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Problemas de integral definida - Ejercicio 7

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Subido el 16 de marzo de 2020 por Manuel D.

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Bueno, vamos a resolver el siguiente ejercicio que apareció en la EBAU de Madrid del 2018 en junio. 00:00:01
Va a consistir en un ejercicio de integrales y de derivadas. 00:00:14
Es este ejercicio que tenéis aquí que nos piden lo siguiente. 00:00:18
Nos dan una función que tiene un valor absoluto. 00:00:21
Primero determinar si existen asíndotas horizontales y después calcular la derivada en un punto 00:00:24
para luego hallar el recinto limitado. Es decir, tenemos un ejercicio de límites, otro de derivadas y por último uno de integrales. 00:00:29
Nos piden en el de integrales hallar el recinto determinado por la curva, los valores x igual a menos 1 y x igual a 1. 00:00:39
Bien, pues vamos con ello. Para ello, en primer lugar, para que la función tenga asíntotas horizontales, ¿qué límite tenemos que calcular? 00:00:46
Bueno, pues el límite que habrá que calcular será el límite de la función cuando la x tiende a más y menos infinito. 00:00:57
En realidad, el límite cuando x tiende a más y el límite cuando x tiende a menos infinito van a coincidir. 00:01:05
¿Por qué? Porque la función es absolutamente... 00:01:12
O sea, como aquí hay un cuadrado y ahí hay un valor absoluto, significa que f de x es lo mismo que f de menos x. 00:01:17
es decir que la función es par o sea que los límites por más infinito y por menos infinito coinciden 00:01:24
vamos a calcular cuál es el límite pues venga vamos a ello 00:01:30
lo que tendremos que calcular es el límite de esta función 00:01:33
y cuando la x tiende a más infinito la x podemos quitar el valor absoluto 00:01:39
¿por qué? porque el valor absoluto de un número infinitamente grande pues es el propio número porque ya es positivo 00:01:52
y aquí podemos pues hacerlo de varias formas o bien dividiendo arriba y abajo entre x por ejemplo se resolvería este límite 00:01:59
o bien también podríamos aplicarlo pital aunque como tenemos una raíz eso es un poco latoso 00:02:09
podemos simplemente y ahora aquí tened cuidado porque al meter el x dentro de una raíz entra como x al cuadrado 00:02:15
y bueno, pues este límite va a quedar el límite cuando x tiende a infinito de 1 partido por raíz cuadrada de 1 más 9 partido por x al cuadrado 00:02:23
y ese límite vale 1. ¿Por qué? Porque esta parte tiende a 0 y listo, ya está. 00:02:33
Es decir, que tenemos una asíntota horizontal y igual a 1 por los dos lados. 00:02:41
Es decir, cuando x tiende a infinito y cuando x tiende a menos infinito. 00:02:55
De acuerdo, ese sería el apartado A. 00:03:01
Vamos con el apartado B. 00:03:03
Para ello, nos están pidiendo en el apartado B que calculemos f' de 4, la derivada en el 4. 00:03:05
como tenemos un valor absoluto nos va a estorbar un poco quizá el valor absoluto a la hora de derivar 00:03:13
pero tened en cuenta que en un entorno de 4 como la función es positiva el x es positivo 00:03:20
f de x la podemos tomar sin el valor absoluto porque en un entorno de 4 x es ya positivo 00:03:32
así que podemos utilizar esta derivada de hecho vamos a derivar esta función 00:03:39
la vamos a llamar f barra y veremos pues que la derivada va a coincidir con esta derivada. 00:03:44
Entonces derivamos esta f barra. La derivada de f barra sería, aplicamos la regla del cociente, 00:03:49
es decir, derivada 1 por el denominador sin derivar más x por 1 partido por el doble de la raíz 00:03:56
por la derivada de lo de dentro 2x, cuidado con la regla de la cadena, 00:04:05
partido por x cuadrado más 9, la raíz se nos va con el cuadrado, ¿de acuerdo? 00:04:10
Y esto, pues, ¿qué queda? Vamos a simplificar, no demasiado, pero un poquito sí, 00:04:22
nos quedaría x por x, x cuadrado, el 2 con este 2 se va, te queda aquí x cuadrado partido por estos. 00:04:27
¿Y ahora qué es lo que hay que hacer? Pues bueno, teniendo en cuenta lo dicho aquí, 00:04:40
en un entorno del 4 f' de 4 pues va a coincidir con la derivada de esta función en el 4 00:04:45
porque en un entorno del 4 f de x es digamos f barra de x va a ser positiva 00:04:54
con lo cual no va a haber que tomar el valor absoluto 00:05:07
y entonces ahora lo que hacemos es sustituir este valor aquí por 4 y listo 00:05:09
F' de 4 será igual a, sustituyendo ahí, pues 16 más 9, y así hacemos la cuenta y se acabó. 00:05:18
16 y 9, 25, raíz de 25, 5, 5 más 16 partido por 5, partido por 25. 00:05:36
Y se acabó, hacemos la cuenta, he multiplicado arriba y abajo por 5, perdón, entonces esto es, sí, 125, lo he hecho bien, 00:05:44
y 25 más 16 serían 41 partido por 125, que parece que es lo que da la derivada. 00:05:57
Muy bien, he ido un poco rápido, espero no haberme equivocado la cuenta. 00:06:05
Vamos con el apartado C. En el apartado C nos piden una integral. 00:06:09
Vamos a recuperar el enunciado, lo tenemos aquí. 00:06:13
Entonces, en el enunciado del apartado C nos piden que calculemos el área del recinto 00:06:21
determinado por la función, las rectas x igual a menos 1 y x igual a 1. 00:06:26
Vamos con ello. Entonces tenemos que dibujar, vamos a subir un poco para que se vea bien, tenemos que dibujar más o menos la función, no necesitamos tampoco tener cuidado con el cambio de signo a la hora de calcular la gráfica. 00:06:30
¿Por qué? Porque la función es primero par y luego es enteramente positiva porque es un valor absoluto. 00:06:48
En el numerador hay un valor absoluto y en el denominador hay una raíz cuadrada positiva, con lo cual la función es enteramente positiva. 00:06:56
Y a la hora de calcular el área, área entre la gráfica x igual a menos 1, x igual a 1 y el eje x, este área va a coincidir necesariamente con la integral entre menos 1 y 1 de la función, sin más. 00:07:03
Y ahora tened en cuenta lo siguiente, la función es como había dicho par, significa que es completamente simétrica respecto del eje Y, es decir que en el 0 por ejemplo la función vale 0, luego en el 1 y en el menos 1 valen lo mismo que valen pues 1 partido por raíz de 10, así que vamos a poner una escala, 1 partido por raíz de 10 estaría por aquí y la función va a bajar y luego va a subir, es absolutamente simétrica. 00:07:27
lo que valga por aquí va a ser lo mismo que lo que haya aquí 00:07:56
y entonces, perdón que no se veía 00:08:00
y entonces ahora ¿qué significa eso? 00:08:03
significa que a la hora de hacer la integral 00:08:05
yo puedo decir que esto es el doble 00:08:07
que la integral entre 0 y 1 de la función 00:08:09
por simetría 00:08:11
y eso significa, esto lo bueno es que a partir del 0 00:08:13
la función en valor absoluto, me puedo quitar el valor absoluto 00:08:16
porque el valor absoluto cambia justo en el 0 00:08:19
entonces lo que hago es calcular el doble 00:08:21
de la integral entre 0 y 1 de la función ya sin valor absoluto. 00:08:24
Y ahora, pues vamos con esta integral. 00:08:31
Esta es la integral para integrar... 00:08:34
Perdón, me falta el diferencial. 00:08:37
Importante. 00:08:39
Y ahora, la integral de esta función, ¿cuál es? 00:08:41
Bueno, pues esto es... 00:08:44
Lo podemos escribir de la siguiente forma. 00:08:46
Yo tengo 1 partido por la raíz de una función 00:08:49
y pues me interesaría tener en el numerador la derivada de la función. 00:08:51
Si yo tuviese esto, la integral, esta integral, ¿cuánto vale? Pues esta integral vale, si yo tengo 1 partido por la raíz de una función por la derivada, 00:08:56
si yo tuviese aquí un 2, 1 partido por el doble de la raíz es la raíz al integrar. Es constante. 00:09:08
Lo veis porque al derivar la raíz me queda 1 partido por el doble de la raíz de la función por la derivada de la función. 00:09:16
entonces la derivada de la función es 2x 00:09:23
así que arriba yo necesitaría 00:09:25
tener 2x para tener 00:09:27
f' y ahora abajo tendría 00:09:29
que tener un 2, bueno pues lo pongo 00:09:31
también lo pongo y fijaos 00:09:33
como he añadido un 2 arriba y un 2 abajo 00:09:34
pues se me cancelarían y no estoy 00:09:37
cambiando nada así que lo he hecho bien 00:09:39
de manera que yo aquí tengo 00:09:41
esta es f' lo vamos a poner con 00:09:43
otro color, esta es f 00:09:45
y eso significa que yo aquí 00:09:50
Y tengo el doble de la integral entre 0 y 1 de f' de x partido por el doble de la raíz. 00:09:54
Es decir, esta integral valdrá el doble de raíz de f de x y f de x es x cuadrado más 9. 00:10:05
Y lo tengo que evaluar entre el 0 y el 1. 00:10:20
Muy bien, tened en cuenta que aquí el 2, este que he metido, no hay ningún problema en meterlo porque estoy metiendo también 1 en el numerador 00:10:22
Y 2 con el 2 se me va a ir y me queda lo mismo que tenía antes, así que no estoy cambiando nada 00:10:32
Entonces ahora ya simplemente aplico la regla de barro y se acabó, hemos terminado 00:10:35
Esto te quedaría el doble de, aquí estoy haciendo barro, raíz de 1 más 9 menos raíz de 0 más 9, sustituyendo en el 1 y en el 0 00:10:40
y esto te queda el doble de raíz de 10 00:10:56
menos 3. Y esto, unidades cuadradas, fijaos 00:10:59
que es un valor positivo, raíz de 10 es mayor que 3. 00:11:04
Perfecto, hemos acabado el ejercicio. Espero que os haya gustado, nos vemos en futuros 00:11:08
vídeos de integrales o de lo que surja. ¡Hasta luego! 00:11:12
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
93
Fecha:
16 de marzo de 2020 - 16:13
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
11′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
181.26 MBytes

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