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Trigonometría: 32.Definición de razones de un ángulo cualquiera - Contenido educativo

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Subido el 7 de noviembre de 2007 por EducaMadrid

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- Extensión de las razones a ángulos cualesquiera.

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Vamos a definir las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera 00:00:00
recurriendo a la circunferencia goniométrica. 00:00:07
Hasta ahora nosotros hemos definido el seno, el coseno, la tangente, 00:00:10
todas las razones trigonométricas de un ángulo agudo. 00:00:14
Lo que pretendemos ahora es definir las razones trigonométricas 00:00:17
de un ángulo de 90 grados, o de un ángulo mayor de 90 grados, 00:00:21
o de un ángulo negativo, es decir, de cualquier ángulo. 00:00:25
Vamos a empezar trabajando con el seno y el coseno 00:00:29
y vamos a ver, sobre la circunferencia goniométrica, 00:00:32
cómo definirlo. 00:00:36
Aquí tenemos la circunferencia goniométrica de radio unidad. 00:00:40
Vamos a colocar los ángulos más destacados, 00:00:44
0, 90, 270, 360, y también en radianes, 00:00:47
pi medios, pi, 3 pi medios y 2 pi. 00:00:51
Y, para empezar, vamos a tener un ángulo agudo. 00:00:54
Nosotros trazamos un ángulo agudo sobre la circunferencia goniométrica. 00:00:57
Ese ángulo alfa es un ángulo agudo. 00:01:01
Y lo que nos vamos nosotros a fijar ahora es en cómo podríamos 00:01:04
definir las razones trigonométricas de este ángulo 00:01:08
de una manera que pueda extenderse a cualquier otro ángulo de la circunferencia. 00:01:11
La clave de todo va a estar en el punto siguiente. 00:01:17
Ese punto es la clave, el punto en el cual 00:01:23
la segunda línea del ángulo corta a la circunferencia goniométrica. 00:01:26
Ese punto es el punto clave para la definición. 00:01:32
Ahora vamos a ver por qué. 00:01:35
Si ese es un punto, pues ese punto tendrá dos coordenadas. 00:01:37
Una sería la coordenada horizontal sobre el eje X, o eje de acisas. 00:01:41
Y otra sería la coordenada vertical, que podemos trazar en cualquiera 00:01:48
de los dos sitios, como hemos puesto ahí. 00:01:52
Esa sería la coordenada vertical trazada sobre el eje de ordenadas. 00:01:55
De forma que ese punto tendría dos coordenadas. 00:02:01
La coordenada A y la coordenada B. 00:02:04
Hemos dado esos nombres. 00:02:06
La B estaría ahí y la A estaría ahí. 00:02:08
Nosotros lo que vamos a hacer ahora es 00:02:13
trabajar sobre ese triángulo AB. 00:02:15
Ese triángulo AB. 00:02:19
Y la hipotenusa sería el radio de la circunferencia. 00:02:22
Y lo que vamos a hacer es 00:02:26
calcular cuál sería el seno del ángulo alfa 00:02:28
según lo que nosotros sabemos. 00:02:31
Es decir, si nosotros hemos cambiado el color para fijarnos mejor, 00:02:33
ese es un triángulo rectángulo y como tal nosotros podemos definir 00:02:38
el seno tal y como hemos hecho hasta ahora. 00:02:42
Sería simplemente cateto opuesto dividido hipotenusa. 00:02:44
B partido por R. 00:02:47
Pero claro, R es 1. 00:02:49
El radio de la circunferencia es 1 y por lo tanto 00:02:51
el seno de alfa es justamente el valor de B. 00:02:53
De manera que 00:02:57
la segunda coordenada del punto 00:03:00
nos da directamente el seno del ángulo alfa. 00:03:02
Es decir, lo que mira ese segmento, 00:03:06
el valor de la longitud de ese segmento, 00:03:08
pues sería el seno del ángulo alfa. 00:03:11
De igual manera, el coseno del ángulo alfa sería A partido por R 00:03:15
y teniendo en cuenta que el radio es 1, 00:03:19
el coseno del ángulo alfa sería A. 00:03:22
Por tanto podemos cambiar y ahí tendríamos 00:03:25
que el coseno de alfa justamente es el valor de A. 00:03:29
Resulta entonces que ese punto, 00:03:32
y ahí estaba porque decíamos que era la clave, 00:03:34
ese punto, sus dos coordenadas, las coordenadas del punto, 00:03:38
son precisamente las razones trigonométricas de este ángulo alfa, 00:03:41
que es un ángulo agudo. 00:03:45
Resulta que la coordenada horizontal nos da el coseno 00:03:47
y la coordenada vertical nos da el seno. 00:03:50
Es decir, lo que mida ese segmento verde, 00:03:52
la medida de ese segmento es el coseno del ángulo, 00:03:55
y lo que mida el segmento azul nos da el seno del ángulo. 00:03:58
Entonces la visión un poco geométrica del seno y el coseno. 00:04:02
Pero esta idea nos permite extender 00:04:06
la definición de seno y coseno a cualquier otro ángulo 00:04:09
sin más que fijarnos en ese punto, que es la clave. 00:04:12
Ahí estaría. 00:04:21
El coseno y el seno de cualquier ángulo serían respectivamente 00:04:23
las coordenadas X e Y del punto asociado 00:04:27
sobre la circunferencia goniométrica. 00:04:31
Es decir, el coseno es la coordenada X, la coordenada horizontal, 00:04:34
y el seno es la coordenada Y, la coordenada vertical, 00:04:37
del punto asociado sobre la circunferencia goniométrica. 00:04:40
De esta manera, si yo tengo ahora ya un punto en el segundo cuadrante, 00:04:43
perdón, un ángulo en el segundo cuadrante, 00:04:47
el punto asociado, el punto asociado es la clave 00:04:50
para definir el seno y el coseno de este ángulo, 00:04:53
que ya no es un ángulo agudo, 00:04:56
y que hasta ahora nosotros no habíamos definido 00:04:58
cuál era su seno y su coseno. 00:05:01
Si nosotros trazamos ese punto, 00:05:03
que ese punto tendrá dos coordenadas, 00:05:05
esa sería la coordenada vertical, 00:05:07
y esa va a ser el seno justamente de alfa, 00:05:09
lo que mida ese segmento, 00:05:12
y aquí estaría el coseno. 00:05:14
De manera que ese punto tendrá dos coordenadas, 00:05:16
ya veremos más adelante cuáles son los signos, 00:05:19
tampoco que nos demos cuenta, 00:05:23
veremos que efectivamente ahí el coseno ya es negativo, 00:05:25
puesto que está en la parte negativa del eje de las X, 00:05:28
pero eso es otra historia que contaremos después. 00:05:31
Lo importante es darnos cuenta de que para ese ángulo alfa 00:05:35
también podemos definir el coseno y el seno, 00:05:38
simplemente apoyándonos en el punto P. 00:05:40
Si ponemos ahora un punto del tercer cuadrante, 00:05:44
de la misma manera podemos poner el punto P, 00:05:47
en el cual la segunda línea corta la circunferencia goniométrica, 00:05:50
y ese sería el seno y ese sería el coseno, 00:05:54
son dos puntos en los cuales 00:05:57
el punto en el cual la línea corta la circunferencia goniométrica 00:06:01
nos da esos dos segmentos, 00:06:05
y de esa manera definimos el seno y el coseno de este ángulo. 00:06:08
Y por último vamos a poner un ejemplo de un ángulo del cuarto cuadrante, 00:06:12
en el cual de la misma manera trazaríamos el punto, 00:06:16
esa sería la coordenada vertical, 00:06:19
y esa sería la coordenada horizontal, 00:06:22
por lo tanto ese punto también nos da la clave 00:06:24
para definir el seno y el coseno de un ángulo en el cuarto cuadrante. 00:06:27
Por supuesto, todo esto que hemos hecho 00:06:30
puede ocurrir si el ángulo es negativo, 00:06:33
o si se da más de una vuelta la circunferencia, 00:06:35
siempre podemos encontrar el punto asociado 00:06:38
al ángulo del que se trata. 00:06:41
¿De acuerdo? 00:06:43
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
3472
Fecha:
7 de noviembre de 2007 - 12:49
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
06′ 49″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
9.68 MBytes

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