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Repaso Geometría de un triángulo - Contenido educativo

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Subido el 16 de febrero de 2022 por Roberto A.

118 visualizaciones

En este vídeo se hace un repaso de las definiciones de MEDIATRIZ, ALTURA y MEDIANA y de algunos de los puntos notables de un TRIÁNGULO: Baricentro, Ortocentro y Circuncentro.

Ortocentro es el punto de intersección de las ALTURAS de un triángulo.

Baricentro es el punto de intersección de las MEDIANAS de un triángulo.

Circuncentro es el punto de intersección de las MEDIATRICES de un triángulo.

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Bueno, vamos a recordar un poco geometría de triángulos, los puntos notables de un triángulo, vamos a repasar qué es la altura de un triángulo, la mediana, la mediatriz y después con estos conceptos de altura, mediana y mediatriz vamos a calcular lo que es el ortocentro, varidicentro y circuncentro, ¿vale? 00:00:03
Yo voy a definir en primer lugar un triángulo cualquiera con tres puntos, cualquiera, pues yo tengo aquí un triángulo, yo me lo acabo de inventar, no es un triángulo equilátero, tampoco es un triángulo rectángulo y yo aquí si vemos la mediatriz, si hago la mediatriz de un segmento, pues ¿qué ocurre? 00:00:24
Pues que es la perpendicular, la perpendicular al segmento, en este caso AB, y que pasa por el punto medir. 00:00:46
Esto porque es importante, porque nosotros si conocemos las coordenadas de A y conocemos las coordenadas de B, 00:00:54
yo puedo hallar el punto medir, como hemos visto, sumar las coordenadas X de un nivel alrededor y sumo las coordenadas Y de un nivel y lo divido entre 2 y tengo este punto. 00:01:01
Si yo hago la intersección del segmento A con esta mediatriz, y si yo lo mido, pues veis que entre A y B, que aquí entre A y B, es la misma distancia que desde A. 00:01:13
y si yo por ejemplo ahora lo estoy moviendo por ejemplo a, pues veis que siempre se mantiene la distancia 00:01:33
hay la misma distancia de A a B que de D a B 00:01:43
yo hago este más grande, este más grande, este más chico 00:01:49
y lo que siempre también, si nos enfiamos podemos verlo 00:01:53
vamos a medir el ángulo que forma este segmento con este 00:01:57
y vemos que es normal, que es totalmente perpendicular, el A obvió el B, pues al final, si os dais cuenta, siempre es la perpendicular que pasa por su punto, ¿de acuerdo?, ¿cuántas mediátices tengo?, pues una por cambio, 00:02:02
Si yo aquí vuelvo a calcular el segmento, si yo ahora mido la distancia que hay, voy a calcular una distancia entre este segmento y la mediatriz, 00:02:23
y si yo lo mido 00:02:49
pues la distancia 00:02:52
entre C y E 00:02:54
es 2.41 en este caso 00:02:55
es la misma que el B 00:02:57
¿vale? 00:02:59
y si yo lo guiando 00:03:00
por los puntos del triángulo 00:03:03
pues veo 00:03:05
que el triángulo 00:03:06
va guiando 00:03:08
y siempre la distancia 00:03:13
entre los puntos 00:03:15
pues el 00:03:16
C y B 00:03:17
y su punto medio 00:03:20
si os fijáis 00:03:21
yo por mucho que varíe 00:03:23
el A y el C 00:03:25
estas dos mediatrices 00:03:26
se cortan en un punto 00:03:29
vamos a ver ese punto 00:03:32
de intersección 00:03:33
este punto F 00:03:35
este punto F 00:03:40
es el resultado de la intersección 00:03:42
de las mediatrices, puedo hacer una tercera 00:03:44
vamos a ver y va a pasar por este 00:03:46
punto F, vamos a calcular 00:03:48
la mediatriz 00:03:50
y este segmento que es el que va a faltar, ¿vale? 00:03:52
Veis que pasa también por ese punto este. 00:03:55
Y ese punto, ¿cómo se llama? 00:03:59
Pues como vemos aquí, es el circuncentro, que es la intersección de mi diatriz. 00:04:01
Y tiene la peculiaridad de que si yo hago una circunferencia desde este circuncentro, 00:04:04
si yo hago que pase por C, va a pasar por los tres vértices del triángulo, ¿vale? 00:04:11
Va a pasar por los tres vértices del triángulo. 00:04:20
Esa es la propiedad del circuncentro. Se llama circuncentro porque se inscribe. 00:04:22
De hecho, yo puedo ir variando en cualquier lado, que veo que va variando en ese circuncentro, 00:04:29
pero siempre va a obtener una circunferencia que va a pasar por los tres puntos, por los tres vértices del triángulo. 00:04:37
Veis que yo aquí voy variando los puntos, yo varío mi triángulo, con lo cual varío el punto de intersección de las mediatrices que es el circuncentro y esa circunferencia que es ideal al triángulo pues tiene su centro y va a pasar siempre por los centros. 00:04:46
Con lo cual, si a nosotros en un ejercicio nos piden que hallemos el circuncentro de un triángulo, pues ¿cómo procedemos? 00:05:07
Yo tengo por un lado, por ejemplo, el punto A y el punto B del triángulo. 00:05:18
Yo siempre parto de que tengo los tres vértices del triángulo. 00:05:23
Pues entonces, yo si tengo dos puntos, yo realmente tengo una recta. 00:05:27
es sobre este punto A y este punto B, si nos vamos aquí y os quiero hacer por el punto A, 00:05:33
si yo esfuerzo que esta recta pase por el punto A, veis que en principio yo tengo aquí un haz de rectas, 00:05:40
pues que hay infinitas, pero sin embargo si yo quiero forzar que pase por el punto B, 00:05:48
Tan solo hay una única recta, voy a intentar poner esta recta en colorado, para que veáis que es la recta que pasa por los vértices. 00:05:54
Por lo tanto, si yo tengo el vértice A, el vértice B, yo ya tengo un punto de la recta, cualquiera, el A o el B, y yo si hago el vector director es precisamente la recta de las coordenadas AB, es decir, si yo tengo el vector AB o el vector BA, yo ya tengo para definir, por ejemplo, esa. 00:06:21
Lo suyo es hacerlo en paramétrica. ¿Por qué? Porque a mí lo que me interesa es la intersección de esta mediatriz, ¿vale? Esta mediatriz que dejo aquí, pues con otro, ¿vale? 00:06:40
Entonces, volvemos al segmento A-B, puedo calcular la recta que pasa por el medio, ¿de acuerdo? 00:06:56
Y que sabemos que esta mediatriz de aquí es perpendicular a B, por lo cual si yo tengo el vector director de AB, yo puedo hallar un vector que es perpendicular, un vector normal, y luego tengo que forzar que pase por su punto medir. 00:07:09
Aquí el punto D, el punto D recordemos, es el punto medio del segmento AB, yo tengo la fórmula del punto medio de un segmento y por lo tanto yo ya tengo el vector director y esta mediatriz es perpendicular a la recta AB, ortogonal a la recta AB y encima que pasa por el punto medio de ese segmento. 00:07:28
Y esta es la recta, perdonad que lo he dicho antes mal, esta es la recta que interesa poner en parámetro, ¿vale? La de la media. 00:07:56
¿Cómo procedo para hallar el circuncentro? Pues ahora me voy, por ejemplo, al segmento CB, yo me voy al segmento CB, calculo su punto medio, que es el, este es el punto medio del segmento RC, 00:08:05
Y como yo tengo precisamente el vector CB, que ahora es coordenada de C, que ahora es coordenada de B, hallo su vector directo y ahora hallo otro perpendicular a ese, el vector CB, y ya tengo también la resta, que también interesa en esta resta paramétrica, de la mediatriz al segmento C, ¿de acuerdo? 00:08:21
Por lo tanto, si yo ya tengo la resta en paramétrica de esta mediatriz y la ecuación de la resta en paramétrica de esta mediatriz, pues hago su intersección y yo ya tengo el tricuante. 00:08:46
Muy importante en estos ejercicios, hemos visto en clase que las posiciones relativas entre dos restas pueden ser paralelas, pueden ser coincidentes o pueden ser secantes. 00:09:03
Cuando oscilamos el círculo en centro de un triángulo siempre van a ser secantes, porque el círculo en centro siempre va a exigir en un triángulo. 00:09:15
Nos vamos a ir ahora al concepto de mediana. 00:09:27
Voy a ir borrando en principio todo esto y nos vamos a ir a la mediana. 00:09:32
la mediana que es 00:09:38
la medida de un triángulo 00:09:46
une el punto medio de un lado 00:09:47
con su vértice opuesto 00:09:49
es decir, nosotros 00:09:52
no está aquí bien escrita 00:09:53
la mediana de un lado 00:09:54
une el punto medio de un lado 00:09:59
con su vértice opuesto 00:10:01
¿qué tengo que hallar? 00:10:04
tengo que hallar 00:10:07
el punto 00:10:08
medio, ¿vale? Yo hallo el punto medio de AB, yo hallo, por ejemplo, el punto medio 00:10:09
de C, y hallo el punto medio de A. Si yo ahora, por ejemplo, este vértice AB que tiene el 00:10:16
punto medio de lo uno con C, ¿vale? Pues el segmento se une B con su vértice B. Esto 00:10:28
de aquí el número. ¿Cómo puedo hallar yo la mediana de la recta que contiene a la mediana 00:10:37
al segmento AB? Pues nada, yo hallo el punto medio que es B, yo hallo el punto medio que 00:10:49
es D, yo ya tengo S, B y S, C, con lo cual yo ya tengo el vector director de la recta 00:10:56
que contiene la liviana que va 00:11:04
desde la C, volvemos a hacer 00:11:07
si queréis una recta 00:11:09
tan solo hay una recta que pasa por 00:11:11
el punto C y por el 00:11:12
punto B 00:11:15
entonces 00:11:16
la liviana que 00:11:18
ocurre, que está dentro de esta 00:11:19
recta que yo he puesto 00:11:23
entonces si yo ya 00:11:23
tengo dos puntos en la recta 00:11:27
yo ya tengo 00:11:28
toda esa recta que 00:11:30
igual os vuelvo a decir 00:11:34
Si yo ahora calculo, por ejemplo, mi segmento GB, pues igual, yo hice la nubiana que es unir el punto medio de un segmento con su vértice opuesto. 00:11:36
Si os fijáis, hay un punto de intersección entre esta de aquí y esta. Voy a seleccionar porque yo creo que lo que va a pasar es que tengo esta recta. 00:11:52
voy a hallar el punto de intersección 00:12:07
entre esta mediana 00:12:09
y esta mediana 00:12:11
este punto G 00:12:13
este punto G 00:12:14
precisamente es el baricentro 00:12:17
el baricentro 00:12:20
es la intersección de las medianas 00:12:22
y también nos pueden calcular 00:12:24
pedir que lo que obtenga 00:12:27
entonces ¿qué ocurre? 00:12:29
pues como yo tengo los tres puntos del triángulo 00:12:30
yo hallo 00:12:32
las coordenadas del vector D 00:12:33
como sé 00:12:36
el vértice opuesto que es C y D 00:12:37
yo ya puedo hallar la recta paramétrica 00:12:40
que contiene 00:12:43
este mediano 00:12:44
por otro lado 00:12:47
yo hago el punto medio 00:12:48
de C 00:12:50
y es el punto E 00:12:51
y yo ya puedo hallar la recta que contiene 00:12:53
tanto A como B 00:12:56
lo suyo es tener 00:12:59
la recta que contiene 00:13:01
a la mediana que va de C 00:13:03
a B y la que contiene 00:13:04
a A 00:13:07
que une a A y a E 00:13:07
perdonad 00:13:11
en paramétrica y hallo el punto 00:13:11
de intersección y ese punto de intersección 00:13:15
es el bariflendro 00:13:16
el bariflendro tiene una 00:13:17
una propiedad 00:13:20
y es que 00:13:23
está a 00:13:24
2 tercios 00:13:27
del vértice 00:13:29
¿de acuerdo? 00:13:33
Esto de aquí coincide con el doble, o sea, GC, ¿vale? Es el doble de C, ¿vale? Yo aquí voy variando, por ejemplo, C. Si yo consigo que esto mida 4, el otro mida 2. Si yo consigo que esto mida 6, por ejemplo, pues el otro va a medir 3. 00:13:34
esa es la propiedad que tiene 00:13:54
si yo hallase también 00:13:57
perdón 00:14:03
si yo aquí 00:14:05
yo la tercera mediana 00:14:06
también va a pasar por 00:14:10
mover un momentillo 00:14:11
esto para que digamos 00:14:14
no se vea tan así 00:14:16
pero si yo ahora 00:14:18
hago un nuevo segmento 00:14:19
un punto medio de AC 00:14:22
que es este, con su vértice opuesto, veis que pasa sí o sí por el vértice opuesto. 00:14:24
Entonces, por el centro, es la intersección de los tres medianas del triángulo. Cuando yo voy a hallarlo 00:14:30
analíticamente con dos medianas es suficiente, no me hace falta hallar los tres medianas. 00:14:37
Y entonces, para hallar las medianas, que son las rectas que contienen al punto medio de los segmentos, 00:14:43
de los lados del triángulo 00:14:53
con sus vértices 00:14:56
vamos a ver ahora 00:14:57
el ortofiltro 00:15:02
vamos a ver ahora 00:15:04
el ortofiltro 00:15:07
el ortofiltro es la intersección 00:15:09
de las alturas 00:15:12
pues la altura de un triángulo 00:15:13
igual tenemos tres alturas 00:15:17
yo lo que tengo que hacer aquí 00:15:19
es la perpendicular 00:15:20
Uno de los lados, si os fijáis, todas estas rectas son perpendiculares al segmento AB. 00:15:22
Todas estas de aquí que yo estoy haciendo son perpendiculares. 00:15:32
Pero tan solo hay un que pasa en el vértice opuesto. 00:15:38
Entonces, ¿cómo puedo yo hallar la recta que contiene la altura de un triángulo? 00:15:43
Pues si os fijáis, yo tengo por un lado las coordenadas de A y las coordenadas de B, 00:15:52
con lo cual yo tengo el vector director de las revistas que contiene al segmento que va de A a B. 00:15:58
Pues hay uno que sea normal, que para enviar un vector ortogonal, un vector normal a uno dado, 00:16:04
cambiamos las X por las Y y cambiamos uno de los Y. 00:16:13
y luego que tengo que hacer 00:16:16
pues que ya tengo el vector 00:16:19
director de esta 00:16:21
altura y un punto 00:16:23
por el que pasa 00:16:25
es decir 00:16:26
yo tengo 00:16:29
un vector normal 00:16:29
y ya teniendo un vector normal que es el vector 00:16:32
director de esta recta 00:16:35
que pase por el punto C 00:16:36
yo ya tengo 00:16:38
la recta que contiene 00:16:41
a esta altura 00:16:43
y esa es la que yo recomiendo 00:16:44
que tengáis en carácter, ¿vale? 00:16:46
Voy a hacer ahora la altura del segmento cebre, ¿vale? 00:16:50
Pues nada, lo que voy a hacer ahora es un perpendicular 00:16:58
a que el segmento BC, ¿vale? 00:17:00
Que si os fijáis, pues hay también infinitas, 00:17:04
hay infinitas restos perpendiculares del segmento BC, 00:17:06
pero tan solo hay un que pasa por A, 00:17:10
que es el vértice puesto. 00:17:15
Si os fijáis, estas dos alturas se cortan en un punto, y este punto es el ortogénico, ¿de acuerdo? 00:17:16
Si yo hago exactamente lo mismo, es decir, yo hago la estructura con este segmento CD que pase por B, fijaros que también corta en el mismo punto, que ese es el ortogénico, ¿de acuerdo? 00:17:26
Ese es el ortogénico. 00:17:43
Pues, ¿cómo calculo el ortocentro? 00:17:44
Pues, el ortocentro, lo que tengo que hacer es, 00:17:53
yo sé, cojo un lado que yo conozco los vértices. 00:17:56
Hayo el vector director, y ese se inventó. 00:18:01
Si tengo B, pues, como tengo el punto A y el punto B, 00:18:05
el vector que va de A a B es el vector director. 00:18:10
Hay uno normal, yo sé que es perpendicular a ese segmento, y luego esfuerzo que pase, en este caso, por el segmento. 00:18:12
La pongo en paramétrica y tengo la altura. 00:18:26
Ahora, por otro lado, tengo el segmento de C. 00:18:29
Yo tengo el punto B, tengo el punto C, con el cual yo puedo hallar el vector de C, 00:18:33
y ese es el vector director de esta recta que contiene al lado BC. 00:18:38
Ese vector director yo le hallo un octogonal, con lo cual yo tengo la recta que contiene, 00:18:44
esta de aquí, la recta que contiene, una BAC, ¿vale? 00:18:49
Y luego, fuerte que pase por el punto A, con lo cual yo ya tengo un vector director de esta recta 00:18:57
y un punto, con el cual yo ya 00:19:05
¿Vale? 00:19:07
Yo lo que 00:19:10
quiero con este vídeo es explicar 00:19:11
un poco 00:19:13
la geometría 00:19:13
recordar que es la mediatriz 00:19:16
la mediana y la altura y luego 00:19:19
centro, baricentro y circuncentro 00:19:21
¿Vale? Para hacer ejercicio 00:19:23
¿De acuerdo? Entonces 00:19:25
una vez que tengamos esto claro 00:19:26
vamos a hacer ejercicio 00:19:29
mediatriz 00:19:31
medianos y altura 00:19:33
ortocentro, paricentro y circuncentro 00:19:34
y vais a ver que no es complicado 00:19:37
¿de acuerdo? 00:19:39
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
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118
Fecha:
16 de febrero de 2022 - 21:07
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Descripción ampliada:
En este vídeo se hace un repaso de las definiciones de MEDIATRIZ, ALTURA y MEDIANA y de algunos de los puntos notables de un TRIÁNGULO: Baricentro, Ortocentro y Circuncentro.

Ortocentro es el punto de intersección de las ALTURAS de un triángulo.

Baricentro es el punto de intersección de las MEDIANAS de un triángulo.

Circuncentro es el punto de intersección de las MEDIATRICES de un triángulo.
Duración:
19′ 45″
Relación de aspecto:
1.91:1
Resolución:
1024x536 píxeles
Tamaño:
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