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Sistemas de ecuaciones - Teorema de Rouché-Fobenius - Contenido educativo

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Subido el 26 de mayo de 2021 por Enrique M.

87 visualizaciones

Discusión de sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Frobenius

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Vamos a hacer un nuevo videotutorial. 00:00:03
Nos encontramos dentro del bloque de álgebra. 00:00:06
Dentro de álgebra vimos una unidad dedicada a las matrices, 00:00:15
otra dedicada a los determinantes, 00:00:22
y ahora nos encontramos en la unidad didáctica número 3 00:00:24
para sistemas de ecuaciones lineales. 00:00:29
Bien, pues dentro de esta unidad didáctica 00:00:33
vamos a hacer fundamentalmente dos objetivos. 00:00:42
Uno, discutir el sistema y dos, resolver el sistema. 00:00:48
¿Qué es discutir el sistema y qué es resolver el sistema? 00:00:59
Pues bien, nos centramos en la discusión. 00:01:05
La discusión es analizar el sistema de ecuaciones y llegar a determinar si tiene o no tiene solución. 00:01:08
En el caso de que sí tenga solución, se dice que el sistema es compatible. 00:01:19
Cuando no tiene solución, el sistema es incompatible. 00:01:34
Entonces, hemos visto que nos vamos a centrar en los sistemas compatibles y dentro de los sistemas compatibles veremos los procedimientos que hay para su resolución. 00:01:40
¿Qué métodos tenemos para hacer la discusión? 00:02:02
Esto es muy importante porque podemos utilizar el teorema de Rousseff-Robernus o podemos usar el método de Gauss. 00:02:06
Bien, pues vamos a empezar hoy este videotutorial dentro del bloque de álgebra, como ya hemos dicho, dentro de la unidad de sistemas de ecuaciones, 00:02:27
viendo cómo hacemos una discusión y averiguando si el sistema es compatible y si tiene solución, o si fuera incompatible, no tiene solución, 00:02:46
aplicando hoy el teorema de Roucher-Frobenius. 00:03:00
¿Y qué dice el teorema de Roucher-Frobenius? 00:03:07
Pues el teorema de Roucher-Frobenius 00:03:10
fundamentalmente lo que hace es estudiar 00:03:14
la matriz de los coeficientes 00:03:19
y compararla con la matriz ampliada. 00:03:23
Más concretamente lo que va a estudiar es el rango. 00:03:29
¿Pero qué es esto de la matriz de los coeficientes? 00:03:32
Bueno, pues si tenemos un sistema de ecuaciones en el que vemos que hay unos números que multiplican a las incógnitas, 00:03:35
estos números son los que van a formar la matriz de los coeficientes. 00:03:51
La matriz de coeficientes estará formada por los números que multiplican a las incógnitas. 00:04:13
Estos números ordenados en una matriz se denominan matriz de coeficientes. 00:04:20
Bien, pues esta misma matriz, si le incorporamos una columna con los términos independientes, 00:04:50
se convierte en la matriz ampliada, que normalmente se denota con un asterisco, una apóstrofa, 00:05:08
y que tiene los mismos coeficientes que la matriz anterior, pero se le incorpora una columna más. 00:05:16
Luego, en el caso, esta es la matriz ampliada. 00:05:39
En el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, la matriz de coeficiente es una matriz 3x3. 00:05:44
Y en una matriz ampliada del mismo sistema, tendría tres filas, pero cuatro. 00:05:56
Bueno, pues ¿cómo averiguamos si esto tiene solución o no tiene solución analizando estas matrices? 00:06:09
Pues según nos dice el teorema de Rutsche-Frobenius, analizamos y comparamos el rango de A con el de su ampliada. 00:06:16
Si son iguales, el sistema es compatible y por tanto sí tiene solución. 00:06:30
Pero en el caso de que el rango de la matriz de los coeficientes sea distinto del rango de la matriz ampliada, 00:06:43
el sistema es incompatible y no tiene solución. 00:07:09
Además, dentro del caso de los que sí tienen solución, 00:07:27
es decir, cuando los dos rangos son iguales, aparecen en nuestro análisis dos situaciones. 00:07:32
Que el rango sea igual en ambas matrices y coincida con el número de incógnitas, 00:07:42
cuyo caso, el sistema, además de ser compatible, es determinado porque tiene solución única. 00:07:58
Aquí la solución es única. Luego veremos que se puede también resolver aplicando el método de Gauss o aplicando la regla de Kramer. 00:08:10
Pero hay otra situación y es cuando este rango, que hemos visto que en el caso de los compatibles son iguales, podría ser que fuera menor que el número de incógnitos. 00:08:33
En este caso, el sistema es compatible, pero es indeterminado. 00:08:48
¿Y esto qué quiere decir? Pues que este sistema, en esta situación, tendría infinitas soluciones. 00:09:04
Esto lo veremos en el próximo vídeo con un ejemplo. 00:09:20
Muchas gracias. 00:09:26
Idioma/s:
es
Autor/es:
Enrique Morillo del Río
Subido por:
Enrique M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
87
Fecha:
26 de mayo de 2021 - 3:53
Visibilidad:
Público
Centro:
IES NARCIS MONTURIOL
Duración:
09′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
880.94 MBytes

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