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Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea - Contenido educativo

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Subido el 11 de julio de 2018 por Manuel D.

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Se explica cómo calcular un determinante desarrollándolo por los elementos de una fila o columna. Podremos calcular determinantes de orden superior a 3!

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato. 00:00:02
Continuamos con la serie de vídeos dedicados a determinantes de matrices cuadradas. 00:00:12
En esta ocasión vamos a explicar cómo se puede calcular un determinante de una matriz de orden 4 o mayor 00:00:17
en función de determinantes de orden 3 o 2. 00:00:24
Sabemos que los determinantes de orden 2 y 3 se pueden calcular mediante fórmulas sencillas, pero si queremos calcular determinantes de orden mayor hay que utilizar este método. Comencemos. 00:00:28
Bien, vamos a presentar esta interesante cuestión sobre los determinantes que sirve principalmente para calcular determinantes muy muy grandes en función de otros más pequeñitos, 00:00:40
los que sabemos calcular así a simple vista con las fórmulas, que son los determinantes de orden 2 y de orden 3. 00:00:53
Para ello necesitamos introducir dos nociones, menor complementario y adjunto. 00:01:01
Empecemos por la primera de ellas. 00:01:05
Imaginemos que tenemos una matriz de orden n y nos fijamos en un término en la subij. 00:01:07
Si eliminamos esa fila y esa columna, nos va a quedar un determinante de orden 1-, 00:01:14
es decir, n-1 filas y n-1 columnas. Pues bien, al determinante de esta matriz cuadrada se le llama menor complementario del término a sub ij. 00:01:20
El a sub ij no está, ni tampoco la fila i y la columna j. Importante, el menor es un determinante, no una matriz. Ojo, este es el menor de orden n-1. 00:01:32
Vamos a ver un ejemplo. Si tenemos una matriz 4x4, imaginemos que queremos calcular el alfa sub 2,3, es decir, el menor complementario del término 2,3. Lo primero es localizarlo. Sería ese término. Quitamos la fila 2, columna 3 y nos va a quedar un determinante 3x3 en este caso. Lo calculamos y el menor complementario vale 2. 00:01:46
Siguiente noción fundamental. Adjunto de un término. El adjunto de un término no es otra cosa que el menor complementario con un signo. ¿Cuál es este signo? Pues menos 1 elevado a la suma de los índices. 00:02:08
Y esto, tan raro como se calcula, pues súper fácil. Es una matriz de signos en la que vamos permutando, vamos cambiando más, menos, más, menos por filas y columnas. 00:02:22
Y hasta que lleguemos al término a sub j. O bien, pues directamente imaginemos que queremos calcular el a sub 2, 3, el adjunto del término 2, 3, pues sumamos 2 más 3, 5, menos 1 elevado a 5, menos 1. 00:02:36
Luego, el adjunto de ese término sería menos el menor complementario. 00:02:49
Como habíamos visto que el menor complementario valía 2, pues este adjunto será menos 2. 00:02:54
Bueno, vamos a dar por fin la fórmula para el desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. 00:03:00
Imaginemos que queremos calcular ese determinante enorme, un determinante de orden n, 00:03:06
y nos fijamos en una determinada fila, por lo que sea, la fila i. 00:03:11
Bueno, pues la fórmula para calcular el determinante de orden n a través de los términos de la fila i sería coger cada uno de los adjuntos de cada uno de los términos, multiplicarlo por el término correspondiente y sumar todo eso. 00:03:17
¿De dónde sale esta fórmula? Imaginemos la fórmula del determinante de orden 3 y vamos a analizar cómo se desarrollaría por los elementos de la tercera fila. 00:03:34
Si con la fórmula famosa de Sarrus nos ponemos a fijar dónde está el elemento A31, vemos que aparece dos veces. El elemento A32 aparece otras dos veces y el elemento A33 aparece otras dos veces. 00:03:41
Si sacamos factor común a estos términos, pues nos quedan esas expresiones que tenéis ahí. Esas expresiones las podemos transformar como determinantes, de manera que ahí veis que se verifica el desarrollo del determinante por los elementos de la tercera fila. 00:03:54
bien, y esa es nuestra fórmula para el desarrollo 00:04:10
pero claro, esta fórmula requiere muchas cuentas 00:04:14
entonces necesitamos que haya muchos ceros para ahorrarnos todas estas cuentas 00:04:18
en la medida de lo posible, si alguna sub i, j es cero 00:04:22
ese adjunto no lo calculamos, pero 00:04:25
si una matriz no tiene ceros, podemos hacerlos, claro que sí 00:04:29
¿por qué? ¿cómo podemos hacerlos? bien, pues hay una de las propiedades que vimos 00:04:33
en uno de los vídeos anteriores, que nos dice que si sumamos a una línea una combinación lineal del resto, el determinante no cambia, no varía. 00:04:37
Es decir, que nosotros lo que podemos hacer es una especie de Gauss-Jordan a las matrices hacer ceros. Por ejemplo, tenemos ahí esa matriz de orden 4 00:04:45
y vamos a calcular su determinante, la matriz 4 por 4. Para ello, lo que vamos a hacer es partir de ese 1 que tenéis ahí en el término a sub 1, 1 00:04:54
y hacer 0 abajo. ¿Cómo podemos hacer 0? Bueno, pues así a la segunda fila le restamos el triple de la primera, 00:05:03
el determinante no cambia y hemos obtenido ahí un 0. Podemos hacer lo mismo abajo, con los términos de la primera columna, 00:05:10
de manera que tenemos ya tres ceros. Y ahora, claro, lo tenemos súper a tiro, porque vamos a desarrollar por los elementos, 00:05:17
¿de qué columna? Pues de la primera columna. Ahí son todos ceros casi. Entonces, desarrollando por esos términos, 00:05:23
tendremos que el determinante va a valer exactamente a sub 1 1 el adjunto complementario del término primero 00:05:31
es decir que nada más tenemos que calcular ese determinante de orden 3 00:05:38
y ahora bueno pues aplicamos las propiedades del vídeo anterior 00:05:43
por ejemplo podemos sacar factor común en la primera columna al menos 2 00:05:46
en la segunda perdón en la primera fila al menos 4 y en la segunda fila al menos 2 00:05:50
y pues en la tercera fila si queremos quitar tanto signo al menos 1 00:05:55
De manera que menos 4 por menos 2 por menos 1 va a ser menos 8, y ese determinante lo calculamos vale 5, y el determinante total valdrá menos 40. 00:05:59
Bien, esto ha sido todo. Nos vemos en siguientes vídeos. Un saludo. 00:06:09
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
393
Fecha:
11 de julio de 2018 - 15:50
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
06′ 25″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
53.69 MBytes

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