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Mi vídeo subtitulado
Voy a corregir los ejercicios de estas dos funciones, de estudiar comportamiento asintótico.
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Empiezo con esta, que es relativamente más complicada porque tiene una asíntota oblicua.
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Entonces, como siempre, empezamos estudiando, como ya os he dicho, es algo habitual,
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estudiamos el dominio, determinamos el dominio de esta función.
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Es evidente que el único punto problemático es el 6, porque es el único que anula el denominador, ¿de acuerdo?
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Luego ponemos, escribimos los puntos de corte con los ejes, o sea, antes de pasar a estudiar comportamiento asintótico,
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propiamente dicho. Entonces hacemos x igual a 0, la y vale entonces menos 4 partido de 6, es decir,
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menos 2 tercios. Luego escribiremos todos estos puntos en el plano cartesiano. Y luego el y igual
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a 0, que son los más importantes, pues ya sabemos dónde se anula la función. Como es una función
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racional se va a anular donde se anule el numerador, es decir, en x igual a menos 2 y en x igual a 2, ¿vale? Situamos estos puntos en los ejes cartesianos,
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Entonces, el 0 menos 2 tercios, que lo hacemos más o menos a ojo ahí, ¿vale? Bueno, voy más arriba, y luego los puntos 2, 0 y menos 2, 0. ¿De acuerdo?
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Entonces, nos metemos en el comportamiento asintótico propiamente dicho, entonces, para estudiar el comportamiento asintótico tenemos que, bueno, empezar, yo qué sé, empezamos con las asíntotas verticales, no es que sea el orden correcto, no hay un orden correcto, ¿vale?
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como queráis. ¿Dónde vamos a tener las asíntotas verticales? Pues ya sabemos que es bastante probable que la recta x igual a 6,
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es decir, donde se anula el denominador, sea una asíntota vertical. ¿Cómo lo comprobamos? ¿Cómo lo demostramos?
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Pues bueno, estudiando el límite cuando x tiende a 6 de la función que es así.
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Entonces nos damos cuenta que efectivamente el resultado de este límite pues nos queda 32 partido de 0,
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es decir que como es una indeterminación, bueno, una indeterminación, un caso k partido por 0,
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pues esto nos asegura de que esta recta x igual a 6 es asíntota vertical.
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Pero tenemos que estudiar sus límites laterales, es decir, tenemos que estudiar el límite cuando la x tiende a 6 por la izquierda de la función.
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Entonces, evidentemente el numerador tiende a 32, que es un número positivo, y abajo tiende a 0,
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pero pues tenemos que ver si un cero positivo, un cero negativo, cero por arriba, cero por abajo.
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Entonces si la x tiende a 6 por la izquierda son números menores que 6, si hacemos 6 menos esos números pues resulta que nos queda positivo
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con lo cual este límite resulta ser más infinito.
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Por otro lado el límite cuando la x tiende a 6 por la derecha de la misma función resulta ser 32 partido de 0
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pero en este caso el 0 como veis es negativo porque al ser, tender, aproximarse al 6 por la derecha son números mayores que 6, 6 menos dichos números pues es negativo y por tanto en este caso el límite es menos infinito.
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Si representamos esta información en la gráfica de la función, voy a señalar la recta vertical x igual a 6, la marcamos aquí en verde, y entonces los límites laterales,
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si cuando tiende a 6 por la izquierda, hemos dicho que el límite es más infinito,
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voy a representar la función en azul también,
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entonces eso quiere decir que la rama de la función se va a acercar a la asíntota de esta forma.
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Cuando la x tiende a 6 por la izquierda, la función se dispara hacia más infinito.
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Sin embargo, por la derecha, pues la rama de la función, la función se va a acercar de esta otra manera, ¿de acuerdo? Estos trazos que hacemos, pues luego se corregirán y todo esto se adaptarán, se corregirán teniendo en cuenta cuando estudiemos el crecimiento y todo eso de la función, ¿vale?
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Bien, y con eso estaría cerrado el tema de la asíntota vertical. El tema de las asíntotas horizontales, como ya sabemos, son los límites en el infinito, entonces, si resolvemos límite cuando la x tiende a más o menos infinito de la función,
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pues en este caso como vemos el grado del numerador es mayor que el del denominador
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entonces eso quiere decir que el límite va a ser infinito
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bueno, podemos darnos cuenta que cuando la x tiende a más infinito este límite va a ser menos
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y cuando la x tiende a menos infinito este límite va a ser más infinito
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pero lo importante ahora mismo para nosotros es que esto lo que nos dice es que no existe o que esta función no tiene asíntotas horizontales.
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¿De acuerdo? Que es el caso en el que los grados no coincidan de numerador y denominador, pues vamos a tener eso, que no existen asíntotas horizontales.
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Y por tanto es un candidato, esta función es una candidata a las asíntotas oblicuas, que además, o sea, es fácil entenderlo, que van a tener asíntotas oblicuas las funciones racionales donde el grado del numerador sea una unidad superior al grado del denominador.
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¿Por qué? Pues por la propia definición de asíntota oblicua, que va a ser una recta con pendiente distinta de cero, la pendiente de esta recta m va a ser el límite cuando la x tiende a más o menos infinito de la función entre x.
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Entonces de ahí se sigue lo que os he dicho antes del grado, una unidad mayor y todo esto.
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Concretando para el caso de la función que tenemos que resolver, pues tenemos, y entonces si hacemos este límite, resolvemos este límite,
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Bueno, hacemos el cociente, numerador por denominador nos queda x cuadrado menos 4 y abajo nos queda 6x menos x cuadrado, ¿no? Así se dividen las fracciones, ¿vale?
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El producto de numerador por denominador, denominador por numerador, bueno, debe estar claro. Y nos damos cuenta que en este caso ahora coincide el grado de numerador y denominador y entonces el límite este va a ser finito y va a valer menos 1 porque es el cociente de los términos de mayor grado.
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x cuadrado entre menos x cuadrado es menos 1. Por lo tanto, ya tenemos la pendiente de nuestra asíntota oblicua, que es menos 1, nos queda calcular la n.
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¿Cómo calculamos la n? Pues también por definición, la n es igual al límite cuando la x, como veis aquí no cambia nada si la x tiende a más infinito o menos infinito, ¿vale?
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Pero, bien, entonces la definición nos dice que esto es este límite de f de x menos m por x, la m que hemos calculado previamente, es decir, concretando en nuestro caso,
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esto es el límite de x cuadrado menos 4 partido de 6 menos x, que es la función, menos menos 1 por x, que será más x.
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Necesitamos poner paréntesis. Esto da lugar a, siempre son todos iguales estos límites, ¿vale?
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Podríamos poner simplemente límite cuando el x tiende a infinito, y entonces haciendo esta suma,
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denominador común 6 menos x, y aquí nos queda x cuadrado menos 4, más x por 6 menos x, ¿vale? Para hacer bien esta suma.
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Bueno, sigo hacia la derecha mejor, ¿vale? Porque límite cuando el x tiende a infinito, entonces de denominador 6 menos x,
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y arriba nos queda, como veis, x cuadrado, y al hacer el desarrollo de este paréntesis me va a quedar x por menos x, menos x cuadrado, las x cuadrados se cancelan, siempre va a ocurrir eso, que los términos de mayor grado se cancelan,
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y entonces me va a quedar como resultado en el numerador, me va a quedar el menos 4 del primer término más 6x, es decir, otra vez en este caso el límite, como veis, es finito,
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tiene el mismo grado numerador y denominador, hacemos el cociente entre los términos de mayor grado y el resultado que nos queda es menos 6.
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Por tanto, nuestra asíntota oblicua es igual a menos x, perdonad que se me ha olvidado si es menos 6, igual a menos x menos 6 es asíntota oblicua de la función.
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entonces
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si vamos, bueno aquí una aclaración
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antes de representarla, ya he visto que algunos habéis encontrado
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algún resultado por ahí que dice que para calcular la asíntota
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oblicua de una función, claro esto solo vale para funciones racionales
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sale de hacer directamente el cociente entre
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numerador y denominador, eso es verdad, de acuerdo
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Si hacemos este cociente, nos queda, haciendo el cociente entre los términos de mayor grado, x cuadrado entre menos x es menos x, sacamos el resto, nos queda menos x por menos x más x cuadrado, pero como restamos, bueno, os acordáis todo de la división de polinomios.
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Y entonces nos queda ahora menos 6x que pasaría aquí a ser más 6x.
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Sacamos el resto, los términos de mayor grado se van y me queda aquí 6x bajo el 4 y termino la división 6x entre menos x es igual a menos 6.
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Como veis me ha quedado la misma expresión de asíntota oblicua que había calculado yo con la definición.
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¿Por qué yo lo he hecho con la definición de m y n como esos límites?
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Porque con esa definición se pueden calcular las asíntotas oblicuas de funciones que no son racionales, cosa que no es habitual este año, pero sí en años sucesivos.
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Bueno, determino el resto, ¿vale? Por terminar la división y entonces me queda aquí un 32 de resto y entonces, como veis, este es el resultado de la asíntota oblicua, ¿vale?
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Bien, paso a representarla en mis ejes cartesianos. Entonces, represento la recta igual a menos x menos 6, ¿vale?
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Entonces, pues nada, calculo un par de puntos para representarla, ¿vale?
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O sea, hago la tabla de valores de toda la vida, si la x vale 0, la y vale menos 6,
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y, pues bueno, voy a poner el 0 en la y, a mí ya sabéis que me gusta siempre poner los ceros.
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Entonces, el 0 en la y, pues me queda que la x efectivamente también vale menos 6.
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Si representamos estos puntos, ¿vale? En verde, para las asíntotas las voy a poner en verde,
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entonces me queda el punto 0, menos 6, y el punto menos 6, perdón, ese es el menos 6, 0, y el 0, menos 6, que sería este, bueno, como veis, me queda una recta,
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esta recta de pendiente menos uno
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que bueno, por la parte de abajo del plano cartesiano
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como veis se me escapa
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habría que estudiar
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lo que pasa es que no lo voy a hacer aquí ahora
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cómo se comportaría la función, o sea, cómo se va a aproximar la función
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Yo creo que podéis ver que es algo bastante razonable teniendo en cuenta el comportamiento asíntotico con la asíntota vertical y todo esto y los puntos de corte como va a ser, o sea, es algo bastante intuitivo.
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Entonces, bueno, para dibujarla voy a borrar todo esto, ¿vale? Porque como veis se me ha escapado la función, ¿vale? Que es normal porque es habitual que nos ocurra esto, en GeoGebra utilizaríamos el zoom, entonces esta sería la asíntota vertical y la horizontal, ¿de acuerdo? Que se nos ha escapado un poco por ahí.
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Entonces tengo que cambiar la rama esta azul de la asíntota, como tendría la gráfica a la asíntota vertical por la derecha, ¿vale?
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Porque aquí, claro, no me va a quedar normalmente, no me quedan por encima de la asíntota vertical, sino que es de la asíntota oblicua, sino de la asíntota oblicua también.
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Y entonces aquí la gráfica, o sea, la rama de la función se acercaría a la asíntota de esa forma, ¿vale?
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Sin llegar a tocarla.
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Y entonces, en el otro lado de la gráfica, es lógico pensar que se va a acercar...
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Perdón, que lo dibujo en verde.
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Entonces, la rama va a venir por aquí de la función.
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Y entonces, pues bueno, lo podéis comprobar en GeoGebra, ya nos podemos lanzar un poco.
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¿Cómo va a ser la gráfica de esta función? Comprobarlo en GeoGebra. Lo lógico es que tenga este comportamiento. Tengamos una rama por aquí así, encuadrada. Como veis, las asíntotas actúan como una especie de nuevos ejes, ¿vale?
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Y entonces lo dividen en cuadrantes, el plano cartesiano, pero no cuadrantes idénticos, sino diferentes. Como veis, en la rama que he dibujado ahora, por aquí, donde representa esto rojo, aquí la función va a tener un máximo relativo, ¿de acuerdo?
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¿Por qué? O sea, es pura, digamos, intuición, las funciones a pesar de todo se comportan de una manera relativamente sencilla, ¿vale? Y luego nos quedaría la otra rama que queda en el otro cuadrante, como veis, entonces, uniéndolo a los puntos de corte con los ejes, pues esto es probable que tenga un comportamiento así, ¿vale?
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Otra vez hay que decir que en esta zona, no sé exactamente dónde, pero en esa zona la función va a tener un mínimo relativo que vamos a localizar con el concepto de derivada.
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¿De acuerdo? ¿Dónde está exactamente ese mínimo relativo? ¿No está en x igual a 0? ¿No es ese punto? ¿O quizás sí?
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Bueno, en este caso me parece que sí. No, no, no, ¿qué va? No tengo ni idea.
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Entonces, la gráfica de la función, pues como veis, tiene esas dos ramas, parecen hipérbolas y tal, no, no son hipérbolas, pero digamos que va a ser, comprobar en GeoGebra que esto que me he lanzado yo a hacerlo, yo no lo he hecho todavía en GeoGebra, pues se corresponde con la realidad de la función.
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¿De acuerdo? Bueno, pues en otro vídeo hago el otro ejercicio, ¿vale? Verlo varias veces porque yo creo que es relativamente complejo, pero el estudio de las asíntotas, pues ya podéis ver que se hace siempre...
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Uf, me he cargado esto, perdonad. Siempre se hace igual, ¿de acuerdo? O sea, se hace el estudio este previo del dominio, los puntos de corte como preámbulo y luego con el comportamiento asintótico, pues habitualmente empezamos con las asíntotas verticales, donde se aluna el denominador de la función, se estudian los límites laterales
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y luego a partir de ahí, pues ya asíntotas horizontales, límites en infinito no tienen,
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entonces pasamos a asíntotas oblicuas, si hubiera asíntotas horizontales no tendríamos asíntotas oblicuas, ¿de acuerdo?
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Y entonces las asíntotas oblicuas, pues se estudian, se calculan primero con las definiciones
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y luego pues todo se intenta volcar al lenguaje gráfico, ¿de acuerdo?
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Entonces, pues bueno, aquí está el resultado final de esta función, ¿vale?
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Suerte.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Joaquín Martín
- Subido por:
- Joaquin M.
- Licencia:
- Dominio público
- Visualizaciones:
- 8
- Fecha:
- 2 de julio de 2023 - 12:09
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES CARMEN CONDE
- Duración:
- 19′ 32″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 960x720 píxeles
- Tamaño:
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