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Actividad 11 y 12. EC. vectorial y paramétricas de larecta. - Contenido educativo

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Subido el 25 de marzo de 2021 por Jose S.

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Vamos a ver, vamos a hacer la actividad 11 00:00:00
del archivo de herramientas básicas de la geometría. 00:00:04
Mira, dice, determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto 00:00:10
P de coordenadas 3, 2 y tiene como vector director V 00:00:16
de coordenadas 2, menos 3. 00:00:23
Te piden la ecuación vectorial. 00:00:27
Entonces, veamos, recordemos que era la ecuación vectorial. La ecuación vectorial es, pues bien, la construcción de la ecuación vectorial a partir de un punto de anclaje A, que decimos, y un vector director V, 00:00:29
Pues lo que hacemos es, cualquier punto de la recta Q, que tendrá coordenadas X y Y, pues cualquier punto de la recta se accede a él, 00:00:47
En el punto A, en este caso, el vector este, que sería 2V, es decir, que Q, el punto Q, sería igual al punto A más 2V. 00:01:08
Y en general, pues cualquier punto de la recta R, imaginemos que Q es cualquier punto de la recta, pues sería que podemos acceder a él anclando en A un vector proporcional a V, o sea, lambda por V. 00:01:36
Bien, esta es lo que me da lugar a la ecuación vectorial, porque q es el vector, como sabemos, de posición oq, a sería el vector de posición oa, igual a un cierto lambda por v, lambda puede valer cualquier cosa, es decir, que dando valores a lambda, lo que obtengo es un punto de la recta, ¿vale? 00:01:55
Entonces, según esto, diríamos que Q, esta es la ecuación vectorial de la recta R, o mejor dicho, esta, escrito vectorialmente. 00:02:30
Entonces, o Q es XY, o A sería, bueno, A en este caso es lo que hemos llamado P, es el punto de anclaje, lo hemos llamado A, 00:02:54
pero deberíamos haberlo llamado P. En nuestro ejemplo estamos usando esa terminología. 00:03:08
Bueno, OP, que es de coordenadas 3, 2, más un cierto lambda por V, que es 2 menos. 00:03:13
Y fijaros, así obtengo lo que se llama la ecuación vectorial de la recta. 00:03:25
Vamos a ver cómo se interpreta esto. Se interpreta del siguiente modo. 00:03:37
Si damos valores diferentes de lambda 00:03:41
Obtengo un punto 00:03:45
Diferente de x y que pertenece a la recta 00:03:51
Entonces 00:03:54
Para obtener puntos de la recta 00:03:55
Por ejemplo, vamos a obtener un punto 00:03:58
Pues das un valor de lambda 00:04:00
Puede ser decimal, lambda igual a 2,5 00:04:01
Incluso, ¿no? 00:04:05
Por ejemplo 00:04:06
Pues vas aquí a la ecuación vectorial 00:04:07
Y sustituyes en lambda 2,5 00:04:11
y así te va a dar lugar a un punto de la recta 00:04:14
2,5 por 2, que es 5 00:04:26
y por menos 3, que es menos 7,5 00:04:31
la sumamos 00:04:35
bien, este punto pertenece a la recta 00:04:38
y en particular, gráficamente en el dibujo 00:04:44
como lambda es 2,5 00:04:48
pues en realidad es este 00:04:50
este V 00:04:52
el 2,5V sería 00:04:59
¿no? porque 00:05:01
1V, 2V, aquí estaría 3V y este es 2,5V. 00:05:06
Y este punto es de coordenadas 8-5. 00:05:13
Ahora, esta es la ecuación vectorial. 00:05:20
Vamos a obtener ahora la ecuación en paramétricas. 00:05:26
La ecuación paramétrica es equivalente a esto. 00:05:31
OQ es igual a OP, OP es 3. 00:05:35
Es operar esto coordenada a coordenada, es decir, en realidad, según esto, la x debería de ser igual a 3 más lambda por 2, 00:06:38
e y debería de ser 2 más lambda por menos 3. 00:07:11
Así obtienes la ecuación. X tiene que ser igual a 3 más lambda por 2 e y igual a 2 más lambda por menos 3 y estas son las ecuaciones, la ecuación paramétrica. 00:07:20
Pero daros cuenta de que en realidad está diciendo lo mismo que la ecuación vectorial, lo único que trabajando por coordenadas, es decir, aquí estamos diciendo que si xy debe ser igual a esto, pues entonces coordenada a coordenada, x debe ser igual a 3 más lambda por 2. 00:07:49
y luego i debe ser igual a 2 más lambda por menos 3 00:08:24
y así obtenemos la ecuación paramétrica 00:08:30
vamos a hacerlo de forma genérica 00:08:33
ya que hemos visto para que analicemos un poco 00:08:35
vamos a verlo pero de forma genérica 00:08:39
es decir, vamos a ver cómo encontrar la ecuación vectorial y la ecuación paramétrica 00:08:41
a partir de un punto genérico cualquiera 00:08:45
o sea, pensemos en una recta 00:08:48
que tiene un punto de anclaje que llamamos P con coordenadas P1 y P2 00:08:51
y un vector V con coordenadas, vector director de la recta, con coordenadas V1 y V2. 00:09:00
Pues bien, la ecuación vectorial ya hemos dicho que es, se diría que Q pertenece a la recta, 00:09:10
Sí, solamente sí. OQ es igual a OP más, vamos a ponerlo mejor, que el punto Q es igual al punto P al que le hemos anclado un vector proporcional a V. 00:09:19
Esta es la ecuación vectorial, que también se puede escribir como el vector OQ igual a OP, 00:09:38
porque recuerdo que un punto es también un vector director, perdona, un vector posición, que nace en el origen. 00:09:48
Aquí está el origen, aquí está P, pues OP tiene las mismas coordenadas que el punto P, se entiende que es lo mismo. 00:09:59
más lambda por v. 00:10:06
Esta es la ecuación vectorial de la recta. 00:10:10
Si sustituimos nuestros valores, 00:10:13
diríamos que OQ, que es el punto de coordenada genérico x y, 00:10:18
sería igual a el punto P, 00:10:25
que es coordenadas P1, P2, 00:10:29
más un cierto lambda por v1, v2, 00:10:32
que son las coordenadas del vector v. 00:10:37
Y así obtengo la ecuación vectorial. 00:10:38
Bien, y ahora para obtener la ecuación paramétrica, fijaos, aquí van las coordenadas del punto de anclaje de la recta 00:10:47
y aquí las coordenadas del vector, director de la recta. 00:10:59
Vamos a ver ahora la ecuación paramétrica. 00:11:05
Para obtener las ecuaciones paramétricas, lo que decimos es que si esto es igual a esto, 00:11:08
pues ha de serlo coordenada a coordenada, es decir, porque esto para operarlo se opera a coordenada a coordenada. 00:11:13
Es decir, vamos a verlo, ¿cómo lo haríamos? 00:11:22
x y, fijaros, lo voy a demostrar, es p1, p2, más, ahora multiplico lambda por el vector, 00:11:25
me queda lambda por v1, lambda por v2. 00:11:33
Ahora, desarrollando esta suma, diríamos 00:11:37
xy es igual a p1 más lambda por v1 00:11:42
y luego p2 más lambda por v2 00:11:47
Y por tanto, se desprende de esto que 00:11:50
x tiene que ser igual a esto 00:11:54
e y tiene que ser igual a esto 00:11:57
Y he obtenido así las ecuaciones paramétricas de la recta 00:12:03
Fijaros, las coordenadas de P hemos llamado P1, P2. Aquí aparecen, aquí. 00:12:10
Y las coordenadas del vector director de la recta, que es V1, V2, van aquí. 00:12:20
Y aquí está el parámetro lambda. 00:12:26
Así que, para obtener de forma, por ejemplo, vamos a hacer otro ejemplo, 00:12:29
Para obtener rápidamente las ecuaciones paramétricas de una recta que tiene punto de amortelaje 1, menos 1 y vector director, por ejemplo, 2, 3, 00:12:33
pues la ecuación paramétrica diríamos que x es igual a p1, que es 1, este es p1 y este es p2, 1 más lambda por v1, que es 2, 00:12:47
y luego y es menos 1 más lambda por 3 00:12:57
y obtengo así la ecuación paramétrica 00:13:06
en realidad se suelen escribir así 00:13:09
se deja el parámetro al final 00:13:11
esta es la ecuación paramétrica de la recta 00:13:16
esta es la manera de construir la ecuación paramétrica 00:13:21
a partir del punto y el vector director 00:13:24
sin tener que pasar por la ecuación vectorial 00:13:27
Subido por:
Jose S.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
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Fecha:
25 de marzo de 2021 - 11:59
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
13′ 32″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
135.28 MBytes

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