Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Asíntotas Teoría y Práctica - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 16 de marzo de 2025 por Francisca Beatriz P.

12 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vamos a ver en este vídeo las asíntotas, tanto a la teoría como a las prácticas. 00:00:00
A ver, ¿qué tipos de asíntotas tenemos? 00:00:05
Podemos encontrarnos en una función con tres tipos de asíntotas. 00:00:07
Asíntota horizontal, ¿vale? 00:00:11
Lo voy a escribir hoy todo, pero luego ya sabéis que cuando me hable de ellas pondré solamente a punto h punto, ¿vale? 00:00:13
¿Cómo son las rectas horizontales? ¿Cuál es la ecuación de una recta horizontal? 00:00:22
La ecuación de una recta horizontal es de la forma i igual a k, ¿verdad? 00:00:26
Entonces, ¿qué vamos a decir? Que y igual a k va a ser asíntota horizontal si verifica que cuando calculamos el límite, cuando x tiende al más o al menos infinito de mi función f de x, el valor que obtenemos es justamente este valor k, obviamente distinto de más menos infinito. 00:00:29
¿Vale? Es decir, si queremos calcular las asíntotas horizontales 00:00:52
lo único que tenemos que hacer es calcular el límite en el infinito de la función 00:00:57
Si nos da un valor finito, entonces y igual a ese valor sería la asíntota horizontal 00:01:02
Podemos encontrarnos también con asíntotas verticales 00:01:07
Asíntota vertical, que lo vamos a escribir luego como a punto v punto 00:01:12
y la fórmula de una recta vertical, la ecuación es de la forma x igual, le voy a poner también k, ¿vale? 00:01:19
k, un valor real cualquiera igual que antes. 00:01:28
Bueno, en lugar de k, vamos a llamarla aquí x igual a, porque siempre que hablamos de la x siempre solemos utilizar la letra. 00:01:31
¿Qué significa que una asíntota vertical tenga la función de una asíntota vertical en la recta x igual a? 00:01:40
Bueno, pues lo que va a tener que ocurrir es que el límite cuando x tiende a de la función nos va a tener que dar o bien más o bien menos infinito. 00:01:46
En este caso, si al hacer el límite en ese punto obtengo más o menos infinito, ya sabríamos que es una asíntota vertical. 00:02:01
Pero aquí siempre vamos a hacer los límites por la derecha y por la izquierda para ver la posición de la curva con respecto de las asíntotas. 00:02:08
De hecho, cuando hagamos este límite nos va a quedar siempre el tipo k partido por 0, que cuando calculábamos los límites siempre os decía que hicierais los límites laterales. 00:02:19
Pues aquí lo mismo. Hacemos el límite cuando x tiende a a por la derecha de f de x y hacemos también el límite cuando x tiende a a por la izquierda de f de x. 00:02:31
Esto nos va a dar más o menos infinito cada uno y de esta manera podremos saber por qué punto, o sea, por qué parte se acerca la curva a la recta, a la asíntota. 00:02:46
Y la pregunta es, ¿quiénes son estos valores x igual a? Pues a ver, los x igual a son los puntos donde no está definida la función. 00:02:57
Nosotros vamos a trabajar casi siempre con asíntotas que sean funciones racionales. 00:03:07
Por lo tanto, los puntos a, los candidatos, ¿vale? Los candidatos van a ser los ceros del denominador. 00:03:12
Pero esto obviamente estamos hablando de funciones racionales. 00:03:24
Una función logarítmica y una función exponencial, bueno, pues tendríamos que ir viendo, vamos, una composición de ellas, ahí ya lo tendríamos que ver. 00:03:33
Pero sobre todo estamos viendo para las funciones racionales. 00:03:41
Y luego las asíntotas oblicuas, que es el tercer caso que tenemos. 00:03:45
a o. Vale, pues una recta, la ecuación típica de la recta, la punto pendiente, la teníamos 00:03:48
como igual a mx más n, ¿verdad? Obviamente m va a tener que ser distinto de 0, porque 00:04:00
si la m fuera 0 lo que tendríamos es una recta, una asíntota horizontal. ¿Y quiénes 00:04:07
son cada uno de estos valores? Pues a ver, m es el límite cuando x tiende a infinito 00:04:13
de f de x partido por x, ¿vale? 00:04:21
Y obviamente me tiene que dar un número que sea distinto de cero y distinto de infinito. 00:04:26
Y la n es el límite cuando x tiende a infinito de f de x menos mx. 00:04:31
Fijaos que simplemente sale un poco de despejar en la ecuación principal. 00:04:42
Si la pendiente de la recta que es m, ¿quién es? 00:04:46
La función partido por x, ¿vale? 00:04:49
Y la ordenada es a la función restarle mx 00:04:52
Bueno, pues simplemente tendríamos que calcular esto 00:04:56
Luego, una cosa importante que teníamos que recordar 00:04:59
En funciones definidas en un único trozo 00:05:02
Si tenemos funciones definidas en varios trozos 00:05:05
Podemos tener asíntotas tanto horizontales como oblicuas como verticales, ¿vale? 00:05:08
Pero en una función que solamente está definida en un trozo 00:05:13
que solo tenemos una fórmula, si tenemos asíntota horizontal, entonces no existe asíntota oblicua, ¿vale? 00:05:16
Esto es muy importante que recordemos. Si una función, es decir, si existe, si existe que no lo he puesto asíntota horizontal, 00:05:27
entonces no existe asíntota oblicua. Ahora sí, lo pongo de esta manera, ¿vale? Eso es lo que tenemos que tener en cuenta. 00:05:44
Bueno, pues estas son las fórmulas para poder calcular las asíntotas. 00:05:52
Vamos ahora a calcular asíntotas de diferentes funciones, ¿vale? 00:05:56
Empezamos con esta función. 00:06:02
Lo primero voy a calcular la asíntota horizontal. 00:06:04
Asíntotas horizontales, que hemos dicho que teníamos que hacer, el límite, 00:06:09
cuando x tiende al más o al menos infinito de 4 menos 2x cuadrado partido por x. 00:06:14
Si sustituimos tanto en el más como en el menos, ¿vale? 00:06:23
Esto me va a quedar, no voy a poner los signos, voy a poner simplemente para el tipo de indeterminación 00:06:26
que va a ser infinito entre infinito. 00:06:31
¿Qué tenemos que mirar? Los grados. 00:06:34
Pero ¿qué ocurre? Que el grado del numerador es más grande que el grado del denominador. 00:06:36
el del numerador es 2 y el del denominador no tiene puesto nada, luego es 1, ¿vale? 00:06:41
Por lo tanto, puede más el numerador, esto se va a ir a donde? A menos infinito, en el más y al más infinito en el menos, ¿vale? 00:06:47
La cuestión es que lo que nos va a dar va a ser infinito, por lo tanto, esto significa que no existe asíntota horizontal. 00:06:59
Importante, que no exista asíntota horizontal no significa que va a existir la oblicua sí o sí. 00:07:09
Lo que significa es que tenemos que comprobar si hay o no hay. 00:07:15
No sé si con los signos lo había puesto bien, en el más infinito arriba era el menos, sí, 00:07:20
y en el menos infinito me quedaría arriba un menos, con el otro menos de aquí abajo más. 00:07:24
Vale, sí, lo había puesto bien. 00:07:31
Vale, pues vamos ahora con las asíntotas verticales. 00:07:34
¿Dónde os he dicho que se buscaban los aes? 00:07:36
¿Vale? O sea, porque estamos buscando una recta que sea del tipo x igual a a. 00:07:39
Hemos dicho que esos candidatos son los ceros del denominador. 00:07:43
En este caso, el denominador es x, pues lo que estamos buscando es justamente en x igual a cero. 00:07:48
No tengo que resolver la ecuación, ya está. 00:07:53
¿Vale? Pues vamos a comprobarlo. 00:07:56
Calculamos límite cuando x tiende a cero de 4 menos 2x cuadrado partido por x. 00:07:58
Entonces, sustituimos y esto sería 4 menos 0 es 4, 4 entre 0, infinito. 00:08:07
Pues, ¿eso qué significa? Que existe asíntota vertical y que es la ecuación x igual 0, ¿vale? 00:08:15
Que hemos dicho que siempre que tengamos asíntotas verticales tenemos que calcular el límite por la izquierda y por la derecha 00:08:24
para ver cómo se acerca la función a la asíntota. 00:08:30
¿Vale? Pues calculamos los límites laterales 00:08:35
Límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de 4 menos 2x cuadrado partido de x 00:08:38
Esto va a ser obviamente 4 partido por 0 00:08:48
Pero queremos ver si el 0 es más o menos 00:08:51
¿Vale? Si me acerco por la izquierda al 0, el 0 es negativo 00:08:54
Luego, o sea, sería menos 0 con algo 00:08:58
Por lo tanto esto es menos y aquí me daría menos infinito 00:09:00
Sin embargo, si yo calculo el límite, cuando x tiende a 0 más, 4 menos 2x cuadrado partido por x, esto va a ser 4, y ahora como es 0 más me estoy acercando por un 0 coma algo, es un 0 positivo, por lo tanto esto va a ser más infinito. 00:09:04
¿Esto qué significa? Lo que digo de que la función se acerca a la asíntota por un lado o por otro 00:09:26
Pues a ver, si esta fuera mi eje X y este es mi eje Y 00:09:31
Ahora mismo mi asíntota está justamente en el eje Y 00:09:37
Esta es mi asíntota 00:09:43
¿Vale? La voy a poner un poquito así 00:09:44
Esta va a ser mi asíntota 00:09:49
Bueno, vamos a cambiar 00:09:52
¿Qué significa entonces? Que si me acerco por la izquierda, se va a menos infinito. 00:09:55
Si me acerco por aquí, la función se va al menos infinito. 00:09:59
Sin embargo, si me acerco por la derecha, desde donde venga, esto irá para arriba. 00:10:04
Eso es lo que significa el de ir por la izquierda o por la derecha las ramas, por donde nos acercamos. 00:10:09
Y ahora, como no teníamos asíntota horizontal, tenemos que comprobar si tenemos asíntota oblicua. 00:10:17
Para la asíntota oblicua hemos dicho que la fórmula es igual a mx más n, ¿vale? 00:10:23
Luego tenemos que calcular la m y la n. Voy a ir moviendo esto un poquito. 00:10:34
¿Quién va a ser la m? 00:10:40
Hemos dicho que la m es el límite cuando x tiende a infinito de f de x partido por x, es decir, el límite cuando x tiende a infinito de quien, f de x quien es 4 menos 2x cuadrado partido por x, y esto partido por x. 00:10:41
Hacemos lo de cociente de fracciones que es producto de extremos entre producto de medios 00:11:07
Y me queda que esto es 4 menos 2x cuadrado y el x por x, x cuadrado 00:11:12
Esto sigue siendo infinito entre infinito, pero ahora, ¿qué ocurre? 00:11:20
Que ahora los signos, o sea, perdón, los grados son iguales 00:11:25
Ahora tienen el mismo grado 00:11:29
como tienen el mismo grado 00:11:33
el valor es el cociente de coeficientes 00:11:37
de mayor grado, es decir, menos 2 00:11:40
entre 1 00:11:42
menos 2 00:11:44
luego acabamos de sacar que la m 00:11:45
es menos 2 00:11:48
¿vale? 00:11:49
y ahora, ¿qué tenemos que hacer? 00:11:54
vamos a ir 00:11:58
bueno, ahí tengo la función siguiente que vamos a hacer 00:11:59
ahora, ¿qué tenemos que hacer? 00:12:01
calcular el valor de la n 00:12:03
la n, ¿quién hemos dicho que era? 00:12:04
el límite 00:12:07
cuando x tiende a infinito de f de x menos mx, es decir, límite cuando x tiende a infinito de 4 menos 2x cuadrado partido por x 00:12:07
es menos, menos 2x, es decir, más 2x. 00:12:25
Operamos la, o sea, sumamos las fracciones 00:12:33
y me queda que esto es el límite cuando x tiende a infinito. 00:12:35
¿De quién? 00:12:39
En el denominador me queda x y en el numerador 4 menos 2x cuadrado 00:12:40
más x por 2x, 2x cuadrado. 00:12:45
se me va el menos 2x y el 2x cuadrado 00:12:49
que me lo he comido y que me queda 00:12:56
que esto es el límite 00:12:57
cuando x tiende a infinito 00:12:58
¿de quién? de 4 partido por x 00:13:01
sustituimos y esto es 4 partido por infinito 00:13:04
4 partido por infinito es 0 00:13:08
luego lo que hemos sacado es que la n vale 0 00:13:11
la n puede valer 0 sin ningún tipo de problema 00:13:14
¿Vale? El problema es que quien no puede ser 0 es m. 00:13:17
¿Vale? Pues ¿qué acabamos de sacar? 00:13:20
Acabamos de decir que existe una asíntota oblicua y la asíntota oblicua es de la forma y igual a menos 2x. 00:13:22
¿Vale? Pues ya estaría este ejemplo. 00:13:30
No teníamos asíntota horizontal, teníamos vertical y tenemos una oblicua. 00:13:37
Vamos a hacer el siguiente que se haya visto aquí abajo, que es también muy sencillito. 00:13:41
Vale, vamos a ponernos este otro. 00:13:46
Bien, lo primero, empezamos como antes. Yo siempre empiezo por la asíntota horizontal, aquí ya cada uno por la que prefiera. 00:13:50
Para la asíntota horizontal, ¿qué teníamos que calcular? El límite, cuando x tiende, a ver, se podría calcular por un lado para el más y luego para el menos, 00:13:58
pero yo en el fondo los calculo a la vez los dos. ¿De quién? De 3x cuadrado más 1 entre x cuadrado menos 4. 00:14:07
si sustituimos en el infinito o en el menos infinito 00:14:18
fijaos que ahora como la x está al cuadrado 00:14:21
el valor del más infinito del menos infinito va a ser el mismo 00:14:24
no voy a hacerle caso al signo 00:14:28
luego arriba lo que me queda es un infinito entre infinito 00:14:31
pero maravilla que ocurre ahora que tienen lo mejor 00:14:34
el mismo grado ¿verdad? 00:14:38
tienen el mismo grado 00:14:42
uy grabo he puesto 00:14:44
tienen el mismo grado ¿verdad? 00:14:45
Es grado 2, grado 2. Por lo tanto, como tienen el mismo grado, cociente de coeficientes principales 3 partido de 1 igual 3. 00:14:49
Luego, ¿qué acabamos de sacar? Pues acabamos de sacar que la recta I igual 3 es asíntota horizontal. 00:15:01
Y porque he dicho que es lo mejor que nos puede pasar, porque esto significa, si tiene asíntota horizontal, como la función es una única función, esto significa, o sea, no es una función definida a trozos, que no existe asíntota oblicua, que sé que es la que normalmente os cuesta más calcular. 00:15:10
Vale, pues esto por un lado 00:15:30
Y ahora, ¿qué es lo que sí que tengo que calcular? 00:15:35
Las asíntotas verticales 00:15:38
¿Dónde hemos dicho que tenemos que buscarlo? 00:15:40
¿Quién serán los candidatos? 00:15:43
En los ceros del denominador 00:15:44
Ahora el denominador es x cuadrado menos 4 00:15:46
Pues lo igual a 0 00:15:48
Resolvemos la ecuación y me queda que x cuadrado es igual a 4 00:15:50
Que es lo mismo que x es, que no se nos olvide el más menos 00:15:54
Raíz de 4, es decir, más menos 2 00:15:58
Tenemos dos posibles candidatos 00:16:02
Vale, pues lo tenemos que hacer con los dos 00:16:04
Empezamos con 1 00:16:06
Para x igual a 2 00:16:07
¿Qué tenemos que calcular? 00:16:09
Pues el límite cuando x tiende a 2 00:16:12
De 3x cuadrado más 1 00:16:15
Entre x cuadrado menos 4 00:16:19
Sustituimos, en el numerador es 4 por 3, 12 00:16:24
12 más 1, 13 00:16:27
y el denominador es 0, 3, 0, infinito, fenomenal, pues esto que significa, que x igual 2 es asíntota vertical, 00:16:28
pero no basta con decir que sea asíntota vertical, que tenemos que calcular los límites por derecha e izquierda, 00:16:40
voy a ver si lo puedo ir haciendo aquí en este cachito, límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, 00:16:49
de 3x cuadrado más 1 entre x cuadrado menos 4. 00:16:55
¿Y esto quién va a ser? Pues 13 partido de 0, 0 más o menos, 00:17:04
2 por la izquierda es un poquito más pequeño que 2, 00:17:09
luego al cuadrado va a ser un poquito más pequeño que 4, 00:17:12
algo más pequeño que 4 menos 4 va a dar resultado negativo. 00:17:14
Luego esto es menos infinito. 00:17:19
Y el límite, cuando x tiende a 2 por la derecha, de 3x cuadrado más 1 entre x cuadrado menos 4, pues esto es 13 partido por 0. 00:17:21
¿Cuánto? 2 por la derecha es algo más grande que 2, al cuadrado es algo más grande que 4, algo más grande que 4 menos 4 es un 0 positivo, es 0 como algo, por lo tanto esto es más infinito. 00:17:39
Una cosa tenéis que tener cuidado, no siempre cuando me acerco por la izquierda va al menos infinito 00:17:52
y cuando me acerco por la derecha va a más infinito, ¿vale? 00:17:57
Eso, ojo, con eso no tengamos problemas. 00:18:00
Y ahora lo mismo que he hecho para el x igual 2, lo hago para x igual a menos 2. 00:18:02
Límite cuando x tiende a menos 2 de 3x cuadrado más 1 entre x cuadrado menos 4. 00:18:09
Vale, pues esto ahora cuánto va a ser, esto va a ser igual que antes, 13 partido por 0, infinito 00:18:20
Luego eso significa que x igual a menos 2 es asíntota vertical, vale, igual que pasaba antes 00:18:28
Bien, pues igual que antes, bueno aquí podría haber puesto una llave, vamos a calcular aquí los límites laterales 00:18:39
¿Quién es el límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda de 3x cuadrado más 1 entre x cuadrado menos 4? 00:18:49
Vale, pues esto va a ser 13 partido por 0, pero a ver, ¿0 más o menos? 00:19:02
Si ahora me estoy acercando al menos 2 por la izquierda, menos 2 por la izquierda es menos 2 coma algo, 00:19:07
Luego, menos 2, algo al cuadrado es 4, algo. Luego, 4, algo menos 4 va a ser un 0 más. ¿Veis? Fijaos, aquí está dando ahora más infinito. 00:19:13
Sin embargo, ahora cuando hacemos el otro, el límite cuando x tiende a menos 2 por la derecha de 3x cuadrado más 1 entre x cuadrado menos 4, 00:19:25
Ahora es trece partido de cero como 00:19:39
Si me acerco al menos dos por la derecha 00:19:42
Me estoy acercando al menos uno coma algo 00:19:44
Menos uno coma algo al cuadrado 00:19:46
Es más pequeño que cuatro 00:19:48
Ya que el otro es más pequeño que 00:19:49
En valor absoluto que dos 00:19:51
Por lo tanto ahora va a salir cero negativo 00:19:53
Luego esto va a ser menos 00:19:56
Otra vez lo que me pasaba 00:19:58
Esto es infinito vale 00:20:00
Que me lo está 00:20:02
Entiende como que es un óvalo y me lo cambia 00:20:02
Fijaos aquí es un poco lo que os decía 00:20:05
en el anterior, cuando me acerco por la izquierda 00:20:08
es menos infinito, sin embargo ahora 00:20:10
cuando me acerco por la izquierda es más infinito 00:20:12
tenemos que tener cuidado con esto 00:20:14
¿vale? y ya habíamos terminado 00:20:16
este ejercicio porque no tenemos 00:20:18
asíntota oblicua 00:20:20
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
12
Fecha:
16 de marzo de 2025 - 13:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
20′ 25″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
52.27 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid