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Concurso de Primavera - 2015 - Nv 4 - Fase 2 - Ej. 16 - Contenido educativo

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Subido el 18 de marzo de 2024 por Pelayo P.

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Ejercicio 16 de la competición matemática "Concurso de Primavera", año 2015, Nivel 4, Fase 2

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Buenos días, buenas tardes o buenas noches. 00:00:01
Estamos hoy aquí reunidos para resolver el ejercicio 16 del concurso de primavera de 2015, 00:00:04
nivel 4, fase 2. 00:00:12
Y dice así. 00:00:15
La suma de la progresión geométrica decreciente ilimitada, 00:00:17
a por r, r al cuadrado, r al cubo, etc., es 7. 00:00:21
Es una suma infinita, pero sabemos que da 7. 00:00:26
Y la suma de la progresión obtenida considerando solamente los términos con exponente impar de r, es decir, aquellos que son a por r, a por r al cubo, a por r elevado a 5, etc., es 3. 00:00:28
¿Cuál es el valor de a más r? 00:00:41
Y tenemos las 5 opciones que normalmente suele que hay en este concurso. 00:00:43
Como estamos hablando con progresiones, hay que tener en cuenta las ideas y técnicas básicas. 00:00:50
y entre ellas, pues bueno, a veces se hace de manera directa 00:00:55
o hay otras veces que hay que saberse de ciertas fórmulas 00:00:59
en este caso de las progresiones geométricas 00:01:02
hay que saber cuál es la fórmula que nos da la suma de los infinitos términos 00:01:04
de una progresión geométrica cuando converge 00:01:08
que en este caso lo hace porque ya nos dicen que da 7 00:01:10
y muy bien, vamos allá 00:01:12
primero definamos lo que es una progresión geométrica 00:01:16
y veamos nuestro caso 00:01:20
Pues damos una progresión geométrica, dados a y r, pues definimos a sub 1 como a, a sub 2 como a por r, a sub 1 por r, a por r, el a sub 3 a sub 2 por r, que es lo mismo que a sub 1 por r al cuadrado, y en general a sub n más 1 será pues el anterior a sub n por la razón r, o el primero a sub 1, que es a, por r elevado a n. 00:01:22
Ahora bien, ¿este ejercicio cómo se va a plantear? 00:01:45
Pues, primero hay que saberse la fórmula que nos da la suma de la progresión geométrica 00:01:50
Que en el caso de que la razón en valor absoluto sea menor que 1 00:01:56
La suma es finita 00:02:02
Y da lo que pone ahí 00:02:04
La suma desde el primer término hasta el infinito 00:02:06
De los términos es el primero a su 1 00:02:10
O sea, A dividido entre 1 menos la razón. 00:02:13
Si no se sabe esta fórmula, pues que no se puede hacer el ejercicio. 00:02:17
Ahora bien, este ejercicio nos dice algo sobre la que esta suma vale 7 y también habla sobre la suma de los pares. 00:02:21
Para poder resolver este ejercicio hay que saber dos cosas. 00:02:27
Primero, la fórmula que está aquí puesta en pantalla. 00:02:29
Y segundo, el poder manipular la suma original, de forma que para los que son de exponente impar, luego será sacar factor común y hacer un cambio de variable. 00:02:32
Y a partir de ahí tendremos dos fórmulas y nos dará un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolveremos. 00:02:47
Vamos primero a calcular la fórmula que nos da la suma de los términos de exponente impar. 00:02:54
Y va como sigue. 00:03:02
Pues nada, cogemos el a sub 2, que sería a sub 1 por r elevado a 1. 00:03:03
Fijaos que los que tengan índice par tendrán una potencia impar de r. 00:03:07
Sub 2 más a sub 4 más a sub 6, si los ponemos en su forma original, sería a por r, a por r al cubo, a por r elevado a 5. 00:03:14
Sacamos factor común y tenemos r, que es el factor común a todos, que multiplica a sub 1 más a sub 1 por r al cuadrado, etc. 00:03:23
Y ahora, haciendo el cambio de variable r por r al cuadrado, pues nos quedaría esta otra progresión geométrica. 00:03:32
Bueno, porque es obvio que si r es menor que 1 en valor absoluto, da igual, menos un 0,5 también valdría. 00:03:39
r al cuadrado también es en valor absoluto menor que 1. De hecho, es positivo y es menor que 1. 00:03:48
Y entonces, al tener aquí una progresión geométrica con razón menor que 1, podemos aclarar su suma. 00:03:53
y su suma será a sub 1, que es el primer elemento, partido por 1 menos la razón, que en este caso es r mayúscula. 00:03:59
En nuestro caso particular, pues como la razón es r al cuadrado, sustituimos, multiplicamos y ya nos queda todo pues r por a sub 1 partido por 1 menos r al cuadrado. 00:04:06
Y ahora vamos a poner las dos condiciones que nos dice el problema juntas, que es que la original la suma es 7 00:04:21
y la de términos impares, que tiene esta expresión, su suma es 3 00:04:27
a ver, aquí se puede resolver el sistema de varias formas 00:04:31
lo interesante es que esto lo podemos poner como diferencia de cuadrados 00:04:34
o sea, eso es una de las, el reconocimiento de patrones 00:04:39
una de las ideas es el reconocimiento de patrones, pero esto ya es para resolver en sí 00:04:43
el sistema, y pues poniendo u a la sub 1 en un sitio 00:04:46
y r en otro, pues nos queda que esto sabemos que es 7 00:04:51
ya pues despejamos, el 1 más r pasa multiplicando 00:04:53
pues 7r menos 3r es 4r 00:04:57
y dividiendo pues r es igual a 3 cuartos 00:05:00
que efectivamente es menor que 1 00:05:02
si pasamos al lado siguiente 00:05:03
pues sabemos que como 1 es 7 y r sabemos que es 3 cuartos 00:05:07
ponemos 3 cuartos en la fórmula 00:05:12
hacemos las operaciones y las cuentas 00:05:15
y nos queda que el primer elemento es 7 cuartos 00:05:17
Así pues, la suma, no hay nada más que sumar 00:05:19
7 cuartos más 3 cuartos, que es 10 cuartos 00:05:23
Simplificada por 5 medios, que es la solución E 00:05:26
Y ya está, este problema requeriría, repito, de dos ingredientes básicos 00:05:30
Sabes la fórmula 00:05:38
Y después, manipular la suma de los impares sacando el factor común 00:05:39
Y después, haciendo un cambio de variable 00:05:45
Pues nada, con esto terminamos 00:05:48
Y el dicho de hoy es 00:05:51
Bueno, de este ejercicio es 00:05:54
No por mucho madrugar, amanece más temprano 00:05:55
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Pelayo Palacio Pérez
Subido por:
Pelayo P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
14
Fecha:
18 de marzo de 2024 - 0:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ALPAJÉS
Duración:
05′ 59″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
11.45 MBytes

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