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Global de Análisis Modelo B - Ejercicio 1 - Contenido educativo

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Subido el 19 de enero de 2021 por Manuel D.

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Global de Análisis Modelo B - Ejercicio 1

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Hola, ¿qué tal? Bueno, vamos a comenzar con la corrección del examen que hicimos del primer trimestre de la recuperación del primer global de análisis. 00:00:00
Y lo vamos a hacer empezando con el primer ejercicio que consistía en una función definida de trozos y que tenéis, como veis ahí, que estudia su continuidad, 00:00:10
algunas asíntotas y una recta tangente. Vamos con ella. En el primer apartado nos piden que calculemos la continuidad en el punto x igual a 1. 00:00:19
entonces daos cuenta que justo en x igual a 1 resulta que la función es donde parte el dominio de definición 00:00:28
y entonces tendremos un trozo que será 2 partido por x más 1 y otro trozo que será logaritmo de x partido por x menos 1 00:00:37
y nos piden justo la continuidad en x igual a 1 que es donde ya digo rompe 00:00:44
pues venga vamos a ver para ello partiendo de la definición de continuidad una función será continua 00:00:49
f es continua en x igual a 1 si pues que tiene que ocurrir que el valor de la función en el punto tiene que coincidir con el límite y como los límites son laterales 00:00:54
pues con el límite por la izquierda y con el límite por la derecha lo que habrá que hacer es calcular esos límites vamos con ello para lo cual el primero de los 00:01:09
Límites, como veis ahí, es el límite de 2 partido por x más 1, entonces límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la función va a ser el límite de 2 partido por x más 1 00:01:18
y como esta es una función continua en el 1, lo que hay que hacer nada más es sustituir y este límite valdrá 2. 00:01:34
Y lo que tenemos que calcular es el otro límite, el límite cuando x tiende a 1 más de la función. En este caso, la función era el logaritmo de x partido por x menos 1. 00:01:41
Pues entonces, habrá que calcular el límite cuando x tiende a 1 más del logaritmo neperino de x partido por x menos 1. 00:01:51
Y aquí sí, si sustituimos, veremos que el logaritmo de 1 es 0, luego 1 menos 1 es 0, así que esto va a ser una indeterminación del tipo 0 partido por 0. 00:02:00
Y como sabemos, este tipo de indeterminaciones las podemos resolver utilizando la hospital. Vamos a ello, vamos a hacer la hospital. Para hacer la hospital hay que dividir numerador y denominador, perdón, hay que derivar numerador y derivar denominador. 00:02:10
La derivada del logaritmo de x es 1 partido por x, la derivada del denominador es 1. Entonces, ese límite, ahora ya sustituyendo, ese límite vale, como veis ahí, 1 partido por 1 partido por 1, es decir, 1. 00:02:27
Con lo cual, y perdón, aquí me había equivocado, ¿verdad? 2 partido por 1 más 1 es 1, no es 2. Vaya por Dios, ¿cómo estamos? 00:02:41
Entonces, se concluye que si el límite por la izquierda es 1, el límite por la derecha es 1 00:02:48
¿Y cuánto valía el valor de la función en el 1? 00:02:55
Pues el valor de la función en el 1 era justo el valor de 2 partido por 1 más 1, es decir, de 1 00:02:58
Concluimos que f es continua en x igual a 1, sin hacer más 00:03:06
Vamos a calcular las asíntotas 00:03:18
Para calcular las asíntotas, lo que tenemos que hacer es asíntotas verticales y asíntotas horizontales, porque oblicuos no hay, al no ser una función polinómica con grado de arriba 1 mayor que el grado de abajo en ninguno de los dos trozos. 00:03:20
Entonces, empezamos con el primer fragmento, o con el primer trozo de función, antes del 1. 2 partido por x más 1. 00:03:35
Bueno, pues entonces consideramos esta función, 2 partido por x más 1, estamos en el apartado ya b, si la x es menor o igual que 1. 00:03:41
Y nos están diciendo ya que la x tiene que ser distinto de menos 1, en x igual a menos 1 va a haber una asíntota vertical, puesto que el denominador se anula. 00:03:53
Ahora, fijaos que los límites cuando el x tiende a menos 1 por la izquierda y menos 1 por la derecha pues van a ser más y menos infinito. Cuando x tiende a menos 1 por la izquierda sería menos 1, un número más pequeño que menos 1, le sumamos 1, el resultado sería pues un número negativo y 2 partido por un número negativo pero próximo a 0, ¿verdad? 00:04:06
Pues eso es como 2 partido por 0 menos y eso pues es menos infinito. Mientras que cuando la x tiende a menos 1 por la derecha, por ejemplo, menos 0,99 al sumarle 1 será un valor positivo. 00:04:31
2 partido por un valor positivo cercano a 0, pues más infinito, porque esto es 2 partido por 0 positivo, por un valor cercano a 0, pero positivo. 00:04:49
Bien, es decir que ahí tenemos una rama infinita en el menos 1, por la izquierda vamos a ir hacia el menos infinito y por la derecha al más infinito, 00:05:01
una rama, una asíntota vertical, quiero decir. Bueno, esa sería la asíntota vertical y luego este trozo también tiene una asíntota horizontal. 00:05:13
Tenemos que calcular el límite cuando la x tiende a menos infinito de esta función. ¿Por qué al menos infinito y no al más infinito? 00:05:22
Bueno, pues porque cuando la x tienda a más infinito vamos a estar a la derecha del 1 y entonces aquí, de este otro lado, tendremos que considerar 00:05:31
la función de la derecha, es decir, no la función de la izquierda sino la de la derecha, en toda esta parte de aquí. Así que de momento en esta otra región 00:05:40
en la que nos ocupa tendremos que estudiar la función 2 partido por x más 1. Y entonces en este límite, como vemos, es el límite de 2 partido por infinito 00:05:53
que es 0. Eso quiere decir que la recta y igual a 0 es una asíntota horizontal por el menos infinito. Bien, ¿qué nos queda? Pues el otro trozo de función 00:06:04
para ver las otras asíntotas con la otra mitad de función. Vamos a añadir aquí una hoja y seguimos. Entonces, el otro fragmento de función era 00:06:20
logaritmo de x partido por x menos 1. Logaritmo de x partido por x menos 1, ¿qué asíntotas verticales va a tener? Pues x igual a 1, pero en x igual a 1 00:06:32
habíamos quedado, puede tener asíntota vertical, vaya es 0 partido por 0, pero habíamos quedado que el límite cuando la x tiende a 1 de esta función es 1, 00:06:43
lo vimos en el aportado anterior, así que aquí no hay asíntota. Y como no se anula en ningún otro sitio en el denominador, la única asíntota posible es el infinito, 00:06:54
es decir, la asíntota horizontal. Pues vamos a estudiar a ver si esto, este límite, es cero o un número. Si es cero o un número será una asíntota horizontal. 00:07:06
Entonces tenemos que calcular el límite cuando x tiene infinito del logaritmo de x partido por x menos uno. Y eso, pues daos cuenta que el logaritmo es un infinito 00:07:19
pero de orden inferior a x menos 1. Lo podemos hacer también por lo vital y veríamos que este límite es 0 porque el orden de crecimiento del logaritmo es menor que el del polinomio. 00:07:29
Por lo tanto, y igual a 0 también es una asíntota horizontal. En este caso, por el infinito. 00:07:41
En resumen, podemos resumir y tendríamos que la función, vamos a representar estos límites, la función tendría que tender hacia menos infinito por aquí, 00:07:54
hacia menos infinito por aquí, hacia más infinito por aquí, es decir, en el menos 1 tenemos x igual a menos 1 asíndota vertical, 00:08:11
tenemos y igual a 0 asíndota horizontal, tanto cuando la x tiende a infinito como cuando la x tiende a menos infinito, 00:08:24
que ahora podríamos representar. ¿Cómo van a ser valores positivos? Pues por algo tal que así y por algo tal que así. De hecho, puede ser algo así o algo así, 00:08:36
no sabemos, todavía habría que verlo, pero desde luego tiende a cero. Este sería el eje X, este sería el eje Y y este nuestro valor 1 y ahí tendríamos el resumen 00:08:49
de las asíndotas. Bien, y solo nos queda un apartado. Vamos a calcular la recta tangente en un determinado valor. Nos informan que la pendiente es menos un medio 00:09:00
y tenemos que calcular dicha recta tangente, pero nos están diciendo que x es menor que 1. Si x es menor que 1, en el apartado C vamos a ponerlo de otro color, 00:09:20
Vamos a subrayar aquí, como la x es menor que 1, nos están queriendo decir que tenemos que acudir a esta función de aquí. 00:09:31
Con lo cual, bueno, vamos a borrar todo esto para que quede un poco más limpio todo esto, borramos, y ahora lo que tendremos que hacer, por tanto, perdón, es estudiar esa función. 00:09:40
No había dicho mal, ¿verdad? Si la x es menor que 1, tendremos que estudiar esta función de aquí, para el apartado c. 00:09:52
Bueno, pues 2 partido por x más 1 y la recta tangente tiene que tener pendiente menos un medio. 00:10:01
Es decir, ¿qué quiere decir eso? Pues que la derivada en un determinado punto que yo desconozco es menos un medio. 00:10:07
Pero la función a la izquierda hemos quedado del 1, la función vale 2 partido por x más 1, así que vamos a derivar ahí. 00:10:14
vamos a derivar ahí, la derivada de esa función podemos escribirla como una potencia para que sea más sencilla la derivada 00:10:25
y entonces sería menos 2 por x más 1 elevado a menos 2 y eso lo tenemos que igualar a menos 1 medio 00:10:34
pues vamos a resolver esa ecuación, multiplicamos todo por 2 y quiero decir multiplicamos todo por más 1 00:10:43
nos quedaría esto para quitar el signo, dividimos toda la ecuación entre 2 para despejar la x, o bueno, vamos a ponerlo primero como quitar ese menos 2 en el exponente, 00:10:59
entonces nos queda mucho más sencillo. Y ahora podemos multiplicar en cruz, x más 1 al cuadrado por 1 tiene que ser igual a 4, y ahora, pues hombre, 00:11:13
si lo tenéis así, no se os ocurra deshacer este cuadrado. Conviene sacar la raíz x más 1, tendrá que ser igual a más menos la raíz de 4, que es 2. 00:11:30
Directamente de aquí podemos sacar raíz a la izquierda y a la derecha. No deshagáis este cuadrado porque os va a tocar hacer la ecuación de segundo grado. 00:11:43
buena gana ya la tenemos casi resuelta y ahora x pues va a ser menos 1 más menos 2 ese es el sitio donde la pendiente vale menos un medio y en realidad son dos sitios 00:11:52
x igual a menos 3 y x igual a 1 pero nos están diciendo que la x tiene que ser menor que 1 luego este, este lo voy a poner de otro color como la x tiene que ser menor que 1 00:12:03
Este no nos vale, así que tiene que ser x igual a menos 3. Ya tenemos el lugar, x igual a menos 3. Ahora, ¿qué habrá que hacer? Pues sustituir la fórmula de la recta tangente, que es esta, y no tenemos nada más que sustituir cada cosa por su valor. 00:12:16
nos falta por calcular el valor de la función en el menos 3 que será 2 partido por menos 3 más 1 es decir menos 1 y bueno pues ya sustituimos 00:12:38
x y menos menos 1 igual a menos un medio por x menos 3 que quiero simplificar esto un poquito pues mejor multiplicando todo por 2 00:12:49
tendré que la y más 1 será igual a menos x menos 3. En fin, por ejemplo, podemos dejarlo así o podemos simplificar y ya está. 00:13:00
Aquí tenemos un más 2 y esto es un más 3. Luego aquí queda un menos 1, si no me he equivocado al hacer la cuenta un poquito rápido. 00:13:16
Y esa sería nuestra recta en forma explícita. Muy bien, pues esto ha sido el primer ejercicio, enseguida pasamos al siguiente. ¡Hasta ahora! 00:13:24
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
14
Fecha:
19 de enero de 2021 - 0:06
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
13′ 36″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
53.24 MBytes

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