Resolución ejercicio gravitacion - Contenido educativo
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Hola chicos, voy a hacer el ejercicio 29 de la página 40 para que os sirva como ejemplo.
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Antes de nada deciros una aclaración del ejercicio 1 de la hoja de gravitación,
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que se me ha olvidado aclararos hoy en clase, que es que el ejercicio 1b, ¿vale?
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Simplemente deciros que esto que dice de, bueno, la masa, el centro galáctico, ¿vale?
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En este problema, el cuerpo que genera la gravedad, el de la masa M grande, mayúscula,
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es el cuerpo galáctico y el Sol es el de la masa M pequeña que gira alrededor de él, ¿vale?
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Eso que dice de que la masa del centro galáctico está toda concentrada en un agujero negro en su centro, para que sepáis que está en un único punto, ¿vale? Es lo único que quiere decir, ¿vale? Pero no indica ninguna cosa nueva ni nada. Es básicamente que calculéis la masa M grande, ¿vale? Eso es lo que quiere decir el apartado B, por si os ayuda a aclararos.
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Dicho esto, voy a empezar con este ejercicio del libro. En este ejercicio tenemos un sistema común de la figura, creo que era una estrella alrededor de la cual giran dos planetas, pues uno con una órbita circular que lo llama A, ¿vale? Y uno con una órbita elíptica que es, por así decirlo, el cuerpo B, ¿vale?
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Entonces, lo primero, los datos que nos dan, para el caso del A, si hay alguna diferencia con respecto al enunciado, porque aquí me he olvidado el libro, lo tengo ahí en el centro, pero bueno, como tengo aquí la solución, pues más o menos yo creo que os vais a ir enterando porque es parecido.
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Entonces, órbita circular, nos dicen que el radio de la órbita circular es 1 por 10 elevado a 8 kilómetros. Importante, siempre que pongáis datos, pasarlo a unidades del sistema internacional.
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Como vamos a ver, no siempre va a hacer falta expresarlo en esas unidades, ¿vale? Pero bueno, o utilizar el dato de unidad del sistema internacional, pero otras veces sí. Entonces, es importante que tengáis siempre ese dato no solo en las unidades que os den, sino también en la unidad del sistema internacional.
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Vale, sobre la órbita B, que es la elíptica, ¿vale? Que es la elíptica, lo que nos dicen es que el semieje mayor, realmente lo explica un poco mal, porque dice semieje mayor y luego dice la suma de perihelio y afelio, entonces nos quedamos con ese, ¿vale?
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La suma de perihelio y afelio, la suma de los radios del perihelio y del afelio es 2,8 por 10 elevado a 8 kilómetros, que lo paso a, lo voy a pasar a metros, kilómetros, que es igual a 2,8 por 10 elevado a 11 metros, ¿vale?
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Vale, entonces, ah, y aparte nos dicen de la órbita circular, importante, que se me había olvidado, que el periodo, el tiempo que tarda en dar una vuelta el cuerpo a el que está en la órbita circular son dos años, que esto si lo pasamos a unidades del sistema internacional son 6,3 por 10 elevado a 7 segundos, ¿vale?
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Si tenéis dudas con esto ya hablaremos de cómo pasar unidades, pero bueno.
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Entonces, lo primero que nos preguntan, primer apartado es el periodo de la órbita B, ¿vale?
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Entonces, como tenemos dos planetas en este caso, o dos estrellas, creo que sí, dos planetas girando alrededor de la misma estrella,
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por las leyes de Kepler, se tiene que cumplir, igual que pasaba en el sistema solar,
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que el periodo de A al cuadrado entre el radio medio de A al cubo tiene que ser igual al periodo
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de B al cuadrado entre el radio medio de B al cubo. ¿Por qué va a ser constante? ¿Por qué? Porque la
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fuerza que produce en su movimiento, que en este caso es la fuerza gravitatoria, es la misma, es la
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de vida a la masa M, la masa M grande, la que he puesto aquí, ¿vale? Entonces, nada, ahora simplemente ir sustituyendo datos, ¿vale? Entonces, tenemos, bueno, sí que en general os recomiendo que no pongáis los datos,
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a que primero obtengáis la fórmula y luego sustituyáis los datos.
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Vale, entonces como lo que yo voy a querer obtener es esto, pues lo voy a despejar.
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Mejor así, ¿vale? Entonces hago esto, T de A al cuadrado es igual a,
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esto lo voy a pasar multiplicando el periodo, no, al revés, uy, madre mía, perdón.
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perdonad, vale, perdón, que yo lo que quiero calcular es T de B, el periodo de B al cuadrado,
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vale, entonces lo que tengo que hacer es esto, que lo tengo dividiendo, lo paso multiplicando,
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vale, el periodo de A al cuadrado por el radio medio de B, el radio medio de B,
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¿Vale? Que es la órbita elíptica, recuerdo que es A, ¿vale? La suma, recuerdo que es A, como es una órbita elíptica, A al cubo por el radio medio de la órbita A, que en este caso es el radio de la órbita circular, R de A al cubo.
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Ya tenemos todos los datos. ¿Cómo calculo A? Recuerdo que A, lo voy a hacer aquí arriba, es igual a RP más RA entre 2, es decir, es este dato de aquí.
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Lo voy a poner en kilómetros, ahora os digo por qué. 1,4 por 10 elevado a 8 kilómetros, que bueno, que en metros sería la 11, ¿vale?
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1.4 por 10 elevado
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a 8 metros.
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Entonces, realmente
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el periodo no me dice en qué unidades
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lo tengo que tener. Generalmente vosotros,
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bueno, de hecho en el libro la solución viene en años.
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Yo la daría en los dos
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en el evau, por si acaso.
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Daría segundos y luego si lo queréis
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pasar a años, lo paséis a años.
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Pero bueno, aquí como la solución en el libro viene en años,
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yo lo voy a dejar en años.
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Entonces, lo único que tenemos que hacer
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es sustituir.
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Si esto lo quiero que obtenga en años
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Esto lo puedo dejar en años y esto, si los dos están en kilómetros, como es kilómetros al cubo y kilómetros al cubo se van las unidades, lo puedo dejar en kilómetros.
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No tendría por qué pasarlo a metros, ¿vale?
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Pero si tenéis cualquier duda, no sabéis si hay que pasarlo o no, todo en unidades del sistema internacional y se quitan las dudas.
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Entonces, nada, simplemente sustituir los valores.
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Lo voy a hacer aquí, ¿vale?
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A ver, espera un momento.
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Esto sale por defecto.
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Vale.
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Vale, entonces, nada, lo voy a dejar, aunque no lo hagan unidades del sistema internacional, 2 al cuadrado, que son 2 años, por 1,4, ¿lo he puesto bien esto?
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Sí, 1,4 por 10 elevado a 8, vale, 1,4 por 10 elevado a 8, vale, entre 1 por 10 elevado a 8 y ambas cosas al cubo, vale, porque es el radio circular aquí y aquí el radio de la, bueno, no es el radio, sino el semieje mayor, que es la,
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que recordamos que era esto, ¿vale?
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Nada, hacemos el cálculo, lo podéis hacer con calculadora,
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pero vamos, sale, esto sale 10,976, ¿vale?
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Esto recuerdo que son segundos al cuadrado,
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porque es el periodo al cuadrado.
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Como yo me piden el periodo,
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lo único que tengo que hacer es la raíz.
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Es igual a la raíz de 10,976,
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que es aproximadamente 3,31 y años, ¿vale?
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Lo he hecho varias veces, lo he comprobado,
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Y yo creo que está mal la solución del libro. Vale, dicho esto, esta sería la solución del apartado A. Vamos con el apartado B. En el apartado B nos pide la masa de la estrella, ¿vale?
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Aquí lo que tenemos que aplicar es lo que he explicado hoy. Básicamente que T al cuadrado lo puedo hacer con cualquiera por el radio medio, por ejemplo, de A, lo podría hacer con cualquiera de las dos.
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También la podría hacer con la elíptica. En cualquiera de los dos casos siempre va a ser la misma constante, que es 4pi al cuadrado, entre la constante de gravitación universal por la masa de la estrella.
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Entonces, lo que voy a hacer es despejar de aquí la masa de la estrella, que es lo que yo quiero obtener
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Y si lo despejo, ¿vale?
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Si tenéis dudas sobre esto, de verdad, hacedlo con cuidado vosotros y demás
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Lo que voy a hacer es masa de la estrella, la paso aquí multiplicando para que esté arriba, ¿vale?
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Y me queda 4 por pi al cuadrado entre g, ¿vale?
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Masa de la estrella
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Esto lo tengo aquí multiplicando, lo tengo que pasar al otro lado, lo paso dividiendo por el periodo al cuadrado en principio de A, porque ya he dicho que lo voy a hacer con el A, y por el radio medio de A al cubo, que ya sabéis que es el radio, ¿vale? El radio medio de una órbita circular es el radio.
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Lo hago con la circular porque es más sencillo, ¿vale? Si metemos todos los números, ¿vale? En este caso sí que es importante. La g nos da el dato, en evau os lo darán, lo tenéis en el libro que es el que os he dado.
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Como esto lo tenemos en unidades del sí, aquí sí que es importante que lo utilicemos todo en unidades del sistema internacional. 4 por pi al cuadrado por 1 por 10 elevado a 11 al cubo entre g, que es 6,67 por 10 elevado a menos 11, por 6,3.
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Aquí el periodo no pongo dos años, lo pongo en segundos, por 10 elevado a 7 al cuadrado, ¿vale? Y sale 1,49, que esto sí que está bien, 1,49 por 10 elevado a 29 kilos. Y con esto ya tendríamos la masa de la estrella, que es lo que nos preguntan en el apartado B.
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Vale, como veis es utilizar la fórmula de despejar y ya estaría. Vale, y vamos con el último apartado que es en el que se aplica conservación del momento angular, ¿vale? Nos preguntan relación entre la velocidad en el perihelio y, ¿vale? La relación, ¿vale?
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Entonces, para esto aplicamos conservación del momento angular, que habréis hecho un ejercicio de los dos que os mandé ayer, uno habría que aplicar esto.
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Recordemos que en una órbita elíptica se conserva el momento angular y justo además en el perihelio y en el afelio se cumple esto de aquí.
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Masa, que la masa por el radio en el perihelio por la velocidad en el perihelio es igual a la masa por el radio en el afelio.
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Y esto os lo puse. ¿Dónde estamos? Radio en el afelio por la velocidad en el afelio. Porque justo en el perihelio, que esto os lo expliqué, justo en el perihelio, como R y V son perpendiculares, el seno de 90 se hace 1 y desaparece.
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Esto os lo expliqué el día anterior. Remarco para que no se que las V y las R se parecen. Esa es la R y la V es esta de aquí. A ver si puedo hacerla más clara. V de A.
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entonces esto y esto se me va y solo tengo que sustituir
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y aquí hay que tener en cuenta el dibujo
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porque resulta que de acuerdo con el dibujo
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esta distancia que tiene que ser el perihelio
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es igual al radio de la órbita circular
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al radio de A
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porque es la única manera
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si no es imposible sacarlos los dos valores
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entonces radio en el perihelio es igual a R de A
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que es igual a 1 por 10 elevado a 8 kilómetros
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Y radio en el afelio, por definición, va a ser la suma de los dos, esa suma que nos daba que decían que era 2,8 por 10 elevado a 8 menos el radio en el perihelio, ¿vale?
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Y esto por lo tanto sale menos 1, 2,8 por 10 elevado a 8 menos 1 por 10 elevado a 8, esto sale 1,8 por 10 elevado a 8 kilómetros, ¿vale?
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De esta manera tengo radio en el perihelio que lo voy a necesitar para sustituirlo aquí y radio en el afelio que lo voy a necesitar para sustituirlo aquí. Y nada, simplemente sustituyo y me queda 1 por 10 elevado a 8 por la velocidad en el perihelio es igual a 1,8 por 10 elevado a 8.
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veis que aquí lo estoy utilizando en kilómetros
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porque en principio como me piden la relación
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no me va a hacer falta
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¿vale? y nada, simplemente ahora
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es dividir, como me piden
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la relación, bueno pues paso
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esto dividiendo
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vp es igual a
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el por 10 elevado a 8, los dos sitios se va
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1,8
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por la velocidad en la felio
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y ya estaría, ¿vale?
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cuando nos piden la relación, siempre
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O lo damos así, 1 es igual a un número multiplicado por otro, o lo podemos dar también otra forma.
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Un momento.
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Lo podemos dar también así, vp entre va es igual a 1,8.
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Esta sería otra forma de expresarlo.
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Nos dicen que dónde va a ser más alta la velocidad, me parece, de los dos. Pues recordemos, cuando el radio es más pequeño, la velocidad es más grande. Entonces, en el perihelio, la velocidad, de hecho aquí se ve claramente, 1,8 por VA.
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Entonces, la velocidad en el perihelio va a ser mayor que en el afelio. Y esto siempre es así. En el afelio, la distancia al centro de gravedad, por así decirlo, es más grande, pero la velocidad es más pequeña y en el perihelio es al revés. Perihelio, apujeo, como sea.
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Vale, pues con esto creo que estaría. Si tenéis cualquier duda, me podéis preguntar el lunes y espero que esto os sirva un poco para resolver los problemas.
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Gracias.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- María Ortega
- Subido por:
- Maria O.
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- Fecha:
- 26 de septiembre de 2024 - 18:03
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- IES RAFAEL ALBERTI
- Duración:
- 15′ 44″
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