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Tema 4.- Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones 5ª Sesión 12-02-2026 - Contenido educativo

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Subido el 14 de febrero de 2026 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 12 de febrero. 00:00:00
Estuvimos viendo el último día problemas de aplicación de las ecuaciones de primer grado. 00:00:06
Hoy lo que vamos a ver es otro tipo de ecuaciones, son las de grado 2, 00:00:12
y en lo que se diferencian de las anteriores es que ahora me pueden aparecer términos de grado 2, 00:00:19
O sea, que va a haber x elevadas al cuadrado. 00:00:28
Bueno, vamos a ver primeramente cómo sería la estructura, entonces, de una ecuación de segundo grado. 00:00:32
Dicho esto, la ecuación de segundo grado va a ser aquella que tenga como mayor exponente de la incógnita S2. 00:00:39
Para poder trabajar con ellas, las vamos a querer escribir de una forma concreta. 00:00:53
que es lo que se llama forma general de la ecuación de segundo grado. 00:00:58
Y es esta que nos ponen aquí. 00:01:01
Quiero que siempre esté escrito de esta forma. 00:01:06
Si no estuviese así, antes de empezar a hacer nada, 00:01:11
tengo que acomodar los términos para que quede así escrita. 00:01:14
¿Qué quiere decir aquí cada una de estas cosas? 00:01:20
Pues la A, la B y la C son números reales de los que nosotros conocemos. 00:01:22
positivos, negativos, fracciones, me da igual 00:01:27
la x es mi incógnita 00:01:30
y yo quiero que ese polinomio que me queda ahí 00:01:32
ordenado de segundo grado 00:01:35
esté igualado a cero 00:01:39
lo que yo voy a querer averiguar es 00:01:40
qué valores de la x, valor o valores 00:01:42
hacen que esta cuenta de ese polinomio 00:01:45
que su valor numérico, si os acordáis que llamábamos a esto 00:01:48
termine siendo cero 00:01:51
Entonces, de esos tres numeritos, que es lo que llamamos los coeficientes de los términos de ese polinomio 00:01:54
Lo que tengo que exigir siempre es que el a no sea un 0 00:02:02
Porque si esta a vale 0, desaparecería el término de grado 2 00:02:07
Y estaríamos en ecuaciones de primer grado como las que hemos estado viendo 00:02:12
Entonces, quiero que tenga esta estructura y que esa a nunca sea un 0 00:02:17
Siempre haya una x al cuadrado como mínimo. 00:02:22
Estas ecuaciones de segundo grado, a diferencia de las de primer grado, van a poder tener dos soluciones, una o ninguna. 00:02:26
Acordaos que las de primer grado podrían tener o una solución o ninguna. 00:02:35
Aquí podría llegar a tener dos soluciones distintas. 00:02:39
Ejemplos de ecuaciones de segundo grado, pues esta que me dan todo ordenadito y colocadito, 00:02:44
esta que me están dando los términos descolocados pero veo que tiene ese grado 2 00:02:49
con lo cual lo único que tendría que hacer yo para poder trabajar con ella 00:02:53
es coger este 9 y llevarme del lado izquierdo y me quedaría 16x al cuadrado menos 9 igual a 0 00:02:58
y ya la tendría puesta de esta forma que quiero 00:03:04
o esta que es más enrevesada que tiene paréntesis, fracciones 00:03:07
bueno pues si ocurre algo de este estilo pues es como las ecuaciones de primer grado 00:03:11
Me quitaría primero los paréntesis, luego me quitaría los denominadores haciendo denominador común y por último colocaría los términos en el orden que yo preciso. 00:03:17
Bueno, pues visto esto, vamos a ver cómo se trabaja con las ecuaciones del segundo grado y cómo se resuelven estas ecuaciones del segundo grado. 00:03:29
Y vamos a trabajarlas por, digamos, distintos modelos que me pueden aparecer. 00:03:39
Y hacemos una primera clasificación en ecuaciones completas y ecuaciones incompletas. 00:03:47
Una ecuación va a ser completa, que es la primera que vamos a tratar, cuando esté escrita de esta forma y todos sus coeficientes, la a, la b y la c, sean números distintos de cero. 00:03:53
O sea, que no me falte ningún término de ese polinomio de segundo grado. 00:04:08
y van a ser incompletas cuando me falte alguno de esos términos. 00:04:13
Acordaos, el término de x al cuadrado nunca me puede faltar, 00:04:19
pero vamos a ver más adelante que este término de grado 1 o este término de grado 0 00:04:24
sí me pueden faltar, o incluso los dos a la vez. 00:04:29
Pues veremos que en esos casos tenemos una segunda alternativa para resolverlas. 00:04:33
Ahora, si la ecuación de segundo grado es completa, la tengo que resolver siempre utilizando esta fórmula, que os la tenéis que aprender cuanto antes. 00:04:38
Y mi consejo para aprenderla es que en cada ejercicio que la vayáis a usar, os la escribáis intentando escribirla de memoria, sin mirarla, 00:04:54
para que así a base de repetirla 00:05:04
y de ir viendo que fallos vais teniendo 00:05:07
cada vez que la intentáis escribir 00:05:09
pues se os quede grabada en la cabeza 00:05:12
porque la vamos a utilizar muchísimo 00:05:15
si no me sé la fórmula no voy a poder hacer las cuentas 00:05:17
entonces el ejercicio no lo podré resolver 00:05:20
si me sé la fórmula 00:05:22
las cuentas solo va a ser ir despacito 00:05:24
teniendo cuidado como siempre con los signos 00:05:28
que son los que nos serían haciendo la cuñeta 00:05:31
pero los pasos y las operaciones que voy a tener que hacer 00:05:33
siempre van a ser los mismos 00:05:37
vamos a verlo en un par de ejemplos 00:05:39
me dicen que tengo esa ecuación 00:05:43
x al cuadrado menos 2x menos 3 igual a 0 00:05:46
donde yo estaría viendo 00:05:51
que los coeficientes que tengo son 00:05:54
a igual a 1 que era el coeficiente de las x al cuadrado 00:05:57
cuando no me ponen nada es un 1 00:06:01
la b vale menos 2, que es el coeficiente de las x 00:06:03
y la c, que es el término independiente, menos 3 00:06:07
si nos vamos a la fórmula que hemos dicho antes 00:06:10
y sustituimos cada letra, la b, la a, la c 00:06:14
por estos valores que acabamos de decir que tiene cada una 00:06:18
ya tenemos como resolver la ecuación 00:06:21
Y bueno, pues menos b, pues menos, menos 2 que valía la b, más menos la raíz cuadrada de ese menos 2 elevado al cuadrado, que era menos 4, por lo que valía la a que era 1 y por lo que valía la c que era menos 3. 00:06:28
y todo dividido entre 2 por a, que en este caso es 2 por 1 00:06:47
este más menos que pongo aquí en la raíz delante 00:06:51
es porque las raíces cuadradas 00:06:55
que es aquella operación que me dice que busque 00:06:58
un número que multiplicado por sí mismo me dé el resultado 00:07:04
de lo que hay dentro de la raíz, pueden tener 00:07:07
dos soluciones, por ejemplo, yo quiero hacer la raíz cuadrada de 4 00:07:11
O sea, estoy buscando un número que multiplicado por sí mismo, o sea, que al cuadrado me dé 4. 00:07:16
¿Qué número es ese? El 2, porque 2 por 2 da 4, pero no es el único. 00:07:23
Si pensamos también en los números negativos, el menos 2 también cumpliría esa condición, 00:07:30
porque menos 2 por menos 2 también me daría 4. 00:07:36
entonces de ahí viene ese más menos 00:07:39
porque voy a tener una solución positiva y otra negativa 00:07:42
que me van a llevar al mismo resultado, al mismo cuadrado 00:07:46
bueno, pues visto esto, hacemos las operaciones 00:07:50
después de que he sustituido cada letra por su valor 00:07:54
lo que hago es con calma las operaciones 00:07:56
menos por menos, más, pues aquí tengo un más 2 00:08:00
ahora dentro de la raíz, el menos 2 elevado al cuadrado 00:08:04
o sea, menos 2 por menos 2 me va a dar 4 00:08:09
y este producto final 00:08:11
pues que tengo menos 4 por 1 y por menos 3 00:08:14
como siempre, controlamos primero el signo 00:08:18
que si no, solís dejarlo de atrás 00:08:22
entonces digo, negativo por positivo y por negativo 00:08:24
me va a dar positivo 00:08:28
este menos por menos me daría un más 00:08:30
el más me puedo olvidar 00:08:34
y ahora voy a la multiplicación de los números 00:08:35
4 por 1, 4, y por 3, 12. 00:08:38
O sea, me ha salido un más 12. 00:08:40
Y por último abajo, 2 por 1 me da 2. 00:08:42
Voy al siguiente paso, que es hacer la suma de dentro de la raíz. 00:08:46
Pues 4 más 12 me da 16. 00:08:50
Siguiente paso. 00:08:54
Para poder hacer esta suma y esta resta, primero tengo que saber cuánto vale la raíz de 16. 00:08:55
Bueno, pues ¿qué número elevado al cuadrado me da 16? 00:09:00
Pues el 4. 00:09:04
pero fijaos que me vale el 4 y el menos 4 00:09:05
por eso teníamos ese más menos, decimos 00:09:09
pues ahora que hemos llegado aquí 00:09:11
ya separamos nuestras dos soluciones 00:09:13
digo, primera solución 00:09:16
que la vamos a poner con un índice debajo 00:09:18
digo, primera solución 00:09:23
x1 es que coja la suma 00:09:25
O sea, 2 más 4, 6. 00:09:32
Y ese 6 lo divido entre 2. 00:09:38
Pues resultado, 3. 00:09:40
Esa primera solución me ha dado 3. 00:09:42
Segunda solución, que en vez de coger la suma, coja la resta. 00:09:45
Pues 2 menos 4, que va a ser menos 2, lo quiero dividir entre 2, me daría menos 1. 00:09:50
Pues mi segunda solución es menos 1. 00:09:57
O sea, que he tenido una solución x igual a 3, una segunda solución x igual a menos 1. 00:10:00
Hoy ya tengo esas dos soluciones que como máximo podría tener mi ecuación de segundo grado. 00:10:10
Veamos otro ejemplo. 00:10:17
Digo, tengo esta ecuación de segundo grado que hará mucho más fea porque tengo términos en los dos lados del igual, pero no pasa nada. 00:10:20
Ahora, yo lo que hago es ordenar esos términos y para ordenarlos lo que hago es transponer los términos del lado derecho y llevarlos a la izquierda, juntando las x al cuadrado con las x al cuadrado, las x con las x y los términos independientes con los términos independientes, como se ve aquí abajo. 00:10:28
Por un lado tengo todas las x cuadradas. El x cuadrado que tenía aquí a la izquierda más este menos 3x al cuadrado que al llevármelo al otro lado se vuelve positivo. 00:10:46
Ahora, el 10x que tenía aquí a la izquierda menos el 42x que al traerlo del lado derecho a la izquierda se vuelve negativo. 00:11:01
Y por último, aquí no había término independiente, pero a la derecha tengo un menos 64. 00:11:13
Cuando le traigo a la izquierda se convertirá en un más 64. 00:11:20
Pues si sumo estos términos que son semejantes, estas x con estas x, estas x al cuadrado con estas x al cuadrado, 00:11:24
me queda que tengo en total 4x al cuadrado menos 32x y el 64 que estaba solito. 00:11:32
como la derecha no me ha quedado nada, pues me queda el 0 00:11:40
y ya tengo escrita mi ecuación 00:11:44
en forma general, que decíamos, todo ordenado 00:11:47
y cada término con su semejante 00:11:52
y bueno, pues vamos a ver cuánto vale cada una de las letras 00:11:57
de esa ecuación, pues la a 00:12:00
el coeficiente de las x al cuadrado vale 4 00:12:04
la b, el coeficiente de las x vale menos 32 00:12:07
y la c, el término independiente valdría 00:12:12
64, nos ha salido cortado al par 00:12:16
si lo quitamos le vamos a ver, valdría 64 00:12:19
¿vale? bueno pues me voy a la 00:12:26
fórmula y sustituyo cada término por su valor 00:12:30
vamos a volver a recordar la fórmula porque hemos dicho que a base de escribirla 00:12:34
nos la vamos a aprender. Pues la fórmula me decía que tenía que hacer 00:12:38
x igual a menos b más menos 00:12:42
la raíz cuadrada de b al cuadrado 00:12:46
menos 4 por a y por c. Y que al resultado 00:12:50
de eso lo tenía que dividir en lo que nos avise de 2 por a. 00:12:54
Pues aplicando eso con los valores de la a, la b y la c 00:12:58
que hemos dicho antes 00:13:03
vemos que tengo menos menos 32 00:13:06
más menos raíz cuadrada de menos 32 elevado al cuadrado 00:13:11
menos 4 por la a que era 4 y por la c que era 64 00:13:19
y dividido entre 2 por 4 que era la a 00:13:25
hago las cuentas y digo menos por menos más 32 00:13:29
Ahora, menos 32 al cuadrado, 1024 00:13:33
Y este menos 4 por 4 por 64 me da también menos 1034 00:13:37
1034 menos 1034, 0 00:13:44
¿Cuánto es la raíz cuadrada de 0? 0 otra vez 00:13:48
Entonces, me está quedando 32 partido de 8 00:13:52
Porque sumar y restar 0 no hace que cambie nada en el 32 00:13:57
Entonces, 32 entre 8, 4, pues resulta que ahora tengo solo una solución, x igual a 4. 00:14:01
Dijimos que podía tener dos soluciones, una o ninguna. 00:14:12
El ejemplo anterior era aquel en el que salieron dos soluciones distintas, en este me ha salido solo una solución. 00:14:17
Vamos a ver ahora qué pasaría en el último caso. 00:14:25
que es que no tenga ninguna solución en mi ecuación. 00:14:31
Bueno, pues vamos a ver el último ejemplo, 00:14:49
en el que me aparece la ecuación escrita de otra manera, 00:14:52
va a ocurrir lo mismo. 00:14:55
Tengo que colocar todo antes de poder aplicar la fórmula. 00:14:57
Como tengo un paréntesis, 00:15:02
lo primero que tengo que hacer es deshacerme de ese paréntesis. 00:15:05
O sea, que multiplico ese un quinto 00:15:07
por todos los términos que hay dentro del paréntesis. 00:15:10
Pues un quinto por x al cuadrado, x al cuadrado partido de 5 00:15:12
Un quinto por 10, 10 quintos, igual a esa x 00:15:17
Bueno, pues antes de darme el paréntesis me han aparecido fracciones 00:15:22
Voy a deshacerme de esas fracciones 00:15:28
Y la forma de deshacerme de las fracciones será hacer el denominador común 00:15:30
Aquí el proceso cuando hay paréntesis y cuando hay fracciones 00:15:33
Es exactamente el mismo que hacíamos en las ecuaciones del primer grado 00:15:37
bueno, hago ese denominador común que sería 5 00:15:41
y entonces el último término, esa x que estaba suelta 00:15:45
se convierte en 5x partido de 5 00:15:49
porque estaría haciendo el mínimo común múltiplo 00:15:51
y luego arreglando el numerador 00:15:53
cuando tengo todas con el mismo denominador 00:15:56
me quito los denominadores y me quedo con la parte de arriba 00:15:58
con los numeradores 00:16:03
x al cuadrado más 10 igual a 5x 00:16:03
pero todavía no están las cosas como si quiero 00:16:07
Yo quiero que a la derecha haya un 0 y que a la izquierda esté el polinomio ese completo de grado 2. 00:16:10
Bueno, pues este 5x que tengo a la derecha me lo llevo a la izquierda y tendríamos x al cuadrado menos ese 5x que ha venido de la derecha más 10 igual a 0. 00:16:17
Ya tengo escrita mi ecuación en forma general. 00:16:29
Ya puedo mirar quiénes son los coeficientes que están apareciendo aquí de cada uno de los términos. 00:16:33
Bueno, pues la a, coeficiente de las x al cuadrado, 1, porque no aparece nada. 00:16:39
La b, coeficiente de las x, menos 5. 00:16:45
Y la c, término independiente, 10. 00:16:49
Vamos a nuestra fórmula, que la vamos a volver a escribir otra vez, porque la tenemos que aprender. 00:16:52
Y decíamos que era x igual a menos b, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, menos 4ac. 00:16:57
B al cuadrado menos 4AC partido de 2A, pues sustituyo cada una de las letras por su valor, que tendría menos menos 5 más menos S menos 5 al cuadrado de la B, menos 4 por el 1 de la A y por el 10 de la C, y abajo 2 por 1 de la A. 00:17:08
Hago las cuentas, menos por menos, más 5 00:17:38
Más menos la raíz cuadrada de menos 5 al cuadrado va a dar 25 00:17:42
Y menos 4 por 1 y por 10 me va a dar menos 40 00:17:48
Hago esta resta para poder hacer la raíz 00:17:51
Me queda raíz cuadrada de menos 15 00:17:55
Y claro, ¿qué pasa? 00:17:57
Que esta raíz cuadrada no la sé hacer 00:18:00
porque yo no soy capaz de encontrar un número que multiplicado por sí mismo me termine dando un resultado negativo. 00:18:02
Entonces, este número no es racional, entonces, perdón, no es real. 00:18:14
Ay, perdón, déjame borrar. A ver, que me deje borrar esto. 00:18:26
No es un número real, entonces si no es un número real, para mí es que no tiene solución, porque no podría seguir haciendo las cuentas a partir de aquí. 00:18:38
No puedo seguir, entonces no puedo encontrar solución. 00:18:52
Entonces, para nosotros estas ecuaciones no tienen solución. 00:19:08
Tendríamos que utilizar otros números que se llaman números complejos, que no conocemos, para poder terminar esta operación. 00:19:12
Entonces, ya hemos visto los tres posibles casos que se nos pueden dar. 00:19:18
Que tenga dos soluciones distintas, que tenga una solución o que no tenga ninguna. 00:19:24
Bueno, pues vamos a hacer algún ejercicio antes de seguir con las ecuaciones incompletas. 00:19:34
Nos vamos a nuestras hojitas de problemas y vamos a hacer un ejemplo de cada una de ellas. 00:19:40
para que veáis 00:19:47
que estoy haciendo siempre las mismas operaciones 00:19:49
bueno, pues 00:19:53
esta primera mesura 00:19:54
tengo 00:19:58
a ver, que no me deje hacerlo así 00:20:00
quiero resolver esta ecuación 00:20:15
la he hecho aquí enorme 00:20:39
bueno, pues vamos a esta ecuación 00:20:40
y digo, ¿cuánto vale 00:20:45
los coeficientes que a mí me interesan para mi formulario 00:20:48
pues la A vale 00:20:52
la A vale 1 00:20:53
porque no aparece aquí nada 00:21:07
la B vale 9 00:21:09
y la C vale 20 00:21:11
mi fórmula me decía que hiciese 00:21:14
menos B más menos la raíz cuadrada 00:21:18
de B al cuadrado menos 4 por ahí por C 00:21:21
y el resultado lo diviese entre 2 por a, pues voy a cambiar cada letra 00:21:25
por su valor, menos 9 más menos 00:21:30
la raíz cuadrada de 9 al cuadrado 00:21:33
y menos 4 por el 1 de la a y el 20 00:21:37
de la c, y todo dividido entre 2 por el 1 de la a 00:21:42
vale, pues vamos a hacer esas cuentas 00:21:46
poquito a poco, pues menos 9 00:21:50
más menos la raíz cuadrada de 9 al cuadrado sería 81 00:21:54
de 9 por 9 y menos 4 por 1 y por 20 00:21:59
va a ser 80, dividido entre 2 por 1 que es 2 00:22:03
sigo haciendo mis cuentas y tengo menos 9 00:22:07
más menos 81 menos 80 00:22:11
es 1, dividido entre 2 00:22:16
sigo con mis cuentas, menos 9 y ahora 00:22:18
La raíz cuadrada de 1 vuelve a ser 1 entre 2 y aquí, llegados a este punto que hemos quitado la raíz, sacamos nuestras dos soluciones. 00:22:22
Una cogiendo la suma, menos 9 más 1 entre 2, y la otra cogiendo la resta, menos 9 menos 1 dividido entre 2. 00:22:36
Menos 9 más 1 sería menos 8, y entre 2 daría menos 4. 00:22:52
Menos 9 menos 1 daría menos 10, y entre 2 daría menos 5. 00:22:59
Pues las soluciones de nuestro ejercicio, de nuestra ecuación, serían x1 igual a menos 4 y x2 igual a menos 5. 00:23:06
igual que en las ecuaciones del primer grado 00:23:22
aquí puedo comprobar si la solución está bien o no 00:23:25
¿cómo la compruebo? pues igual que hacía allí 00:23:30
me vengo a la ecuación original 00:23:33
y sustituyo la x por esos valores 00:23:35
vamos a poner aquí comprobación 00:23:42
para x 00:23:45
1 igual a menos 4, que nos salió la primera 00:23:53
de las soluciones, ¿vale? 00:23:57
y eran menos 1, menos 4 y menos 5 00:24:01
pues lo que hago es, me vengo a la ecuación y digo, cada sitio que haya una x 00:24:05
yo pongo un menos 4 00:24:10
una x, pongo un menos 4 00:24:12
y el más 20, y voy a ver que me da 00:24:16
al hacer estas cuentas, poned entre paréntesis 00:24:19
el número cuando sea negativo, porque aquí 00:24:24
hay que ir haciendo la regla de los signos 00:24:28
menos 4 al cuadrado me va a dar 16 00:24:30
más 9 por menos 4 sería 00:24:36
menos 36, si ahora le sumo 20 a esto 00:24:39
que me va a dar el 0 que quería 00:24:44
si quiero hacer la comprobación 00:24:46
para x igual a menos 5 00:24:50
hago la misma historia 00:24:53
menos 5 al cuadrado 00:24:55
más 9 por menos 5 00:24:58
y más el 20 00:25:02
he cambiado cada x por ese menos 5 00:25:04
vuelvo a hacer las cuentas 00:25:07
menos 5 al cuadrado me daría 25 00:25:08
9 por menos 5 me da menos 45. Si sumo 20, resultado 0. O sea que las dos soluciones son correctas. 00:25:12
Vamos a por otro ejercicio en el que me salga una ecuación distinta. 00:25:25
A ver, vamos a coger, por ejemplo, el E, que me están dando los términos, en vez de colocados, mezclados en los dos lados de la ecuación y todo revuelto, ningún problema. 00:25:34
nos vamos a pantalla 00:25:51
y vamos a hacer ahora esa ecuación 00:25:59
pues digo, tengo las cosas desordenadas 00:26:02
lo primero que voy a hacer es ordenarlas 00:26:16
entonces quiero que a la derecha haya un cero 00:26:18
y que todo lo demás está a la izquierda 00:26:23
pues x al cuadrado 00:26:25
y ahora este 3x al cuadrado que está restando 00:26:27
me lo traigo sumando para juntarle con ese x al cuadrado 00:26:30
más el 10x que ya estaba a la izquierda y este 42 que estaba a la derecha sumando, me lo traigo restando, menos 42x. 00:26:34
Y este 64 por último que me estaba restando, lo traigo sumando. 00:26:46
Si junto estos términos que son semejantes, tengo 4x al cuadrado menos 32x y más 64. 00:26:52
Y fijaos, ahora diréis, madre mía, cuando hagamos una de las fórmulas con estos números tan grandes, va a salir unos numerazos gigantescos. 00:27:07
Pues no os asustéis, porque podemos aplicar una propiedad que me dice que puedo simplificar dividiendo a todos los coeficientes por un mismo número. 00:27:15
¿Quién será ese número? El mínimo común múltiplo de los coeficientes. 00:27:55
Y si hago eso, la ecuación resultante tendrá las mismas soluciones que esta. 00:28:00
Tendrá las mismas soluciones. 00:28:17
Entonces, vamos a aprovecharnos de esto para que se nos simplifiquen los números. 00:28:26
Yo podría dividir a todos estos términos, al 4, al 32 y al 64, 00:28:35
los puedo dividir a todos entre 4 00:28:43
divido a todos 00:28:45
entre 4 00:28:49
que sería el mínimo, el máximo común divisor 00:28:51
de esos tres números 00:28:56
si no le veo directamente pues puedo dividir entre 2 00:28:57
una vez que haya dividido entre 2 vuelvo a fijarme 00:29:01
y vuelvo otra vez a dividir entre 2 00:29:03
bueno, dicho esto, pues si yo divido entre 4 a todos 00:29:05
me va a quedar x al cuadrado 00:29:09
4 entre 4 sería 1, ahora 32 entre 4 me haría 8x, y el 64 dividido entre 4 me va a dar 16. 00:29:12
Y esta ecuación es mucho más bonita, porque al tener coeficientes más pequeños, 00:29:25
cuando ahora aplique la fórmula me van a salir números más chiquititos. 00:29:32
Bueno, ecuación ordenada, simplificada 00:29:35
Hemos dicho, vamos a ver quiénes son sus coeficientes 00:29:40
Para poder aplicar la fórmula 00:29:45
La A va a valer 1, porque no hay nada 00:29:46
La B va a valer menos 8, este de aquí 00:29:50
Y la C, 16, el término independiente 00:29:54
Si aplicamos la fórmula 00:29:58
que nos decía que x va a ser igual a 00:30:01
menos b más menos la raíz cuadrada 00:30:09
de b al cuadrado menos 4ac 00:30:13
y partido de 2a, yo sustituyo cada letra por su valor 00:30:16
que tengo, pues menos menos 8 00:30:21
cuidadito no confundir este menos con este menos 00:30:25
Son dos distintos. Más menos la raíz cuadrada de menos 8 al cuadrado, menos 4 por el 1 de la A y por el 16 de la C, dividido entre 2 por 1 de la A. 00:30:29
Vamos a hacer estas cuentas. Menos menos 8 me va a dar más 8. Más menos la raíz cuadrada de menos 8 al cuadrado va a ser 64. 00:30:47
Y ahora menos 4 por 1 es 16, pues va a ser menos 4 por 1 es 4, y 4 por 16 es 4 por 6, 24, 4 por 1 es 4, y 2 es 6, y abajo 2 por 1, pues tengo 8 más menos la raíz cuadrada de 0, dividido entre 2. 00:30:58
resulta que como la raíz cuadrada de 0 es 0 00:31:21
8 más menos 0 dividido entre 2 me va a dar 4 00:31:24
como en este caso solo tengo una solución 00:31:29
que es S4 00:31:33
solución X igual a 4 00:31:36
podemos comprobar como antes que está bien 00:31:39
comprobamos, esto lo puedo hacer siempre 00:31:44
Y para comprobar dijimos que nos íbamos a esa ecuación original y cambiamos cada x por su valor. 00:31:49
Vamos a hacer esto más pequeño para que me deje verla. 00:32:02
Comprobamos sustituyendo cada x por este 4 que hemos dicho. 00:32:07
Entonces, ¿qué tendríamos? 4 al cuadrado menos 8 por 4 y más 16, pues 4 al cuadrado es 16, 8 por 4 es 32, pues 16 menos 32 más 16 es el 0 que queríamos. 00:32:12
Luego el resultado de nuestra ecuación está correcto, pues ya hemos visto un ejemplo de ecuación de segundo grado, en el que he tenido que ordenar las cosas y resulta que luego al final me ha tocado que solo salió la solución. 00:32:35
vamos a por otro ejemplo 00:32:55
que aparezca en paréntesis 00:32:58
esta que aparece en paréntesis 00:33:00
para que veáis que no hay que hacer más 00:33:03
que lo que hacíamos en las ecuaciones de primer grado 00:33:18
pues lo que hago es primero quitar los paréntesis 00:33:20
entonces tengo x al cuadrado 00:33:30
más 2x y este 3 pues va a multiplicar 00:33:34
a todos los términos de dentro del paréntesis. 00:33:38
3 por 2 es 6, 3 por menos x es menos 3x y 3 por menos x al cuadrado es menos 3x al cuadrado. 00:33:40
Ahora que han desaparecido los paréntesis, pues hago lo mismo que antes, ordenar las cosas 00:33:49
juntando a la izquierda los términos semejantes. 00:33:54
Entonces, a esta x al cuadrado le sumo estas 3x al cuadrado que, al cambiar de lado del igual, cambian de signo. 00:33:59
Al 2x de aquí le sumo estas 3x que van de aquí 00:34:05
Y el menos 6 pasa en negativo 00:34:11
O sea, estamos transponiendo términos igual que en las ecuaciones de primer grado 00:34:15
¿Qué hago ahora? Pues sumar esos términos semejantes y tengo 4x al cuadrado 00:34:20
Más 5x y menos 6 igual a 0 00:34:26
Pues ya tengo mi ecuación de segundo grado 00:34:31
escrita en forma general, que es que está todo ordenadito y igualado a 0 00:34:34
puedo mirar quiénes son mis coeficientes, la a va a valer 4 00:34:39
la b va a valer 5 y la c va a valer 00:34:43
menos 6, pues vamos a aplicar la fórmula 00:34:47
con esos valores, una vez más 00:34:51
me escribo la fórmula para que me la aprenda 00:34:55
menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado 00:34:57
menos 4 por a y por c y dividido entre 2 por a. A ver si ahora se va a escucharme la que 00:35:02
da y graba en la cabeza. Pues menos b menos 5 más menos la raíz cuadrada de 5 al cuadrado 00:35:09
menos 4 por 4 y por menos 6. Dividido todo entre 2 por 4. Pues vamos a hacer las cuentas. 00:35:17
menos 5 más menos la raíz cuadrada de 25 00:35:28
y ahora, menos por más y por menos, más 00:35:33
4 por 4, 16, y por 6, 6 por 6 00:35:36
36, 6 y 3, 9 00:35:41
dividido entre 2 por 4, 8, pues tengo 00:35:44
menos 5 más menos la raíz cuadrada de 00:35:48
96 más 25 00:35:52
sería 121 00:35:54
dividido entre 8 00:36:00
la raíz cuadrada de 121 es 11 00:36:02
11 por 11 es 121 00:36:07
ya tenemos casi nuestra solución 00:36:10
dos opciones, primera 00:36:15
coger la suma, menos 5 más 11 entre 8 00:36:18
Pues menos 5 más 11 va a ser 6. Entre 8, si simplifico, me da, dividiendo entre 2, 3 cuartos. Como he dicho, me puede salir cualquier número real. O sea, que me pueden salir fracciones, como está ocurriendo aquí. 00:36:23
menos 5 menos 11, segunda opción, dividido entre 8 00:36:42
menos 5 menos 11 sería menos 16 00:36:46
que dividido entre 8 va a ser menos 2 00:36:50
pues nada, aquí tenemos nuestras dos soluciones 00:36:53
un poquito más fea una de ellas, pero mismo proceso para calcularlas 00:36:56
pues todo el rato sería la misma historia 00:37:02
si nos vamos a los que tienen fracciones, como este 00:37:06
lo que haré es quitarme primero las fracciones 00:37:10
haciendo denominador común 00:37:13
cuando hayan desaparecido las fracciones 00:37:15
ordeno la ecuación 00:37:17
y por último 00:37:20
pues aplico la fórmula 00:37:23
lo vamos a dejar aquí 00:37:25
el siguiente día 00:37:27
veremos ecuaciones de estas con fracciones 00:37:28
veremos fracciones y paréntesis 00:37:31
todo mezclado 00:37:34
y luego veremos 00:37:35
las ecuaciones incompletas que os decía 00:37:36
que esas van a ser muchísimo más rápidas de resolver 00:37:38
y por último para cerrar esta parte tendríamos que hacer problemas 00:37:41
en los que apliquemos estas ecuaciones de segundo grado 00:37:46
problemas que van a ser de los mismos tipos que en las ecuaciones de primer grado 00:37:49
de números, de edades, de figuras geométricas 00:37:54
de dinero y los trucos para resolverlos 00:37:59
los mismos que en las ecuaciones de primer grado 00:38:02
lo que va a diferenciarlas es que 00:38:04
para resolver luego esas ecuaciones finales 00:38:07
tendría que aplicar esta fórmula de la ecuación de segundo grado 00:38:10
pero todo lo demás igual, o sea que no le tengáis miedo 00:38:12
lo que sí que os pido es que 00:38:16
practiquéis lo máximo posible para que tengáis 00:38:18
soltura en las cuentas y no os tiréis 7 días 00:38:22
haciendo una operación porque entonces no os va el tiempo luego en el examen 00:38:25
bueno, pues lo dejamos aquí 00:38:28
el próximo martes seguiremos con 00:38:30
ejercicios de estos 00:38:33
las ecuaciones incompletas y problemas 00:38:35
hasta luego, buena semana 00:38:39
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Autor/es:
Angel Sanchez Sanchez
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Angel Luis S.
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14 de febrero de 2026 - 15:20
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