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División por Ruffini - Contenido educativo
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División por el método de Ruffini. Comprobación de la división.
En este vídeo vamos a estudiar la división de polinomios, la aplicación de la regla
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de Ruffini. Es importante recalcar que esta regla de Ruffini sólo se puede aplicar cuando
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el divisor es un binomio de grado 1, de la forma x-a, donde a es un número real. Vamos
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a ver cómo es el proceso dividiendo el polinomio x³-2x más 1 entre el binomio x-1. Voy a llamar
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con la letra de mayúscula al polinomio dividendo, en este caso x³-2x más 1, y el polinomio
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divisor le voy a llamar con la letra de minúscula, en este caso sería x-1. Empezamos ordenando
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y completando los polinomios dividendo y divisor. Es decir, en este caso, este polinomio de
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grado 3, vemos que le falta el término de grado 2, por lo tanto nos quedaría x³-0x²-2x
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más 1. Y el polinomio divisor, ya está ordenado y completo, es un polinomio de grado 1, tiene
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el término de grado 1 y el término de grado 0.
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Bien, ahora para empezar a realizar el método de Ruffini lo que hacemos es trazar dos rectas
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secantes de esta forma, y aquí arriba vamos a ir colocando los coeficientes del polinomio
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dividendo. ¿A qué me refiero con los coeficientes? Son los números que multiplican a las letras,
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es decir, a x³, a x², a x, y luego tendríamos el término independiente. Esos números son
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el 1, recordad que cuando no hay nada multiplicando a una letra se entiende que es el 1, luego
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tendríamos el 0, el menos 2, y luego tendríamos el 1. Fijaros que hay que poner el signo correcto,
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y voy a poner aquí arriba para recordar que el 1 es el coeficiente de la x³, el 0 es
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el coeficiente de la x², el menos 2 es el coeficiente del término que lleva la x, y
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el 1 es el término independiente de grado 0. Aquí en la esquina vamos a poner el número
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opuesto a lo que viene en el polinomio divisor, es decir, aquí tenemos x-1, ¿lo veis? Hay que
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poner el opuesto en este caso de menos 1, que es 1. Si hubiese sido, por ejemplo, el polinomio divisor
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x-2, ¿vale? En la esquina hubiésemos puesto el opuesto de más 2, que en ese caso sería menos 2.
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Muy bien, entonces aquí abajo, con el proceso que vamos a describir a continuación, aquí abajo,
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vamos a obtener los coeficientes del polinomio cociente, y luego el resto que siempre va a ser
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de grado 0, es decir, va a ser un número que no lleva ninguna letra. Entonces, para hallar los
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coeficientes, el proceso de Ruffini es el siguiente. El primer número lo bajamos tal como viene, es
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decir, en este caso hay un 1, pues aquí ponemos aquí abajo 1, ¿de acuerdo? Ahora lo que hacemos
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es multiplicar este número, lo multiplicamos por el número de la esquina, es decir, 1 por 1, 1, y
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entonces lo colocamos justo debajo del 0. Y ahora lo que realizamos es la suma de 0 más 1, 1.
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Otra vez que tenemos este número, lo volvemos a multiplicar por el número que está en la esquina,
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es decir, 1 por 1, 1. Y otra vez volvemos a sumar menos 2 más 1, menos 2 más 1 nos queda menos 1.
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Otra vez volvemos a multiplicar por el número que está en la esquina, fijaros que menos por
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más es menos, 1 por 1, 1, nos queda menos 1. Y estos dos los sumamos, 1 más menos 1 nos queda 0.
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Este último número que hemos obtenido, que en este caso da 0, es el resto de la división.
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Esto implica que la división ha sido exacta.
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Si no hubiese dado 0, la división sería inexacta o entera. El cociente o el polinomio cociente,
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que era el que buscábamos, está formado por estos coeficientes que hemos obtenido aquí abajo.
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¿Qué pasa? Que ahora para escribir el polinomio tenemos que escribir los coeficientes y las letras
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que los acompañan siempre comienzan con un grado menos que el polinomio dividendo,
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es decir, el polinomio dividendo, fijaros que era de grado 3, pues tenemos que empezar a
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completar el polinomio cociente con un grado menos, es decir, con grado 2. Por lo tanto,
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el resultado sería una x cuadrado más, pongo un más porque el número siguiente que tenemos aquí
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es positivo, sería más x menos 1. Este sería el polinomio cociente.
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Podemos comprobar que la división está bien hecha dado que en toda división se tiene que cumplir
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que el polinomio dividendo es igual al producto del polinomio divisor por el cociente más el
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polinomio resto, en este caso que el resto es cero. Entonces lo que vamos a hacer ahora es comprobar
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que la división está bien hecha multiplicando el polinomio cociente por el polinomio divisor.
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Escribo de nuevo el polinomio cociente que hemos obtenido, que era x al cuadrado más x
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menos 1, y el polinomio divisor que era el binomio x menos 1.
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Para multiplicar los polinomios recordar que tienen que estar ordenados y completos los dos factores.
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Comenzamos por el término de la derecha y multiplicamos primero los signos, después los números y por último las letras.
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Es decir, realizamos menos por menos más uno por uno, uno. Aquí en este caso no hay letra.
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Ahora realizamos menos uno por la x. Esto se realiza con los signos primero, menos por más, menos.
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Uno por uno, uno. Y ninguna letra por la letra x pues sería la letra x.
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Después realizamos menos uno por x al cuadrado, es decir, menos por más, menos.
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Uno por uno, que tiene la x al cuadrado. Recordar que si no hay nada a la izquierda de la x al cuadrado se entiende que hay un uno, por lo tanto, uno por uno, uno.
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Y ninguna letra por x al cuadrado sería x al cuadrado.
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Una vez completada la primera fila, seguimos con la siguiente fila.
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Ahora hay que multiplicar la x por menos uno, es decir, más por menos, menos.
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Uno por uno, uno. Y la letra x por nada pues sería x.
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Después tenemos los signos más por más, más.
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Uno por uno, uno. Y x por x sería x al cuadrado. Recordar que se suman los exponentes y la letra x tiene exponente uno.
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Ahora realizamos el producto de x por x al cuadrado, es decir, más por más, más.
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Uno por uno, uno. Y x por x al cuadrado sumando los exponentes teníamos que dos más uno son tres.
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Ya tenemos las dos filas, entonces ahora lo que vamos a hacer es sumar término a término.
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Es decir, ponemos aquí una raya y vamos sumando término a término.
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Uno más cero, uno. Menos x, menos x, o sea, menos una x, menos una x.
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Recordar los enteros que cuando tienen el mismo signo se suman y se pone el signo común, por eso da menos dos x.
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Menos una x al cuadrado más una x al cuadrado nos da cero x al cuadrado.
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Y una x al cubo, pues tendríamos aquí uno x al cubo.
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Este resultado, fijaros que se puede escribir como x al cubo menos dos x más uno,
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que es exactamente el polinomio dividendo que teníamos al principio.
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Aquí lo tenemos. Luego, hemos comprobado que la división está realizada correctamente,
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dado que el resto era cero, por lo tanto, no tenemos que sumar a este resultado ningún polinomio.
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- Autor/es:
- Miguel Gras Gigosos
- Subido por:
- Miguel G.
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- Todos los derechos reservados
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- Fecha:
- 10 de diciembre de 2022 - 10:38
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CEPAPUB SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES
- Duración:
- 11′ 20″
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- 1.78:1
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