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CLASE CCFF 11 NOVIEMBRE - Contenido educativo

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Subido el 13 de noviembre de 2025 por M.jose S.

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Bueno, empezamos con matrices. Las matrices nosotros en el examen las vamos a utilizar para, si todo es normal y vuelve a ser un examen del mismo tipo que ha sido siempre, 00:00:00
pues las vamos a utilizar para dos cosas o para tres incluso. Una, para hacer ejercicios específicos de matrices, es decir, de operaciones con matrices 00:00:15
o bien ecuaciones matriciales, etcétera, y también para el estudio y la resolución de sistemas de ecuaciones. 00:00:26
Son para las dos cosas que vamos a utilizar las matrices. 00:00:35
Entonces vamos a empezar viendo cómo se operan matrices, cómo lo que son y cómo se operan, 00:00:37
y luego vamos ya directamente a ver las aplicaciones que a nosotros nos interesan, que son esas dos. 00:00:44
Entonces, vamos a ver lo primero lo que es una matriz. 00:00:49
Una matriz no es más que un conjunto de datos numéricos que se organizan en filas y columnas, eso es una matriz, no tiene mayor, es decir que es una matriz, puede ser 2 1 0 3 o puede ser 1 1 0 0 2 1 menos 2 3, lo que sea, es una serie de datos numéricos que se organizan en filas y columnas. 00:00:52
Las matrices se ponen siempre entre paréntesis y las filas y columnas se enumeran siempre de izquierda a derecha y de arriba a abajo, es decir, esta es la fila 1, esta es la fila 2, esta sería la columna 1 y esta sería la columna 2 y así sucesivamente. 00:01:19
Dentro de una matriz, los elementos se nombran, o sea, esos datos se nombran por la fila y la columna en la que están colocados 00:01:40
Es decir, siempre primero la fila y luego la columna 00:01:51
Es decir, que este elemento, este 2, sería el elemento A sub 1, 1 00:01:55
¿Por qué? Porque está primera fila, primera columna 00:02:04
Este 1 sería el elemento A sub 1, 2, primera fila, segunda columna. 00:02:07
Este sería el A, 2, 1, segunda fila, primera columna. 00:02:14
Y este, el 3, sería el A, 2, 2, segunda fila, segunda columna. 00:02:21
En esta otra matriz, pues por ejemplo este 3, pues sería fila, la cuarta, 00:02:29
Sería A4 y columna 2, es elemento A sub 4, así es como se colocan y se nombran los elementos de una matriz. 00:02:34
Las matrices pueden tener las filas y las columnas que quieran y la dimensión de la matriz siempre viene dada, 00:02:45
igual que nombramos los elementos por fila y columna, exactamente igual se nombra la dimensión de una matriz, 00:02:56
Es decir, la dimensión de una matriz viene dada por número de filas y número de columnas. 00:03:03
Es decir, que esta matriz es una matriz de 2x2. 00:03:19
Esta es una matriz que tiene de dimensión 2x2. 00:03:27
Y esto, sin embargo, es una matriz de 4 por 2, porque tiene 4 filas y 2 columnas. 00:03:31
Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que la matriz es cuadrada. 00:03:41
Si el número de filas es igual al número de columnas, entonces se dice que la matriz es cuadrada. 00:03:55
Las matrices cuadradas, la dimensión de las matrices cuadradas 00:04:08
En vez de poner el número de columnas y número de filas 00:04:16
Como sabemos que si decimos una matriz cuadrada 00:04:25
Ya sabemos que tiene el mismo número de filas que de columnas 00:04:28
Su dimensión se explica o se dice como 00:04:32
en orden 2, orden 3, orden 4, una matriz cuadrada de orden 2 es una matriz de 2 por 2, una matriz cuadrada de orden 3 es de 3 por 3, 00:04:37
de orden 4, de 4 por 4 y así sucesivamente. 00:04:56
¿La matriz cuadrada de orden 3? 00:04:59
Claro. A ti te dicen, dada una matriz cuadrada de orden 5, pues a ver si te están diciendo que es una matriz que tiene 5 filas y 5 columnas. 00:05:08
Te están diciendo que es cuadrada, con eso te dicen que tiene el mismo número de filas que de columnas y te está diciendo que el orden es 5, es decir, 5 filas, 5 columnas. 00:05:16
Si la matriz no es cuadrada, pues entonces no te lo dicen, te dicen una matriz de dimensión 3x2. 00:05:26
Pues sabes que tienes 3 filas y 2 columnas. ¿De acuerdo? 00:05:31
Bueno, dentro de las matrices hay, esto es por pura nomenclatura, hay distintas matrices especiales, por así decirlo. 00:05:34
Se dice que una matriz es una matriz fila si solo tiene una fila, por ejemplo la matriz 2, 0, menos 3, 4. 00:05:47
Esta es una matriz de 1 por 4, es una matriz fila de 4 columnas 00:06:10
La matriz columna es lo mismo, solo tiene una columna 00:06:15
Pues por ejemplo, 0, 1, 1, eso es una matriz columna 00:06:23
Dentro de las matrices cuadradas, es importante saber 00:06:43
lo que se llama en una matriz cuadrada 00:06:49
diagonal principal 00:07:01
que es los números que forman 00:07:03
la diagonal cogida de izquierda a derecha 00:07:13
es decir, que si yo tengo aquí una 0, 0, 1 00:07:16
1, 3, 2, menos 4, 5, 7 00:07:19
la diagonal principal de esta matriz sería esta 00:07:24
esta sería la diagonal principal 00:07:28
Mientras que esta de aquí, la otra diagonal, esta sería la diagonal secundaria 00:07:34
Si una matriz cuadrada solo tiene números distintos de cero en la diagonal principal 00:07:47
es decir, esta por ejemplo, ¿veis? Esta es una matriz cuadrada de orden 3 que solo tiene números distintos de 0 en la diagonal principal. 00:08:14
Esto se dice que es una matriz diagonal. 00:08:35
¿Se entra dentro de...? 00:08:46
Solo dentro de las cuadradas. 00:08:48
O sea, entra dentro de las especiales que has dicho. 00:08:49
Sí, bueno, a ver, no es que sean especiales, es como la nomenclatura, entonces si te dicen, dada la matriz diagonal, pues que sepas que una matriz diagonal es una matriz que tiene sus elementos de la diagonal principal, los tiene distintos de cero y el resto todos ceros. 00:08:51
Y dentro de estas matrices diagonales hay unas todavía más especiales que son las que tienen todos ceros menos la diagonal principal y además en la diagonal principal solo tiene unos. 00:09:07
A estas matrices cuadradas que tienen todos ceros menos la diagonal principal, la diagonal principal que son todos unos, se le llaman matriz identidad. 00:09:23
y se nombran como I, I y aquí el orden de la matriz. 00:09:33
De manera que esta, como es una matriz identidad porque tiene todos ceros menos la diagonal principal, 00:09:55
unos, sería la matriz identidad de qué orden, de orden 3. 00:10:01
La matriz identidad de orden 2 sería 1, 0, 0, 1 00:10:05
Esta sería la matriz identidad de orden 2 00:10:15
Si una matriz tiene todos ceros 00:10:19
Si una matriz se dice que está triangulada 00:10:40
O es triangular, matriz triangular 00:10:46
es aquella que tiene todos ceros por encima o por debajo de la diagonal principal. 00:10:53
Es decir, una matiz triangular, por ejemplo, es 1, 3, 4, 0, 2, 1, 0, 0, menos 4. 00:11:17
¿Veis? Esa matriz es una matriz triangular porque debajo de la diagonal principal todos sus elementos son ceros 00:11:41
De la misma manera puede ser triangular superior en vez de inferior 00:11:52
Es decir, que lo que tenga ceros sea la parte de arriba 00:11:57
Pues por ejemplo, 3, 0, 0, esto sería 2, 1, 0, 4, menos 2, menos 2, por encima de la diagonal principal, todos sus elementos son 0. 00:12:00
O sea, cualquiera de estas dos matrices se dice que son una matriz triangular. 00:12:21
aquí da lo mismo como sea la diagonal principal 00:12:24
no, si tiene ceros arriba 00:12:32
y ceros abajo 00:12:38
ya es una matriz diagonal 00:12:39
ya no es una matriz triangular 00:12:41
es una matriz diagonal 00:12:43
porque solo tiene elementos 00:12:45
entonces estamos en este caso 00:12:46
estamos en este caso 00:12:49
que es una matriz diagonal 00:12:50
Las otras, las matrices triangulares son cuando los ceros están solo por debajo o solo por encima. 00:12:53
La diagonal sería como una doble matriz triangulada. 00:13:00
Es una matriz que se ha triangulado dos veces, por abajo y por arriba. 00:13:03
¿Vale? 00:13:07
Bueno, y esto es un poco toda la nomenclatura que tenéis que saber sobre matrices. 00:13:09
Vamos a ver ahora qué operaciones podemos hacer con las matrices. 00:13:17
Con las matrices podemos sumar y restarlas, podemos multiplicarlas por un número, multiplicarlas o dividirlas por un número y podemos multiplicarlas entre sí. 00:13:20
y luego podemos hacer dos operaciones extrañas y que solamente se hacen con las matrices 00:14:24
porque esto hasta ahora se hace con cualquier cosa, con números, con polinomios, con cualquier cosa 00:14:31
y dos operaciones que son estrictamente particulares de las matrices que es transponerlas 00:14:40
y hallar, calcular su inversa, o invertirlas, como queráis llamarse. 00:14:46
Estas son las operaciones que vamos a aprender a hacer con matrices, que son las que se pueden hacer 00:15:14
y que tienen cada una de estas operaciones, como siempre que hablamos de operaciones, pues tiene sus reglas. 00:15:18
Vamos a ver cómo se suman y se restan matrices. 00:15:26
Para sumar y restar matrices, primera condición, sumas y restas de matrices. 00:15:28
Para sumar y restar matrices, las dos matrices tienen que tener la misma dimensión, 00:15:37
es decir, el mismo número de filas que de columnas. 00:15:54
Si no, no se pueden sumar y restar. 00:15:57
Tienen que ser de la misma dimensión, si no, no se pueden sumar y restar. 00:16:02
Si tienen la misma dimensión, lo que hacemos es, se suman o restan, depende de lo que estemos haciendo, los elementos situados en la misma posición. 00:16:23
Por ejemplo, si yo tengo una matriz A, que es la matriz 1, 0, menos 1, 2, 4, 5, 7, menos 2, 00:16:42
y una matriz B, que es 1, 2, menos 2, 6, y 6, 6, 7, menos 7, 00:17:22
¿qué dimensión tiene esta matriz A? 00:17:34
esta, no, 2 por 4, primero filas y luego columnas 00:17:36
la dimensión de esta es 2 por 4 y la dimensión de esta también 00:17:47
luego se pueden sumar y restar 00:17:51
si yo hago A más B va a ser una matriz de la misma dimensión como es lógico 00:17:53
y lo que hago es sumando los elementos que están en la misma posición 00:18:00
Es decir, aquí iría 1 más 1, aquí iría 0 más 2, aquí iría menos 1 más menos 2, aquí 2 más 6, aquí iría 4 más 6, aquí 5 más 6, aquí 7 más 7 y aquí menos 2 más menos 7. 00:18:03
En resumidas cuentas, esta matriz sería la matriz 2, 2, menos 1, 8, 10, 11, 14 y menos 9. 00:18:28
Esa sería la matriz A más B. 00:18:42
No tiene ningún problema. 00:18:45
De la misma manera, si las quiero restar, pues es lo mismo. 00:18:47
A menos B sería pues 1 menos 1, 0 menos 2, menos 1 menos menos 2, 2 menos 6 00:18:50
y abajo 4 menos 6, 5 menos 6, 7 menos 7 y menos 2 menos menos 7 00:19:06
Es decir, esto es la matriz, 0, menos 2, 1, menos 4, menos 2, menos 1, 0 y 5. 00:19:16
¿De acuerdo? 00:19:30
No tiene ningún problema, ¿no? 00:19:32
Sumar estas matrices. 00:19:34
La siguiente operación que es multiplicar o dividir por un número tampoco tiene ningún problema 00:19:35
Aquí yo puedo multiplicar o dividir una matriz por cualquier número 00:19:59
Entonces lo único que hago es multiplico o divido todos los elementos de la matriz 00:20:05
Es decir, si yo tengo una matriz cualquiera A, que es 2 menos 1, 3, 4, 0 menos 2, 5, 3, menos 4, 0, 1, 2, 00:20:24
y quiero hacer 3A, 3 por A, pues lo que tengo que hacer es multiplicar cada uno de estos elementos 00:20:52
de este, este, este, cada uno independientemente por ese 3 00:21:00
es decir que aquí sería 3 por 2 que son 6, 3 por menos 1 menos 3, 3 por 3, 9, 12, 0, menos 6, 15, 9, menos 12, 0, 3 y 6 00:21:04
Esta sería la matriz 3A. De la misma manera, si es dividir, si yo lo que quiero hacer es A partido por 2, pues entonces esto sería 2 entre 2 a 1, menos 1, menos 1 medio, 3 medios, 2, 0, menos 1, 5 medios, 3 medios, menos 2, 0, 1 medio y 1. 00:21:21
¿De acuerdo? 00:21:48
Sumar matrices y multiplicar por un número no tiene ningún problema 00:21:51
Vamos ahora con otra de las operaciones que es transponer una matriz 00:21:56
Transponer una matriz es cambiar sus filas por sus columnas 00:22:09
Es decir, que si yo tengo una matriz A, por ejemplo, que sea menos 3, 4, 1, 5, 0, 2 00:22:38
La traspuesta que se escribe así, poniendo una T arriba, así se escribe la traspuesta de una matriz 00:22:53
Sería cambiar, esta primera fila pasa a ser la primera columna y esta segunda fila pasa a ser la segunda columna 00:23:05
Tampoco tienen ningún secreto 00:23:15
Como veis la dimensión de esta que es de 2 por 3 pasa a ser de 3 por 2 00:23:20
La dimensión se cambia, el número de filas pasa a ser el número de columnas y viceversa 00:23:27
Y por último y antes de empezar a hacer ejercicios vamos a ver cómo se multiplican dos matrices 00:23:34
Bueno, curiosamente la multiplicación de matrices no es conmutativa 00:23:45
Nosotros estamos acostumbrados a que cuando multiplicamos dos números 00:24:14
Me da igual multiplicar primero uno o el otro 00:24:19
O sea, me da lo mismo hacer dos por tres que tres por dos 00:24:21
Cuando multiplico dos polinomios también me da igual 00:24:24
Es decir, en general la multiplicación de fracciones, de tres 00:24:28
la multiplicación es una operación que tiene la propiedad conmutativa, sin embargo la multiplicación de matrices no, 00:24:33
es la única multiplicación que vamos a hacer que no es conmutativa, es decir, que no me da lo mismo si yo tengo dos matrices A y B, 00:24:42
no me da lo mismo multiplicar A por B que B por A, ¿por qué? Porque tiene que pasar una cosa, para poder multiplicar dos matrices, 00:24:48
la condición que tienen que reunir es que el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda 00:24:56
Y de esta condición sale que si eso no pasa, es una condición, es decir, si eso no pasa no se puede multiplicar, es decir, igual que hemos dicho antes, no se pueden sumar todas las matrices, los números podemos sumarlos todos, las matrices no. 00:25:37
Matrices, una se puede sumar y otras no 00:25:58
La multiplicación pasa lo mismo 00:26:00
Hay matrices que se pueden sumar y otras no 00:26:02
De hecho hay matrices que puedes, si yo tengo A y B 00:26:05
A veces puedo hacer A por B y no puedo hacer B por A 00:26:07
Y a veces al revés, puedo hacer B por A y no puedo hacer A por B 00:26:12
Es decir, que las condiciones que se necesitan para realizar las multiplicaciones 00:26:15
Las operaciones con matrices son muy restrictivas 00:26:20
Hacen que solamente se puedan operar determinadas matrices 00:26:24
Entonces, si esto sucede, es decir, que se pueden multiplicar, si yo tengo dos matrices A cuya dimensión es A por B y una matriz B cuya dimensión es B por C, como veis, el número de columnas yo podría hacer A por B. 00:26:26
¿Por qué puedo hacer A por B? 00:26:46
Porque esto sería esta matriz por esta matriz 00:26:51
¿No? 00:26:58
Veis que está número de columnas de la primera igual al número de filas 00:27:00
Entonces la dimensión de esta matriz A por B 00:27:05
Esto lo quito y esto lo quito 00:27:09
La dimensión es A por C 00:27:14
es decir, la dimensión de una matriz, que es el producto de dos matrices, 00:27:17
es siempre número de filas de la primera por número de columnas de la segunda, ¿de acuerdo? 00:27:25
Bueno, una vez que yo sé esto, ¿cómo se hace? 00:27:34
Una vez que yo tengo dos matrices y veo que se pueden multiplicar, ¿cómo se multiplica? 00:27:37
Bueno, pues el procedimiento es, yo voy calculando cada elemento del producto 00:27:44
que sale de multiplicar toda su fila por toda su columna. 00:28:06
¿Qué quiere decir esto? 00:28:29
Quiero decir que si yo tengo una matriz A entre A11, A12, A21, A22, A31, A32 00:28:42
y lo quiero multiplicar por b, que es a11, a12, a13, a21, a22, a23, 00:29:04
yo quiero multiplicar estas dos, entonces lo primero que miro es si así puedo hacerlo. 00:29:25
Esta es una matriz de 3 por 2, ¿no es así? Y esta es una matriz de 2 por 3, veo que sí puedo porque tengo los dos números interiores son iguales y me va a salir de esta una matriz de 3 por 3. 00:29:30
O sea, yo ya sé que la dimensión de estas, bueno, esto realmente tendría que ser b, voy a hacer una cosa, voy a llamarlo b para que haya menos problema, voy a llamarlo b, b1, 1, b1, 2, b1, 3, b2, 1, b2, 2, b2, 3. 00:29:58
Bueno, pues esta matriz producto, ¿cómo se hace? 00:30:33
Yo cojo para el, ese primer elemento es la multiplicación de la primera fila, porque es el 1,1, primera fila por primera columna 00:30:39
Primera fila de la primera por primera columna de la segunda, es decir, c1,1 saldría de multiplicar 00:30:51
Primera fila de la primera que es A11 por B11 más A12 por B21, es decir, esta fila por esta columna, 00:31:00
Primer elemento por primer elemento, segundo elemento por segundo elemento, más segundo elemento por segundo elemento, ¿de acuerdo? 00:31:18
Esta será primera fila, si yo quiero hacer C1, 2, será primera fila, es decir, esta, pero ahora por segunda columna, por esta. 00:31:27
Entonces, primer elemento por primer elemento, A1,1 por B1,2, más segundo elemento A1,2 por B2,2. 00:31:52
Y así sucesivamente. 00:32:03
Yo sé que como la dimensión del producto es 3 por 3, pues los elementos que tengo van a ser 3 filas y 3 columnas. 00:32:05
¿De acuerdo? 00:32:22
Voy a hacer un ejemplo. 00:32:24
¿Algún ejemplo? 00:32:52
Hago un ejemplo y hacemos los ejercicios. 00:32:54
Voy a multiplicar, por ejemplo, esta. 00:32:58
Menos 1, 2, 4. 00:33:04
3 menos 5, 1. 00:33:08
La voy a multiplicar por 4 menos 1. 00:33:12
1 menos 2 y 0, 3. 00:33:17
Miro siempre, lo primero compruebo que las puedo multiplicar 00:33:21
Para ello, las dimensiones 00:33:26
Esta es una de 2 por 3 00:33:28
Y esta es una de 3 por 2 00:33:30
Bueno, pues entonces esto se me va con esto 00:33:33
Y la multiplicación va a ser una de 2 por 2 00:33:36
¿De acuerdo? 00:33:39
Por lo tanto, yo sé que si es de 2 por 2 00:33:42
La multiplicación va a ser 00:33:45
A1, 1, A1, 2, A2, 1, A2, 2 00:33:46
Porque es de 2 por 2, esos son los elementos que va a tener 00:33:53
Y calculo cada uno de ellos 00:33:56
Entonces digo A1, 1, primera fila por primera columna 00:33:58
Esta por esta 00:34:03
Entonces empieza elemento a elemento 00:34:05
Primer elemento, menos 1 por 4 00:34:07
Segundo elemento, más 2 por 1 00:34:12
por 1 00:34:16
y tercer elemento más 4 por 0 00:34:20
esto es menos 4 00:34:24
más 2 es menos 2 más 0 00:34:27
esto es menos 2, luego ya sé que este primero es menos 2 00:34:30
segundo elemento A12 00:34:35
ahora es primera fila pero por segunda columna 00:34:39
entonces empezó, primer elemento menos 1 por menos 1 00:34:44
más, segundo elemento 00:34:48
2 por menos 2 00:34:50
más tercer elemento 00:34:52
4 por 3 00:34:57
esto es 1 menos 00:34:58
4 que son menos 3 00:35:03
12 son 9 00:35:06
si no me he equivocado 00:35:08
son 9 00:35:09
siguiente elemento 00:35:10
A21 00:35:17
ahora ya tengo segunda fila 00:35:17
primera columna, elemento a elemento, 3 por 4, más menos 5 por 1, más 1 por 0, si hago 00:35:21
esta cuenta, estos son 12 menos 5, que son 7, luego este elemento es 7, y por último 00:35:38
a 2, 2, que sería segunda fila por segunda columna, entonces elemento a elemento serían 00:35:44
3 por menos 1, más menos 5 por menos 2 y más 1 por 3, si hago esta cuenta, entonces serían menos 3 más 10, que son 7, 7 más 3, 10, pues saco error de emisión, esa es la multiplicación de esas dos, ¿de acuerdo? 00:35:51
las operaciones básicas 00:36:16
de las que hemos visto al principio 00:36:20
solamente nos queda ver 00:36:23
que veremos más adelante 00:36:26
cómo se invierte una matriz 00:36:27
cómo se da la inversión de una matriz 00:36:30
y con esos datos ya vamos a empezar 00:36:31
a poder aplicarlas 00:36:34
y empezar a trabajar con la aplicación 00:36:36
de las matrices 00:36:38
os he dado unas hojas de ejercicios 00:36:39
podemos hacer 00:36:42
Como veis las operaciones con matrices siempre se hacen igual, os dan las matrices y os van pidiendo operaciones, entonces en este caso os dan las matrices A, B, C y entonces primera os piden en el ejercicio 1A, A por B, ¿lo veis? 00:36:45
pues aquí está la solución 00:37:08
para que las comprobéis 00:37:11
pero vamos, lo haremos en la pizarra 00:37:12
después os piden B traspuesta 00:37:14
por A traspuesta 00:37:16
y así sucesivamente 00:37:17
fijaros que en el apartado C 00:37:20
os piden A más 00:37:22
I sub 3 00:37:24
I sub 3 nos la dan 00:37:25
pero I sub 3 nos la dan porque I sub 3 00:37:27
sabemos que es la matriz 00:37:29
es esa matriz 00:37:32
es la matriz identidad 00:37:41
de orden 3 00:37:44
acordaros, siempre que dais una i 00:37:45
no os van a dar la matriz, pero porque 00:37:48
saben y os dicen 00:37:50
o sea, dan por supuesto 00:37:52
que sabéis que una matriz que se llama i 00:37:53
es la matriz de identidad 00:37:56
y el subíndice indica 00:37:58
el orden de esa matriz 00:38:00
es decir, que i sub 3 en este caso 00:38:02
sería 00:38:04
i sub 3 sería esa matriz 00:38:05
en el caso de lo que os piden 00:38:08
que es una matriz a 00:38:09
más i sub 3 00:38:11
y elevado al cuadrado 00:38:13
tendrías que hacer primero 00:38:15
sumarlas y luego 00:38:16
multiplicar esa por sí misma 00:38:19
para elevar al cuadrado 00:38:21
una matriz hay que multiplicar 00:38:23
esa matriz por sí misma 00:38:25
primero hay que ver además 00:38:26
si se puede hacer o no 00:38:29
¿vale? 00:38:31
nos ponemos a ello 00:38:32
a ver 00:38:34
me dan tres 00:38:46
matrices 00:38:47
A, que es la 911-121-1181, la B, que es la 1111-1111 y la C, que es la 10222. 00:38:49
3, 2, 2, 19, 2 y me piden A por B, bueno pues A por B primero tengo que ver si puedo hacerlo, A es una matriz de 3 por 3 y B es una matriz de 3 por 2, luego si puedo hacerlo y además el resultado va a ser una matriz de 3 por 2. 00:39:19
Entonces empiezo. Primera fila por primera columna, ¿vale? Lo hago de cabeza, vosotros ya sabéis cómo lo he hecho. 00:39:51
Primera fila por primera columna, voy multiplicando 9 por 1, 9 más 1 por 1, 10 más 1 por 1, 11. ¿De acuerdo? 00:39:59
Segunda, el A21, segunda fila, digo, el A12, pues primera fila por segunda columna 00:40:09
Entonces, 9 por 1 es 9, más 1 es lo mismo, porque estoy haciendo lo mismo, ¿no es así? 00:40:20
Ahora, segunda fila por primera columna, 1 por 1 es 1, más 2, más 1, luego son 4 00:40:29
y la segunda va a ser igual 00:40:39
puesto que las dos columnas 00:40:41
que estoy haciendo son iguales 00:40:43
y por último, tercera fila 00:40:45
por primera columna 00:40:47
1 por 1, 18, 20 00:40:49
y la segunda va a ser igual 00:40:51
luego si no me he equivocado 00:40:53
A por B es esa 00:40:55
efectivamente es esa, ¿de acuerdo? 00:40:56
¿sí? 00:41:00
ahora me piden 00:41:02
B traspuesta 00:41:03
por A traspuesta 00:41:04
Entonces lo primero que tengo que hacer es transponer, si yo transpongo B, esto va a ser 1, 1, 1, 1, 1, 1, en vez de ser una matriz de 3 por 2, es una matriz de 2 por 3, ¿sí? 00:41:08
Y si ahora transpongo a, esto va a ser 9, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 18, 1. 00:41:25
He cambiado las filas por las columnas y esta como era cuadrada pues va a seguir siendo cuadrada de 3 por 3. 00:41:40
Y ahora pues me va a pasar lo mismo, que efectivamente puedo multiplicarlas 00:41:46
porque tienen los dos dígitos del centro iguales y me va a salir una matriz de dos por tres, dos filas por tres columnas. 00:41:52
Multiplico primera fila por primera columna, esto es nueve, diez, once. 00:42:00
Primera fila por segunda columna, uno, dos, cuatro. 00:42:10
Y primera fila por segunda columna, veinte. 00:42:16
¿Sí? 00:42:20
Y ahora resulta que, claro, como son iguales, pues son iguales, al ser la columna igual, pues es lo mismo, ¿de acuerdo? 00:42:22
Y fijaros que con esto comprobamos, con esto comprobamos que A por B, dos matrices, es lo mismo, me da lo mismo que esto. 00:42:34
¿Lo veis? 00:42:48
Eso siempre. 00:42:50
Eso siempre, claro. 00:42:51
¿De acuerdo? 00:42:53
No, perdón, esta es la transpuesta de A por B, tened en cuenta que esto es A por B. 00:42:59
Vemos que si yo transpongo la multiplicación, es lo mismo que si multiplico las dos, pero en el orden cambiado. 00:43:06
¿De acuerdo? 00:43:15
Y por último teníamos, voy a borrar esto. 00:43:15
Por último decía que hiciera A más I3 al cuadrado, yo sé que I3 es la matriz identidad de orden 3, es esta. 00:43:27
Luego si sumo A más I3, como son 3 por 3 y 3 por 3, puedo hacerlo las dos, porque acordaros que para poderla sumar tiene que tener la misma dimensión. 00:44:00
En este caso tengo una matriz de 3 por 3 y una matriz de 3 por 3, puedo hacerlo. 00:44:14
Que tengo que sumar elemento a elemento, es decir, esto sería 10, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 18, 2. 00:44:19
Esto sería lo que tengo que elevar al cuadrado. 00:44:31
Que, como ya os he dicho antes, elevar al cuadrado en este caso es multiplicarla por sí misma. 00:44:36
Sabéis multiplicar esto por 10, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 18, 2 00:44:43
Como esta es de 3 por 3 y esta es de 3 por 3 00:44:55
El resultado va a ser también una de 3 por 3 00:45:01
Por lo tanto empiezo primera fila por primera columna 00:45:05
10 por 10, 100, más 1, más 1, 102 00:45:09
Primera fila por segunda columna 00:45:13
10 por 1, 10, más 3, más 18 00:45:17
Que son 18, 28, 31, ¿no es así? 00:45:21
Primera fila por tercera columna 00:45:27
10 más 1, más 2, que son 13 00:45:29
¿Vale? 00:45:33
Siguiente, segunda fila 00:45:36
Segunda fila por primera columna 00:45:37
10 más 3 más 1 que son 14 00:45:39
Segunda fila por segunda columna 00:45:42
1 más 9 que son 10 más 18, 28 00:45:46
Y segunda fila por tercera columna 00:45:49
1 más 3 más 2 que son 6 00:45:53
Y por último, tercera fila 00:45:57
1 por 10 más 18, 28 más 2, 30 00:46:02
tercera fila por segunda columna 00:46:06
1, 18 por 3 que son 54 00:46:10
55 más 36 son 91 00:46:14
y por último tercera fila por tercera columna 00:46:21
1 más 18, 19 más 4, 23 00:46:27
esta sería el resultado 00:46:31
de haber hecho esto 00:46:34
¿de acuerdo? 00:46:36
¿si? 00:46:39
¿esta claro? 00:46:40
¿si o no? 00:46:43
¿lo has multiplicado por A? 00:46:44
¿como? 00:46:47
¿lo has multiplicado por A? 00:46:48
no, no, he multiplicado 00:46:50
yo he sumado A 00:46:52
con I3 y me ha dado esta 00:46:53
y luego la he elevado al cuadrado 00:46:56
multiplicándola por sí misma, no he multiplicado por A, primero he sumado, primero he sumado 00:47:00
y luego para hacer el cuadrado he multiplicado por ella misma, porque aquí no hacemos potencias, 00:47:06
no existen las leyes de las potencias de matrices, si una cosa está al cubo, esta hay que multiplicarla 00:47:11
tres veces por sí misma y así sucesivamente, ¿de acuerdo? Bueno, pues seguimos, los tres 00:47:16
siguientes, bueno, vamos a ver, entonces, habíamos dicho que las matrices que teníamos, 00:47:23
voy a tener que escribirlas otra vez 00:47:28
eran A 00:47:30
eran 9, 1, 1 00:47:31
1, 2, 1 00:47:34
si pero como lo voy estoy grabando 00:47:37
la B 00:47:40
era 1, 1, 1 00:47:43
y la C 00:47:47
era 10 00:47:52
2, 2 00:47:54
2, 3, 2 00:47:57
2, 19, 2 00:48:00
Bueno, y ahora me piden 00:48:03
¿Qué tengo que hacer? 00:48:06
A al cuadrado 00:48:08
Más 2A 00:48:09
Más I3 00:48:11
Bueno, como A es de 3 por 3 00:48:13
Efectivamente voy a poder hacer todas estas sumas 00:48:18
Puedo multiplicar A por A 00:48:24
Porque tiene el mismo número de filas y columnas 00:48:26
voy a poder sumársela a 2a que va a ser también una matriz de 3 por 3 y la i sub 3 es una matriz de 3 por 3, luego esta operación se puede hacer. 00:48:28
Lo primero que vamos a hacer es a cuadrado, a cuadrado es 9, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 18, 1 y esto por sí mismo, 1, 1, 2, 1. 00:48:39
Bueno, pues primera fila por primera columna, 9 por 9, 81, 82, 83. 00:49:01
Primera fila por segunda columna, 9 por 1 es 9, más 2, 11, más 28, 39. 00:49:10
Primera fila por tercera columna, 9 por 1 es 9, más 1, 10, más 1, 11. 00:49:18
Ahora, segunda fila por primera columna, 1 por 9 es 9, más 2, 11, más 1, 12 00:49:23
Segunda fila por segunda columna, 1 por 1 es 1, 2 por 2, 4, 5, 5, 18, 23 00:49:32
Y segunda fila por tercera columna, 1 más 2, más 1, 4 00:49:40
Y lo último, tercera fila por primera columna, 9 más 18, 27, más 1, 28 00:49:48
Primera fila por segunda columna, 1 por 1 es 1, 18 por 2 son 36, 37 más 18 son 55 00:49:56
Y por último, tercera fila por tercera columna son 20 00:50:05
1 por 1 más 18 más 1 por 1 00:50:11
¿Eso os daba? 00:50:16
Eso es a cuadrado. 00:50:18
2a, 2a sería multiplicar a todo por 2, es decir, sería 18, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 36, 2. 00:50:20
Eso no tiene ningún problema, ¿no? 00:50:35
Multiplicar cada uno de los elementos por 2. 00:50:37
Y por último, y 3, que sabemos que es la matriz identidad de orden 3. 00:50:40
Por lo tanto, si quiero sumar estas tres cosas, estas tres matrices, como todas son de 3x3, al final este resultado que es el que me pedían, pues será 83 más 18 más 1. 00:50:49
83 más 18 son 93, 101, 102. Luego 39 más 2 más 0 que son 41. Luego 11 más 2 más 0 que son 13. Luego 12 más 2 más 0 que son 14. 00:51:11
Luego 23 más 4, 27 más 1, 28. 00:51:42
Siguiente, 4 más 2, 6 más 0, 6. 00:51:49
Luego 28 más 2, 30 más 0, 30. 00:51:55
55 más 36 son 85, 91. 00:52:01
más 0, 91 00:52:07
y por último 20 más 2 más 1 00:52:10
pues esto es lo que me da 00:52:13
¿de acuerdo? 00:52:16
¿habéis visto como lo he hecho, no? 00:52:20
no tiene mucho problema 00:52:22
la multiplicación es quizá 00:52:23
un poco lo más así 00:52:25
pero bueno, hay que hacer unas cuantas 00:52:27
para coger un poco, para engrasar 00:52:29
¿bien? 00:52:31
bueno, pues vamos a ver 00:52:34
seguimos con las mismas matrices 00:52:35
vamos a ver el siguiente ejercicio que nos pide, el siguiente ejercicio me pide A por C, primero tengo que ver si eso es posible, 00:52:37
bueno efectivamente las dos son dos matrices de orden 3, son cuadradas, luego siempre las puedo multiplicar, 00:52:57
Por lo tanto, cojo primera columna por primera, o sea, primera fila por primera columna, 9 por 10, 90, más 2 y más 2, 94, primera fila por segunda columna, 9 por 2, 18, 18, más 3, 21, más 19, son 30, 40. 00:53:04
Primera fila, esta, por esta columna, por tercera columna 00:53:27
Luego entonces 9 por 2, 18, más 2 y más 2, 22 00:53:34
Empezamos con la segunda fila 00:53:39
Segunda fila, por la primera columna serían 00:53:43
1 por 10 es 10, más 4 más 2 son 16 00:53:46
Segunda fila por segunda columna 00:53:49
1 por 2 es 2, más 6, 8, más 19, 27 00:53:53
Tercera fila por tercera columna 00:53:57
No, perdón, segunda fila por tercera columna 00:54:02
1 por 2 es 2, más 4, 6, más 2, 8 00:54:05
Y ya, tercera fila por primera columna 00:54:10
1 por 10 es 10, más 36, son 46, más 2, 48 00:54:15
Tercera fila por segunda columna, 1 por 2 es 2, 18 por 3 es 54, que son 56, 56 más 19 son 66, 75 00:54:19
Y por último, 1 por 2 es 2, 18 por 2 son 36, 38 más 2, 40 00:54:34
Pues no sé si me he equivocado, pero creo que es 00:54:44
No está bien 00:54:46
¿Está bien? 00:54:48
Sí 00:54:49
Y el último es lo mismo pero ahora C por A, como las dos son cuadradas pues también puede hacer C por A, pero ahora al revés, empiezo primera fila de la C por primera columna de la A, que serían 10 por 9, 90, 90 y 4. 00:54:49
Primera fila por segunda columna, 10 más 4, 14, 14, 14 más 36 son 40, 50 00:55:09
Y primera fila por tercera columna, 10 más 2, más 2, 14 00:55:25
ahora, segunda fila por primera columna 00:55:34
2 por 9, 18, 18 más 3, 21, más 2, 23 00:55:41
segunda fila por segunda columna 00:55:46
1 por 2, más 6, 8, 8 más 36, 8 más 36 son 54 00:55:51
y por último, segunda fila por tercera columna 00:56:00
es 2 más 3 00:56:06
es 7 00:56:08
son 44 00:56:11
vale, y luego ya 00:56:13
tercera fila de la C 00:56:23
por primera columna 00:56:25
2 por 9, 18 00:56:27
18 más 2, 20, 39 00:56:28
tercera fila 00:56:31
por segunda columna 00:56:35
1 por 2 es 2 00:56:36
19 por 2 son 38 00:56:38
que son 40, 40 y 36 00:56:40
y por último 00:56:43
tercera fila por tercera columna 00:56:46
que son 19, 21, 23 00:56:49
bueno, pues si no me he equivocado 00:56:50
da esto 00:56:53
como podéis ver 00:56:54
no es igual 00:56:55
no da lo mismo 00:56:58
efectivamente la multiplicación 00:56:59
no tiene la común 00:57:02
bueno, aquí lo dejamos 00:57:03
doy por sabidas 00:57:06
las operaciones básicas 00:57:08
con matrices 00:57:09
Pues yo creo que se nos tiene mucho que… y aparte de que como luego vamos a seguir trabajando con ello, pues tampoco seguiremos trabajando. 00:57:11
Así que el lunes empezamos con matriz inversa, ¿vale? ¿De acuerdo? 00:57:19
Pregunta de examen. 00:57:27
Pregunta de examen. 00:57:29
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Operaciones matemáticas
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
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M.jose S.
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13 de noviembre de 2025 - 12:42
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Público
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CEPAPUB CANILLEJAS
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