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Matrices y Determinantes - Examen A Ejercicio 5 - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Manuel D.

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Matrices y Determinantes - Examen A Ejercicio 5

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Bueno, en este siguiente ejercicio es el típico ejercicio de rangos. 00:00:01
Tenemos que calcular el rango de esa matriz en función de los valores de un parámetro, del parámetro m. 00:00:07
Es muy típico y va a ser típico tanto aquí, en matrices, como en sistemas de ecuaciones cuando tengamos que aplicar el teorema de Roche-Frobenius. 00:00:12
Entonces, me están pidiendo que calcule los valores del rango en función de m. 00:00:20
y nada, puedo empezar asegurando rango 2 si quiero 00:00:27
fijaos que aquí yo tengo un menor 2 por 2 distinto de 0 00:00:31
el 2 menos 1, 2, 3, ese determinante es distinto de 0 00:00:35
luego el rango de la matriz A es como mínimo 2 para cualquier valor de M 00:00:40
ahora me basta ver cuándo vale 2, cuándo vale 3 en función de M 00:00:46
para ello lo suyo es aprovechar de estos dos aprovecharme esos dos ceros de ahí que están 00:00:54
vamos pidiendo a gritos que los utilice es decir yo voy a utilizar las dos columnas marcadas vamos 00:01:00
a marcar estas dos columnas fijaos las voy a marcar de otro color tengo esta columna y esta 00:01:06
que ya son independientes sí o sí y voy a juntar sucesivamente esta columna y esta otra esos son 00:01:11
los dos determinantes que yo tengo que ver si pueden valer cero simultáneamente si los dos 00:01:19
determinantes me valen cero a la vez parece valor de m el rango 0 2 y si no pueden valer cero a la 00:01:24
vez para cualquier valor del rango será 3 porque a la vez no hay dos determinantes iguales hacer 00:01:30
vamos a comprobar qué es lo que pasa entonces ya digo que vamos a fijar las columnas las columnas 00:01:36
azules, nos interesa tenerlas porque sabemos 00:01:42
que esa columna, la columna 1 y la columna 4 00:01:46
son linealmente independientes, puesto que su 00:01:49
determinante menor de esa matriz da distinto 00:02:00
a 0. Y nada, ahora simplemente añado 00:02:05
la columna 2 y por supuesto aquí no se os ocurra 00:02:09
aplicar Sarus porque entonces se nota que no controláis 00:02:12
el desarrollo por una columna en este caso 00:02:17
por la columna 00:02:20
por la columna 00:02:20
por la columna 2 00:02:22
que por la columna 3 de esta matriz, a ver que no veis eso 00:02:24
voy a quitar eso de ahí 00:02:27
y entonces ahora lo que vamos a hacer es 00:02:29
igual a 0 00:02:32
y claro 00:02:33
como esto es distinto de 0 00:02:36
esto da 6 menos 2, 8 00:02:37
pues evidentemente 00:02:39
la única raíz que hay ahí 00:02:42
m igual a menos 4 00:02:45
Bueno, para m igual a menos 4 el rango puede ser 2, pero no lo sabemos, todavía no lo sabemos. ¿Por qué? Porque hay dos menores 2 por 2, es decir, tenemos dos menores 2 por 2 que son 2 menores 3 por 3, perdón, me estoy estorbando por aquí, me voy a acabar quitando. 00:02:47
2 menores 2 por 2, que son 00:03:07
2 menores 3 por 3, quiero decir que son columna 1, columna 2, columna 4 00:03:11
que es el que acabamos de hacer, y nos falta columna 1, columna 4, columna 3 00:03:15
vamos con él, entonces, si queréis, ya podemos deducir 00:03:18
que si m es distinto de menos 4 00:03:23
el rango de la matriz A va a ser 3 00:03:26
¿por qué? porque hemos encontrado la columna 1 00:03:31
la columna 2 y la columna 4 son linealmente independientes, porque hemos visto que este determinante nos hace 0. 00:03:35
Bien, entonces, ¿qué nos falta por ver? Pues la columna 4, es decir, pero ya podemos mirar a ver qué pasa para m igual a menos 4 directamente. 00:03:44
Si sustituimos la m por menos 4, vamos a ver qué matriz tenemos. Tenemos 2 menos 1, 5. 2, 3, menos 4. Luego vamos a tener una columna de ceros y luego nos queda el 0, perdón, menos 4, menos 1, menos 4. 00:03:53
y pues nada, lo que necesitamos es ver 00:04:11
porque esa columna 0 evidentemente no me va a aportar al rango 00:04:19
pero yo tengo la columna 1, columna 3 y columna 4 00:04:21
que tengo que ver si son independientes o no 00:04:24
porque el rango podría ser 3 00:04:26
con lo cual lo que hago es calcular este determinante 00:04:27
y vamos a ver si eso es 0 o no es 0 00:04:31
y con eso habré acabado el ejercicio 00:04:40
ha faltado pues de poner la solución bien 00:04:43
8 más 8 00:04:46
5 por 4, 20, por 3, 60 00:04:49
con más, ¿verdad? más 60 00:04:54
y ahora, más 10 00:04:56
y ahora vamos, van a ser todos positivos 00:04:59
3, 4, por 2, 8, por 3, 24 00:05:02
con signo más 00:05:06
y nos falta el negativo 00:05:07
que es 16 00:05:11
pero es positivo, menos por menos, más 00:05:12
por menos, menos, por otro menos, más 00:05:15
Más 16. Total, que no sé lo que va a dar, pero desde luego va a dar distinto de 0. 00:05:17
Y como va a dar distinto de 0, quiero decir que también para m igual a menos 4, 00:05:23
el rango de la matriz, ¿cuánto vale? Pues vale 3, porque hemos encontrado otro menor no nulo. 00:05:36
Es decir, podemos concluir que el rango de la matriz A es igual a 3, valga lo que valga la m. 00:05:42
Y ya está. Así que nada, hemos acabado con este penúltimo ejercicio del examen. Vamos a por el último y habremos acabado este primer examen de álgebra de matrices y determinantes. ¡A por él! 00:05:49
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
91
Fecha:
8 de febrero de 2021 - 22:35
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
06′ 08″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
15.84 MBytes

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