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2Bto - 01 - Matrices - 08 - Propiedades del producto de matrices - Contenido educativo

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Subido el 15 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, en este vídeo vamos a empezar a estudiar las propiedades del producto de matrices. 00:00:02
Dadas tres matrices, de forma que podamos efectuar multiplicaciones entre ellas, 00:00:07
esto es, que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz, 00:00:12
y a su vez, el número de columnas de la segunda matriz coincida con el número de filas de la tercera matriz, 00:00:18
podemos multiplicarlas entre sí y, por tanto, estas multiplicaciones que podremos hacer 00:00:25
cumplirán las siguientes propiedades. En primer lugar, cumplirán la propiedad asociativa. 00:00:31
Esta es que no importa si yo efectúo primero las multiplicaciones de las dos o unas matrices 00:00:36
o de las primeras, que el resultado será el mismo. El producto de estas matrices también será 00:00:43
cumplir la propiedad distributiva con respecto de la suma. Esto es que, bueno, pues ya lo sabéis, 00:00:48
No importa si, dada una matriz que multiplica a dos matrices que se están sumando, no importa que primero sumemos las matrices o que multipliquemos la primera matriz por cada una de las otras dos matrices. 00:00:53
Aunque tenéis que tener en cuenta que para que podamos efectuar esta suma, las dos matrices B y C tendrán que tener la misma dimensión. 00:01:11
dimensión, esto es el mismo número de filas y de columnas, pero es que a su vez tienen 00:01:19
que tener el mismo número de filas que columnas tenía la matriz A, ¿vale? Porque si no, 00:01:22
no podríamos multiplicar. El producto de matrices también cumple la propiedad asociativa 00:01:28
con respecto a la multiplicación por un número real, ¿de acuerdo? Es decir, dado un número 00:01:33
cualquiera, un número real cualquiera, no importa si yo primero multiplico dos matrices 00:01:39
y después hago la multiplicación por un real o si tomo este número real y lo multiplico 00:01:44
por una de las matrices y después multiplicará por otra. El resultado que obtendríamos, si lo hacemos bien, será el mismo. 00:01:49
Por último, cuando efectuamos un producto con matrices, una multiplicación de matrices, tenemos que entender también que existe el elemento neutro 00:01:56
del producto de la multiplicación para matrices cuadradas, que no es otro que la matriz identidad, ¿vale? 00:02:09
que tiene el mismo orden que la matriz A, ¿vale? 00:02:15
Bueno, no lo he dicho antes, pero ahora en el momento que habéis leído aquí matrices cuadradas 00:02:19
lo habréis deducido, o sea, esto en la existencia de elementos neutros 00:02:23
solo se garantiza cuando hablamos de matrices cuadradas, ¿vale? 00:02:27
Y esta indica que, bueno, que dada una matriz A del orden que a mí me digan, 00:02:31
en dimensión n por n, se dice que la matriz identidad del mismo orden es su elemento, 00:02:36
es su elemento neutro, pues cumple que al multiplicar, no importa que multipliquemos 00:02:40
la matriz por la matriz identidad o en orden inverso, que siempre obtendremos la matriz 00:02:45
original. Bueno, seguramente al haber leído estas propiedades, alguna os resulta familiar 00:02:52
de haberlas estudiado con números reales, ¿vale? Y se os habrá venido a la mente la 00:03:00
propiedad conmutativa, ¿vale? Aquello del orden de los factores no altera el producto. 00:03:05
Bien, pues es que resulta que el producto de matrices no es conmutativo, ¿vale? 00:03:10
No, en general no se cumple que cuando yo multiplico una matriz por otra obtenga el mismo resultado que si multiplico la segunda por la primera. 00:03:18
Esto va a suponer, o puede que nos suponga un pequeño escollo que intentaremos solventar de la mejor manera que sepamos, ¿vale? 00:03:28
Esto sucede siempre en general, salvo que las matrices que estoy multiplicando sean matrices cuadradas y una de ellas sea una matriz escalar, porque si sucede que una de ellas es una matriz escalar, pues bueno, sí que se podría dar la conmutatividad del producto. 00:03:37
Esto os lo cuento porque salió hace poco en un examen, relativamente poco, en uno de los últimos años, en un examen de matemáticas 2, de las mates de ciencias. 00:03:57
Pero bueno, creo que es interesante. Si tenéis más interés, pues nada, me lo comentáis en clase y vemos el ejercicio en cuestión. 00:04:08
Pero bueno, en general, nosotros vamos a trabajar con que el producto no es conmutativo. 00:04:15
Esto lo vamos a tener que tener en cuenta a la hora de resolver ecuaciones matriciales. 00:04:19
Ya veremos un poco más adelante qué es esto de las ecuaciones matriciales, pero bueno, vamos a hacer algunas ejercicios en las que nos pidan, en un momento dado, despejar algún tipo de ecuaciones 00:04:24
y no podremos hacer la misma operación a ambos lados de la igualdad, ¿vale? O sea, tendremos que tener en cuenta si estamos multiplicando por la izquierda a ambos lados o por la derecha a ambos lados, ¿vale? 00:04:35
Nadie se agobia y esto os lo contaré más adelante 00:04:47
De momento lo único que vamos a hacer es comprobar que efectivamente el producto de matrices no es conmutativo 00:04:50
Tenemos aquí dos matrices cuadradas de orden 2, muy sencillas 00:04:58
Y lo primero que vamos a hacer va a ser multiplicar primero A por B y después B por A 00:05:04
Para que comprobemos que efectivamente nos dan resultados distintos 00:05:09
Para que os creáis que el producto no es conmutativo 00:05:12
estas cosas como mejor se ven es con un ejemplo 00:05:15
de hecho en matemáticas decimos que esto es un contraejemplo 00:05:20
cuando se quiere demostrar que algo es falso 00:05:24
como la desigualdad, o sea que la conmutatividad 00:05:26
el producto no es conmutativo 00:05:30
simplemente con dar un ejemplo numérico que contradiga 00:05:32
lo que yo suponía que yo partía de 00:05:35
o cabía entender que sea conmutativo 00:05:40
con demostrar con un ejemplo que no lo es 00:05:42
es suficiente, entonces lo que voy a hacer yo con vosotros 00:05:45
simplemente vamos a crear aquí una matriz grande 00:05:47
aquí escribiremos 2 por 0, 0 y 1 por menos 5 es menos 5 00:05:52
sería aquí el primer valor, aquí después tendríamos 00:05:56
2 por 4, 8 más 1, 9 00:05:59
como elemento 2, 1 00:06:02
tendríamos 3 por 0, 0, menos 1 por menos 5, 5 00:06:08
y 3 por 4, 12, menos 1, 11, ¿de acuerdo? 00:06:13
Este sería el resultado de multiplicar A por B 00:06:18
y vamos a ver ahora qué obtendríamos si multiplicamos B por A, ¿vale? 00:06:20
Si multiplicamos la matriz 0, 4, menos 5, 1, por la matriz 2, 1, 3, menos 1. 00:06:23
Venga, entonces el primer resultado sería 0 por 2 es 0, 4 por 3 es 12, 0 menos 4, menos 5 por 2 es 10, perdón, menos 10 más 3 sería menos 7 aquí 00:06:34
Y por último menos 5 menos 1 que tendríamos aquí menos 6, ¿vale? 00:06:50
Si os dais cuenta, pues efectivamente la matriz que acabamos de obtener en la primera multiplicación, perdón, no es igual que la matriz obtenida en la segunda multiplicación, ¿de acuerdo? 00:06:59
Bueno, por último, en el libro de texto tenéis otras propiedades, ¿vale? 00:07:11
Que ya por no hacer más largo este vídeo, pues no las voy a demostrar o no voy a hablar de ellas porque no me parecen tan importantes, ¿de acuerdo? 00:07:16
Sí que me parece que el producto no es conmutativo, lo vamos a usar muchísimo y es algo que tenéis que aprender ya, ¿vale? 00:07:23
Pero estas dos quizás nos salgan menos, ¿vale? 00:07:31
Mirad, cuando a mí la multiplicación de dos matrices me da una matriz nula como resultado, no significa, no tiene por qué significar que A o B son matrices nulas, ¿vale? 00:07:34
O sea, puede darse que al multiplicar dos matrices, me dé dos matrices que tienen elementos no nulos, o sea, alguno será cero, pero no todos serán cero, me puede dar como resultado la matriz nula, ¿vale? 00:07:44
No significa que A o B sean nulas. Entonces, tenéis un ejemplo resuelto en la página 35 que os animo a que lo miréis y lo entendáis. 00:07:58
y luego por otro lado tenemos esta propiedad que puede suceder que el producto de una matriz por otra matriz 00:08:05
y el producto de la primera matriz por otra tercera matriz nos dé el mismo resultado 00:08:14
pero eso no implica que las dos matrices que he multiplicado aquí, que son el segundo factor 00:08:20
no implica que sean iguales, puede suceder que el producto de dos productos diferentes me dé el mismo resultado 00:08:25
pero no tienen por qué ser iguales, ¿vale? Entonces tenéis otro ejemplo resuelto en la página 35, ¿de acuerdo? 00:08:34
Y por último, bueno, pues hay aquí una propiedad que a mí me parecía bastante interesante con respecto a la traspuesta de la matriz, ¿vale? 00:08:41
Que dice que la traspuesta del producto es igual al producto de las traspuestas pero invirtiendo el orden, ¿de acuerdo? 00:08:48
y tenéis otras propiedades también referidas a la matriz traspuesta en el segundo cuadro de la derecha de la página 38 del libro de texto. 00:08:55
Son propiedades que salen bastante menos, pero las tenéis ahí por si acaso las queréis mirar. 00:09:06
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Beatriz N.
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Fecha:
15 de septiembre de 2020 - 23:27
Visibilidad:
Público
Centro:
Sin centro asignado
Duración:
09′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
96.24 MBytes

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