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Álgebra: 1.Binomio de Newton - Contenido educativo
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Ejemplo práctico de aplicación de la fórmula del binomio de Newton.
En este vídeo vamos a desarrollar x más 2 elevado a la quinta aplicando la fórmula
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de Newton. Aquí vamos a calcular la potencia quinta de x más 2 aplicando la fórmula del
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binomio de Newton. Lo primero que hacemos es escribir los coeficientes, que sabemos
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que son números combinatorios, y vamos a escribir los coeficientes de cada uno de los
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seis sumandos que tendrá el desarrollo de esta potencia. Sabemos que siempre hay un
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sumando más del orden de la potencia, es decir, si la potencia es 5, pues hay 6 sumandos,
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si la potencia es 3, pues hay 4 sumandos. Y los coeficientes de cada uno de los sumandos
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serían 5 sobre 0, 5 sobre 1, 5 sobre 2, 5 sobre 3, 5 sobre 4 y 5 sobre 5. Escribimos
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los sumandos para cada uno, los signos más para cada uno de estos sumandos y tenemos
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ya los coeficientes de los 6 sumandos. Vamos a escribir ahora las potencias de x que irían
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en orden decreciente empezando desde x a la quinta en el primer sumando, x a la cuarta,
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x cubo, x cuadrado, x elevado a 1 y x elevado a 0 y las potencias de 2 que irían al contrario
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creciendo desde 2 elevado a 0 en el primer sumando, 2 elevado a 1, 2 elevado a 2, 2 elevado
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a 3, 2 elevado a 4 y 2 elevado a 5. Bueno, lo que tenemos que hacer ahora una vez que
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ya tenemos así construida esta fórmula, lo que tenemos es que ir sustituyendo cada
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uno de los coeficientes por su valor e ir calculando. Bien, nos vamos a apoyar en esta animación
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extraída de álgebra con papas, es una animación que nos va construyendo el triángulo de Tartaglia
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poco a poco y ya sabemos que el triángulo de Tartaglia se construye de una manera muy
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particular. Todas las filas empiezan y terminan por 1 y cada uno de los números de la fila
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se construyen a partir de los 2 de la fila que tiene justo arriba. Ahí vemos como se
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han estado construyendo hasta la fila 5, ahora está justamente calculándose la fila sexta,
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veíamos ahí ya la fila séptima, observamos como cada número sale de sumar justo los
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dos que tiene encima, 35, 21, 7 y 1 y de esta forma seguirían construyéndose las filas
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sucesivas. Vamos a ver un poquito como vuelve a empezar esta animación, tendremos la fila
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1, vamos a ver como construiríamos la fila 2, lo primero que hacemos es poner que siempre
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van a empezar y terminar por 1 y esa sería la fila 2, ya tenemos los coeficientes 2 sobre
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0, 2 sobre 1 y 2 sobre 2, vamos a ver como se construye la fila 3, ahí tendríamos la
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fila 3, ahora tendríamos la fila 4, 4 sobre 0, 4 sobre 1, 4 sobre 2, 4 sobre 3 y 4 sobre
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4, que sería 1, esa es la fila quinta y es la que a nosotros nos interesa y es con la
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que nos vamos a quedar puesto que es la que necesitamos para sustituir cada uno de los
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coeficientes por su valor. La animación sigue indefinidamente pero a nosotros nos quedamos
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con lo que nos interesa que es la fila quinta, esa fila quinta que hemos recuadrado en rojo
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nos va a dar la clave y lo que hacemos es ir sustituyendo cada uno de los números combinatorios
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por su valor, de manera que tendríamos 1 para 5 sobre 0, tendríamos 5 para 5 sobre
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1, tendríamos 10, tendríamos otra vez 10, tendríamos 5 para 5 sobre 4 y por último
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1 para 5 sobre 5. Escribimos ahora las potencias de X, X a la quinta, X a la cuarta, X al cubo,
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X al cuadrado, X elevado a 1 sería X y X elevado a 0 sería 1, lo escribimos por ver
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como se va haciendo el desarrollo en detalle pero no sería necesario y escribimos ahora
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también las potencias de 2, las vamos calculando, 2 elevado a 0 sería 1, 2 elevado a 1, 2,
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2 elevado a 2, 4, 2 elevado a 3, 8, 2 elevado a 4, 16 y 2 elevado a 5, 32. Bueno una vez
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que ya tenemos eso lo único que nos falta es simplificar y eso es lo que vamos a hacer
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de manera que nos quedaría 1 por X a la quinta y por 1 pues X a la quinta más 5 por 2 serían
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10X a la cuarta más 10 por 4 tendríamos 40X al cubo más 8 por 10 serían 80X cuadrado
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tendríamos ahora 5 por 16 80X y por último 1 por 1 por 32 pues serían 32. De esta manera
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tenemos aquí, acabamos de recuadrar, el resultado de haber aplicado la fórmula de Newton y
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haber calculado X más 2 elevado a la quinta.
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- Materias:
- Matemáticas
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- Primer Curso
- Autor/es:
- José Antonio Ortega
- Subido por:
- EducaMadrid
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 983
- Fecha:
- 7 de enero de 2011 - 12:31
- Visibilidad:
- Público
- Enlace Relacionado:
- José Antonio Ortega
- Descripción ampliada:
Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).
Extraído de Open Trigo.- Duración:
- 05′ 05″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 800x600 píxeles
- Tamaño:
- 22.10 MBytes
