Resolviendo sistemas de ecuaciones | Mediateca de EducaMadrid

Hola a todos. Hoy vamos a desentrañar los sistemas de ecuaciones. 00:00:00

¿Suenan complicados? Pues para nada. 00:00:04

Son una herramienta súper útil para resolver un montón de problemas que nos encontramos por ahí. 00:00:06

A ver, empecemos con un pequeño reto. 00:00:10

Imagina que tengo 11 euros en el bolsillo, pero solo en monedas de 1 y de 2 euros. 00:00:13

¿Cuántas tengo de cada? 00:00:18

Pues podría ser una moneda de 2 euros y 9 de 1, o quizá 2 de 2 y 7 de 1. 00:00:19

Como vemos, hay un montón de posibilidades. 00:00:25

Con solo esta información es imposible saberlo con certeza. 00:00:27

Nos falta algo, ¿verdad? Necesitamos más pistas. 00:00:31

Y justo para eso, para resolver acertijos con varias pistas, usamos los sistemas de ecuaciones. 00:00:34

No hay que asustarse con el nombre. Un sistema no es más que eso. 00:00:40

Un conjunto de pistas, de condiciones, que tienen que cumplirse todas a la vez. 00:00:44

La clave está ahí, en que la solución que encontremos funcione para todo el pack. 00:00:48

Vale, y ahora viene lo chulo. 00:00:53

porque una cosa es la teoría, pero ¿y si pudiéramos ver la solución? Pues se puede. Vamos a ver la 00:00:55

clave visual de todo esto. Pensemos en esto. Cada una de esas ecuaciones con dos incógnitas, x e y, 00:01:01

es en realidad como el ADN de una línea recta en una gráfica. ¿Y cómo se dibuja esa recta? Muy 00:01:08

fácil, con una tabla de valores. Le damos un valor a la x, el que queramos, y vemos qué valor le toca 00:01:14

a la y. ¡Pum! Ya tenemos un punto. Hacemos eso otra vez y con dos puntos ya podemos dibujar la 00:01:19

línea entera? Cada uno de los infinitos puntos de esa recta es una solución para esa ecuación en 00:01:24

concreto. Entonces, si una ecuación es una recta y un sistema tiene dos ecuaciones, tenemos dos 00:01:29

rectas. La pregunta es obvia, ¿dónde está la solución del sistema en esa gráfica? Pues aquí 00:01:36

lo tenemos. Es el punto donde se cruzan. Ese único punto, ese punto de encuentro, pertenece a las dos 00:01:41

rectas a la vez. Por lo tanto, sus coordinadas, su x y su y, son la única pareja de números que 00:01:48

hacen que las dos ecuaciones sean verdad al mismo tiempo. Es la solución que buscamos. Si las rectas 00:01:55

se cortan, como en este caso, en un solo punto, pues el sistema tiene una única solución. ¿Así 00:02:01

de sencillo? Esto es lo que pasa la mayoría de las veces. ¿Y qué pasa si las rectas son paralelas? 00:02:07

Pues que van cada una por su dado y no se van a cruzar jamás, ni aquí ni en el infinito. Si no 00:02:12

hay punto de encuentro, no hay punto en común y, por tanto, no hay solución. Es como si las pistas 00:02:17

que nos dan se contradijeran entre sí. Y el tercer escenario posible. ¿Qué pasa si al dibujar las dos 00:02:22

rectas nos damos cuenta de que son la misma? Una está pintada justo encima de la otra. Son como 00:02:27

dos caminos que coinciden en todo su recorrido. En este caso, ¿cuántos puntos tienen en común? 00:02:33

Todos. Por eso decimos que el sistema tiene infinitas soluciones. Vale, el método gráfico es genial para 00:02:39

entenderlo, pero a veces no es muy práctico. O si el punto de cruce no es un número entero, 00:02:45

a ojo es imposible de saber. Por eso vamos a ver ahora la caja de herramientas del álgebra. Tres 00:02:50

métodos para calcular ese punto de forma exacta. Empecemos con el método de sustitución. Su nombre 00:02:56

lo dice todo. El plan es este. Paso 1. Elegimos una ecuación y despejamos una incógnita, la que 00:03:01

sea más fácil. Por ejemplo, dejamos la X sola. Paso 2. Cogemos esa expresión para la X y la 00:03:06

metemos la sustituimos en la otra ecuación. ¿Y qué conseguimos con esto? Pues una nueva ecuación 00:03:11

donde sólo aparece la i y eso ya sí sabemos resolverlo. Ojo, mucho ojo aquí. Este es el 00:03:17

error más típico. La sustitución hay que hacerla siempre en la otra ecuación, no en la misma de la 00:03:23

que hemos despejado. Si te equivocas y la sustituyes en la misma, te va a salir algo como 5 es igual a 00:03:28

5. Y sí, es verdad, pero no ayuda para nada. Es un callejón sin salida. El siguiente es el método 00:03:34

de igualación. Este es súper útil cuando es fácil despejar la misma incógnita en las dos 00:03:40

ecuaciones. Imagina que en la primera despejas la i y te queda i igual a, y en la segunda también 00:03:45

despejas la i y te queda i igual a. A ver, si i es igual a una cosa y también es igual a otra, 00:03:51

esas dos cosas tienen que ser iguales entre sí. Así que las igualamos y listo, otra vez una 00:03:57

ecuación con una sola incógnita. Y llegamos al método de reducción que a veces parece magia. 00:04:02

La idea es preparar las ecuaciones para que, al sumarlas, una de las incógnitas desaparezca. 00:04:07

¿Cómo? Multiplicamos una ecuación o las dos por un número para que el coeficiente de la x, por ejemplo, sea opuesto. 00:04:13

Imagina tener un más 2x arriba y un menos 2x abajo. 00:04:20

Cuando las sumas, ¡puf!, las x se esfuman y te queda una ecuación sencillísima con solo la y. 00:04:23

Vale, tenemos tres métodos. ¿Cuál usamos? 00:04:29

No hay uno mejor que otro, se trata de elegir el más rápido en cada caso. 00:04:31

Esta tabla es como una choleta. 00:04:35

Sustitución es tu amigo si ves una incógnita sola, con coeficiente 1 o menos 1. 00:04:37

Igualación, si despejar la misma letra en las dos, es pan comido. 00:04:42

Y reducción cuando ves coeficientes que son iguales u opuestos 00:04:45

o que puedes hacer que lo sean con una simple multiplicación. 00:04:48

Bueno, basta de teoría. 00:04:51

Vamos a mancharnos las manos y aplicar todo esto. 00:04:53

Veremos cómo se resuelve un problema de la vida real desde el principio hasta el final. 00:04:55

Aquí tenemos un problema clásico. 00:04:59

¿La suma de dos números es 14? 00:05:02

Añadiendo 1 al mayor, se obtiene el doble del menor. 00:05:05

El primer paso, y el más crucial, es actuar como traductores. 00:05:09

Pasar esto del lenguaje de la calle al lenguaje de las mates. 00:05:13

Para no liarnos, lo mejor es seguir siempre un plan de cuatro pasos. 00:05:16

Primero, leer y entender bien. 00:05:20

¿Qué nos piden? ¿Quiénes son X e Y? 00:05:21

Segundo, plantear el sistema, o sea, escribir las ecuaciones. 00:05:24

Tercero, resolverlo con el método que veamos más fácil. 00:05:28

Y cuarto, y esto es muy importante, comprobar el resultado. ¿Tiene lógica lo que hemos encontrado? 00:05:31

Venga, vamos a hacerlo. A un número lo llamamos x, el mayor, y al otro y, el menor. La primera 00:05:37

pista, la suma de dos números es 14. Fácil, x más y igual a 14. Segunda pista, añadiendo 1 al mayor 00:05:43

se obtiene el doble del menor. Es decir, si a x le sumamos 1, nos da lo mismo que 2 por y, o sea, 00:05:52

x más 1 igual a 2y. Perfecto, ya está planteado el sistema. Si observamos las ecuaciones, en la 00:05:58

primera es súper fácil despejar la x, así que parece que sustitución va a ir bien. Despejamos 00:06:05

x de la primera. x es igual a 14 menos y. Ahora, este valor de x lo enchufamos en la segunda 00:06:11

ecuación. En lugar de x más 1, escribimos 14 menos y más 1 igual a 2y. Ahora a operar. 14 y 1 son 00:06:17

15. Pasamos la menos i sumando al otro lado. Nos queda que 15 es igual a 3i. Si 15 es 3 veces i, 00:06:26

entonces i tiene que ser 5. Ya tenemos el número pequeño. Esto ya está casi hecho. Si sabemos que 00:06:33

i es 5, volvemos a la ecuación más fácil, la de x igual a 14 menos i. Sustituimos. ¿x es igual a 00:06:40

14 menos 5? Pues x es 9. La solución está clara. Los números que buscábamos son el 9 y el 5. Pero 00:06:46

no nos fiemos. Vamos a comprobar. ¿Se cumplen las pistas originales? Primera, ¿suman 14? Pues 9 más 00:06:54

5 es 14. ¡Correcto! Segunda, si al mayor 9 le sumo 1, ¿me da el doble del menor 5? A ver, 9 más 1 es 00:07:00

10. ¿Y el doble de 5? ¡También es 10! ¡Clavado! La solución es correcta, sin ninguna duda. Y esto 00:07:09

nos lleva a una última idea. Hemos resuelto un problema de números, pero esto va mucho más allá. 00:07:17

Piensa en economía para encontrar el punto de equilibrio entre oferta y demanda 00:07:22

En química para balancear reacciones 00:07:26

O en logística para optimizar rutas 00:07:27

Al final, todo se reduce a lo mismo 00:07:29

Buscar ese punto de encuentro donde todas las condiciones se cumplen 00:07:31

Ahora la pregunta es 00:07:35

¿Qué otros problemas de nuestro alrededor se podrían resolver con esta misma idea? 00:07:36

Resolviendo sistemas de ecuaciones - Contenido educativo

Del mismo autor…

Nicolas_Irene_EvidenciaArea_1

Clase teórica 3ª evaluación "Balonmano"

Las Gacelas visitan Caixaforum (I4B)

Programamos para el día del autismo con Scratch Jr en segundo

Easter Cultural Eggs

El secreto del álgebra