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AN2. 2.2 Tipos de discontinuidades. Estudio analítico - Contenido educativo

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Subido el 12 de noviembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN2 dedicada a las aplicaciones de los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos 00:00:22
analíticamente la continuidad y los tipos de discontinuidades. En esta videoclase vamos 00:00:33
a estudiar discontinuidades, que es lo que ocurre en aquellos puntos donde la función 00:00:48
no es continua, utilizando límites haciendo un estudio analítico. Recordemos que para que una 00:00:52
función sea continua en un punto tienen que darse tres características. En primer lugar debe existir 00:00:58
el límite de la función, puesto que ambos límites laterales existen y coinciden. Debe existir la 00:01:02
imagen de la función en este punto y por último el límite y la imagen deben coincidir. Dependiendo 00:01:07
de cuál de estas características falle tendremos distintos tipos de discontinuidades. Y vamos a 00:01:13
comenzar con las discontinuidades evitables. Son aquellas en las que el límite existe, pero al 00:01:18
pasar al segundo o al tercer paso nos encontramos con un problema. Podría darse el caso de que el 00:01:26
límite existiera, pero no exista la imagen de la función en ese punto, o bien podría ser que 00:01:31
existiera, pero el límite que sí existe no coincidiera con esta imagen. En cualquiera de 00:01:38
estos dos casos, si el límite existe pero hay un fallo más adelante, diríamos que tenemos una 00:01:44
discontinuidad evitable. En este primer caso, en el caso en el que no existe el valor de la función 00:01:49
en el punto, lo que ocurre con la función es que tiene un punto vacío. Aquí tenemos un ejemplo a 00:01:55
la derecha. Vemos gráficamente cómo el límite cuando x tiende a menos 1 de la función, tanto 00:02:01
por la izquierda como por la derecha, es igual a 1. Este límite existe y es igual a 1, pero la 00:02:05
función no está definida en x igual a menos 1 y eso habitualmente se representa así con este 00:02:11
circulito que representa un punto vacío. En este ejemplo de aquí abajo ocurre algo similar o igual 00:02:16
puesto que en este caso el límite existe, el límite cuando x tiende a menos 1 de la función es igual a 00:02:24
1, tanto por la izquierda como por la derecha tiende a alcanzar el mismo valor. En este caso 00:02:29
sí existe el valor de la función f de menos 1 está definido pero es igual a 2, no es igual al valor 00:02:34
1, que era el valor del límite. En este caso, la función no tiene 00:02:41
un punto vacío, lo que pasa es que tiene un punto que no se sitúa en la tendencia 00:02:45
general de la función, no coincide con el límite. 00:02:49
Discontinuidades evitables se corresponden con funciones 00:02:53
que son continuas salvo en un punto. En este caso, 00:02:57
la función, como vemos, es continua salvo en este punto, donde no está 00:03:01
definida. El límite existe, pero no hay función. Aquí 00:03:05
ocurre algo similar. Veamos la función que es continua excepto en un punto. En este caso no es 00:03:09
que la función no esté definida, es que está definida en un punto que no se corresponde con 00:03:15
el límite. Insisto, discontinuidades evitables salvo un punto, bien porque sea vacío, bien porque 00:03:18
no se encuentre donde debería estar de acuerdo con la tendencia de la función. Tendencia me refiero 00:03:24
al límite. Vamos a llamar discontinuidades no evitables de primera especie aquellas en donde 00:03:29
ya el límite de la función en el punto no exista. Esto va a ser porque existen los límites laterales 00:03:38
pero no van a coincidir. Así pues, límite por la derecha existe, límite por la izquierda existe, 00:03:47
pero no coinciden. Nos encontramos con situaciones como estas que tenemos aquí representadas a la 00:03:53
derecha. En este primer caso, ambos límites laterales son finitos. En este ejemplo, límite 00:03:59
cuando x tendrá menos 1 por la izquierda es igual a 1, un valor finito. Límite cuando x tendrá menos 1 00:04:05
por la derecha es igual a 2, un valor finito. Nos encontramos con un salto. Si representamos la 00:04:11
función por la izquierda, al llegar a este valor tendríamos que pegar un salto, tenemos que levantar 00:04:17
el polígrafo, el utensilio de escritura de la superficie para poder continuar con la siguiente 00:04:23
rama. Y este salto es finito. Aquí podemos ver que hay una unidad de salto. En el caso en el que 00:04:28
alguno de los dos límites laterales fuera infinito, podrían ser los dos, podrían ser 00:04:33
sólo uno, a la discontinuidad se la va a denominar de salto infinito. Y es que va a 00:04:37
ocurrir eso precisamente, hay que dar un salto y la amplitud va a ser infinita. Fijaos en 00:04:42
este ejemplo. El límite cuando x tiende a 2 por la izquierda es más infinito, la función 00:04:46
diverja más infinito, toma valores arbitrariamente más grandes, mientras que el límite cuando 00:04:52
x tiende a 2 por la derecha es menos infinito, la función diverge hacia menos infinito, 00:04:57
la función va tomando valores arbitrariamente más pequeños. 00:05:02
Entonces, si queremos representar la función, lo que tenemos que hacer es pintar esta primera rama. 00:05:06
Cuando lleguemos hipotéticamente al infinito, tenemos que levantar el instrumento de escritura, 00:05:12
dar un salto infinito, porque venimos del infinito positivo, vamos al infinito negativo, 00:05:16
y a partir de aquí continuamos trazando la segunda rama. 00:05:21
En este caso, las discontinuidades no evitables de primera especie se denominan colocalmente de salto, 00:05:25
Puesto que, como podéis ver, tenemos dos ramas y lo que ocurre es que no encajan. 00:05:30
No se trata de un único punto de diferencia, como en las discontinuidades evitables que veíamos anteriormente. 00:05:36
Aquí hay un salto y directamente tenemos un salto finito, cuando los límites laterales existen, no coinciden, son finitos ambos. 00:05:42
O infinito, si uno de los dos límites laterales, ambos existen, o si uno de los dos límites laterales o los dos son infinitos. 00:05:50
Vamos a finalizar esta videoclase con el último tipo de discontinuidades, que son las discontinuidades no evitables de segunda especie. 00:05:58
Esto nos lo vamos a encontrar cuando al menos uno de los límites laterales no existe. 00:06:06
Y aquí tenemos un ejemplo de esta función, que es discontinua no evitable de segunda especie en x igual a menos 2 y en x igual a 0. 00:06:12
En x igual a menos 2 vemos que existe el límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda, es más infinito, 00:06:21
pero a su derecha la función no está definida, el límite no existe. 00:06:26
En el caso de cero, límite cuando x tendrá cero por la derecha sí existe, sería menos infinito, 00:06:31
pero a la derecha del cero la función no está definida, el límite lateral no existe. 00:06:37
Vamos a finalizar esta videoclase analizando algunas de las funciones elementales, 00:06:43
aquellas que nos vamos a encontrar con mayor probabilidad a lo largo de este curso. 00:06:48
Cabe destacar que todas las funciones continuas, si recordáis, son continuas en los intervalos abiertos contenidos en su dominio. 00:06:54
Si su dominio es un intervalo abierto, van a ser continuos en ese intervalo abierto. 00:07:02
Si su dominio está formado por intervalos que van a ser cerrados, hay que tener cuidado con esos puntos frontera donde el dominio se cierra. 00:07:06
Hay que hacer un estudio específico. 00:07:14
En el caso concreto de las funciones polinómicas, son continuas en toda la recta real, puesto que su dominio es toda la recta real. 00:07:16
En el caso de las funciones racionales, que son las otras que nos vamos a encontrar en mayor medida, 00:07:22
hemos de tener en cuenta que son discontinuas en las abscisas de los ceros del denominador. 00:07:28
Esa discontinuidad será no evitable de primera especie, de salto infinito, si se trata de una asíndota vertical, 00:07:32
puesto que en las asíndotas verticales nos encontramos con ese tipo de discontinuidades siempre. 00:07:38
Y se tratará de una discontinuidad evitable en caso contrario. 00:07:44
Cabe mencionar, especialmente en los cursos de segundo de bachillerato, el estudio de las funciones definidas a trozos. 00:07:47
No solamente hemos de estudiar qué es lo que ocurre dentro del dominio de definición de cada uno de los trozos, dentro de los abiertos contenidos dentro de estos dominios, 00:07:56
sino que debemos prestar especial atención a qué es lo que ocurre en las fronteras, en esos puntos donde se produce la posible unión entre un trozo y el siguiente, o bien un trozo y el anterior. 00:08:07
Hay que estudiarlos con mucho cuidado y estudiarlos por separado. 00:08:19
Con esto que hemos discutido ya se pueden resolver estos ejercicios, algunos de ellos involucrando funciones definidas a trozos, que veremos en clase, probablemente veremos en alguna videoclase posterior. 00:08:23
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:35
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:08:44
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:08:49
Un saludo y hasta pronto. 00:08:54
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
12 de noviembre de 2024 - 6:47
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 22″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
21.81 MBytes

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