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2Bto - 01 - Matrices - 13 - Método de Gauss II - Contenido educativo

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Subido el 26 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, en este vídeo vamos a ver un par de ejemplos más de obtención de la matriz inversa de una matriz cuadrada por el método de Gauss. 00:00:02
Ya sabéis que lo primero que tenemos que hacer es escribir la matriz ampliada, en la parte de la izquierda escribimos la matriz que nos dan, 00:00:12
y tras una línea vertical escribimos la matriz identidad. 00:00:27
Ya sabéis que el objetivo es que vamos a ir haciendo operaciones elementales, 00:00:31
transformaciones elementales, hasta conseguir trasladar la matriz identidad a la parte de la izquierda 00:00:36
y en la parte de la derecha entonces aparecerá la matriz inversa, en este caso, de B. 00:00:42
Para una estrategia que podemos seguir para obtener la matriz inversa, 00:00:49
Enversa, las operaciones elementales que le vamos a ir haciendo a las filas pueden ser las que queramos, siempre y cuando consigamos nuestro objetivo. 00:00:55
Pero una buena estrategia es la siguiente. 00:01:06
Tenemos que tener en cuenta que yo necesito conseguir que la diagonal principal tenga todos sus elementos igual a 1 y el resto de elementos sean 0. 00:01:08
Para lo cual lo que voy a hacer es que voy a ir columna a columna intentando obtener un 1 en el elemento A1, A1, A2, A2 o A3, A3, ¿vale? 00:01:17
Y una vez que tenga ahí conseguido el 1, después le haré al resto de filas transformaciones, le iré sumando o restando múltiplos de la fila 1 para conseguir hacer ceros, ¿vale? 00:01:29
De esa forma me iré asegurando que cada una de las columnas ya pertenezcan a la matriz identidad. 00:01:42
Entonces, lo primero que vamos a hacer es, como ya he señalado aquí, fijarnos en la fila 1 00:01:49
y esta matriz está bastante preparada y ya tengo un 1 ahí en el primer elemento. 00:01:53
Por tanto, el primer paso lo tendría hecho y ya simplemente tengo que buscar que el resto de elementos de esa primera columna sean 0. 00:01:59
En este caso es muy sencillo lo que tenemos que hacer, porque en la tercera fila si os fijáis el elemento 3,1 ya es 0, simplemente tendría que quitar el elemento 2,1, conseguir que ahí en vez de un 1 aparezca un 0. 00:02:07
Para lo cual lo que vamos a hacer es transformar la fila 2, f sub 2, y la vamos a sustituir por la diferencia de f sub 2 menos f sub 1. 00:02:22
Esa es la transformación que voy a hacer. 00:02:33
Las filas 1 y 3 las voy a dejar tal y como están 00:02:35
Pero a la fila 2 lo que le voy a hacer es que le voy a restar la fila 1 00:02:39
De esa manera, a cada uno de los elementos de la fila 2 le voy a restar los elementos de la fila 1 00:02:43
Y voy a conseguir que me quede un 0 en la posición 2, 1 00:02:47
¿Vale? En la fila 2, columna 1 00:02:52
Entonces, como digo, la fila 1 en principio se queda como está 00:02:53
¿Vale? 00:02:58
La fila 3 también, ¿vale? Si queréis la vamos copiando 00:03:01
y ahora vamos a ir haciendo las operaciones de la fila 2. 00:03:03
Como digo, a cada elemento de la fila 2 le vamos a restar el que está justo encima de él, ¿vale? 00:03:07
Entonces, como primer elemento de la fila 2 vamos a poner la resta 1 menos 1, ¿vale? 00:03:14
1 menos 1 que será 0. 00:03:21
Aquí en la posición 2 tendremos que poner 3 menos 2, 00:03:25
O sea, el elemento que está en la posición 3 le restaremos el de la posición... 00:03:28
O sea, el elemento 2, 2 le restaremos el elemento 1, 2 y me queda como resultado un 1. 00:03:33
Y por último, al 1 le restamos 1 y me quedaría aquí 0. 00:03:41
Tenemos que seguir haciendo lo mismo con el resto de elementos de la ampliación, ¿vale? 00:03:47
Aquí pondría 0 menos 1, que sería menos 1. 00:03:51
Aquí 1 menos 0, que es 1. 00:03:54
Y aquí 0 menos 0, que es 0. 00:03:57
Daos cuenta que estas cuentecitas, como eran muy fáciles, las he hecho directamente, pero en ocasiones, para no equivocarnos con los signos y demás, es bastante recomendable hacerlas aparte, ¿vale? Hacerlas en sucio. 00:03:59
Bueno, si os dais cuenta, ya tengo colocados todos los elementos, o sea, la primera columna ya pertenece a la matriz identidad, he acabado con ella, ¿de acuerdo? 00:04:13
Entonces ahora me voy a fijar en la segunda columna, ¿vale? La estrategia es la misma, fijar primero que el elemento de la diagonal de la segunda columna sea 1, mirad que suerte que aquí ya lo he conseguido, ¿vale? 00:04:23
Y una vez que lo tengo colocado, que consigo, o sea, si aquí por ejemplo tuviera un 3, pues tendría que hacer operaciones elementales con el resto de filas y columnas hasta conseguir que ahí me quedara un 1, ¿vale? 00:04:36
Y una vez que lo tengo, voy a, pues bueno, gracias a ese 1 poder quitar los, o sea, poder hacer ceros los elementos de la fila 1 y de la fila 3, que es el paso que voy a hacer directamente porque en este caso, como veis, ya tengo un 1 ahí en el elemento 2, 2, ¿vale? 00:04:47
Este ya, como ya lo tengo también bien colocado, lo que vamos a hacer es directamente las transformaciones, ¿vale? 00:05:05
Al resto de filas. Entonces, daos cuenta, ¿qué pasa? Pues que bueno, en la fila 1 tengo un 2 y necesito un 0. 00:05:10
Entonces la transformación que le voy a hacer a la fila 1 es que a la fila 1 le voy a restar el doble de la fila 2, ¿vale? 00:05:18
Porque de esa manera, como aquí ya tengo un 0, no le va a afectar a este 1 que ya estaba colocado, 00:05:27
pero ese 2 al restarle el doble de 1 sí que se me va a hacer 0 que es el objetivo que tengo 00:05:32
y a la fila 3 también le voy a hacer una transformación en el mismo paso 00:05:38
que va a ser directamente que le voy a restar únicamente la fila 2 00:05:42
si os dais cuenta cuando aquí a 1 le reste, o sea a 0 le resto 0 no pasa nada 00:05:45
porque aquí ya lo tengo ordenado gracias a que fijé y aseguré la primera columna 00:05:50
ya estos números no les va a afectar y entonces aquí cuando a la fila 3 00:05:54
a este 1 de la posición 3, 2 de reste, el 1 de la posición 2, 2, también se me va a hacer 0, ¿vale? 00:05:58
Entonces, como en este paso a la fila 2 no le estoy haciendo ninguna transformación, la copio como está, ¿vale? 00:06:05
Y lo que voy a hacer es, pues, las otras dos transformaciones. 00:06:13
Aquí, como os digo, igual sí que en algún momento vamos a hacer las operaciones aparte, ¿vale? 00:06:17
Para asegurarnos. 00:06:21
Entonces, venga, a 1, al elemento, al primer elemento de la fila 1 le tengo que restar el doble del primer elemento de la fila 2. 00:06:22
1 menos 2 por 0, es decir, 1 menos 0 es 1, se queda como está, no me hace falta ni hacer la parte. 00:06:30
Segundo, al elemento segundo de la fila 1 le resto el doble de la fila 2, sería 2 menos 2 por 1, es decir, 2 menos 2 que es 0, ¿vale? 00:06:36
Y por último aquí tendríamos 1 menos 2 por 0 que es 1. 00:06:47
En este elemento tendré 1 menos 2 por menos 1, esta sí que lo hago aparte, tendría 1 menos 2 por menos 1, o sea, este 1 menos el doble de este 1, de este menos 1, ¿vale? 00:06:53
Es decir, 1 más 2 es 3, ¿de acuerdo? Tendría aquí un 3, aquí tendría 0 menos el doble de 1 sería menos 2 y aquí 0 menos 0 es 0, ¿de acuerdo? 00:07:08
Borro la operación auxiliar y hago la siguiente operación. Bueno, ya voy a transformar la fila 3 a la que le voy a restar los elementos de la fila 2. 00:07:21
Esta base es sencilla, 0 menos 0 es 0, 1 menos 1 es 0 y aquí 1 menos 0 es 1, ¿de acuerdo? Y aquí tendré 0 menos 1 será 1 positivo, 0 menos 1 será menos 1 y 1 menos 0 es 1, ¿de acuerdo? 00:07:32
Bueno, como podéis observar ya acabamos de colocar la columna 2, la columna 2 ya pertenece a la matriz identidad, entonces en este paso lo que voy a hacer es, pues tendría que en este paso asegurar que el elemento de la diagonal es 1, 00:07:53
esto ya lo tengo vale está estaba bastante preparada y pues bueno como ya 00:08:11
lo tengo necesito ahora hacer que el resto de elementos de esta tercera 00:08:17
columna sean cero para lo cual ya sólo me queda hacer una transformación a la 00:08:22
fila 1 lo que voy a hacer es que a la fila 1 le voy a restar la fila 3 vale 00:08:26
va a ser la transformación que yo le haga vale la fila 1 ahora se va a 00:08:30
convertir en la diferencia de la fila 1 menos la fila 3 vale para quitar ese 00:08:37
ese elemento a 13 entonces lo que voy a hacer es que las filas 2 y 3 las dejo 00:08:41
como están 00:08:47
101 menos 110 y aquí tendría pero 011 menos 11 vale y sólo me queda transformar 00:08:53
esta, venga, entonces a la fila 1 le restamos la 3, 1 menos 0, este 1 menos este 0, no sé 00:09:04
si veis el punto chiquitito, 1 menos 0 es 1, 0 menos 0 es 0 y 1 menos 1 es 0 y por este 00:09:12
lado tendría 3 menos 1 que es 2, menos 2 menos menos 1 que sería menos 2 más 1 que 00:09:20
es menos uno y por último cero menos uno que es menos uno. 00:09:28
Venga, entonces si os dais cuenta ya tengo la matriz identidad en el lado de la izquierda 00:09:34
y otra matriz a la derecha. 00:09:38
Esta matriz de aquí que sería la formada por los elementos menos dos menos uno menos 00:09:41
uno menos uno uno cero y uno menos uno uno es la matriz inversa de B. 00:09:47
Un ejercicio muy típico en evau es que comprobéis que si dada una matriz, dada dos matrices, una es la inversa de otra 00:09:55
Para hallar si es la inversa podríamos o bien hacer todo este proceso o un proceso muchísimo más elegante 00:10:03
Que es comprobar la definición de matriz identidad 00:10:12
Es decir, comprobar si el producto de la matriz que a mí me dan por su inversa me da la matriz identidad 00:10:14
Entonces, es lo que vamos a hacer para comprobar que lo hemos hecho bien. Dada la matriz original, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 1, la vamos a multiplicar por su inversa, la que acabamos de obtener, 2, menos 1, menos 1, menos 1, 1, 0 y 0, 1, 0, perdón, 0, 1, no, perdón, menos 1, 1, menos 1, 1. 00:10:22
Vamos a comprobar qué da este producto. 00:10:52
Tendríamos como primer elemento, 1 por 2 que es 2, más 2 por menos 1 que es menos 2, más 1, 2 menos 2 más 1 es 1. 00:10:55
El elemento 1, 2 sería menos 1 más 2 menos 1 sería 0. 00:11:07
El elemento 1, 3 sería menos 1 más 0 más 1, 0. 00:11:14
Siguiente fila. 00:11:20
1 por 2 es 2 más 3 por menos 1 que es menos 3 más 1 00:11:21
2 menos 3 más 1 es 0 00:11:27
El elemento que tendríamos aquí sería el menos 1 más 3 menos 1 00:11:29
Que sería menos 2 más 3 que es 1 00:11:35
Y aquí como elemento 2, 3 tendríamos el menos 1 más 0 más 1 que sería el 0 00:11:37
y por último tendríamos aquí el 0, porque es 0 por 2, que es 0, menos 1 más 1, que es 0, ¿vale? 00:11:45
Aquí tendríamos 1 menos 1, que también es 0, y por último tendríamos un 1, ¿vale? 00:11:56
Como el producto de estas dos matrices es la matriz identidad, 00:12:04
significa que la matriz inversa de la que a mí me daban la he hallado bien. 00:12:06
Subido por:
Beatriz N.
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Fecha:
26 de septiembre de 2020 - 16:05
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Público
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12′ 17″
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1.78:1
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