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Bach1 - Distancia de un punto a una recta (demostración) - Contenido educativo

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Subido el 18 de enero de 2020 por Pablo Jesus T.

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Hola, hoy vamos a ver la distancia desde un punto P a una recta R. 00:00:13
La recta R nos la van a dar en forma general o implícita y vamos a definir un punto P externo a la recta, por supuesto, 00:00:21
que tenga de coordenadas x0 y 0. 00:00:31
Lo primero que vamos a utilizar es un vector normal a la recta que podríamos darle coordenadas como sabéis a b 00:00:36
Cualquier vector a b con los coeficientes de la x y de la y es perpendicular a la recta como hemos visto en otros vídeos 00:00:45
Además vamos a utilizar un punto r que tenga de coordenadas x1 y y1 00:00:53
De tal manera que podríamos al final tener el vector rp que tendría de coordenadas x0-x1, porque serían las coordenadas del punto final menos las coordenadas del punto inicial, x0-x1 y y0-y1. 00:01:01
Para calcular la distancia del punto a la recta lo que vamos a hacer es aplicar la trigonometría 00:01:26
Vamos a hallar el segmento perpendicular a la recta, por eso definimos n 00:01:35
que pasa o que llega hasta el punto P 00:01:41
Tened en cuenta que la distancia de un punto a una recta realmente no está definida 00:01:46
porque podría unir el punto P con cualquier punto de la recta 00:01:51
y nos daría una distancia diferente en cada ocasión. 00:01:56
Lo que nosotros nos referimos cuando decimos la distancia de un punto a una recta 00:01:59
es la distancia más corta entre el punto y la recta 00:02:03
y por tanto tiene que ser perpendicular a la recta. 00:02:06
Vamos a hacer el producto escalar de n por rp 00:02:11
que sería el módulo de n por el módulo de rp 00:02:15
por el coseno del ángulo que forman esos dos vectores. 00:02:21
entonces si nosotros vemos en la gráfica lo que es el coseno 00:02:25
pues en ese triángulo podríamos definir el coseno 00:02:31
como la distancia del punto a la recta partido por el vector r, p 00:02:35
lógicamente no va a depender del punto r que hemos cogido de la recta 00:02:45
porque como veis se cancela 00:02:50
De esa manera, la distancia del punto a la recta la podríamos hacer como el módulo de n por el vector rp partido por, por eso estoy dividiendo, el módulo del vector n. 00:02:53
el denominador es la cosa más sencilla del mundo 00:03:09
porque como además es estrictamente positivo 00:03:13
no voy a poner las barras del módulo 00:03:16
sería a cuadrado más b cuadrado 00:03:20
y en el numerador pues utilizaremos la otra versión del producto escalar 00:03:24
es decir, lo que haremos será multiplicar las coordenadas de n 00:03:30
por las coordenadas de rp 00:03:35
Y eso me quedaría a por x0 menos x1 más b por x0 menos y1. 00:03:38
Vale, si seguimos trabajando con esta expresión, dejamos el denominador como está y en el numerador nos quedaría a x0 más b y 0, 00:03:49
le he dado un poquito la vuelta, y luego nos quedaría menos ax1 menos bi1. 00:04:02
Bueno, como el punto x1 y 1 pertenece a nuestra recta, 00:04:12
tenemos que tener en cuenta que ax1 más bi1 más c tiene que ser cero. 00:04:20
repito, el punto X1 y 1 pertenece a la recta 00:04:28
así que debe cumplir su ecuación 00:04:32
de tal manera que si yo estas dos cosas 00:04:35
las paso a la derecha y me quedan negativas 00:04:38
son estas dos cosas y valdrán exactamente menos C 00:04:41
que con el menos de delante me quedaría más C 00:04:47
de tal manera que la distancia del punto a una recta 00:04:51
me queda en el denominador a cuadrado más b cuadrado 00:04:56
y en el numerador el valor absoluto del resultado ax0 más bi0 más c 00:05:01
es decir, parece que es, para que lo recordéis en la memoria 00:05:10
como la ecuación de la recta R 00:05:15
pero sustituyendo el punto x0 y 0 00:05:17
y en el denominador simplemente el teorema de Pitágoras 00:05:20
del vector n 00:05:24
y esto nos va a proporcionar 00:05:29
la distancia de un punto a una recta 00:05:31
ahora veremos un ejemplo 00:05:34
en el próximo vídeo 00:05:37
calculando esto 00:05:38
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
1415
Fecha:
18 de enero de 2020 - 21:28
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
05′ 42″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
85.17 MBytes

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