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Corrección Opción A Carlos 3 +25 - Contenido educativo

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Subido el 23 de febrero de 2025 por Jose Andres G.

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Muy buenas, vamos a hacer otro vídeo más. 00:00:02
En este caso nos vamos a ir a otra universidad, a la Carlos III, en 2022. 00:00:06
2022 porque no he conseguido encontrar nada más cercano. 00:00:13
Si la de 2023-2024, pues sigo a par de encontrarlo. 00:00:16
Pero bueno, recuerda, universidad para mayores de 25 años. 00:00:21
Y la opción A, ejercicio 1. 00:00:25
Todas las restricciones siguientes, x mayor o igual que 0, y mayor o igual que 0, 00:00:27
x más 2y menor o igual que 40 y 3x más 2y menor o igual que 60. 00:00:32
Encuentra en qué punto de la región limitada por las inequaciones anteriores se hace máxima la función f de xy igual a 12x más 10y. 00:00:38
Atención. 00:00:47
Aquí, en ningún punto, en ningún sitio, perdón, te dicen que tengas obligatoriamente que hacer la región. 00:00:48
Te dicen que encuentres en qué punto de la región, pero no tienes por qué hacer la región. 00:01:00
entonces no tienes por qué dibujar 00:01:04
¿qué es lo suyo? 00:01:07
sí 00:01:09
pero no tienes por qué 00:01:09
por lo tanto te voy a dar dos opciones 00:01:11
opción A 00:01:13
la opción A consiste en lo siguiente 00:01:14
perdón 00:01:17
la opción A consiste 00:01:20
en lo siguiente 00:01:22
un segundo que lo ponga bonito 00:01:25
esto no es 00:01:27
consiste 00:01:28
en ir cogiendo 00:01:30
las ecuaciones 00:01:34
e irla resolviendo. 00:01:35
Es decir, lo que voy a hacer es coger esta ecuación. 00:01:45
Bueno, voy a empezar por esa ecuación. 00:01:50
Perdón. 00:01:56
Y la voy a ir juntando con otra. 00:01:57
Voy a empezar con esta. 00:02:00
Y la voy a juntar primero con esta. 00:02:02
Voy a cogerlas de dos en dos. 00:02:04
Pero tengo que cogerlas todas con todas. 00:02:06
La forma más fácil es empezar con la de arriba 00:02:08
e irla juntando una con una. 00:02:10
es decir, empiezo esta 00:02:12
y la voy a juntar con 00:02:14
esta de aquí 00:02:17
y tengo esta de aquí 00:02:21
x, y además la coges sin el mayor o igual 00:02:28
igual es con el igual 00:02:30
entonces, esto es un sistema de ecuaciones 00:02:31
con dos incógnitas, pero es muy simple 00:02:34
en este ya notas un punto, el punto 0, 0 00:02:35
porque nos dice x igual a 0 y y igual a 0 00:02:38
con la x, esta 00:02:40
igual a 0, siempre va a ser muy fácil 00:02:44
entonces, ya he hecho la primera, con la segunda 00:02:45
ya he sacado un punto 00:02:48
ahora tengo que hacer la primera 00:02:49
con la tercera 00:02:51
y me sale x igual a 0 00:02:52
y x más 2y igual a 40 00:02:57
¿por qué son muy rápidos? 00:02:59
porque aquí ya te están diciendo que la x igual a 0 00:03:01
entonces a la hora de hacerlo se sustituye 00:03:03
el 0 aquí 00:03:05
y se resuelve esto 00:03:05
es decir, 2y igual a 40 00:03:08
el 2 que está multiplicando 00:03:11
pasa dividiendo 00:03:12
y llegaría a que la y igual a 40 00:03:14
por lo tanto encontramos el punto 0 de la x 00:03:16
20 de la y 00:03:19
y así voy con todo 00:03:20
A continuación la x con la tercera 00:03:24
Y te saldría la siguiente ecuación 00:03:26
x igual a 0 con 3x más 2y igual a 60 00:03:28
Como te digo antes, esto es facilísimo de resolver 00:03:32
Porque como la x igual a 0, en la otra donde pone x pones 0 00:03:36
Y eso hace que todo esto se anule 00:03:41
Así que nos quedaría este 2 de aquí, que pasaría dividiendo 00:03:44
60 entre 2 son 30 00:03:47
Entonces nos quedaría que la x es 0 y la y es 30 00:03:49
bien 00:03:52
ya he hecho la x con todo 00:03:54
vas a ver que esto tiene ventaja 00:03:56
e inconveniente, tú después vas a decidir 00:03:59
cuando ya he hecho la x con todo 00:04:01
ahora bajo y digo 00:04:03
pues ahora me voy a tocar la y con todo 00:04:05
pero con todos los de abajo, o los de arriba no 00:04:07
porque yo lo he hecho, entonces yo voy a hacer 00:04:09
la y con ese 00:04:10
y mismo rollo 00:04:12
y hago el mismo rollo 00:04:14
y igual a cero, siempre con el igual 00:04:16
y x más 2y 00:04:19
es igual a 40. En este caso, el que tengo que hacer 0 es la y. Pero fíjate, cuando hago 0, todo esto se hace 0. 00:04:21
Y me queda que la x es 40 y la y es 0. El punto es el 40, 0. Así de simple, así de rápido se hace. 00:04:30
Bien. Ahora haría la y con el siguiente. Y notaría este de aquí. Misma jugada. 00:04:39
Y igual a 0, 3X más 2Y es igual a 60. 00:04:46
Lo mismo, cogerías ahí, lo cambio por 1 por 0, todo esto se hace 0, 00:04:52
y entonces el 3 que está multiplicando pasa dividiendo a 60, 60 entre 3 serían 20. 00:04:59
Así que el punto sería 20, 0. 00:05:04
Ahora aquí me toca 00:05:08
Perdón 00:05:13
Me toca bajo este 00:05:14
Y ya solo me queda 00:05:20
Este 00:05:22
A ver, este 00:05:23
Con el de abajo 00:05:25
Ya no me quedan más 00:05:27
Y entonces ese es el único que va a dar la lata 00:05:28
Entonces te queda 00:05:31
X más 2, no mires lo de abajo 00:05:33
Voy a quitar este lo de abajo 00:05:34
Para que no lo mire 00:05:37
Me quedaría 00:05:37
x más 2y 00:05:40
igual a 40 con 3x más 2y 00:05:42
igual a 60 00:05:44
este es el único sistema 2 con 2 00:05:45
que tienes que resolver, el único que te va a dar la lata 00:05:48
entonces, ¿qué tengo que hacer? 00:05:50
simple y llanamente 00:05:53
digo, mira, eliges tú 00:05:54
el método, yo elegí la reducción porque veo 00:05:56
que las y son iguales 00:05:58
entonces cambio el signo 00:06:00
a todo lado arriba para que venga con el signo 00:06:01
cambiado y ya puedo 00:06:04
hacer la operación, voy 00:06:06
haciendo la operación en vertical 00:06:08
3x menos x son 2x 00:06:10
2y menos 2y es 0, eso se va 00:06:12
y 60 menos 40 son 20 00:06:16
de aquí saco que 00:06:18
la x va a ser igual a 10 00:06:19
con esa x 00:06:22
igual a 10 00:06:24
ya lo que hago es que cojo la primera 00:06:25
por ejemplo, cojo la primera 00:06:28
pero como estaba al principio 00:06:30
es decir, sin 00:06:32
tal como está aquí 00:06:34
con el todo en positivo, ¿vale? 00:06:35
porque me resulta más fácil 00:06:37
Es decir, lo que estoy haciendo es esta misma, cogiéndola aquí. 00:06:39
Pero siempre con el igual, ¿de acuerdo? 00:06:45
Para hacer esto, el igual. 00:06:47
Y ahora, donde pone x, pongo el 10. 00:06:49
Me quedaría 10 más 2y igual a 40. 00:06:52
Eso es una ecuación de primera o alguna incógnita, te sale que la y es igual a 15. 00:06:56
Así que el punto es el 10 de la x con el 15 de la y. 00:07:00
Lo tienes aquí. 00:07:03
Bien, lo que tienes que hacer máximo es la función esta. 00:07:05
pero el único problema que tienes aquí es que todos estos puntos son muchísimos puntos y no 00:07:10
todos te sirven entonces ahora tienes que todos estos puntos todos estos puntos de mí y tienes 00:07:17
que ver qué puntos te van a servir y qué puntos sobre todo qué puntos no te van a servir bien 00:07:27
para que te sirven tienen que verificar las cuatro inecuaciones aquí si tienen que venir 00:07:33
con las inequaciones bien las dos primeras que son x mayor o igual que 0 y mayor o igual que 0 00:07:37
esas no las va a verificar porque si te das cuenta todos los números son mayores o iguales a 0 todos 00:07:42
los números son mayores o iguales a 0 entonces ¿cuáles son los que tienes que verificar? las dos últimas y son las 00:07:49
dos últimas las que tienes que verificar empezamos 0 0 x 0 y 0 aquí veo que si lo sustituyo me saldrá 00:07:54
0 menos igual que 40 bien 3 por 0 mato por 0 es 0 menos igual que 60 bien qué significa que éste 00:08:01
me vale los que me valen lo voy a poner amarillo 0 20 mismo cambio la equis por el 0 light por el 00:08:09
20 me saldría 0 más 2 por 20 40 40 es menor igual que 40 si me vale el otro sería 3 por 0 0 más 2 00:08:17
por 20, 40. ¿40 es menos o igual que 60? Sí. Este también me vale. Sigamos. Ahora vamos con el 0,30. 00:08:28
0,30. No saldría. 3 por 0, a ver, aquí arriba. Empezamos por arriba. 0 más 2 por 30. 2 por 30 son 60. 00:08:42
60 no es menor o igual que 40. Por lo tanto, lo lamentamos mucho. Este no me vale. 00:08:56
Y así sigo con todo 00:09:01
40, 0 00:09:04
Con 40, 0 sería 40 00:09:06
Siempre hay que hacer primero 00:09:08
Una ecuación 00:09:10
Ver que sale en una inequación 00:09:12
Y cuando hayas hecho una inequación 00:09:14
Ver que te sale en la otra 00:09:16
Con que solamente una de estas dos no te salga 00:09:17
Estas dos no hace falta porque ya las hemos comprobado antes 00:09:20
Pero con que solamente 00:09:23
Una de estas dos ecuaciones no te salga 00:09:24
Ya no te vale el punto, tiene que valer en las dos 00:09:26
Y tiene que ser la inequación 00:09:28
x 40 y 0 00:09:30
40 más 2 por 0, 0 00:09:33
40 es menor o igual que 40 00:09:35
bien, aquí 00:09:36
ahí, vale 00:09:41
ahí sería 00:09:44
3 por 40 00:09:46
120 más 2 por 0, 0 00:09:49
120 no es menor que 60 00:09:51
pues este tampoco te vale 00:09:53
siguiente 00:09:55
tenemos que ir con el 20 00:09:58
aquí 00:10:00
20 y 40 00:10:02
x es 20 00:10:04
perdón, 20 es 0 00:10:06
x es 20 00:10:08
más 2 por 0 es 0 00:10:09
20 es menor o igual que 40 00:10:11
vamos bien 00:10:12
20 es 0 00:10:13
3 por 20 es 60 00:10:15
más 2 por 0 es 0 00:10:17
60 es menor o igual que 60 00:10:18
vamos bien 00:10:20
ya solo nos queda el último 00:10:21
vamos por el último 00:10:24
10 más 2 por 15 00:10:25
2 por 15 son 30 00:10:30
30 más 10 00:10:32
entonces sí me vale 00:10:33
30 por 10 00:10:34
30 más 10 son 40 00:10:37
Muy bien, ese me sirve 00:10:39
3 por 10, 30 00:10:40
2 por 15, 30 00:10:43
30 más 30 es menor o igual que 60 00:10:45
Sí, también me vale 00:10:47
Entonces ya tengo los puntos que me valen 00:10:48
Ahora, ¿qué tengo que hacer? 00:10:51
Ahora tengo que sustituirlos 00:10:53
Ahí 00:10:55
El 0, 0 rápidamente me sale 00:10:55
12 por 0 más 10 por 0, 0 00:10:58
0, 20 sería 12 por 0 00:11:00
más 10 por 20. Esto me da 0 más 200, 200. Aquí nada, aquí nada. Siguiente sería 12 por 20 más 10 por 0. 00:11:05
Esto me da un total de 240. Y ahora vamos por el último, que sería 12 por 10 más 10 por 15, que sería 00:11:22
120 00:11:33
más 150 00:11:34
es igual a 270 00:11:37
por lo tanto 00:11:39
conclusión 00:11:41
la conclusión es 00:11:42
que el punto de la región limitada 00:11:43
por elevaciones que hace máxima la función 00:11:47
es el punto 00:11:49
perdón, todavía no hemos terminado esto 00:11:51
bien 00:12:01
ya estaría hecho 00:12:03
pero está hecho porque no me piden en ningún sitio específicamente 00:12:05
que te van a sacar el dibujo de la región 00:12:09
¿que no te gusta esto? 00:12:11
pues vale 00:12:14
¿qué tendríamos que hacer entonces? 00:12:14
tendríamos que coger todas estas inequaciones 00:12:16
que es la opción B 00:12:18
y hacer el dibujo de cada una 00:12:19
de estas rectas 00:12:23
que eso ya lo hemos visto 00:12:25
que hace una tabla de valores aquí 00:12:26
y normalmente saca los puntos de corte 00:12:29
con los ejes 00:12:31
y con eso sacaríamos todas estas líneas 00:12:32
bien 00:12:36
Recuerda que la x igual a algo siempre es una vertical respecto de ese punto de la x. 00:12:37
La y igual a algo es una horizontal a ese punto. 00:12:45
Es decir, la y igual a cero es el eje x. 00:12:48
La x igual a cero es esta. 00:12:51
Estas dos rectas de aquí son las otras dos rectas que tienen. 00:12:53
Desde aquí, ¿qué tendríamos que hacer? 00:12:58
Ahora tendríamos que investigar cuál de las cuatro regiones es. 00:13:01
¿Cómo sé cuál de las cuatro regiones es? 00:13:04
No hay forma 00:13:09
Tendríamos que coger 00:13:10
Es decir, tengo esta región 00:13:11
Esta región 00:13:13
Y esta región 00:13:16
¿Cuál es la lógica que nos dice? 00:13:18
La lógica que nos dice es que debería de ser 00:13:22
La que tenga las cuatro rectas a la vez 00:13:24
Pero es que todas tienen las cuatro rectas 00:13:26
En cierta medida 00:13:28
Entonces 00:13:29
Como no lo podemos comprobar fácilmente 00:13:31
¿Qué hacemos? Cogemos un punto de aquí 00:13:34
¿De dónde? De la que tú pienses que es 00:13:37
Si no es, no pasa nada porque después lo cambiamos 00:13:39
Cojo este punto de aquí, que es el punto en coordenadas 00:13:41
Es el punto 5, 5 00:13:44
Y lo que tienes que ver es si ese punto 00:13:47
Pertenece a todas estas ecuaciones 00:13:51
Obviamente la x mayor o igual que 0 00:13:55
Y la y mayor o igual que 0 también 00:13:58
Si lo verificas, un segundo voy a coger de aquí 00:13:59
La x mayor o igual que 0 00:14:01
Y la Y mayor o igual que 0 00:14:08
Hemos dicho que sí lo verifica 00:14:11
No hay ningún problema 00:14:13
Porque el primero es la X y el segundo es la Y 00:14:13
Las dos son mayores que 0 00:14:16
Este de aquí sería 00:14:17
5 en vez de la X 00:14:19
Más 2 por 5 es 10 00:14:22
10 más 5 son 15 00:14:23
15 es menor o igual que 40 00:14:25
3X más 2Y sería 00:14:26
3 por 5 es 15 00:14:29
Más 2 por 5 es 10 00:14:31
15 más 20 es 25 00:14:32
Eso que nos dice 00:14:34
nos dice entonces que 00:14:37
la zona 00:14:39
que nos interesa 00:14:40
es esta 00:14:43
un segundo 00:14:50
la zona que nos interesa es esta 00:14:55
ay dios 00:14:58
la zona que nos interesa 00:15:05
va a estar mal dibujado pero no pasa nada 00:15:28
la zona que nos interesa 00:15:30
es aproximadamente esa 00:15:33
mal dibujado 00:15:35
pero bueno 00:15:37
Y ahora de esa zona lo que tenemos que sacar son los puntos. ¿Qué puntos tenemos que sacar? Los puntos de corte serían ese de ahí, este de aquí, este de aquí y obviamente este de aquí. 00:15:37
¿Qué puntos son esos? Pues este de aquí es el 0,0, el origen de la coordenada, este de aquí es x,20 y 0, este de aquí es x,0 y 20, y este de aquí como podemos ver son y,10 y 15. 00:15:59
Y luego que haríamos justamente lo que hemos hecho aquí, lo mismo que hemos hecho aquí, y llegaríamos a la misma conclusión. 00:16:17
tú decides, no te piden que haga el dibujito 00:16:24
entonces como no te piden que haga el dibujito 00:16:28
la vida es maravillosa 00:16:30
siguiente 00:16:32
representa 00:16:40
la gráfica 00:16:42
del polinomio 00:16:45
2x elevado a 3 00:16:48
más 3x cuadrado menos 0 con 2 00:16:49
¿cuántas raíces negativas 00:16:52
tiene este polinomio y cuántas positivas? 00:16:54
bien 00:16:57
las raíces 00:16:57
son los puntos de corte 00:16:59
con los ejes problema que tú a nosotros no nos han enseñado en el tema ya no 00:17:02
viene cómo hacer esto hay una forma que es con un teorema de ruffini el método de ruffini 00:17:10
pero el método de ruffini sólo sirve para soluciones de números enteros y esto no va a 00:17:16
tener soluciones de números enteros seguramente por lo tanto no se puede hacer una gráfica 00:17:23
perfecta. Entonces, 00:17:29
todo que sea 00:17:32
polinomio, lo primero 00:17:33
que tienes, para representarlo gráficamente, 00:17:35
lo primero que tienes que representar son los puntos de corte con los ejes. 00:17:37
Entonces, 00:17:44
los puntos de corte con los ejes, 00:17:47
haces una tabla de valores 00:17:49
tan simple 00:17:51
como esto, 00:17:54
y recuerda, 00:18:00
uno va al 0 ahí, 00:18:02
y otro va 00:18:03
al 0 ahí. Y entonces, 00:18:05
lo que vas a sacar 00:18:08
es donde corta en cada uno 00:18:09
del eje. El resultado es 00:18:12
por ejemplo 00:18:14
lo que saques 00:18:15
para este valor es el punto de corte 00:18:20
con el eje Y 00:18:22
pero lo que saques 00:18:23
para este valor 00:18:26
es el punto de corte 00:18:28
con el eje X 00:18:30
¿Dónde tienes que hacer eso? 00:18:31
En esta función. Lo que pasa es que a mí me gusta 00:18:34
escribirla mejor así 00:18:36
para que no te de pollones 00:18:37
hay gente que le confunde la f de x 00:18:41
más 3x 00:18:43
al cuadrado menos 0 00:18:45
cuadrados 00:18:48
esta siempre 00:18:48
la vas a poder sacar 00:18:55
porque te sale 00:18:56
hace que esto sea 0 00:18:57
así sería 00:18:59
por 0 00:19:01
elevado a 3 00:19:03
más 3 por 0 00:19:05
elevado a 2 00:19:08
Menos 0,2. 00:19:10
Es decir, que eso saldría 0 más 0 menos 0,2 es menos 0,2. 00:19:12
Pero es que esto siempre pasa en polinomios. 00:19:16
El número que va sin letra, con su signo, siempre es donde corta al eje Y. 00:19:19
¿Dónde está el problema? 00:19:25
El problema está en... 00:19:26
Es decir, aquí ya salí todo, vamos a ponerlo, menos 0,2. 00:19:31
El problema está... 00:19:34
No en esa, el problema está en esta. 00:19:36
Porque esta lo que te implica es lo que he dicho antes. 00:19:38
Pones aquí un 0 igual a todo esto. 00:19:41
Y eso resuelve una ecuación de grado 3. 00:19:47
La única opción es Ruffini, pero en el temario no está Ruffini. 00:19:49
Y además, aunque tuviese Ruffini, no se puede hacer porque Ruffini solo se puede hacer con números enteros. 00:19:52
Por lo tanto, no se puede sacar el punto de corte con el eje X. 00:20:00
Pero por eso te están haciendo esta pregunta. 00:20:05
Entonces lo que vamos a hacer es una gráfica aproximada. 00:20:07
Lo que en otras ejercicias hemos visto un epozo. 00:20:10
¿Qué es lo segundo que tienes que sacar? Son los puntos máximos y mínimos. 00:20:13
Y en polinomio, con que saques esas dos cosas, ya puedes hacer la gráfica. 00:20:20
Entonces, puntos máximos y mínimos. 00:20:25
¿Qué es lo que hay que hacer? Primero hago la derivada. 00:20:30
Hago la derivada. La derivada sería 6x al cuadrado más 6x. 00:20:34
Es el primer paso 00:20:45
Segundo, esa derivada 00:20:47
Lo igualamos a 0 00:20:49
Es decir, cogemos esto 00:20:52
Y lo igualamos 00:20:54
A 0 00:21:00
Y entonces, aquí tienes dos opciones 00:21:01
Una, no me acuerdo 00:21:04
No me acuerdo de la forma fácil 00:21:05
Rápida 00:21:08
Entonces tengo que hacer la lenta 00:21:08
Saco A es 6 00:21:10
B es 00:21:12
B es 00:21:14
Y C es 0 00:21:18
Donde A es el número que va con la X al cuadrado 00:21:20
B es el número que va con la X sin cuadrado 00:21:23
Y C es el número que va sin letra 00:21:26
Y luego aplica la formulita 00:21:28
La de menos B más menos raíz cuadrada de B al cuadrado menos 4C partido por 2A 00:21:30
Pero os comenté de que si falta una de las tres 00:21:34
Es decir, si la B es 0 o la C es 0 como en esta 00:21:40
Había una forma más rápida 00:21:43
En el caso de que fuese el c 00:21:45
La forma más rápida es sacar factor común x 00:21:48
Y entonces lo anterior se pone como 00:21:51
Saco una x 00:21:53
Habrá gente que dirá 00:21:54
Oye, puedes sacar el 6, sí, pero si no lo sacas no pasa 00:21:56
Si no te das cuenta no pasa nada 00:21:58
Entonces, si saco una x 00:21:59
Tanto de aquí como de aquí 00:22:01
Me quedaría 00:22:06
x por 6 por x 00:22:08
Más 6 00:22:11
Igual a 0 00:22:12
Piensa, si yo multiplico x 00:22:13
por todo esto me quedaría 00:22:16
x por 6x, 6x cuadrado 00:22:17
x por 6, 6x 00:22:20
y ahora para que esto pase 00:22:22
tenía que pasar 00:22:25
que o lo primero 00:22:27
que es la x sola es 0 00:22:28
o lo segundo 00:22:29
es decir, se separaba en 2 00:22:31
con el primero 00:22:35
ya tengo una solución 00:22:38
x igual a 0 00:22:39
con la segunda se soluciona 00:22:41
y en este caso como una ecuación de primer grado 00:22:43
te va a quedar x igual a 00:22:45
menos 1. Y esos dos puntos son los posibles máximos o mínimos. Ahora, tengo que detectarlos. 00:22:47
Esos puntos máximos y mínimos, no solamente es decir posibles máximos y mínimos, sino 00:22:56
que tengo que decir si es máximo, si es mínimo y después coger las coordenadas. Para ver 00:23:00
eso, tengo que entonces, ahora lo que se hace es, hago la segunda derivada. La segunda derivada 00:23:06
es volver a derivar esto de aquí y me daría 12x más 6 y ahora tenemos que sustituir para cada de estos puntos en esta derivada 00:23:16
y lo que nos interesa es el signo y aquí cuidado que el signo va a decirte mentalmente lo contrario a lo que vas a pensar. 00:23:30
Me explico. Cogemos el x igual a 0 y lo sustituimos. Entonces, la segunda derivada en 0 sería 12 por 0 más 6, o sea, 6. 00:23:37
Pero lo que me interesa no es el signo, lo que me interesa es que es positivo. Y por ser positivo, lo que significa entonces que en x igual a 0 va a ser mínimo. 00:23:54
Esto es lo que digo que va a adversar al revés de lo que piensa. 00:24:06
Si es positivo es mínimo, si es negativo es máximo. 00:24:10
Con el intervalo de crecimiento y decrecimiento va tal como lo piensa, 00:24:14
pero con lo máximo y lo mínimo va al revés. 00:24:16
Ahora haría lo mismo con x igual a menos 1. 00:24:20
Entonces sería con menos 1 lo mismo. 00:24:25
Voy a volver a copiar todo esto y ahora cambio el número. 00:24:30
Entonces sería, cambian el menos 1, por lo tanto sería 12 por menos 1, lo cual sería menos 12 más 6, o sea, menos 6, lo cual es negativo. 00:24:33
Lo que me interesa recordar es que no es el número, es el signo. 00:24:51
Por lo tanto, x igual a menos 1 es un máximo. 00:24:55
es un máximo 00:25:01
pero ahora necesitamos sacar las coordenadas 00:25:08
hay que sacar las coordenadas 00:25:13
y para sacar las coordenadas 00:25:14
es lo mismo que al principio 00:25:17
saco, cojo la tabla 00:25:18
de valores 00:25:21
voy a ponerlo aquí 00:25:21
pero ahora vamos a borrar esto porque 00:25:23
no quiero esto, estos valores no lo son 00:25:27
este no lo es 00:25:29
borro aquí 00:25:30
y se tiene que hacer respecto siempre del 00:25:32
de la original, no de la derivada 00:25:34
de la original, de la original aquí. Bien, y entonces aquí ponemos el 0 que me ha salido 00:25:37
y el menos 1 en la original. Entonces, ¿qué hacemos? Cogemos esto y se sustituye. Empezamos 00:25:45
en el 0. En el 0 sería, pues esto se convierte en 0 y esto se convierte en otro 0. 00:25:59
pero cuidado, es que este ya lo habíamos hecho antes 00:26:15
este ya lo habíamos hecho antes 00:26:18
es decir, me voy a decir 00:26:20
oye, es que lo hemos hecho antes, pues sí 00:26:22
queda la casualidad que es que el punto 00:26:23
de corte con el eje 00:26:26
va a ser 00:26:27
un mínimo, este ya tenemos 00:26:29
mínimo 00:26:32
en el punto 0, menos 00:26:33
0,2 00:26:36
casualidades de la vida 00:26:37
casualidades de la vida 00:26:39
no tiene por qué pasar 00:26:40
ahora tenemos que hacer 00:26:43
lo mismo con el menos 1. Entonces lo voy a hacer de aquí. Sería 2 por menos 1 elevado a 3, más 3 por menos 1 al cuadrado. 00:26:48
Menos 1 elevado a 3 es menos 1. Menos 1 por 2, menos 2. Menos 1 al cuadrado es 1. 1 positivo por 3, más 3. 00:27:03
y el último es 00:27:15
menos 0,2 00:27:17
pues 00:27:19
menos 2 más 3 00:27:21
menos 0,2 te da 00:27:23
0,8 00:27:25
por lo tanto, conclusión 00:27:28
el máximo 00:27:31
lo tiene en el punto de coordenada 00:27:32
menos 1,0,8 00:27:35
vale 00:27:38
con esta información 00:27:40
con esta información 00:27:41
y con esta información 00:27:44
ya podemos dibujarlo 00:27:48
lo que tienes que tener en cuenta 00:27:50
es que por ser mínimo 00:27:53
el dibujo que tiene que ir en mínimo 00:27:54
tiene que ser 00:27:57
una cosa así 00:27:58
donde 00:28:00
el punto mínimo es justamente 00:28:03
el que está aquí abajo ¿vale? 00:28:05
mientras que en el máximo 00:28:07
el dibujo 00:28:09
que te tiene que salir a partir de ese punto 00:28:11
es así 00:28:13
donde el máximo es este punto de aquí arriba 00:28:14
¿De acuerdo? 00:28:17
Entonces, ¿qué hacemos ahora? 00:28:19
Ahora lo que tenemos que hacer es la gráfica. 00:28:21
Una gráfica donde se pongan esos dos datos. 00:28:23
Te la voy a poner perfecta, pero te voy a decir que no tendría que salir tan perfecta. 00:28:27
Entonces, ¿qué ocurría? 00:28:35
Ocurría lo siguiente. 00:28:38
Que te va a salir la siguiente gráfica. 00:28:39
Pero esta gráfica no te hubiese salido tal cual. 00:28:43
Es decir, esta ya es la perfecta. 00:28:48
pero a ti la perfección no te hubiese salido 00:28:50
tú lo que hubieses tenido que hacer 00:28:52
por cierto, si te fijas en este caso 00:28:54
lo he cogido de 0,2 en 0,2 00:28:56
porque los números que me salen son pequeñitos 00:28:58
¿vale? entonces 00:29:00
vamos a ver lo que tendría que haber puesto 00:29:02
yo hubiese dibujado 00:29:04
a ver, cuidado, insertar form aquí 00:29:05
hubiese dibujado 00:29:09
el punto 0 menos 0,2 00:29:11
que era este punto de aquí 00:29:14
hubiese dibujado 00:29:16
el menos 1, 0,8 00:29:18
menos 1, 0,8 00:29:19
es este punto de aquí 00:29:21
y lo que hubiese hecho es esto 00:29:23
hubiese dicho, mira, aquí va 00:29:25
esta comba 00:29:28
que la voy a hacer 00:29:29
a ver si esa comba, me acuerdo todavía 00:29:30
que se destaque de la otra 00:29:34
hubiese hecho esa comba 00:29:36
y también hubiese hecho 00:29:38
la comba aquí 00:29:40
¿vale? la misma comba 00:29:41
contorno de forma 00:29:45
grosor 00:29:47
y ahora, a partir de ahí 00:29:49
¿qué hubiese hecho? 00:29:51
si hubiese querido hacer más 00:29:53
lo que hubiese hecho es 00:29:55
coger una tabla de valores 00:29:58
volver a coger 00:30:01
la famosa tabla de valores 00:30:02
voy a cogerla entera 00:30:04
y voy a ver un montón de cosas 00:30:07
¿vale? pero esto es solamente 00:30:08
si yo quisiera hacerlo 00:30:11
más mejor todavía 00:30:12
fuera esto 00:30:14
entonces, fuera y fuera 00:30:15
insertar 00:30:18
si la quiero ajustar un poquito 00:30:20
más, hubiese cogido 00:30:23
aquí varios valores 00:30:27
¿qué valor hubiese cogido aquí? 00:30:28
entre menos 1 y 0 no, porque ya se 00:30:31
acaban juntos 00:30:33
hubiese cogido algo por aquí, por ejemplo 00:30:34
el 1 00:30:37
a saber dónde se va el 1 00:30:38
y el menos 2 00:30:40
y con esos puntos 00:30:42
ya hubiese sacado 00:30:45
el 1 si tuviese venido muy arriba 00:30:46
pero incluso ni eso 00:30:48
ya directamente lo que hubiese hecho 00:30:51
es hacer esto 00:30:54
hubiese pintorreado 00:30:56
así, hubiese dicho, mira 00:30:58
hago lo siguiente, hubiese hecho primero 00:30:59
de aquí hubiese hecho para acá 00:31:01
y hubiese hecho así 00:31:03
y me hubiese pasado un poquillo 00:31:05
y por aquí abajo 00:31:07
contorno de forma 00:31:08
algo parecido 00:31:11
y por aquí 00:31:14
hubiese hecho algo parecido 00:31:15
De aquí hubiese dicho, ah, pues me vengo por aquí, me vengo por aquí, y hubiese hecho algo así. 00:31:17
Lo único que hubiese puesto también lo siguiente. 00:31:25
Flecha para acá y otra flecha para allá. 00:31:29
Para indicar que eso va para allá, ¿vale? 00:31:34
Eso es forzando mucho la máquina. 00:31:36
Si hubiese sacado esos dos puntos de aquí, pues lo hubiese unido con esos dos puntos y fuera. 00:31:38
Y ahora, a partir de esa función, de esa gráfica que te la dan por correcta, 00:31:44
Ya puedo responder las preguntas 00:31:48
Porque la pregunta es 00:31:50
¿Representa la gráfica de la función? 00:31:51
Ya la tienes hecha 00:31:53
¿Cuántas? 00:31:54
Además, aquí te falta esto 00:31:55
Pero aquí puedes decir 00:31:56
Oye, que no se puede sacar 00:31:58
Porque esto no está dentro del temario 00:32:00
No lo dices, pero bueno, no pasa nada 00:32:02
¿Cuántas raíces negativas tiene este polinomio? 00:32:03
¿Y cuántas positivas? 00:32:06
Las raíces es donde corta al eje X 00:32:07
Y entonces, ¿qué vemos? 00:32:11
Que corta al eje X tres veces 00:32:12
Tres veces 00:32:14
¿dónde? no lo sé 00:32:15
pero la dirección, no te dicen dónde 00:32:18
fíjate que en el ejercicio no dice 00:32:20
que diga dónde 00:32:26
¿por qué? porque saben que no se puede hacer 00:32:27
que con el tamaño no se puede hacer 00:32:29
1, 2 y 3 00:32:31
lo único que están diciendo es 00:32:33
oye, dime cuántas raíces 00:32:35
tienes negativas y positivas 00:32:37
recuerda que las raíces 00:32:38
es lo mismo que puntos 00:32:40
coinciden con los puntos de corte 00:32:44
con el eje 00:32:46
Con el eje X, que es cuando se hace el Y igual a cero. 00:32:50
Bien, entonces, conclusión. 00:32:55
Tiene dos raíces negativas, que es esa y esta, y tiene una positiva, que es esta. 00:32:58
¿Qué es esa? 00:33:25
Relleno distinto. 00:33:26
Esa de ahí. 00:33:29
¿Vale? Vuelvo a leer el ejercicio. Representa la gráfica de la función. Ya la hemos hecho. 00:33:29
Además, aquí tendría que decir, esboza la gráfica de la función. No la puedes representar, te faltan medios para poder representarla. 00:33:38
Pero esto sí, ¿cuántas raíces negativas tiene ese polinomio y cuántas positivas? 00:33:45
Las dos azules son negativas porque están en el lado negativo de la x y la anilla positiva. 00:33:50
Una positiva, dos negativas, una positiva. Recuerda, ¿eh? Los puntos de corte con el eje x. 00:33:55
No con el eje Y, con el eje X. El eje Y no son raíces nunca. 00:34:01
Ya estaría hecho. 00:34:07
Siguiente. Mira, aquí había vuelto a poner esta gráfica de aquí. 00:34:09
Bueno, no es lo que es, sino interesante. Voy a hacer la misma de antes. Vale, fuera. 00:34:17
Los precios en euros de un producto se distribuyen según una normal de desviación típica igual a 15. 00:34:23
Se ha tomado una muestra de los H. 00:34:31
normal de desviación típica 15 a qué te suena a normal está diciendo normal pues a meter datos 00:34:33
empezamos primer dato desviación típica es igual a 15 se han tomado una muestra de los precios de 00:34:42
hecho producto en nueve comercios n igual a 9 y el resultado es el siguiente 195 208 esto está 00:34:52
diciéndote los datos que tenemos. 00:35:01
Los datos que tenemos. 00:35:04
¿Qué te ha respondido cada uno 00:35:05
al comercio? Hay 1, 2, 3, 4, 00:35:07
5, 6, 7, 8, 9. 00:35:09
Entonces, determina un intervalo 00:35:12
de confianza del 90% para el precio 00:35:13
medio de este producto. Lo primero 00:35:15
que tenemos que ver es el precio medio. 00:35:17
Para hacer el 00:35:20
precio medio es la media. 00:35:21
¿Qué es la media? La media de toda la vida. 00:35:23
Sumo los 00:35:26
9 datos y lo divido entre 9. 00:35:26
Es decir, 195 00:35:29
225 más 208 más 238 más 212 más 129 más 206 más 225 más 201 más 215. 00:35:30
Si no lo he hecho mal, eso sale 1899. 00:35:46
Y eso lo tienes que dividir entre 9, porque son 9 los robertos que hay. 00:35:51
Dividido entre 9 me sale 211. 00:35:55
así que ya sé que la media es 00:35:57
211 00:36:01
bien 00:36:03
me da el intervalo de confianza 00:36:05
al 90% 00:36:07
90% 00:36:08
de ahí se acaba el Z alfa medio 00:36:10
¿cómo se hacía eso? 00:36:13
uy, no me acuerdo 00:36:16
vale 00:36:17
no me acuerdo del número 00:36:18
pero vamos a recordar cómo se hacía 00:36:21
del 90% 00:36:22
al 100% 00:36:24
¿cuánto sobra? Sobra o falta o sobra un 10%, ¿no? Entonces se cogía la mitad. La mitad sería el 5%. 00:36:27
Y eso se sumaba. Entonces cogía el 90 más el 5 igual al 95. Igual al 95%. Y esto lo tienes que pasar a decimales. 00:36:40
lo tienes que pasar a decimales 00:36:52
pasados decimales 00:36:55
entre 100, porque son porcentajes 00:36:59
0,95 00:37:01
y ahora 00:37:02
me voy 00:37:05
a la tabla, ¿a qué tabla? 00:37:07
a la tabla que te van a dar por narices 00:37:09
porque te van a dar una tabla 00:37:11
está al final, pues vamos a buscarla al final 00:37:12
la tengo aquí al final 00:37:15
voy a desplazarla para que la pueda ver 00:37:17
y ahora tengo que buscar el 0,95 00:37:19
O lo más cercano a 0,95 00:37:22
Vamos a poner aquí un valor 00:37:24
Uno de estos 00:37:26
Contorno aquí 00:37:27
Sin relleno 00:37:29
Vamos a buscar 00:37:31
Tengo que buscar el 0,95 00:37:37
93, 94 00:37:40
Aquí ya me he pasado 95 00:37:42
94, 8 00:37:44
95, 95 00:37:45
No me puedo pasar 00:37:47
No me puedo pasar 00:37:49
Entonces si me paso la de antes 00:37:51
¿de acuerdo? 00:37:54
la de antes, vamos a poner un poquito más de grosor 00:37:56
eso, ¿y eso a quién 00:37:58
corresponde? 00:38:06
corresponde 00:38:08
por un lado 00:38:10
1,6 00:38:19
y por el otro 00:38:22
y por el otro lado, por arriba 00:38:24
va a 1,0,04 00:38:28
entonces, el valor 00:38:30
de la z es 1,64 00:38:32
para correr hacia arriba 00:38:34
y tenemos 00:38:36
aquí que la z es 00:38:38
1,64 00:38:40
eso es por si no te acuerdas de cabeza 00:38:42
ahora sí, ahora lo siento 00:38:44
mucho, tenías que acordarte de la fórmula 00:38:46
para sacar el intervalo tenías que sacar primero el error 00:38:48
y el error era 00:38:50
coger a ser z 00:38:52
se multiplicaba por el fin 00:38:53
por la deviación típica 00:38:56
y se dividía 00:38:58
entre la raíz cuadrada del número de personas. 00:39:00
En nuestro caso sería 1,64, se multiplica por 15 y se divide entre la raíz cuadrada de 9. 00:39:06
Por lo que es lo mismo, 1,64 por 15 da 24,6, 00:39:17
Dividido entre la raíz cuadrada de 9, que son 3 00:39:26
24.6 entre 3 00:39:29
Da 8,2 00:39:32
Y entonces, para hacer el intervalo 00:39:36
Sería 00:39:39
Se coge la media 00:39:40
Se coge la media 00:39:43
¿Vale? 00:39:45
Y a la media, primero se le resta este valor 00:39:47
Y luego se le tendrá que sumar 00:39:51
Y si será 211, le quito 8,2 00:39:52
y después a 211 le sumo 8,2. 00:39:56
Lo que salga, ese es el intervalo que me están pidiendo. 00:40:01
211 menos 8,2 me va a salir entonces. 00:40:07
202,8 y 211 más 8,2, que no sé para qué lo hago porque sale 219,2. 00:40:15
Y este es el intervalo de confianza que me están pidiendo. 00:40:24
Esto es el apartado A. 00:40:30
Ahora vamos al apartado B. 00:40:34
Explicar cómo afecta al intervalo de confianza si se desea subir la confianza al 95%, 00:40:37
manteniendo todos los datos iguales a los del apartado anterior. 00:40:45
No calcular de nuevo el intervalo. 00:40:49
Interesante. 00:40:57
¿Cómo va a afectar? 00:41:00
Pues lo siento mucho, pero si no hay que hacer el intervalo, 00:41:02
la única explicación posible a esto es que si el porcentaje aumenta, 00:41:11
para que el porcentaje aumente, ha de aumentar a su vez la longitud. 00:41:24
del intervalo debido a que el error aumentaría. 00:41:38
Punto. 00:41:45
Más de eso no podemos decir. 00:41:47
Es decir, ¿para qué? 00:41:51
Porque aquí lo que te está diciendo es 00:41:52
entre qué valores va a estar el 90% de los casos. 00:41:54
Si en vez del 90% llega a ese 95%, 00:42:00
¿quién es que aumenta esta cantidad? 00:42:02
¿Que el porcentaje es más bajo? 00:42:04
Pues disminuye. 00:42:05
Pero es que eso, para que el porcentaje aumente, 00:42:06
la longitud de ese intervalo va a aumentar 00:42:08
debido a que el error 00:42:11
va a aumentar, es que fíjate 00:42:13
lo que va a hacer, el z 00:42:15
aumentaría, era 1,92 00:42:17
o algo así, no me acuerdo 00:42:19
entonces 00:42:19
este número no varía 00:42:21
lo que está haciendo es multiplicando por un número mayor 00:42:26
así que este 00:42:28
en vez de 8,2 sería un número más grande 00:42:30
al restar por un número más grande y sumar 00:42:32
un número más grande, esto se hace mucho más grande 00:42:34
se separa, serían más de 00:42:36
219 y menos de 202,8 00:42:38
por lo tanto 00:42:40
ese intervalo se va a hacer mayor de amplitud 00:42:41
no podemos decir 00:42:44
más cosas 00:42:46
y además te dicen literalmente 00:42:47
no calcular de nuevo el intervalo 00:42:50
no podemos hacer más, que más quieras que te cuente 00:42:51
si en vez de aumentar 00:42:53
disminuye el porcentaje 00:42:56
el intervalo se va a hacer lo mismo, la longitud 00:42:57
disminuye 00:42:59
siguiente, ejercicio 4 00:43:01
si los sucesos A y B son independientes 00:43:07
y compatibles, cuidado 00:43:09
que sean 00:43:11
independientes 00:43:13
y no sean dependientes 00:43:14
eso significa 00:43:16
varias cosas 00:43:18
pero una de las cosas que significa 00:43:21
es que, te voy a decir, las dos grandes 00:43:23
cuestiones que significa son 00:43:25
que la prioridad de A condicionada a B 00:43:27
es igual a la prioridad de A 00:43:29
y lo mismo al revés 00:43:31
que la prioridad de B condicionada a 00:43:36
es igual a la prioridad de B 00:43:38
es decir, que ni A ni B dependen 00:43:41
del otro, pero es que lo otro 00:43:42
que también dice 00:43:47
es que 00:43:47
que sean independientes también significa que 00:43:49
la probabilidad de A 00:43:52
intersección B 00:43:53
es igual a la probabilidad de A 00:43:56
por la probabilidad de B 00:44:00
esto es que sean 00:44:02
independientes 00:44:04
que sean 00:44:05
independientes 00:44:06
significa esto 00:44:11
significa que se verifican estas cosas 00:44:15
que las probabilidades 00:44:19
uno no depende del otro 00:44:20
pero también que la prioridad de la 00:44:22
intersección es eso 00:44:25
que sean compatibles 00:44:26
lo único que significa es que 00:44:28
las dos cosas pueden pasar a la vez 00:44:32
es decir 00:44:34
como puede pasar a la vez 00:44:36
que esto siempre va a ser 00:44:38
mayor 00:44:42
mayor que cero 00:44:43
no puede ser cero 00:44:46
que la intersección se da 00:44:48
que las dos cosas pueden pasar a la vez 00:44:50
Eso es lo que significa compatibles. 00:44:52
Incompatibles significaría que no tienen nada en común, 00:44:54
que la intersección sería vacía, por lo tanto, la probabilidad sería cero. 00:44:57
Pero eso significa que las compatibles son las propiedades que tienen. 00:45:01
Entonces, vamos a ver qué nos dicen. 00:45:06
Oye, son ciertas las siguientes afirmaciones y razón a la respuesta. 00:45:07
Primera afirmación, probabilidad de A, intersección B, 00:45:14
tiene que ser igual 00:45:19
a la prioridad de B 00:45:22
bien 00:45:23
tu primera intuición va a ser decir 00:45:25
que eso es mentira 00:45:29
pero hay que matizarlo 00:45:30
hay que matizarlo 00:45:34
porque es cierto que es mentira 00:45:37
salvo en una ocasión 00:45:39
y aquí está lo complicado de este ejercicio 00:45:41
entonces porque tú vas a decir 00:45:43
oye, es que eso no es cierto 00:45:45
entonces la cuestión 00:45:47
sería 00:45:49
Es falso porque al ser independiente, y se pondría así, 00:45:50
porque al ser independiente, la probabilidad de A intersección de B igual a la probabilidad de B, coma. 00:45:58
Salvo que diese la casualidad, y hay que ponerlo, que la probabilidad de A sea igual a 1. 00:46:11
¿De acuerdo? 00:46:28
pero, y aquí viene el cachondeo 00:46:28
hay otra opción 00:46:36
hay otra posibilidad 00:46:37
entonces 00:46:40
¿qué otra posibilidad hay? 00:46:42
la otra posibilidad que es absurda 00:46:46
también, sería 00:46:48
o que la prioridad de B 00:46:49
sea cero, porque fíjate 00:46:52
caso prioridad de A igual a 1 00:46:57
¿qué significaría? 00:46:58
que sería 1 por la prioridad de B 00:47:00
por lo tanto la prioridad de A y B sería la prioridad de B 00:47:02
porque la prioridad de A es 1 00:47:05
pero además 00:47:06
si la probabilidad de B es 0 00:47:08
esto sería 00:47:10
la probabilidad de A por 0 00:47:11
y lo que sea por 0 es 0 00:47:13
que es la probabilidad de B 00:47:14
entonces 00:47:15
es un razonamiento enrevesado 00:47:15
que no sé si 00:47:19
estaban pensando en 00:47:20
este razonamiento enrevesado 00:47:22
y además no es necesario 00:47:24
que se dé el otro a la vez 00:47:25
que se dé uno 00:47:26
o que se dé el otro 00:47:26
entonces 00:47:27
el A tiene mala leche 00:47:29
porque tu intuición 00:47:31
vas a decir 00:47:32
es falso 00:47:32
y ahí me quedo 00:47:33
el problema es 00:47:35
que hay dos excepciones 00:47:39
donde se puede dar esto 00:47:42
es decir 00:47:43
que la valga 1, por lo tanto si es 1 00:47:45
1 por prioridad de B es prioridad de B 00:47:48
y por lo tanto ya se está cumpliendo esto 00:47:50
o que la prioridad de B sea 0 00:47:54
y 0 por lo que sea es 0 00:47:56
pero 00:47:58
atención, no puede pasar 00:47:59
esto 00:48:02
¿por qué no puede pasar esto? 00:48:03
porque son compatibles 00:48:05
y al ser compatibles 00:48:07
la intersección no puede ser 0 00:48:09
Por lo tanto, esta opción no es posible 00:48:11
Cuidado 00:48:14
Que si no fuese incompatible se podría dar 00:48:18
Pero al ser compatible 00:48:20
Tiene que ser mayor el título de cero 00:48:21
Si la segunda no se puede dar 00:48:24
Entonces se acaba aquí 00:48:25
El A es complicado 00:48:27
El B es fácil 00:48:30
Normalmente si solo pones esto 00:48:31
Te van a dar la mitad del ejercicio seguro 00:48:33
Lo otro es 00:48:36
Si lo quieres entero 00:48:38
El siguiente me dice 00:48:41
que la prioridad de A unión B es igual a la prioridad de A 00:48:43
más la prioridad de B 00:48:45
pero nosotros sabemos 00:48:46
que la prioridad de A unión B 00:48:49
la fórmula 00:48:50
perdón, la prioridad de A unión B 00:48:52
su fórmula es la siguiente 00:48:55
es la prioridad de A 00:48:57
más la prioridad de B 00:49:00
menos la prioridad de A 00:49:01
intersección B 00:49:04
bien, para que 00:49:07
esto que me dicen sea cierto 00:49:10
es decir, para que fuese esto solamente 00:49:12
¿qué tendría que pasar? 00:49:15
que esto no estuviese 00:49:16
para que eso no estuviese tendría que valer 0 00:49:17
pero son compatibles 00:49:20
y salen mayor que 0 00:49:22
por lo tanto, conclusión, es 00:49:24
falso, y en este caso 00:49:26
no hay excepciones 00:49:28
¿por qué es falso? porque al ser 00:49:29
compatible 00:49:34
probabilidad de A mayor 00:49:37
ahí está, pues diríamos 00:49:40
es que la probabilidad de A1 y B 00:49:47
y por lo tanto es falso porque al ser compatible 00:49:48
la probabilidad tiene que ser mayor que cero 00:49:51
y al ser mayor que cero ya no puede darse el caso 00:49:52
y aquí no hay más opciones 00:49:55
cuidado con el cuadro 00:49:57
que tenía en la leche 00:49:59
pues lo dejamos por ahora por aquí 00:50:00
no sé si hay más 00:50:04
ahora 00:50:09
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Educación de personas adultas
    • Enseñanzas para el desarrollo personal y la participación
Autor/es:
Andrés GR
Subido por:
Jose Andres G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
8
Fecha:
23 de febrero de 2025 - 17:19
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB PAULO FREIRE
Duración:
50′ 13″
Relación de aspecto:
1.88:1
Resolución:
1920x1020 píxeles
Tamaño:
80.44 MBytes

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