Divisibilidad. Múltiplos y divisores de un número.

Estudiemos ahora la divisibilidad, múltiplos y divisores de un número. 00:00:06

Un número A es divisible por otro B cuando la división es exacta, es decir, el resto de la división es cero. 00:00:11

En ese caso, cuando la división es exacta, tenemos que el número mayor se dice que es múltiplo del número menor, 00:00:20

y el número menor es divisor del número mayor. 00:00:29

por ejemplo 10 es divisible por 2 porque si realizamos la división observamos que 00:00:32

la división es exacta tenemos que el resto 00:00:40

este se dice entonces que 10 es el número 00:00:45

mayor es múltiplo de 2 porque 10 se puede obtener como el 00:00:51

producto de 2 por 5, es decir, el divisor por el cociente. Y por otro, 2 es divisor 00:00:56

de 10, porque la división de 10 entre 2 es exacta. 00:01:06

Los múltiplos de un número. Para calcular los múltiplos de un número, multiplicamos 00:01:12

ese número por los diferentes números naturales empezando por el 1. El conjunto de los múltiplos 00:01:17

de un número es infinito. Se suele designar por m, y entre paréntesis el número del 00:01:25

cual estamos calculando los múltiplos, o también escribiendo el número con un punto 00:01:32

encima. Por ejemplo, vamos a calcular los seis primeros múltiplos del número 7. Recordamos 00:01:38

que el conjunto de los números naturales, empezando con el 1, lo tenemos aquí a la 00:01:45

derecha 1, 2, 3, 4, 5, 6. Entonces utilizamos la anotación de los múltiplos del número 00:01:49

7, lo cual se escribe de esta forma o bien escribiendo con un punto encima del 7. Esto 00:01:58

se le calculamos los múltiplos de 7. Como el resultado son elementos de un conjunto 00:02:09

vamos a escribir los entrellaves. ¿Cómo se obtienen los múltiplos de 7? Pues multiplicando 00:02:14

7 por 1 nos queda 7. 7 por 2 nos queda 14. Sería el segundo múltiplo. 7 por 3, que 00:02:20

el siguiente número natural nos queda 21. 7 por 4, 28. 7 por 5, 35. Y 7 por 6, 42. En 00:02:37

este caso tendríamos los 6 primeros múltiplos de 7. En este segundo ejemplo vamos a calcular 00:02:55

los múltiplos de 4 comprendidos entre 30 y 50. Ahora lo que tenemos que hacer es saber 00:03:06

por qué número tenemos que multiplicar 4 dentro de los números naturales para que 00:03:14

nos salga como resultado un número mayor de 30. Para ello lo que voy a hacer es dividir 00:03:18

30 entre 4. Al hacer la división hemos obtenido de cociente 7 y de resto 2. Eso significa 00:03:26

que tenemos que multiplicar 4 por el siguiente natural de 7, es decir, por 8. 00:03:33

Ese será el primer múltiplo mayor de 30. 00:03:39

Así que multiplicamos 4 por 8 y nos queda 32. 00:03:44

Multiplicando 4 por 9 tendremos 36. 00:03:49

4 por 10, 40. 00:03:53

Podemos ir multiplicando o bien ir sumando de 4 en 4. 00:03:56

Así obtenemos 44 y 48. 00:04:00

Estos serían los múltiplos de 4 comprendidos entre los números pedidos de 30 y 50. 00:04:05

A continuación vamos a ver cómo calcular los divisores de un número. 00:04:13

Este conjunto es un conjunto finito y está formado primeramente por los divisores universales, 00:04:18

que son el número 1 y el propio número. 00:04:25

El conjunto de divisores lo vamos a denotar por D mayúscula y entre paréntesis el número del cual nos piden los divisores. 00:04:28

Empezaremos realizando divisiones por 2, 3, 4, 5 y ver si el resto de estas divisiones da 0. 00:04:36

Como ejemplo, vamos a calcular todos los divisores del número 10. 00:04:46

Para ello escribimos D mayúscula entre paréntesis 10 y abrimos unas llaves donde vamos a escribir los elementos del conjunto. 00:04:50

Comenzamos escribiendo los divisores universales que son el 1 y el propio número, es decir, el 10. 00:05:00

A continuación realizamos la división de 10 entre 2 00:05:10

Observando que nos quedan de cociente 5 y resto 0 00:05:15

Así que apuntamos el divisor 2 y el cociente 5 como divisores del número 10 00:05:20

Al realizar las divisiones de 10 entre 3, 4, 6, 7, 8 y 9 00:05:25

Observamos que el resto no es 0 00:05:32

Por lo tanto los únicos divisores de 10 son el 1, el 2, el 5 y el 10 00:05:34

Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten saber si un número es divisible por otro sin tener que hacer las divisiones. 00:05:39

Son muy útiles y tienes que aprenderlas. 00:05:56

Son las siguientes. Un número es divisible por dos cuando termina en cero o en par. 00:05:59

Por ejemplo, 26, 3266, 12. Todos estos ejemplos son números divisibles por dos. 00:06:04

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 00:06:13

Es decir, por ejemplo, 126 es múltiplo de 3 porque al sumar las cifras del 1 más el 2 más el 6 nos queda 9 00:06:18

Que es un múltiplo de 3 00:06:26

Fijaros que 3 por 3 es 9 00:06:29

El criterio del 5 es más fácil porque un número es divisible por 5 cuando termina en 0 en 5 00:06:33

Ejemplos, el 10, el 555, todo número que cabe un 0 en 5 es divisible por 5. 00:06:39

Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 00:06:47

Por ejemplo, 2538 es múltiplo de 9. 00:06:51

Al sumar sus cifras, 2 más 5 más 3 más 8 nos queda 18, 00:06:56

que es un múltiplo de 9 porque 9 por 2 nos queda 18. 00:07:01

Y el criterio de divisibilidad entre 10 es muy fácil porque los números son divisibles entre 10 cuando terminan en 0. 00:07:05

Veamos ahora el siguiente ejemplo. 00:07:16

Vamos a utilizar los criterios de divisibilidad para saber si 22.500 es divisible por 2, por 3, por 5, por 9 y por 10. 00:07:19

Hemos construido la siguiente tabla y vamos a ir aplicando los criterios estudiados. 00:07:27

¿Es 22.500 divisible por 2? Pues observamos que acaba en 0, o cifra par, por lo tanto sí que es divisible por 2. 00:07:33

¿Es divisible por 3? 00:07:52

Para saber si es divisible por 3 tenemos que sumar todas sus cifras 00:07:54

2 más 2 más 5 más 0 más 0 00:07:59

En este caso no habría falta escribirlas 00:08:03

Esto nos queda 4 más 5, 9 00:08:05

Y 9 es un múltiplo de 3 00:08:09

Porque 9 se obtiene como el producto de 3 por 3 00:08:13

Por lo tanto sí que es divisible por 3 00:08:17

¿Es divisible por 5? Pues también es divisible por 5 porque el número acaba en 0 o en 5, en este caso en 0, así que sí que es divisible por 5. 00:08:20

Para ver si es divisible por 9 tenemos que sumar las cifras y ver si es múltiplo de 9. Fijaros que ya tenemos hecha la suma del apartado anterior y nos ha quedado 9, y 9 sí que es un múltiplo de 9 porque se obtiene multiplicando 9 por 1. 00:08:35

y también vamos a ver que es divisible por 10 porque el número acaba en 0 00:08:50