar entre el 4 y el 44, cuatro términos que estén en progresión aritmética. 00:03:04
Madre mía, uy, qué mal escribe la pizarra esta. 00:03:42
¿Se lee bien, Yolanda? 00:03:45
Sí, sí, sí. 00:03:48
Y, bueno, pues lo que yo quiero es que entre este 4 y ese 44 haya cuatro numeritos, que los voy a llamar x1, x2, x3 y x4, que todos estén a la misma distancia o no de otros. 00:03:49
¿Vale? Entonces, ¿quién diría yo que es mi primer término de esta progresión aritmética? Este 4. 00:04:18
Este 4 sería el a sub 1, ¿no? 00:04:25
Y el último término que yo quiero en esta progresión es el 44. 00:04:29
¿Qué posición ocupa el 44? 00:04:34
Si este es el a sub 1, este es el a sub 2, a sub 3, a sub 4, a sub 5 y a sub 6, ¿no? 00:04:36
O sea, que estaría ocupando la posición 6. 00:04:44
Porque he dicho que este es el a sub 2, este es el a sub 3, este es el a sub 4. 00:04:47
Y este es el a sub 5. 00:04:55
¿Vale? 00:04:57
¿De acuerdo, no? 00:04:58
Así estarían ordenados nuestros números. 00:04:59
Bueno, pues como sabíamos que la fórmula del término general era que el término n salía al primero sumarle n menos 1 a veces la diferencia, 00:05:01
si yo utilizo esta fórmula poniendo los datos que conozco, ¿qué estaría haciendo? 00:05:15
Me estaría diciendo que el a sub 6 sale de al a sub 1 sumarle 6 menos 1 a veces esa diferencia. 00:05:23
¿Vale? 00:05:36
Vamos bien. 00:05:38
Bueno, pues como el a sub 6 es 44 y el a sub 1 era 4 y 6 menos 1 es 5, 00:05:39
pues me queda esta ecuación de primer grado 00:05:49
cuando yo cambio en la fórmula del término general 00:05:53
cada letra por su valor 00:05:59
me queda esta ecuación 00:06:02
ecuación de primer grado que yo resuelvo 00:06:04
despejando la b 00:06:09
al 44 00:06:11
le restamos el 4 00:06:13
primero agrupo términos semejantes 00:06:16
Y eso sería igual a 5D. Pues 40 es 5D. Pues ¿cuánto valdrá la D que estoy buscando? 40 dividido entre 5, que es 8. ¿Vale? 00:06:19
entonces yo sé que lo que tengo que hacer en mi sucesión 00:06:33
es ir sumando de 8 en 8 00:06:38
luego tendría que el primer término es el 4 00:06:41
4 más 8 me daría 12 00:06:45
más 8 me da 20 00:06:50
más 8, 28 00:06:53
más 8, 36 00:06:56
y más 8, el 44 que quería 00:06:59
Luego, este es mi x1, mi x2, x3 y x4 que yo buscaba, ¿vale? He empezado en el término que me decían y sumando 8 en cada uno de los saltitos he llegado hasta el 44 que quería. 00:07:03
luego he encontrado los cuatro términos que me pedían 00:07:29
que están en progresión aritmética como me pedían 00:07:34
y que cubren justo el espacio ese que me faltaba 00:07:37
de cuatro números entre el 4 y el 44 00:07:41
¿entendido? 00:07:43
sí 00:07:47
no es nada más que eso, es decir, bueno voy a ver 00:07:47
dónde me dicen que empiece, dónde me dicen que acabe 00:07:51
cuántos términos me mandan interpolar 00:07:55
y yo sé que entonces el número total de términos de la progresión será 00:07:58
en este caso esos cuatro que me pedían más los dos de los extremos 00:08:02
pues entonces tengo seis términos y aplicar la 00:08:07
fórmula del término general, ¿vale? 00:08:10
En esa fórmula del término general voy a conocer siempre el último término y el primero 00:08:14
y voy a conocer también cuántos saltitos quiero dar 00:08:19
para llegar al primer término hasta el último, entonces solo me faltará por averiguar 00:08:22
cuánto vale la diferencia que voy a estar sumando 00:08:27
o restando, si es que la progresión fuese 00:08:30
decreciente, ¿vale? 00:08:32
Pero solo es eso, aplicar la fórmula 00:08:36
del término general, ¿de acuerdo? 00:08:38
¿Sí? ¿Entendido? Luego va a haber algún ejercicio por ahí 00:08:41
que me vas a decir tú, ¿eh? 00:08:45
Bueno, pues vamos a ver cómo sería 00:08:47
esta misma historia, pero 00:08:50
cuando tenga una progresión 00:08:53
geométrica 00:08:55
y en este caso me dice 00:08:57
que interpole 00:09:00
n medios 00:09:01
proporcionales 00:09:03
cuando me habla de 00:09:05
progresión aritmética les llama medios 00:09:07
diferenciales porque 00:09:09
entre uno y otro hay una diferencia 00:09:11
que es la de esa que 00:09:13
queríamos calcular y cuando 00:09:15
estoy en progresiones geométricas 00:09:17
me habla de medios proporcionales 00:09:19
pero la historia es la misma 00:09:21
entonces vamos a hacer lo mismo, vamos a ir 00:09:23
haciendo pasito a paso las cuentas para que las vean bien, ¿vale? Bueno, me dice que 00:09:25
interpole entre el 2, perdón, que interpole dos medios geométricos entre el 3 y el 24, 00:09:35
o sea que entre el 3 y el 24 quiero poner dos numeritos que estén en progresión geométrica. 00:09:43
vamos a verlo aquí como sería 00:09:48
interpolación 00:09:51
con medios 00:10:00
proporcionales 00:10:07
entonces sé que estoy 00:10:11
en geométrica, ¿vale? 00:10:16
quiero interpolar 00:10:22
dos términos 00:10:23
entre 00:10:31
¿quiénes serán los números? 00:10:31
que se me ha olvidado 00:10:33
el 3 y 24 00:10:33
Entre 3 y 24 00:10:37
Entonces yo quiero que el primer término sea el 3 00:10:41
El siguiente será x1 00:10:45
El siguiente x2 00:10:47
Y el siguiente el 24 00:10:49
Como estoy en progresión geométrica 00:10:51
¿Quién es el término general? 00:10:55
El 3 00:11:00
Por 00:11:04
La razón elevado a n menos 1, ¿vale? 00:11:07
Ahora, estaríamos diciendo que es lo que tú querías ver, que el 3 es el a1 y que el 24, ¿qué término es de esa progresión geométrica? 00:11:12
¿El 3? 00:11:23
No, el a4. 00:11:24
Porque tendríamos a1, el x1 sería a2, el x2 sería a3 y el 24 sería el cuarto término, ¿vale? 00:11:27
como antes, este sería el a2 00:11:35
este sería el a3 00:11:38
o sea, yo he empezado en el a1 00:11:41
voy al a2 que no le sé 00:11:42
al a3 que no le sé 00:11:45
y termino en el a4 que sí que le sé 00:11:46
entonces, si yo aplico eso 00:11:48
digo, mi a4 00:11:51
va a salir de 00:11:52
al a1 multiplicarle 00:11:54
la razón que no sé cuál es 00:11:56
elevado a 4 veces 00:11:59
menos 1 00:12:02
término en el que acabo 00:12:03
menos término del que salgo 00:12:07
es el exponente que pongo a esa razón 00:12:08
y ahora sustituyo 00:12:10
el a4 00:12:12
era el 24 00:12:14
el a1 es el 3 00:12:16
la razón 00:12:19
no sé quién es, pero 00:12:20
ese 4 menos 1 00:12:22
daría 3, ¿no? 00:12:23
sí 00:12:26
sí 00:12:27
bueno 00:12:27
vamos a hacer las cuentas 00:12:29
de resolver esta ecuación 00:12:32
digo 00:12:34
yo quiero despejar la R 00:12:35
entonces lo que hacemos primero es 00:12:38
el 3 que está multiplicando 00:12:39
me lo llevo al otro lado ¿cómo? 00:12:42
pues me lo llevaré dividiendo 00:12:44
¿no? 00:12:46
¿sí? 00:12:49
entonces 24 entre 3 00:12:50
sería 8 00:12:52
pero yo no quiero saber quién es R elevado a 3 00:12:53
quiero saber quién es la R sola 00:12:56
la forma de quitarme 00:12:58
El exponente es hacer la raíz cúbica de 8, hacer la raíz de índice el mismo que el exponente que teníamos en la razón. 00:13:00
Y ahora, la raíz cúbica, ¿qué era? Pues es buscar un número que multiplicado tres veces por sí mismo me dé 8. 00:13:13
¿Qué número multiplicado tres veces por sí mismo da 8 como resultado? 00:13:22
Piensa a ver. 00:13:29
¿2 por 4? 00:13:30
No, no puedo hacer 2 por 4, tiene que ser 3 veces el mismo número. Lo que sí que podría hacer es 2 por 2 y por 2, y un 2 por otro 2 y por otro 2, ¡ay! Perdón, me voy a ver con un 3. 00:13:31
¡Qué difícil es esta! 00:13:48
O sea, quiero tener tantas veces el mismo número como me decía el índice de la raíz, ¿vale? 00:13:50
Entonces, el número que cumple eso es el 2, porque 2 por 2 por 2 me da 8. 00:14:00
Entonces, la raíz cúbica de 8 es el 2, ¿vale? 00:14:06
¿De acuerdo? 00:14:19
entonces la razón que yo quería vale 2 00:14:20
pues me voy a mi progresión y digo 00:14:25
mi primer término era el 3 00:14:28
si al 3 le multiplico por 2 me da el 6 00:14:30
si al 6 le multiplico por 2 me da 12 00:14:35
y si al 12 le multiplico por 2 00:14:40
me va a dar el 24 que quería 00:14:43
pues entonces los términos que me faltaban 00:14:46
el x1 y el x2 que dije al principio 00:14:49
son el 6 y el 12 00:14:52
porque ya me queda la progresión geométrica que yo quería 00:14:55
que empieza en el 3 y termina en el 24 00:14:59
y que solo tiene dos términos entre medias 00:15:03
que es lo que me pedían 00:15:05
o sea que la lógica 00:15:06
el razonamiento es igual que hicimos en las progresiones aritméticas 00:15:11
utilizar el término general para poder relacionar 00:15:14
este último número que me dan 00:15:17
donde termina mi sucesión con el primero 00:15:20
donde empezaba y que entre medias 00:15:24
queden tantos términos como ellos me han pedido 00:15:27
que en este caso eran dos y en el ejemplo de la progresión aritmética 00:15:29
me pedían que quedase en cuatro 00:15:33
¿vale? pero yo lo que utilizo es 00:15:35
la fórmula del término general igual que hicimos 00:15:38
en la progresión aritmética 00:15:41
en lugar de ir sumando 00:15:44
ahora lo que voy haciendo es multiplicando 00:15:46
para ir saltando de un término a otro 00:15:48
pero estoy haciendo el mismo razonamiento 00:15:49
¿vale? ¿se ve más o menos? 00:15:52
sí 00:15:57
¿de verdad? 00:15:58
pero esta es más complicada 00:16:00
que las otras 00:16:02
multiplicarse nos da peor 00:16:03
que sumar 00:16:06
hay veces que las tablas de multiplicarse 00:16:08
nos atragantan un poco 00:16:11
y lo de la potencia 00:16:12
Y con lo de las potencias y las raíces también se nos atragantan un poco, porque no me acuerdo de cuál es la definición de una y de otra. 00:16:14
Bueno, vamos a ver ahora qué es el interés compuesto 00:16:23
¿Vale? Y el interés compuesto 00:16:28
le utilizan los bancos cuando yo cojo y hago 00:16:30
una cuenta de ahorro y me dicen 00:16:34
bueno, te voy a dar un 2% de intereses 00:16:37
al año 00:16:40
pero ese 2% de intereses no te lo voy a pagar en tu cuenta corriente 00:16:41
sino que se va a acumular al dinero 00:16:47
que tú hayas metido en la cuenta de ahorro 00:16:49
¿Vale? Porque hay otro tipo de cuentas que son las de los plazos fijos que se llaman, que lo que hacen es que los intereses que te genera ese plazo fijo te los pagan en una cuenta aparte, en tu cuenta corriente, en la que usas en el día a día. 00:16:51
Entonces, si tú metiste 1.000 euros el día 1 de enero del 2024, llega el día 1 de enero de 2025 y tienes esos 1.000 euros en esa cuenta de ese plazo fijo. 00:17:08
Los intereses que te hayan generado, 20 euros, 200, lo que sea, según el interés que te hayan puesto, te los van a pagar en tu cuenta corriente. 00:17:21
pero cuando es interés compuesto 00:17:28
cuando estoy en estas cuentas de ahorro 00:17:31
los intereses que me genera desde el día 1 de enero 00:17:33
de 2024 al día 1 de enero de 2025 00:17:36
si son 20 euros me los suman a los 1000 euros 00:17:40
que yo tenía metidos en la cuenta 00:17:43
entonces cuando llega el día 1 de enero de 2025 00:17:44
yo no tengo 1000 euros en la cuenta, tengo 1020 00:17:48
¿vale? y si yo no saco el dinero 00:17:51
ni añado más, pues lo que va pasando todos los años es eso 00:17:54
que los intereses que se generan se van sumando a ese capital que yo tenía metido en esa cuenta de ahorro, ¿vale? 00:17:57
Mientras que en las otras cuentas hemos dicho que como me pagan los intereses aparte, pues yo me los gastaré en mi cuenta corriente 00:18:05
y si no meto dinero o no saco de esa cuenta de plazo fijo, pues siempre habrá 1.000 euros. 00:18:12
Pase un año o pasen 50, solo tendré los 1.000 euros que metí al principio, ¿vale? 00:18:21
En la otra, ¿no? En la otra se van acumulando los intereses y cada vez tendré un poquito más, un poquito más, un poquito más. ¿De acuerdo? Esa es la diferencia entre cuenta de ahorro y cuenta a plazo fijo, que se la suele llamar aquí. 00:18:27
Bueno, pues esas cuentas de ahorro, que son las que nosotros vamos a ver, funcionan de la siguiente manera. 00:18:43
Si yo al invertir un capital durante un periodo de tiempo, que le vamos a llamar T, a un rédito, que le vamos a llamar R, no retiro los intereses de esa cuenta, 00:18:50
pues al finalizar el periodo de mi inversión, no solo tendré el capital que metí, sino que tendré además los intereses que se han generado. 00:19:04
Entonces, cuando ocurre esto, decimos que estamos aplicando un interés compuesto. 00:19:14
Entonces, para que sepamos qué es cada cosa, vamos a llamar capital final, le vamos a nombrar con una C mayúscula y una F pequeñita. 00:19:19
que ese capital final será el que yo obtenga 00:19:28
cuando meto un capital inicial 00:19:33
a un rédito R durante una serie de años T 00:19:35
con ese interés compuesto 00:19:40
entonces la fórmula que me va a quedar 00:19:42
para hacer las cuentas de ese dinero que voy a tener al final 00:19:44
va a ser esta, que el capital final va a ser 00:19:48
el capital inicial que yo metiese 00:19:51
multiplicado, y voy a poner entre paréntesis 00:19:54
por 1 más el rédito que me dije es el banco que me iba a dar, pero puesto dividido entre 100 para cambiar de tanto por ciento que me decía el banco a fracción, 00:19:57
que es la forma de pasar de una nomenclatura a otra, y todo elevado al número de años que yo haya tenido metido el dinero en esa cuenta. 00:20:09
esto se podría hacer con otros periodos de capitalización 00:20:18
que se llaman, en vez de tenerlo en años 00:20:24
lo tengo en meses o en días o en semanas 00:20:27
lo único que tengo que hacer es cambiarla de esta 00:20:29
por los meses, días o semanas que tenga el dinero nutido en el banco 00:20:32
y la R cambiarla en vez de por el 00:20:35
ese rédito anual, por el rédito mensual 00:20:38
semestral, semanal, diario 00:20:42
¿con qué banco trabajas? 00:20:45
Yolanda 00:20:48
con la Caixa 00:20:49
con la Caixa, vaya 00:20:51
los que no me gustan a mí 00:20:53
son un poco chistos los de la Caixa 00:20:56
entonces la Caixa no sé yo 00:20:57
cómo se llaman las cuentas 00:21:02
a ver cómo la llaman en la Caixa 00:21:04
la cuenta de esta que te digo de ahorro 00:21:07
no me acuerdo, no hay que la llamar cuenta naranja 00:21:10
no hay que la llamar cuenta azul 00:21:14
Y en la Caixa es que no sé si es ahorro más o algo así, la llamaban antes. ¿Te suena? Una vez que te han mandado, no han dado publicidad, es que no me acuerdo del nombre que tiene ahora. Con la Caixa yo no trabajo. 00:21:16
Bueno, lo vamos a ver en ejemplos qué es lo que pasa, ¿vale? Vamos a ver este ejemplo que me dicen aquí arriba pasito a pasito. Dicen, si yo meto en la Caixa un capital inicial, o sea, vamos a ver cómo funciona el interés compuesto. 00:21:30
Si yo en la caixa meto un capital inicial de 2.000 euros, ¿vale? 00:21:51
Y me dicen que me dan un rédito de un 2% anual, ¿cuánto dinero, qué capital final tendré al pasar 3 años? 00:22:05
¿vale? pues aplicamos nuestra 00:22:27
formulita que hemos dicho que era 00:22:32
que el capital final que voy a tener va a ser 00:22:35
el capital inicial que yo metí 00:22:40
multiplicado por 1 más 00:22:43
ese rédito pero puesto en forma de fracción que será 00:22:47
ponerlo ese 2% voy a poner como 2 partido 00:22:51
de 100 y elevado al número de años. T es el número de años en este caso. Siempre 00:22:56
va a ser así la cuenta. Entonces yo digo, mi capital final será los 2.000 euros que 00:23:09
yo metí en la cuenta multiplicados por 1 más el retiro del 2%, que vamos a escribir 00:23:16
como fracción, como 2 partido de 100 y los años 3, que es lo que yo voy a tener metido 00:23:26
el dinero en esa cuenta. ¿De acuerdo, Yolanda? Sí. Entonces, tendré mis 2.000 euros por 00:23:33
2 entre 100 es 0,02. Por 1,02... Venga, lo vamos a poner en dos pasos para que se lo 00:23:42
voy a hacer mejor la cuenta. Mejor hacer un paso de más, más 0,02 y elevado a 3. Pues 00:23:51
digo, mis 2.000 euros por 1,02 y este 1,02 lo tengo que elevar al cubo, que era el número 00:24:03
de años que yo iba a tener el dinero en mi cuenta, ¿vale? Entonces tendré mis 2.000 00:24:13
euros iniciales multiplicados por, ¿cuánto es 1,02 al cubo? Pues vamos enseguida a ver 00:24:22
la calculadora, nos la vamos a tener aquí a manita 00:24:29
¿cuál es la que entra ahí? 00:24:33
digo 1,02 00:24:37
y fíjate, la forma de hacer una potencia en esta 00:24:40
calculadora, no lo tiene aquí 00:24:45
vaya hombre, me hace raíces 00:24:48
cúbicas y no me hace potencias 00:24:57
Entonces me voy a tener que ir a la calculadora científica 00:25:00
Vale, pues la forma de hacer potencias en la calculadora científica 00:25:04
Es este botoncito de X elevado ahí, ¿vale? 00:25:10
Sí 00:25:14
¿Le ves? 00:25:14
Sí 00:25:15
Voy a poner 1,02 elevado a 3 00:25:16
Y le doy al igual 00:25:24
Y me dice que es 1,061208 00:25:25
Sin borrar este número para que no me redondee ni me haga cosas raras, digo, pues ese valor que me ha salido, ese 1,06, 1,0808, lo voy a multiplicar por el 2.000. 00:25:29
multiplicado por los 2000 euros que yo metí 00:25:51
¿cuánto me va a dar? 00:25:56
pues, eh, a ver que se me ha ido 00:25:59
la cuenta, perdón 00:26:03
en vez de multiplicar he puesto la suma 00:26:06
1,02 elevado a 3 00:26:10
igual, y ahora eso por 00:26:15
los 2.000 euros que yo metí, igual, me queda 2.122,42, porque aquí sí que redondearíamos esas milésimas a céntimos, ¿vale? Pues me queda que mi capital final es 2.122,42, ¿vale? 00:26:19
ese es el dinero que yo voy a tener al final 00:26:44
¿cuánto me han pagado de intereses 00:26:46
en esos tres años? 00:26:49
por lo que yo he ganado de intereses 00:26:51
van a ser 00:26:53
la diferencia entre los dos mil euros que metí yo 00:26:54
y lo que he sacado ahora 00:26:57
o sea que va a ser en este caso 00:26:58
esos ciento veintidós con cuarenta y dos euros 00:27:00
he ganado 00:27:03
con los intereses 00:27:06
ciento veintidós 00:27:09
con cuarenta y dos euros 00:27:16
¿Vale? ¿Nos ha merecido la pena tener el dinero tres años ahí en el banco bloqueado? 00:27:18
¿Dos mil euros? ¿O lo habíamos algo más partido yéndonos al bingo? 00:27:24
¿Qué te parece a ti? 00:27:31
Bueno, bien. 00:27:33
Bueno, menos de una piedra. Nos están dando 40 euros todos los años por tener el dinero ahí, por estar trabajando con nuestro dinero. 00:27:36
La pena de esto es que a nosotros nos dan ese 2% y si tú les pides un préstimo te cobran un 10 o un 12, o sea que se ganan cuatro veces más. A ti te pagan 122 euros y a la persona que le prestan ese dinero le están cobrando pues 680 euros o 700, con lo cual se están llevando la diferencia. 00:27:43
Pero bueno, así es el negocio. Bueno, entonces, ¿has visto cómo sería este interés compuesto? Es una progresión geométrica, es una mezcla entre progresión aritmética y geométrica. Aritmética, entre comillas, porque tengo que sumar ese rédito a mi capital inicial y geométrica porque yo hago esa operación todos los años. 00:28:06
al dinero que me queda en el primer año 00:28:30
le vuelvo a aplicar otra vez la formulita 00:28:32
para ver qué interés se genera el segundo año 00:28:35
al dinero que me queda el segundo año 00:28:36
le vuelvo a aplicar la formulita para ver los intereses que me queda 00:28:38
el tercer año, entonces 00:28:40
cuanto más años pasen 00:28:42
más intereses se van generando 00:28:44
de diferencia de un año a otro 00:28:46
el primer año solo me va a 00:28:48
generar en este caso 00:28:51
20 euros, pero el segundo 00:28:51
año ya me genera 30 y 00:28:55
tanto, cada vez un poquito más 00:28:57
¿Vale? Lo digo 20 euros, 40 euros, perdón, el segundo ya me genera 41, el tercero me genera 43, hasta que tengo los 122 que tengo ahí, ¿vale? Porque cada año tengo un poco más de dinero metido en la cuenta esa de ahorro, porque tengo el dinero que yo metí más los intereses que se han generado, ¿vale? ¿De acuerdo? 00:28:58
Sí. 00:29:24
¿Sí? ¿Más o menos entendido entonces el interés compuesto? 00:29:24
Más o menos entendido. 00:29:29
Vale, entonces es que te quedes con la formulita esta, ¿vale? 00:29:31
No le doy más vuelta de decirte cómo va saliendo año a año la fórmula. 00:29:34
Como no es muy difícil esta fórmula, pues nos la aprendemos de memoria. 00:29:40
Es 1 más el rédito, pero puesto en forma de fracción. 00:29:44
O sea, que si te han dicho un 2, pues pone 2 entre 100. 00:29:48
Si te dicen un 5, pone 5 entre 100. 00:29:50
Y T, el número de años. 00:29:53
Así que ya está. 00:29:55
O el número de meses, o el número de días, o el número de semanas, según te estén diciendo que se van a aplicar los periodos de capitalización, ¿vale? 00:29:56
Que eso te lo tienen que decir, no tienes que hacer nada al respecto, eso siempre te lo tiene que dar el problema, ¿vale? 00:30:06
Pues ya estaría toda la teoría de esta parte, ¿de acuerdo? 00:30:14
Entonces, nos vamos a ir a hacer algún ejercicio de esta última parte. 00:30:19
¿Te ha dado tiempo a mirarte alguno de los que había propuestos de la progresión aritmética, geométrica y sus sumas de n términos? 00:30:23
No, no lo he mirado. 00:30:34
¿No has mirado? 00:30:37
No. 00:30:39
Ahora es menos 20. 00:30:39
Bueno, pues vamos a ver si nos da tiempo a hacer uno de cada, ¿vale? 00:30:41
Y me dice, por ejemplo, el 6, vamos a ir haciendo uno de cada tipo para ver que al final estamos más o menos haciendo las mismas cuentas todo el rato. Me dice el ejercicio 6, que calcule el término general de las siguientes progresiones aritméticas. En todas se va a hacer el mismo proceso. Pues vamos a hacer la primera mismamente, ¿vale? 00:30:44
¿De acuerdo? Que me dice que es 4, 7, 10, 13, 16. Pues vamos a por ella. Entonces, tengo 4, 7, 10, 13, 16 y eso continúa. Este es el ejercicio 6, el apartado A. 00:31:05
Y me manda a calcular el término general. Bueno, pues yo digo, bueno, con esos términos que me dan, voy a decir que este es el A1, el primer término, y el 16, ¿qué término sería? 00:31:31
Si el 4 es el A1, ¿el 16 cuál es? 00:31:47
El 5. 00:31:51
El A5, ¿vale? Pues como me dice que calcule el término general, ¿cuál era la fórmula del término general? Bueno, te lo vas a aprender ahora de decírmelas. 00:31:51
¿A n era igual a quién? 00:32:03
A n igual al término 1, a 1. 00:32:05
Al término 1, como es aritmética, más qué? 00:32:10
Más, menos 15 sería, ¿no? 00:32:16
A n menos 1 a veces, la diferencia, ¿vale? 00:32:21
Entonces, voy a decir que mía 5, entonces, que es el que estoy viendo aquí, 00:32:26
Y saldría del 1 más 5 menos 1 a veces esa diferencia. 00:32:31
El a5 vale 16, el a1 vale 4. 00:32:40
5 menos 1 es 4 por la diferencia que es lo único que no sé. 00:32:45
Pues ya está, la misma historia de siempre, resuelvo la ecuación del primer grado. 00:32:51
16 menos 4 me tiene que dar 4 veces esa diferencia. 00:32:55
pues 12 es 4 veces d 00:33:00
pues la de que estoy buscando entonces será 00:33:03
12 dividido entre 4 00:33:06
3, ¿no? 00:33:09
luego 00:33:13
si ya sé quién, cuánto vale 00:33:14
la diferencia 00:33:18
podré decir que mi término general para cualquier término 00:33:20
de esa sucesión va a ser el término 1 00:33:24
que era 4 más 00:33:27
n-1 a veces, porque ahora no sé hasta qué término quiere llegar 00:33:29
pero que sé que en cada una de esas n-1 a veces lo que tengo que sumar 00:33:33
es un 3, pues este es mi término general 00:33:38
para esta sucesión, ¿vale? 00:33:41
porque me está diciendo que cuando yo quiera llegar 00:33:49
al término n, sea el que sea, el 10, el 15, el 20, el 30 00:33:51
lo que tengo que hacer es al 4, que era donde empezaba mi sucesión 00:33:55
sumarle una vez menos que la posición en la que quiero llevar 00:33:59
el 3, que tengo que ir sumando 3 00:34:03
todo el rato, fíjate, 4 más 3 es 7, más 3 es 10, más 3 es 13 00:34:07
más 3 es 16, 19, todo el rato 00:34:11
estoy haciendo esa misma cuenta, ¿de acuerdo? 00:34:16
o sea que hemos utilizado en el fondo la misma lógica que lo de la interpolación 00:34:19
con la interpolación la misma que aquí ahora, ¿vale? 00:34:23
Sí. 00:34:28
Bueno, vamos a por uno de progresión geométrica. 00:34:29
Pues el 7 mismo. 00:34:32
Me dice que calcule el término general de esta progresión geométrica. 00:34:34
La misma historia, pero ahora con la fórmula de la progresión geométrica. 00:34:38
Entonces tengo el ejercicio 7, también el apartado A, que me decía que era 4, 8, 16, 32, 64, pa, pa, pa, pa, pa. 00:34:42
Pues digo el mismo rollo, digo, ¿cuál es el término general? Pues, primer término multiplicado por r menos una veces, r elevado a, perdón, a n menos una veces, ¿vale? 00:34:56
¿Vale? Pues mi término a su n, vamos a hacer como antes, decir que cojo el 4 como inicio y el 64 como final, y digo, el 64 ¿qué posición ocupa? ¿Qué a su n sería? 00:35:12
pues 5 igual que antes 00:35:33
el a1 es el 4 00:35:35
que teníamos ya puesto ahí 00:35:38
¿no? 00:35:40
vamos a ponerlo primero como fórmula y luego hacemos las juntas 00:35:41
pues sería elevado 00:35:44
a 5 menos 1 00:35:45
pues digo el 64 00:35:47
sale de multiplicar 00:35:50
4 por 00:35:52
4 veces 00:35:55
el exponente me dice cuántas veces estoy multiplicando la r 00:35:56
entonces si hago la cuenta al revés para despejar la R 00:36:00
tengo que 64 entre 4 me tiene que dar R a la cuarta 00:36:04
64 entre 4 es 16 00:36:09
pues si R a la cuarta es 16 00:36:13
¿cuánto va a valer la R? 00:36:17
pues hemos dicho que hago la raíz de índice igual que el exponente 00:36:20
o sea, si quería hacer R a la cuarta tengo que deducir índice 4 00:36:25
¿Vale? ¿Qué número elevado, perdón, qué número multiplicado por sí mismo cuatro veces me va a dar 16? 00:36:29
Estoy haciendo la cuenta al revés. Para pasar de potencia a raíz, tengo que pensar en qué número multiplicado estas cuatro veces me va a dar 16. 00:36:40
Piensa a ver qué número puede ser. Más o menos van a ir saliendo siempre los mismos números en todos los ejercicios. 00:36:50
A ver, ¿cuál se te ocurre que puedes multiplicar 4 veces por sí mismo para que te dé 16? 00:36:57
¿Y el 2? 00:37:04
El 2, sí señora. 00:37:05
Pues entonces la R que yo quería es 2. 00:37:08
Pues si la R que yo quiero es el 2, mi término general va a ser 4, que era donde empezaba, multiplicado por 2, n menos 1 a veces. 00:37:11
Y así podré calcular cualquier término de mi progresión geométrica. 00:37:23
¿Vale? 00:37:31
Muy bien. 00:37:33
¿Sí? 00:37:34
O sea que exactamente el mismo razonamiento que en la aritmética, pero con las fórmulas de la geométrica, con la fórmula 3 que tú decías. 00:37:34
Vamos a ver ahora lo mismo para las sumas de las aritméticas y las geométricas. 00:37:43
A ver, me dice dónde está uno de sumas. 00:37:48
Bueno, aquí tengo uno de sumas, el 15, aunque es de geométrica, pero bueno, da igual, para 00:37:53
que no se nos vaya el tiempo. 15, dice, calcular la suma de los, ¿cuántos me ha dicho?, 8 00:38:21
términos de la progresión 00:38:36
1, 2, 4, 8, 16 00:38:44
¿Qué tipo de progresión te parece que es esta? 00:38:54
¿Dismétrica o geométrica? ¿Qué te parece que está haciendo? 00:38:57
¿Sumando o multiplicando para pasar unos términos a otros? 00:39:00
Para pasar de 1 a 2, ¿qué crees que ha hecho? 00:39:06
Está multiplicando. 00:39:09
Para pasar de 1 a 4, por 2. 00:39:12
4 de 4 a 8 por 2 00:39:14
entonces veo que es progresión geométrica 00:39:16
¿no? 00:39:19
sí 00:39:19
progresión geométrica 00:39:20
¿y cómo era 00:39:24
la fórmula de la suma 00:39:27
en la progresión geométrica? 00:39:29
esa que te dije que te aprendieses 00:39:31
la fórmula cortita 00:39:33
en vez de la larga 00:39:35
que era el primer término 00:39:38
multiplicado por 00:39:41
R elevado a n 00:39:44
Sí, menos 1 00:39:45
Y ahora todo dividido entre R 00:39:47
Menos 1 00:39:50
¿Quién es mi N? 00:39:51
¿Cuántos términos quiero sumar yo ahora? 00:39:55
¿Quién es mi término 1? 00:39:58
¿Quién es mi ASU1? 00:40:03
¿Quién está? 00:40:05
¿Cuánto vale la R? 00:40:07
¿Por cuánto estoy multiplicando todo el rato? 00:40:12
Por 2 00:40:16
Por 2, ¿a qué posición quiero llegar? A la 8, ¿no? Porque quiero sumar 8 posiciones y abajo, pues, 2 menos 1. O sea, que solo es sustituir en la fórmula los datos correspondientes a la progresión en la que estoy, ¿vale? 00:40:16
Y ahora hacer las cuentas, digo, pues uno lo tengo que multiplicar por dos elevado a ocho, ¿cuánto va a ser? Pues dos, por dos, cuatro, por dos, ocho, por dos, dieciséis, por dos, treinta y dos, por dos, sesenta y cuatro, por dos, ciento veintiocho, y por otro dos más, doscientos cincuenta y seis. 00:40:34
Entonces sería el 2 a la 8 menos 1 y dividido entre 2 menos 1 que va a ser 1, ¿no? Entonces este 1 multiplicado por lo que sea se queda como está, va a ser lo que sea, 256 menos 1, 255. 00:40:59
pues 255 va a ser la suma 00:41:16
de los 8 primeros términos de esta progresión 00:41:20
¿vale? 00:41:23
solo he cogido la formulita y he sustituido 00:41:27
cada valor en la fórmula 00:41:30
la a1 por el primer término 00:41:32
la r por la diferencia que habíamos visto que se estaba multiplicando 00:41:35
la n por el número de términos que me dicen que sume 00:41:41
y ya está, ya hago las cuentas 00:41:44
las hago con la calculadora tranquilamente 00:41:46
¿vale? 00:41:49
yo lo hubiese hecho con la calculadora esta 00:41:51
con la calculadora tendría que haber dicho 00:41:53
S2 elevado 00:41:55
a 8 00:41:58
256 00:42:00
menos 00:42:02
el 1 00:42:03
255 00:42:05
eso multiplicado por el primer término 00:42:07
pero en este caso el primer término era 00:42:10
el 1, pues se queda igual 00:42:12
y luego dividido 00:42:14
entre lo que me saliese de la razón menos 1 00:42:15
que en este caso era 1 00:42:18
pues 255, o sea, iría haciendo en ese orden 00:42:19
las operaciones 00:42:22
dentro del paréntesis 00:42:23
la potencia, luego la resta 00:42:25
la multiplicación y lo último la división 00:42:27
vale, una pregunta 00:42:29
dice 8 términos 00:42:32
y tiene aquí 00:42:34
5, 1, 2, 4, 8 00:42:36
yo no hace falta que calcule los demás 00:42:38
si lo pongamos 00:42:40
el siguiente sería el 32 00:42:41
el 74 00:42:43
el 128 y el 256 00:42:45
pero 00:42:48
imagínate que tiene que multiplicar 00:42:49
que sumen los mil primeros términos 00:42:51
no te va a poner a escribirlos todos 00:42:53
si para hallar la suma no te hace falta saber 00:42:54
quiénes son 00:42:57
solo te hace falta saber el primero, la razón 00:42:58
y el número de términos 00:43:01
acuérdate que por eso yo no quería que usases 00:43:03
la otra fórmula, porque en la otra fórmula 00:43:05
sí hubiera necesitado saber quién era 00:43:07
el último término 00:43:09
y entonces tardo más en encontrarle 00:43:11
mientras que esta con saber de dónde sale la 00:43:12
progresión, que eso te lo tienen que decir siempre, ya puedes hacer las cuentas 00:43:16
¿vale? ¿de acuerdo? 00:43:21
Muy bien. Bueno, pues vamos para rematar a hacer 00:43:25
a ver si vemos uno de suma de progresión aritmética 00:43:29
y luego esto te lo repasas este 00:43:32
en estas vacaciones, miras el resto de ejercicios 00:43:35
y me preguntas las dudas que te hayan salido, ¿vale? 00:43:40
A ver, en mi progresión aritmética, ¿dónde puede haber? 00:43:44
Bueno, nos la inventamos, porque ahora no veo... 00:43:49
Por ejemplo, dice, sumar los 20 primeros términos de la progresión, 00:43:52
3, 7, 11, 15, 19, ¿vale? 00:44:07
Y no hace falta saber todos. Entonces, ¿qué tipo de progresión es esta? 00:44:20
Pues tú dices, pues para ir de 3 a 7 no hay ninguna multiplicación. 00:44:25
Lo que estoy haciendo es sumar 4. 00:44:29
De 7 a 11 sumo 4. De 11 a 15 sumo 4. 00:44:31
Y dices, hombre, pues entonces es una progresión aritmética, ¿no? 00:44:36
Sí. 00:44:40
Lo estás viendo a simple vista. 00:44:41
Pues me voy a la fórmula de la suma de la progresión aritmética. 00:44:48
que me decía que cogiese el primer término y el último, ¿no? 00:44:51
Sí. 00:44:58
Lo dividiese entre 2 y multiplicase por n. 00:44:58
Entonces digo, anda, el primer término le sé, pero el último no. 00:45:02
Entonces, me hace falta saber en este caso cuánto sería el a20. 00:45:07
Pero yo tengo una formulita del término general de una progresión aritmética 00:45:12
que me dice que la 20 sale de la 1, más 20 menos 1 veces, la diferencia, que en este caso es 4, ¿no? 00:45:16
Sí. 00:45:27
¿Sí o no? 00:45:28
Sí, sí. 00:45:29
Ese A20 sería 3 más 19 veces 4, ¿sí? 00:45:30
Sí. 00:45:36
¿De acuerdo? 00:45:37
Pues me voy a poner mi calculadora, porque aquí vamos a trabajar aquí lo tonto. 00:45:38
Me digo, calculadora, vamos, hay calendario puesto en vez de calculadora, perdón, calculadora, está lento el ordenador hoy, y le digo, quiero que me hagas tres más diecinueve por cuatro, 00:45:42
Igual, pues me dice que el término 20 es el 79 00:46:11
¿Vale? Pues ya está 00:46:16
Me voy a mi fórmula y digo 00:46:18
Primer término más el último 00:46:20
Entre 2 y por los 20 términos que quiero sumar 00:46:24
¿No? Solo estoy sustituyendo la fórmula cada uno 00:46:28
Pues 79 más 3, ¿cuánto es? 00:46:31
89 más 3, 82 00:46:37
y 82 entre 2 00:46:41
¿cuánto es? 00:46:44
y 41 por 20 ¿cuánto es? 00:46:47
820 00:46:52
pues 820 es la suma 00:46:53
de mis 20 primeros términos 00:46:55
en esta progresión aritmética 00:46:58
¿vale? 00:47:00
solo es ir sustituyendo 00:47:02
como ver las formulitas 00:47:04
pero tienes que saber bien que si no 00:47:06
pues luego no se hacen las cuentas 00:47:07
¿De acuerdo? 00:47:10
Muy bien. 00:47:12
Vale, bueno, pues eso. Échate un ojillo al resto de ejercicios que os he propuesto, porque hay algunos que me enreda un poco más el enunciado para hacer las cosas, ¿vale? 00:47:12
A ver qué dudas te pueden surgir y el próximo día, pues antes de empezar tema, si tienes dudas, me las preguntas, ¿vale? 00:47:24
Que ya los que son de aplicación directa de las fórmulas estas, los vas a saber hacer seguro. 00:47:32
los que sean un poco más liosos, pues a lo mejor 00:47:38
no ves bien 00:47:40
qué te está pidiendo, pero eso es lo que quiero 00:47:42
que veas tú, para que luego me puedas preguntar 00:47:44
¿vale? Muy bien 00:47:46
Bueno, pues nada, que pases unas 00:47:48
felices vacaciones 00:47:50
y ya no nos vemos hasta el día 00:47:52
23 en matemáticas 00:47:54
Madre mía, bueno 00:47:56
Muy bien 00:47:57
11 días o 12, bueno, 15 días vamos a estar 00:47:59
sin oírnos, no sin vernos, sin oírnos 00:48:02
Pues venga 00:48:04
que disfrute las vacaciones 00:48:06
y nos vemos a la vuelta 00:48:08
¿vale? 00:48:10
Esta clase ¿cuándo la pone? 00:48:12
Esta clase pues en cuanto tenga 00:48:15
un minuto para poderla colgar 00:48:16
voy a dejarla ahora grabando 00:48:18
a ver si luego en un hueco la puedo colgar 00:48:20
como mucho mañana por la mañana ¿vale? 00:48:22
Vale, muy bien 00:48:24
Venga, hasta luego 00:48:26
Materias:
Matemáticas
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      • Nivel I
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Autor/es:
Angel Luis Sanchez Sanchez
Subido por:
Angel Luis S.
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Fecha:
8 de abril de 2025 - 17:14
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
48′ 29″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
628.31 MBytes

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