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Ecuaciones con x en el denominador - Contenido educativo

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Subido el 8 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Vamos ahora a resolver ecuaciones con la x en el denominador. Si nos fijamos, realmente esto que es, son fracciones algebraicas. Lo único que al tener aquí una igualdad, al tener aquí una igualdad, pues lo único, nosotros operamos esas fracciones algebraicas, pero manteniendo la ecuación. 00:00:00
Vamos a resolver el apartado A. Nosotros tenemos x partido de x menos 1 más 2x partido de x más 1. 00:00:20
Y todo esto es igual a 3. Como es una igualdad, se trata de una ecuación. 00:00:30
Entonces, nosotros, esto de aquí nos recuerda a las fracciones algebraicas. 00:00:37
Tenemos el x menos 1 y el x más 1. 00:00:43
Recordad que en x menos 1 la raíz es 1 y en x más 1 la raíz es menos, con lo cual son polinomios reducibles diferentes. 00:00:45
Entonces, lo primero que vamos a hacer es hallar el mínimo común múltiplo de x menos 1 y x más 1, 00:00:56
que sabemos que es la multiplicación de ambos, de x menos 1 por x más 1. 00:01:07
Por lo tanto, yo mi primera ecuación la voy a poner como x menos 1 por x más 1 y la segunda ecuación o la fracción, perdonad, x menos 1 por x más 1. 00:01:12
Y ahora, ¿qué hacemos siempre con las fracciones? 00:01:25
Yo divido x menos 1 por x más 1 entre x menos 1, ¿qué es lo que me queda? Pues precisamente el x más 1. 00:01:29
Pues eso lo voy a multiplicar también arriba, ¿lo veis? 00:01:37
Mantengo esta x y si nos fijamos, realmente esto de aquí ¿cuánto vale? x más 1 partido de x más 1, 1. 00:01:42
Por lo tanto se mantiene esta fracción igual, esta es equivalente. 00:01:52
Procedemos ahora con la segunda fraccional hebraica. 00:02:00
el mínimo común múltiplo es x menos 1 por x más 1 00:02:03
y yo divido x menos 1 por x más 1 por x más 1 00:02:08
que es lo que me queda, el x menos 1 00:02:12
entonces por lo cual lo que voy a multiplicar es x menos 1 arriba y abajo 00:02:15
por lo tanto aquí este 2x yo aquí lo mantengo 00:02:22
y todo ello es igual a 3 00:02:26
ahora como tengo dos fracciones algebraicas con el mismo denominador que es x menos 1 por x más 1 00:02:28
voy a hacer mejor resto, tengo aquí el x menos 1 por x más 1 00:02:37
pues nada lo que yo tengo que hacer es operar 00:02:46
entonces x por x más 1 ¿cuánto es? pues esto es x cuadrado más x 00:02:49
estoy haciendo la multiplicación, estoy haciendo esta multiplicación 00:02:55
La de x por x más 1. Y ahora lo que voy a multiplicar es x más 1 por 2x. 00:02:59
Como tengo aquí un más, pues yo aquí, ¿vale? Esto es más x por un lado. 00:03:05
Y ahora, más, ¿cuánto es x por 2x? Pues 2x al cuadrado. 00:03:12
¿Cuánto es menos 1 por 2x? Menos 2x. ¿De acuerdo? 00:03:19
Y todo esto, ¿a qué es igual? Pues todo esto es igual a 3. 00:03:23
Procedo ahora a aquí. x al cuadrado más 2x al cuadrado, estoy agrupando, estos son 3x al cuadrado. 00:03:33
x menos 2x, pues menos x. 00:03:43
Y abajo, ¿qué me queda? Precisamente x menos 1 por x más 1, esto también es una identidad notable. 00:03:46
donde tengo suma por diferencia, pues esto de aquí realmente es x cuadrado menos 1 y lo pongo ya aquí directamente, x cuadrado menos 1 es igual a 3. 00:03:54
Aquí, ¿qué es lo que ocurre? Pues que yo ya tengo aquí, es como si yo tuviera aquí un 1, son fracciones equivalentes, pues entonces la multiplico en cruz, 00:04:06
Es decir, o esto de aquí, que está dividiendo, pasa al otro miembro multiplicando. 00:04:17
Entonces, ¿cuál es la ecuación que realmente me queda? Lo voy a hacer en verde. 00:04:24
3x cuadrado menos x es igual a 3 que multiplica a x cuadrado menos 1. 00:04:29
Entonces, si yo aquí continúo, tengo 3x cuadrado menos x es igual a 3x cuadrado menos 3. 00:04:37
Fijaros, esto de aquí se me va, esto con esto se me va, y ¿qué me queda? 00:04:46
Me queda que menos x es igual a menos 3. 00:04:54
Como yo quiero dejar la x sola, multiplico por menos 1 ambos lados de la igualdad y me queda que x es igual a 3. 00:04:59
¿De acuerdo? x es igual a 3. 00:05:10
Vamos a hacer ahora el ejercicio b. 00:05:13
Aquí lo que ocurre es muy parecido al anterior, lo único que tengo es un 3 medios. 00:05:24
Bueno, pues no pasa nada, lo hago exactamente igual. 00:05:29
El b es 5 partido de x más 2 más x partido de x más 3. 00:05:32
Todo esto es igual a 3 medios. 00:05:40
Entonces aquí nos fijamos, este polinomio es irreducible, este también. 00:05:43
Son diferentes, por lo tanto el mínimo común múltiplo de ambos es precisamente la multiplicación de ellos. 00:05:47
es decir, x más 2 por x más 3, y esto de aquí igual, x más 2 por x más 3. 00:05:53
Si yo divido x más 2 por x más 3 entre x más 2, ¿qué me queda? x más 3, pues esto es lo que pongo yo aquí arriba, 00:06:02
y entonces, ¿y este 5? Pues aquí. 00:06:11
Si yo divido x más 2 por x más 3 entre x más 3, ¿qué me queda? el x más 2. 00:06:14
y ahora esta x que tengo aquí, pues la pongo aquí, ¿de acuerdo? 00:06:20
Es decir, yo lo que he hecho es, si te fijas, multiplico arriba y abajo por x más 3, 00:06:26
con lo cual aquí me queda lo que tenía, y aquí lo que hago, multiplico y divido por x más 2, 00:06:32
que eso es 1, y todo esto de aquí es lo que yo tenía. 00:06:40
Y no olvidemos que esto es una ecuación, voy a seguirlo poniendo en morado, 00:06:44
esto es igual a 3 medios 00:06:48
entonces ahora que ocurre 00:06:51
que yo ya tengo aquí 00:06:53
x más 2 por x más 3 00:06:55
y que tenía aquí 00:06:58
bueno, con tantos colores a lo mejor no se ve 00:07:00
pero yo lo tengo, lo voy a escribir de nuevo 00:07:02
5 por x más 3 00:07:05
y aquí que tengo 00:07:06
más x más 2 por x 00:07:08
y esto aquí es igual a 3 medios 00:07:12
distribuyo el 5 00:07:14
y que me queda 5x más 3 por 5, 15. 00:07:18
Y ahora distribuyo la x y que me queda más x por x, x al cuadrado, más 2x 00:07:23
y que es partido, ¿de acuerdo? 00:07:30
Por x más 2 por x más 3. 00:07:36
Y no olvidemos que esto es igual a 3 medios. 00:07:41
Seguimos agrupando y esto de aquí que me queda x cuadrado más 7x más 15 partido de, voy a hacer esto de aquí es x cuadrado más 2x más 3x más 6 igual a 3 medios. 00:07:44
¿Qué tengo? Tengo dos fracciones que son iguales, pues por lo tanto multiplico en cruz. 00:08:08
¿Y qué me queda? Al multiplicar este 2 va a multiplicar a todo esto, entonces esto es 2 que multiplica a x cuadrado más 7x más 15. 00:08:15
Y todo esto de aquí, que lo voy a agrupar, esto es x cuadrado más 5x más 6, lo multiplica por el 3. 00:08:28
Entonces 3 por x al cuadrado más 5x más 6. 00:08:35
Y ahora si os fijáis, pues aquí me va a quedar una ecuación de segundo grado. 00:08:40
Distribuyo el 2 por todo ello y me queda 2x al cuadrado más 14x más 30. 00:08:45
Y ahora distribuyo el 3 por todo. Esto es 3x al cuadrado más 15x más 18. 00:08:54
Paso todo, por ejemplo, al segundo miembro y me queda aquí un 0. 00:09:03
3x cuadrado menos 2x cuadrado es x cuadrado, 15x menos 14x cuadrado más x y 18 menos 30 es menos 12 y esto chavales que es pues una ecuación de segundo grado que es x cuadrado más x menos 12 igual a 0. 00:09:07
vamos a hallarla 00:09:27
x cuadrado, voy a copiarme de todas formas 00:09:33
el enunciado aquí también 00:09:36
para no perder la referencia 00:09:38
esto me lo copio aquí 00:09:42
y era x cuadrado más x menos 12 00:09:45
y era el b, ¿verdad? 00:09:50
x cuadrado más x menos 12 00:09:51
x cuadrado más x menos 12 igual a 0 00:09:55
Pues nada, x igual a menos b más menos b al cuadrado menos 4 por 1 y por menos 12, que esto al final me va a dar 49 partido de 2. 00:09:59
Esto, 4 por menos 12 es 48, lo hago poco a poco, pero vamos, esto es 1 más 48 partido de 2. 00:10:15
x es igual a menos 1 más menos raíz de 49 partido de 2, esto es menos 1 más menos 7 partido de 2 00:10:24
y aquí que tengo, menos 1 más 7 entre 2, esto es 6 medios que es 3 00:10:35
y menos 1 menos 7 partido de 2, esto es menos 8 medios que es igual a menos 4 00:10:40
pero volvemos a insistir, estas soluciones son de esta ecuación 00:10:48
Vamos a ver lo que ocurre en B. 00:10:54
Pues vamos a ver para x igual a 3. 00:11:00
Para x igual a 3. 00:11:03
Voy a ponerlo en verde. 00:11:04
5 partido de 3 más 2 más 3 partido de 3 más 3. 00:11:07
Este es en paréntesis. 00:11:19
es igual a 3 medios 00:11:20
pues vamos a ver, 3 más 3 es 5 partido de 5 00:11:23
más 3 partido de 6 00:11:27
esto es igual a 3 medios 00:11:30
pues esto resulta que es un 1 00:11:33
3 sextos es lo mismo que un medio 00:11:36
¿esto es verdad que es 3 medios? 00:11:40
pues precisamente 1 es 2 partido de 2 00:11:42
2, 1 más 1 medio, 3 medios es igual a 3 medios, con lo cual es súper correcto. 00:11:48
Vamos a ver para x igual a menos 4. 00:11:54
Pues es 5, fijaros que aquí donde había un 3 ahora pongo menos 4, menos 4 más 2, más menos 4 y aquí tenemos un menos 4 más 3. 00:12:01
eso es verdad que es igual a 3 medios 00:12:16
esto es 5 partido de menos 2 00:12:19
no se suele poner aquí el menos 00:12:25
y lo que hacemos es poner aquí en positivo y arriba el menos 00:12:28
más, esto es menos 4 y esto es menos 1 00:12:32
menos 4 entre menos 1 realmente es más 4 00:12:36
es verdad que esto es 3 medios 00:12:39
Pues resulta que esto es menos 5 más 8 partido de 2 00:12:42
Lo que he puesto es 4,8 medios 00:12:48
Que esto precisamente es 3 medios, como queríamos demostrar 00:12:50
Con lo cual ya tenemos las dos soluciones 00:12:55
x igual a 3 y x igual a menos 4 00:12:58
Vamos a hacer el ejercicio C 00:13:00
Lo copio, más y aquí 00:13:04
En el ejercicio C 00:13:09
Voy a subir una amiguita a esto 00:13:11
¿Vale? ¿Qué tengo? En el ejercicio C tengo 1 partido de x más 1 partido de x cuadrado igual a 3 cuartos. 00:13:14
Entonces, ¿qué hago aquí? ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de x y x cuadrado? 00:13:29
Fijaros que aquí la solución es cero y aquí también la solución es cero, con lo cual realmente es el mismo polinomio reducible, pero esto está elevado al cuadrado. 00:13:36
El mínimo común múltiplo es x al cuadrado. Entonces, ¿qué hacemos? Pues pongo el 1 partido de x, lo que tengo que poner como x al cuadrado, es decir, x por x. 00:13:49
Y aquí, ¿qué ocurre? Es decir, si yo divido x cuadrado entre x, ¿cuánto es x? Pues eso lo tengo que multiplicar por el 1. 00:14:06
De nuevo, volvemos. Yo tenía 1 partido de x, es esto de aquí, y lo multiplico arriba y abajo hasta llegar, por lo mismo, para llegar al mínimo con un múltiplo. 00:14:16
¿Y qué ocurre aquí? Que como ya tengo el x al cuadrado, x al cuadrado entre x al cuadrado, ¿cuánto es? 1. 00:14:27
Y es el 1, 1 por 1 se queda exactamente igual. Y esto no olvidemos que es igual a 3 cuartos. 00:14:37
¿Aquí qué ocurre? Que tengo x más 1 partido de x cuadrado igual a 3 cuartos. 00:14:44
Pues nada, multiplicamos en cruz 00:14:51
Yo multiplico esto en cruz, ¿qué me queda? 00:14:54
4 que multiplica a x más 1 es igual a 3x cuadrado 00:14:57
Es decir, 4x más 4 es igual a 3x al cuadrado 00:15:03
Pues 3x al cuadrado menos 4x menos 4 es igual a 0 00:15:08
Y esto que es una ecuación de segundo lado 00:15:16
x es igual a menos b, más menos b al cuadrado, menos 4 por a y por c, esto es 4 por 4 es 16, y 16 por 3, 4 por 3 por 4 es más 48, partido de 6, 2 por 3. 00:15:18
48 más 16 es 64 00:15:42
entonces esto es 4 más menos la raíz de 64 00:15:47
que la raíz de 64 es 8 00:15:51
por lo tanto aquí que tengo 4 más 8 sextos 00:15:54
entonces 12 sextos es igual a 2 00:15:59
y esto es 4 menos 8 sextos 00:16:02
esto es menos 4 sextos, es decir, menos 2 tercios 00:16:04
Estas serían las soluciones de esto de aquí. 00:16:09
Si lo comprobamos, vamos a hacer la comprobación, con x igual a 2. 00:16:14
1 partido de 2 más 1 partido de 2 al cuadrado es igual a 3 cuartos, 00:16:24
pues precisamente esto es 1 medio más 1 cuarto, esto es 2 cuartos más 1 cuarto, esto es 3 cuartos. 00:16:32
Por lo tanto, es correcto. 00:16:43
Con x igual a menos 2 tercios, pues 1 partido menos 2 tercios más 1 partido menos 2 tercios al cuadrado. 00:16:45
Eso es verdad que es igual a 3 cuartos. 00:16:57
1 partido de menos 2 tercios es menos 3 medios. 00:17:01
Le damos la vuelta. 00:17:05
Y esto de aquí es, el menos con el menos se va, se queda 4 novenos. 00:17:06
Esto es 9 entre 4, porque le damos la vuelta al ser 1 partido. 00:17:11
Entonces, esto es igual a menos 6 cuartos más 9 cuartos, efectivamente es 3 cuartos. 00:17:19
¿De acuerdo? 00:17:28
Aquí no haría falta hacer las comprobaciones, igual que en las radicales sí, aquí no, 00:17:29
pero nunca está demasiado tiempo en el examen, pues hacerla. 00:17:34
Pues venga, nos vamos a ir al último ejercicio, pero vamos que son todos iguales, es más, venga, sí, lo hacemos, pero lo suyo sería que lo hicierais ustedes en casa, ¿vale? 00:17:37
Bien, venga, nos vamos a ir al dedo. El ejercicio D tenemos x más 1 partido x más 5, este es un polinomio reducible de raíz x igual a menos 5, más 1 menos x partido x menos 4, este es otro polinomio reducible de raíz 4, y todo ello es igual a 5 medios. 00:17:57
Entonces, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de x menos 4 y x más 5? 00:18:25
Pues como son dos polinomios reducibles, es como si tuviéramos dos números primos. 00:18:33
Entonces, la multiplicación de ellos es x menos 4 por x más 5, que esto ya lo vamos a desarrollar. 00:18:39
Desarrollar, esto es x cuadrado menos 4x más 5x menos 20, esto es x cuadrado más x menos 20, ¿vale? 00:18:47
Entonces, si ahora nos venimos aquí, pues igual, si yo divido el nuevo denominador común, es x más 5 por x menos 4, ¿vale? 00:18:58
Entonces, si os fijáis, si yo divido x menos 5 por x menos 4 por x más 5 entre x más 5, ¿qué me queda? 00:19:10
Pues precisamente me queda el x menos 4 y es por lo que yo tengo que multiplicar, aquí siempre pone paréntesis, por el denominador y el numerador, ¿vale? 00:19:19
¿Veis? Fijaros. Esto de aquí, ¿cuánto es? x menos 4 partido de x menos 4, esto es 1. 00:19:29
Por lo tanto, no estoy alterando la fracción, la fracción original, que es esta de aquí. 00:19:37
Seguimos. Más otra fracción, que es x menos 4 por x menos 5. x más 5, perdón. 00:19:43
Entonces, si yo divido x menos 4 por x más 5 entre x menos 4, ¿qué es lo que me queda? 00:19:53
El x más 5, que es lo que yo multiplico a 1 menos x cabía. 00:20:01
Y aquí, por favor, poner siempre paréntesis. 00:20:08
Y todo ello, esto es igual a 5 medios. 00:20:10
Pues nada, ahora no me queda más remedio que multiplicar x más 1 por x menos 4. 00:20:14
Y eso que es igual a x cuadrado más x menos 4x menos 4 partido de x cuadrado más x menos 20, ahora esto ya lo voy a poner desarrollado, más esto que es, esto es x menos x cuadrado más 5 menos 5x partido de qué? 00:20:19
de x cuadrado más x menos 20 00:20:43
y todo ello es igual a 5 medios 00:20:46
ahora ya lo puedo agrupar 00:20:49
entonces fijaos 00:20:53
x al cuadrado como esto es un más 00:20:54
no cambia el signo 00:20:57
si esto hubiese sido un menos 00:20:58
me cambia el signo de todo lo de arriba 00:20:59
voy a agrupar primero 00:21:01
x cuadrado menos 3x menos 4 00:21:02
y aquí más 00:21:06
puedo poner en el paréntesis 00:21:09
esto es menos x cuadrado 00:21:11
menos 4x más 5 00:21:14
partido de x cuadrado 00:21:18
más x menos 20 00:21:24
y todo esto es igual a 5 medios 00:21:26
entonces si os fijáis 00:21:28
este se me va con este 00:21:31
y me queda arriba 00:21:34
menos 3x menos 4x 00:21:36
menos 7x 00:21:41
y menos 4 más 5 es más 1 00:21:43
partido x cuadrado más x menos 20 00:21:46
y esto es igual a 5 medios 00:21:50
y ahora multiplico en cruz que tengo 00:21:53
2 por menos 7x más 1 00:21:55
igual a 5 por x cuadrado más x menos 20 00:21:59
sigo, menos 14x más 2 00:22:04
es igual a 5x cuadrado más 5 00:22:09
x menos 100 00:22:13
y si ahora agrupo todo 00:22:15
¿qué me queda? 00:22:18
5x al cuadrado 00:22:20
más 19x 00:22:22
menos 102 00:22:25
igual a 0 00:22:27
y chavales 00:22:29
os dejo ya para ustedes 00:22:30
hacer esta ecuación 00:22:32
de segundo grado 00:22:35
¿de acuerdo? 00:22:36
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Idioma/s:
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Idioma/s subtítulos:
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Segundo Ciclo
        • Cuarto Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
10
Fecha:
8 de noviembre de 2025 - 22:45
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
22′ 45″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
46.19 MBytes

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