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Matrices 4 - Producto de matrices. Propiedades - Contenido educativo

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Subido el 12 de julio de 2018 por Manuel D.

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Segundo vídeo sobre el producto de matrices. Se profundiza en esta operación, se estudian sus propiedades y se hace un ejemplo EvAU

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de Matemáticas II de segundo de bachillerato. 00:00:02
Seguimos con el tema de matrices y este es el segundo vídeo sobre multiplicación de matrices. 00:00:13
En este vídeo vamos a aprender una propiedad fundamental de las matrices y es que en general 00:00:20
no es lo mismo A por B que B por A, es decir, el producto de matrices no es conmutativo. 00:00:26
Va a haber veces que sí esto ocurra, como veremos en un ejemplo, y otras veces que no, 00:00:34
o simplemente porque A por B sí se puede calcular y B por A no por un tema de dimensiones. 00:00:38
Comenzamos. 00:00:45
Empecemos a explicar las propiedades principales que verifican el producto de matrices. 00:00:47
Y la más importante de todas es que este producto no es conmutativo, es decir, al multiplicar A por B en general da distinto del resultado de multiplicar B por A en el sentido contrario. 00:00:52
A y B va a haber veces en las que simplemente A por B y B por A, alguno de ellos no se puede calcular por motivo de dimensiones de las matrices. Otras veces, sin embargo, simplemente porque el resultado da completamente distinto. 00:01:07
Ahí tenéis dos matrices 3x3. A por B se puede multiplicar porque tienen la misma dimensión, son matrices cuadradas y el resultado es ese que tenéis ahí. 00:01:22
Si damos la vuelta veis que el resultado es completamente distinto. Para que las comparéis, ahí tenéis los dos productos A por B y B por A. 00:01:31
El resto de propiedades del producto es similar al producto de números, es decir, verifican la propiedad asociativa. 00:01:40
asociativa. ¿Esto qué significa? Pues que si yo tengo que multiplicar tres matices lo puedo hacer 00:01:49
en el orden que quiera, siempre, eso sí, respetando la secuencia A, B, C, porque como hemos visto el 00:01:55
producto no es conmutativo, pero puedo empezar a multiplicar por la izquierda y también podría 00:02:04
empezar a multiplicar por la derecha. Otra de las propiedades que verifica el producto de matrices 00:02:10
es la existencia de elemento neutro. Es decir, hay una matriz que denotaremos por id de identidad 00:02:17
con la que al multiplicar a la izquierda o a la derecha por cualquier otra matriz, el resultado va a ser siempre el mismo, la propia matriz. 00:02:24
Esta matriz es la matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal y ceros en el resto. 00:02:32
Puede ser de dimensión 2, dimensión 3 o dimensión lo que necesitemos. 00:02:37
La última propiedad es la propiedad asociativa respecto de la suma de matrices. Es la propiedad usual que utilizamos para quitar paréntesis. Muy bien, vamos a utilizar el siguiente ejemplo para comprobar que sí que hay algunos casos en los que ciertas matrices conmutan. Es decir, hay veces en las que a por b es igual a b por a. 00:02:41
Bien, en este problema nos piden encontrar todas las posibles matrices que conmuten con 00:03:02
esta matriz A, es decir, aquellas matrices X para las que X por A sea igual a A por X. 00:03:10
Para ello, lo primero que tenemos que hacer es determinar cuál es la dimensión de estas 00:03:18
matrices. Es decir, nosotros vamos a determinar cuántas filas y columnas N y M tienen que 00:03:23
tener estas matrices X. Para ello, si nosotros queremos que se pueda multiplicar X por A, significa que M tiene que ser igual a 2 y si nosotros 00:03:30
queremos que se pueda multiplicar A por X, pues entonces necesariamente N tiene que ser igual a 2. Es decir, que la matriz que estamos buscando 00:03:44
va a ser una matriz X, Y, Z, T. Bien, una vez visto esto, lo que vamos a hacer va a ser imponer la condición calcular estos dos productos 00:03:56
y de ahí va a salir un sistema de ecuaciones que determine la condición de conmutar. Empezamos. 00:04:10
Esta sería la matriz x por a. Vamos a calcular la matriz a por x. 00:04:30
Llegados a este punto, lo que tendremos que hacer será igualar término a término cada una de estas matrices, cada uno de estos términos. 00:04:49
Es decir, que lo que van a salir de aquí son cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas x, y, z, t. 00:04:57
Vamos a poner el sistema. Esta es la ecuación que corresponde de igualar este término con este otro. 00:05:03
Saquemos las otras tres ecuaciones. 00:05:14
Y ahora hay que resolver este sistema. 00:05:26
¿Cómo? Pues en realidad esto es parte del tema de sistemas de ecuaciones que veremos dentro de muy poco, 00:05:28
pero de momento pues vamos a hacerlo como sabemos hacer, por sustitución. 00:05:37
Bien, y ahora lo que hacemos es ver que una de las ecuaciones sobra porque son iguales 00:05:41
Y cuando hacemos la sustitución y igual a z, estas dos ecuaciones también son iguales. En consecuencia, en realidad solo tenemos dos ecuaciones, que serían, 00:06:05
¿cómo se resuelve un sistema con más incógnitas que ecuaciones? Lo veremos en el tema de sistemas de ecuaciones. Ahora, pues, lo vamos a resolver más o menos como lo vamos a resolver dentro de poco. 00:06:22
hay que introducir unos parámetros. Es decir, hay que introducir tantos parámetros como ecuaciones falten. 00:06:34
En este caso, como faltan dos ecuaciones, habrá que introducir dos parámetros. 00:06:43
El parámetro lambda y, pues, un parámetro, por ejemplo, para la x, que sea el parámetro nu. 00:06:49
Entonces tendríamos... 00:06:55
Y esta sería la solución. ¿Qué significa esta solución en función de parámetros? 00:06:57
Significa que para cada nu y cada lambda tenemos una matriz que conmuta con A. 00:07:08
Si quiero ver un ejemplo concreto de matriz de solución de este problema, pues no habría más que dar valores. 00:07:14
Entonces, por ejemplo, si la lambda es igual a 1 y la nu es igual a 1, tendríamos que la matriz X sería 1, 1, 1, 3. 00:07:21
Y esta matriz conmuta con A. 00:07:34
Así como cualquier otra matriz que se obtenga de dar parámetros lambda y nu, números reales, en este sistema paramétrico. 00:07:37
Muy bien. Espero que os haya resultado sencillo el problema. 00:07:47
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
453
Fecha:
12 de julio de 2018 - 9:28
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 51″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
164.26 MBytes

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