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Racionalización de denominadores - Contenido educativo

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Subido el 30 de enero de 2021 por Andrés B.

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En esta clase se explican ejemplos de cómo racionalizar denominadores.

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En este vídeo voy a explicaros cómo se racionalizan los denominadores y para qué sirve hacer esto. 00:00:09

Lo voy a hacer con una serie de ejemplos. Entonces, el primero sería este. 00:00:18

Bueno, aquí como veis el denominador es raíz de 2. Raíz de 2 es un número irracional. 00:00:22

Y entonces racionalizar el denominador consiste en que en el denominador tengamos un número racional y no irracional. 00:00:33

De manera que no tengamos esto que tenemos ahora. ¿Cuál es la forma de conseguir esto? Pues mirad, si ahora esta fracción la multiplico y la divido, es decir, multiplico el numerador y el denominador por raíz de 2, que es lo que tenía en el denominador, ¿vale? 00:00:40

¿Vale? Veréis que ahora abajo tengo raíz de 2 por raíz de 2 y raíz de 2 por raíz de 2 es raíz de 2 al cuadrado, que es 2. 00:01:00

¿Vale? De manera que aquí lo que me queda es arriba 1 por raíz de 2, que es raíz de 2, y abajo 2. 00:01:19

es decir, 1 partido raíz de 2 es raíz de 2 partido por 2 00:01:28

y ahora ya estaría la fracción racionalizada 00:01:34

con lo cual ya estaría resuelto el ejercicio 00:01:39

lo primero que hay que hacer de todas formas es darnos cuenta 00:01:43

lo primero que vamos a hacer siempre es fijarnos bien en si realmente hace falta hacer esto 00:01:49

Si hace falta realmente racionalizar, porque en este caso tenemos una raíz en el denominador, pero raíz de 4 no es un número irracional, sino que es un número racional, ¿vale? 00:01:56

Porque raíz de 4, como sabemos, es más menos 2, ¿vale? 00:02:10

De manera que esta fracción, para racionalizarla, lo único que tenemos que hacer es resolver la raíz del denominador, ¿vale? 00:02:17

No hay que hacer nada más. 00:02:26

Entonces sería un medio, pero como tiene dos soluciones, sería más menos un medio, ¿vale? 00:02:27

Bien, a ver que no se ve muy bien esto. 00:02:36

lo voy a volver a escribir los signos, más menos un medio, vale, perfecto, luego en este caso no hacía falta hacer lo que hemos hecho antes de multiplicar arriba y abajo por raíz de 4 00:02:42

porque el denominador ya era un número racional, bien, natural de hecho, otro ejemplo, 3 partido raíz cuadrada de 48, bueno, en este caso 00:02:57

Como en todos los ejercicios de raíces, lo primero que tenemos que hacer es factorizar el número 48 y ver si podemos simplificar esa raíz. 00:03:12

Si podemos extraer algún factor externo, sacarlo del radicando y si podemos simplificarlo. 00:03:23

Entonces 48 entre 2 son 24, entre 2 son 12, entre 2 son 6, entre 2 son 3 y entre 3 son 1. 00:03:29

De manera que lo que tengo aquí sería 3 partido raíz cuadrada de 2 al cubo, porque el 2 está, no, perdón, a la cuarta, porque está cuatro veces, voy a borrar la raíz, sería raíz cuadrada de 2 a la cuarta por 3. 00:03:46

Por lo tanto, puedo sacar aquí fuera, como está la cuarta, puedo sacar dos doces, dos al cuadrado por dos al cuadrado, 00:04:17

luego sale como dos por dos, que son cuatro, es decir, como dos al cuadrado, raíz de tres, tres partido cuatro raíz de tres. 00:04:27

De momento no he hecho nada especial, el denominador sigue sin estar racionalizado, 00:04:36

Pero ahora puedo multiplicar el numerador y el denominador, ¿vale? Voy a borrar aquí la factorización. Puedo multiplicar el numerador y el denominador por el número raíz de 3, ¿vale? 00:04:44

Si multiplico numerador y denominador por raíz de 3, tendríamos en el numerador 3 raíces de 3 y en el denominador 4 por raíz de 3 por raíz de 3, igual que antes ocurría con raíz de 2 por raíz de 2, es raíz de 3 al cuadrado, es decir, es 3. 00:05:08

Y ahora, sencillamente, este 3 y este 3 se anulan entre sí porque están multiplicando ambos, uno arriba y otro abajo, están ambos multiplicando al numerador y denominador, entonces como ambos están multiplicando se pueden ir y me queda raíz de 3 partido por 4. 00:05:31

El resultado de esta fracción y el resultado de esta fracción son iguales, pero aquí el número irracional está en el numerador y aquí está en el denominador, ¿vale? 00:05:59

Es decir, hemos conseguido racionalizar el denominador. 00:06:09

Bien, vamos a ver unos ejemplos un poquito más complicados. 00:06:17

Por ejemplo, vamos a ver alguno que tenga una raíz con índice mayor que 2, como puede ser este. 00:06:28

Como digo, lo primero de todo es siempre factorizar el radicando. 00:06:45

36 entre 2, 18, entre 2, 9, entre 3, 3, y entre 3, 1. 00:06:54

Es decir, 36 son 2 al cuadrado por 3 al cuadrado. 00:07:05

Pues lo escribo, 5 partido raíz cuarta de 2 al cuadrado por 3 al cuadrado. 00:07:10

¿Qué ocurre? 00:07:18

Que aquí los exponentes del radicando son menores que el índice. 00:07:22

Pero, si esto lo escribo en forma de potencia, tendríamos 2 elevado a 2 cuartos por 3 elevado a 2 cuartos, es decir, 2 elevado a 1 medio por 3 elevado a 1 medio, que esto es la raíz cuadrada de 2 por 3. 00:07:26

Es decir, que esto lo puedo simplificar a raíz cuadrada de 2 por 3. 00:07:47

Y ahora ya puedo preocuparme de la racionalización. 00:07:50

solo que con una raíz más simple 00:07:56

por eso lo primero que hay que hacer es siempre 00:08:02

factorizar y simplificar los radicales 00:08:03

y luego ya podemos preocuparnos de racionalizar el denominador 00:08:07

entonces en este caso 00:08:11

tengo 5 partido raíz de 6 00:08:13

que si multiplico arriba y abajo 00:08:17

o sea, numerador y denominador 00:08:18

por raíz de 6 00:08:20

raíz de 6 por raíz de 6 son 6 00:08:22

Con lo cual tengo 5 raíces de 6 partido por 6. Y el resultado de esta fracción es el mismo resultado que el de esta fracción, con la diferencia de que esta fracción tiene el denominador racional. 00:08:25

Es decir, ya estaría racionalizada. Bien, estos son los casos más simples, ¿vale? ¿Qué ocurriría si, por ejemplo, tenemos una raíz, vamos a ver, por ejemplo, 3 raíces cúbicas de 18, por ejemplo? 00:08:40

¿Vale? Bueno, pues vamos a ver. De nuevo, lo primero, factorizo el número 18. 18 entre 2 son 9, entre 3 son 3, entre 3 es 1. ¿Vale? En este caso no consigo nada especial factorizando, ¿vale? 00:09:14

Así que no puedo simplificar más este radical, porque no puedo sacar ni el 2 ni el 3 de esta manera, ¿vale? 00:09:34

Así que no he conseguido nada con esto, así que de momento parto de lo mismo que me daban en el enunciado, ¿vale? 00:09:44

Y ahora lo que nos tenemos que preguntar es, si ya hemos entendido estos ejemplos, ¿vale? 00:09:53

Nos daremos cuenta de que no puedo multiplicar por raíz cúbica de 18, ¿vale? 00:09:59

Que es lo que tendríamos en el denominador. 00:10:07

Si multiplico ahora numerador y denominador por raíz cúbica de 18, voy a seguir teniendo aquí abajo una raíz. 00:10:08

¿Vale? Sería la raíz cúbica de 18 por 18, pero sigue siendo una raíz. 00:10:17

Es decir, sigue siendo un número, una raíz no exacta, es decir, un número irracional. 00:10:21

Ahora, ¿qué puedo hacer entonces para tener un número racional? Bueno, pues pensemos, como tenemos una raíz cúbica, necesito tener otras dos como estas, ¿vale? En el momento que tenga ya tres raíces cúbicas multiplicadas entre sí y que sean iguales, ya podré, voy a copiarlo, ya podré romper el radical, romper esto. 00:10:25

¿Por qué? Porque raíz cúbica de 18, si lo multiplico tres veces por sí mismo, es decir, si hago la raíz cúbica de 18 al cubo, ¿vale? 00:10:50

¿Qué ocurre? Que esto se va con esto, es decir, me queda 18, evidentemente. 00:11:04

Entonces, lo único que tengo que hacer es multiplicar numerador y denominador por raíz cúbica de 18. 00:11:11

¿Sí? Entonces, ¿qué ocurre? 00:11:19

que en el numerador. Bueno, primero vamos a ver el denominador, que es más fácil de ver. Ya hemos dicho que es 18, ¿vale? Y en el numerador lo que tendría es 3 raíz cúbica de 18 dos veces, 00:11:23

es decir, raíz cúbica de 18 al cuadrado. Y como hemos actualizado antes el 18, por si acaso, vamos a ver si ahora puede salir alguna cosa de la raíz, ¿vale? 00:11:36

tendríamos raíz cúbica de y 18 al cuadrado son 2 por 3 al cuadrado 00:11:48

es decir, 18 al cuadrado sería 2 al cuadrado por 3 a la cuarta 00:11:52

y ahora vemos que sí que podemos sacar un 3 00:11:58

porque tendríamos 3 por 3 raíces cúbicas de 2 al cuadrado por 3 00:12:04

3 a la cuarta, voy a copiar aquí por si no se ve, 3 a la cuarta son 3 al cubo por 3. 00:12:13

Un 3 se queda adentro y el 3 al cubo, como es una raíz cúbica, puede salir fuera. 00:12:25

Entonces tengo 3 por 3 raíces cúbicas de 2 al cuadrado por 3. 00:12:30

3 por 3 son 9. 00:12:39

Abajo tengo 18 y la raíz cúbica ahora es la raíz cúbica de 4 por 3 que son 12, una raíz más simple que la que partíamos, ¿vale? 00:12:43

Ahora si esto lo igualo, como tengo 9 arriba y 18 abajo, esta fracción se puede simplificar, me refiero a esta fracción, esta parte, ¿vale? 00:12:56

Esto de aquí se puede simplificar. 00:13:11

Entonces, dividiendo entre 9, efectivamente, numerador y denominador, tendríamos raíz cúbica de 12 partido por 2. 00:13:14

Y esta ya sería la forma más simplificada de esta fracción con el denominador ahora sí racionalizado. 00:13:27

Ahora es un número racional, es 2. 00:13:38

cuando antes era un número irracional raíz cúbica de 18 00:13:41

y el número irracional ha pasado al numerador 00:13:44

¿vale? 00:13:47

bien, estos casos pues en consecuencia o en conclusión 00:13:50

podríamos decir que siempre que tengamos aquí una raíz enésima 00:13:54

tenemos que multiplicar por n-1 veces esto mismo 00:13:58

¿vale? 00:14:02

es decir, si la raíz es cúbica tenemos que multiplicar dos veces por esa raíz cúbica 00:14:03

arriba o abajo y arriba 00:14:07

¿vale? 00:14:10

Si la raíz es sexta, por ejemplo, tendríamos que multiplicar 5 veces por la raíz sexta en el denominador y 5 veces por la raíz sexta en el numerador, porque de esa manera el denominador pasa a ser el mismo número que esté en el radicando y ya no tendríamos el índice, ¿vale? 00:14:10

se rompe la raíz. Bien, estos casos son, yo creo, los más complicados, pero también 00:14:35

hay unos casos muy interesantes que son en los que tenemos una suma o resta de raíces. 00:14:43

Por ejemplo, 2 entre 1 más raíz de 2. En estos casos vamos a tener que recordar una 00:14:51

de las fórmulas notables, que era aquella que decía, suma por diferencia, a más b 00:15:02

por a menos b, es igual a diferencia de los cuadrados. Esto viene de la propiedad distributiva, 00:15:10

cuando aplicamos la propiedad distributiva aquí, multiplicamos a por a, menos a por 00:15:19

b, porque tenemos aquí un signo menos, más b por a, menos b por b, es decir, a al cuadrado 00:15:25

menos b al cuadrado, porque se eliminaría este más b a, más b a, menos ab, esto se 00:15:33

eliminaría, entonces me queda que la suma por la diferencia es igual a la diferencia 00:15:41

de los cuadrados. Vamos a hacer uso de esa propiedad para romper este denominador. Como 00:15:47

tenemos 1 más raíz de 2, vamos a pensar que si multiplicamos esto, pero todo esto 00:15:56

con un paréntesis, porque es todo ello, lo multiplicamos por 1 menos raíz de 2, ahora 00:16:05

si vemos bien, tendríamos la suma por la diferencia, ¿vale? A sería, para ver la 00:16:13

fórmula de arriba, A sería 1, B sería raíz de 2. A sería 1, B sería raíz de 2. Y nos 00:16:20

fijamos aquí en los signos, ¿vale? Tenemos un signo positivo, multiplicamos por uno con 00:16:30

signo negativo. Bueno, pues a esto, ¿vale? A esta expresión que he puesto en el color 00:16:37

azul se le llama el conjugado de 1 más raíz de 2, es decir, el conjugado de 1 más raíz 00:16:41

de 2 es 1 menos raíz de 2 y viceversa, el conjugado de 1 menos raíz de 2 es igual a 00:16:48

1 más raíz de 2. Así que siempre que tengamos una suma en la que uno de los dos términos 00:16:54

o los dos sea una raíz cuadrada, la manera de eliminar esa raíz cuadrada es multiplicar 00:17:00

por el conjugado, es decir, si tenemos un signo más 00:17:08

entre ambos términos, el 1 y el raíz de 2 en este caso, multiplicamos 00:17:12

por la misma expresión pero con un signo menos, y si tenemos un signo menos, multiplicamos 00:17:16

por la misma expresión pero con un signo más, pero claro, como tenemos una fracción 00:17:20

para que esto siga siendo cierto, tenemos que multiplicar arriba también por ese mismo 00:17:24

número que hemos multiplicado abajo, es decir, en este caso por esa misma expresión que hemos multiplicado abajo 00:17:28

como ya tenemos lo mismo arriba que abajo 00:17:32

tenemos el mismo resultado que antes 00:17:35

y ahora faltaría solamente resolver esto 00:17:38

como hemos dicho, esto lo hacemos 00:17:42

porque yo sé que la suma por la diferencia es la diferencia de cuadrados 00:17:44

y la diferencia de los cuadrados sería 00:17:47

a al cuadrado sería 1 al cuadrado, es decir, 1 00:17:49

la diferencia es decir, menos el cuadrado del segundo 00:17:53

es decir, el cuadrado de raíz de 2 que como hemos dicho antes es 2 00:17:58

Y arriba tendría, usando la propiedad distributiva, 2 por 1 menos 2 raíz de 2, es decir, 2 por 1, 2, menos 2 por raíz de 2, menos 2 raíces de 2. 00:18:02

Si resuelvo el denominador me queda menos 1, 1 menos 2 es menos 1, y en el numerador me queda 2 menos 2 raíces de 2. 00:18:21

Como tenemos el seno menos 1, esto no se suele poner así, no queda bonito, ¿vale? 00:18:29

Entonces, lo que se hace es sacar el signo fuera de la raíz o dejarlo en el numerador, ¿vale? 00:18:34

Abajo tendríamos el 1 y arriba cambiamos el signo de todo, ojo, de todo lo de arriba. 00:18:40

No se trata de hacer el conjugado de lo de arriba, sino cambiar el signo de todo. 00:18:46

Es decir, a este 2 ponerlo en menos, a este 2 raíces de 2 ponerlo en más. 00:18:49

Con lo cual tengo 2 raíces de 2 menos 2, o menos 2 más 2 raíces de 2, ¿vale? 00:18:53

Y ahora, como estamos dividiendo entre 1, pues ese 1 me sobra, ¿vale? Porque estamos dividiendo entre 1, pues ya está, ¿vale? Perdón, sería, sí, he cambiado el signo dos veces, que no tiene que haberlo hecho, es decir, aquí sería esto, ¿vale? Cambio el signo a todo, en lugar de sacar el signo fuera, que es otra opción que tengo, puedo hacer esto, ¿vale? 00:19:00

entonces aquí no habría 00:19:28

no habría más igual 00:19:30

entonces esta expresión 00:19:31

racionalizada 00:19:34

ni siquiera sería una fracción 00:19:35

hemos racionalizado el denominador porque 00:19:37

directamente aquí nos lo hemos cargado 00:19:40

sin quererlo nos hemos quitado 00:19:41

el denominador, entonces la expresión 00:19:44

2 partido 1 más raíz de 2 00:19:46

es lo mismo 00:19:48

que 2 raíces de 2 menos 2 00:19:49

con la diferencia de que aquí tenemos un número 00:19:52

irracional porque raíz de 2 es irracional 00:19:54

entonces 1 más raíz de 2 tiene que ser 00:19:56

también irracional. Fijaos que los decimales de raíz de 2 no cambian, lo que cambia es 00:19:58

al sumar el 1 la unidad, pero los decimales de raíz de 2 llegan aquí, son infinitos 00:20:03

y no son periódicos, es decir, es un número irracional. Al multiplicar por su conjugado 00:20:09

numerador y denominador hemos conseguido que el denominador valga 1, es decir, un número 00:20:14

racional. Hemos racionalizado la expresión, la fracción. Y además así, de paso, hemos 00:20:21

hecho que se convierta, que deje de ser una fracción. Bueno, voy a volver arriba para 00:20:31

hacer otro ejemplo. Siguiendo este mismo procedimiento, podríamos hacer 3 partido 2 menos raíz de 00:20:41

27. Recuerdo que lo primero que hay que hacer es, voy a ponerlo aquí, escribir, factorizar 00:20:56

27, en este caso 27 serían 3 al cubo, entonces escribo esto como 3 menos, perdón, 3 partido 00:21:03

2 menos raíz cuadrada de 3 al cubo, esto sería 3 2 menos raíz cuadrada de 3 por 3 00:21:14

al cuadrado, ese 3 al cuadrado sale fuera de la raíz, como un 3, entonces sería 3 00:21:25

menos, perdón, 3 partido 2 menos 3 raíces cuadradas de 3, y ahora necesito multiplicar 00:21:30

denominador y numerador por el conjugado de esta expresión, es decir, tendríamos 3, 00:21:39

2 menos 3 raíces de 3 00:21:47

y todo esto, solo pongo entre paréntesis 00:21:50

lo multiplico por 2 más 3 raíces de 3 00:21:54

y el numerador lo multiplico por 2 más 3 raíces de 3 00:22:00

porque para que la fracción valga lo mismo 00:22:05

tengo que multiplicar por lo mismo numerador y denominador 00:22:08

Ahora, el denominador, estamos aplicando la suma o la diferencia por la suma, es lo mismo la suma por la diferencia que la diferencia por la suma 00:22:12

Es decir, la diferencia de los cuadrados sería cuadrado de 2, que es 4, menos cuadrado de 3 raíces de 3, que sería 9, que es el cuadrado de 3, por el cuadrado de raíz de 3, que es 3 00:22:22

espero que esto se entienda 00:22:36

estoy haciendo 3 raíces de 3 al cuadrado 00:22:40

porque ese resultado 00:22:45

la suma por la diferencia de la diferencia de cuadrados 00:22:48

todo este denominador 00:22:51

me tiene que dar 00:22:53

es 4 menos esto 00:22:55

y ahora esto es el cuadrado de 3 00:22:58

que es 9 00:23:01

y el cuadrado de raíz de 3 00:23:02

que es 3 00:23:04

En el numerador tengo con la propiedad distributiva 3 por 2 son 6 más 3 por 3 que son 9 raíces de 3. 00:23:05

6 más 9 raíces de 3 y en el denominador tendría 4 menos 9 por 3 que son 27 y 4 menos 27 son menos 23. 00:23:24

De nuevo, como tengo un signo negativo abajo, voy a pasarlo arriba o lo saco fuera de la fracción. Podríamos escribir menos 6 más 9 raíces de 3 partido 23. 00:23:36

O bien podría escribirlo como menos seis menos nueve raíces de tres partido por veintitrés. Ojo, cuidado, ¿vale? Que este signo menos afecta a todo, ¿vale? 00:23:59

O bien afectamos a todo el denominador o bien afectamos a todo el numerador, pero afecta a todo el numerador. 00:24:18

No basta con cambiar solo el signo del 6, que es un fallo muy típico. 00:24:33

Hay que cambiar el signo de todo, del 6 y de 9 raíces de 3, por eso escribo menos 6 menos 9 raíces de 3. 00:24:37

Y esta expresión ya, tanto esta como esta, me valen las dos, ya estaría racionalizada. 00:24:44

Y por último, un último ejemplo, voy a borrar, bueno, me cae aquí, en un lateral, voy a escribirlo aquí, un último ejemplo, tendríamos, por ejemplo, este, 3 partido raíz de 8 menos raíz de 5. 00:24:52

En este caso tenemos una diferencia de dos números irracionales, el 8 si lo factorizamos sería 2 al cubo, el 5 es un número primo, nos falta que lo factoricemos, entonces tengo 3 partido, esto quedaría 2 raíces de 2, de 2, no 3, 2 raíces de 2 porque raíz de 8 es raíz de 2 al cubo, es decir, de 2 al cuadrado por 2, 00:25:19

luego puede salir ese 2 que está al cuadrado, ¿vale? Menos raíz de 5. 00:25:49

Y ahora lo mismo, multiplico, siempre se trata de lo mismo, multiplicar denominador y numerador por el conjugado del denominador. 00:25:54

El conjugado del denominador, en este caso, como tenemos una resta de los dos términos, pues será una suma. 00:26:06

El conjugado es 2 raíz de 2 más raíz de 5. 00:26:15

Y en el numerador ponemos lo mismo, 2 raíces de 2 más raíz de 5. 00:26:19

Ojo, tenemos que poner paréntesis para que esto sea verdad, para que se dé el resultado que tiene que dar. 00:26:26

Entonces, ahora, suma por diferencia o diferencia por suma es igual a la diferencia de los cuadrados. 00:26:35

Es decir, a la diferencia 4 por 2, ¿por qué? Porque sería cuadrado de esto. 00:26:40

¿Vale? El cuadrado de 2 raíces de 2 menos el cuadrado de raíz de 5 00:26:48

Sería eso, la suma por raíz de 5, ¿no? 00:26:57

Y el cuadrado de 2 raíces de 2 es 4 por 2 00:26:59

Porque es el cuadrado de 2 que son 4 y el cuadrado de raíz de 2 que son 2 00:27:04

Menos, y el cuadrado de raíz de 5 es 5 00:27:09

Entonces tengo 4 por 2 menos 5 00:27:14

Y en el numerador tendría 6 raíces de 2, haciendo la propia distributiva, 3 por 2 son 6, por raíz de 2, 7 raíces de 2, más 3 raíces de 5. 00:27:17

Esto me queda abajo, 8 menos 5 son 3, y arriba tendría 6 raíces de 2 más 3 raíces de 5. 00:27:33

como 6 00:27:44

a ver, esto es importante también 00:27:47

arriba 00:27:49

puedo sacar factor común 00:27:50

¿vale? ¿por qué? 00:27:53

porque 3 arriba 00:27:55

tenemos un 3 que multiplica 00:27:57

a 2 raíces de 2 00:27:58

más 00:28:01

3 raíces de 5 00:28:02

que en realidad es lo que teníamos aquí 00:28:05

¿vale? 00:28:12

¿pero por qué me interesa tenerlo así? 00:28:14

porque como abajo tengo un 3 que multiplica todo 00:28:15

y arriba tengo un 3 que multiplica 00:28:17

a todo, o sea a todo el numerador 00:28:19

a todo el numerador le está multiplicando 00:28:21

un 3 y a todo el denominador le está multiplicando 00:28:23

un 3, yo aquí puedo simplificar 00:28:25

quito estos dos 3 00:28:27

y entonces esta expresión 00:28:29

esta fracción 00:28:32

deja de ser una fracción como nos pasaron en el ejemplo anterior 00:28:33

y 00:28:36

esta 00:28:37

fracción 00:28:38

pasa a convertirse en 00:28:40

esta suma de números irracionales 00:28:43

como ya no tenemos un denominador 00:28:45

o el denominador es 1 00:28:48

hemos conseguido racionalizar el denominador 00:28:50

conclusión 00:28:53

en resumen 00:28:54

podríamos decir que 00:28:58

si tenemos una sola raíz cuadrada 00:29:00

en el denominador 00:29:03

como son los primeros ejemplos 00:29:04

lo único que tenemos que hacer es multiplicar 00:29:06

numerador y denominador 00:29:08

por raíz de 2 00:29:10

una vez que multiplicamos 00:29:12

vamos por la raíz cuadrada de lo que sea 00:29:14

Una vez que multiplicamos ambos, el denominador nos va a quedar un número racional, que va a ser igual al radicando de esa raíz, ¿vale? 00:29:16

Da igual la raíz de que sea, ¿vale? Lo único a que tener cuidado, dos cosas. 00:29:30

Primero, que realmente sea un número irracional, que en este caso por ejemplo no lo sería, y que si es un número que se puede factorizar en potencias de exponente mayor que el índice de la raíz, podemos sacar fuera de la raíz algunos factores y por lo tanto simplificar la raíz antes de racionalizar el denominador. 00:29:35

con lo cual nos vamos a ahorrar luego el paso de tener que simplificar al final 00:30:01

por eso siempre es lo primero que hay que hacer 00:30:05

e incluso hay casos en los que podemos simplificar la raíz como en este caso 00:30:06

y pasar de una raíz cuarta a una raíz cuadrada o casos similares 00:30:11

¿qué ocurre en cambio cuando no se puede simplificar una raíz que es mayor de índice 2? 00:30:16

pues que ya no vale multiplicar una sola vez por esta raíz numerador y denominador 00:30:23

En este caso, como tenemos una raíz cúbica, habrá que multiplicar dos veces 00:30:30

Para que así, como hay tres raíces cúbicas multiplicadas entre sí 00:30:35

Raíz cúbica de 18 por raíz cúbica de 18 por raíz cúbica de 18 son 18 00:30:39

Ya nos queda el denominador racionalizado 00:30:44

Es decir, en general, si tenemos una raíz enésima 00:30:47

Tenemos que multiplicar n-1 veces por esa raíz numerador y denominador 00:30:51

Si la raíz fuera quinta, por ejemplo, multiplicaríamos cuatro veces por la raíz quinta de ese número. 00:30:57

Cuatro veces por la raíz quinta de ese número si fuera una raíz quinta. 00:31:10

De manera que nos quedaría raíz quinta de A, por ejemplo, raíz quinta de A por raíz quinta de A por raíz quinta de A por raíz quinta de A y por raíz quinta de A cinco veces. 00:31:12

nos quedaría ya abajo una a y arriba nos va a quedar la raíz quinta de a elevado a 4 00:31:23

bueno pues en este caso que es más simple porque es una raíz cúbica 00:31:33

pero que se hace exactamente igual 00:31:37

nos queda la raíz cúbica de 18 al cuadrado 00:31:38

lógicamente porque hemos multiplicado dos veces 00:31:43

es decir aquí nos queda el número de veces que tenemos que multiplicar 00:31:45

que va a ser siempre n-1, donde n es el índice de la raíz. 00:31:48

Este caso, que quizás sea más complicado, por lo tanto, tiene esa dificultad añadida 00:31:54

de que hay que fijarse en cuál es el índice y multiplicar tantas veces menos 1 como sea el número del índice. 00:32:02

Y por último, cuando tenemos sumas o restas de números irracionales o de números racionales y números irracionales, como es en este caso, que es un número racional más un número irracional, lo que tenemos que hacer es multiplicar y dividir por el conjugado de esta expresión. 00:32:09

Es decir, como la expresión es una suma o una resta, pues multiplicaremos por la suma si es una resta o por la resta si es una suma, como es en este caso. 00:32:26

Como tenemos una suma, multiplicamos por la resta y suma por diferencia, diferencia de cuadrados. 00:32:37

De esa manera, lo que conseguimos es convertir este número que a priori era irracional en un número racional. 00:32:42

Como ya tenemos un número racional en el denominador hemos racionalizado la fracción 00:32:51

Y además si tenemos suerte muchas veces podemos encontrarnos casos como este 00:32:56

En el cual lo que tenemos realmente al final no es una fracción 00:33:00

Sino simplemente una resta o suma de números irracionales 00:33:05

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Autor/es:

Andrés Benito Platón

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