6. Ejemplos Monotonía y extremos relativos funciones racionales - Contenido educativo
Ajuste de pantallaEl ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:
Monotonía y extremos relativos en funciones racionales
Vamos a ver ahora ejemplos en los cuales la función es una función racional.
00:00:02
Como ejemplo, esta función igual a x cuadrado más 1 partido de x.
00:00:08
Vamos a ver el dominio. El dominio de la función racional, que acordad que era
00:00:14
todos los números reales, estructurando aquellos valores de x que anulaban el denominador.
00:00:18
En este caso, como el denominador se anula cuando x vale 0,
00:00:24
el dominio de la función sería en todos los reales menos 0.
00:00:29
Calculamos la derivada primera, en este caso como es un cociente, pues derivada del numerador, 2x, por el denominador sin derivar,
00:00:33
menos la primera como está, x cuadrado más 1 entre paréntesis por la derivada del denominador que es 1.
00:00:45
Y todo dividido por la función del denominador al cuadrado.
00:00:52
Haciendo las operaciones correspondientes resulta que la derivada es x al cuadrado menos 1 partido de x al cuadrado
00:00:56
Calculamos los puntos singulares, igualamos la derivada a 0
00:01:04
En este caso tenemos dos valores, puntos críticos, puntos singulares, más y menos 1
00:01:09
Fijaros, en la recta real tenemos que situar no solamente los puntos singulares, en este caso menos 1 y 1
00:01:16
sino también hemos dicho que la función en cero no estaba definida.
00:01:25
En cero vamos a tener una asíntota vertical y también vamos a tener que situar este punto aquí.
00:01:31
Bien, estudiamos los intervalos de monotonía para ver si la función es creciente o decreciente.
00:01:39
El primer intervalo estudiado sería de menos infinito a menos uno.
00:01:47
Hemos cogido el valor menos dos, vemos que nos da mayor que cero,
00:01:51
eso significa que en todos los puntos de ese intervalo la derivada va a ser positiva,
00:01:54
la función ahí va a ser creciente.
00:01:59
Entre menos uno y cero se ha cogido el valor menos un medio,
00:02:02
en este caso la derivada en menos un medio da negativo,
00:02:07
es decir, derivada negativa, la función en ese intervalo va a ser decreciente.
00:02:11
Entre cero y uno, cogemos un medio,
00:02:17
la derivada es negativa en este caso
00:02:19
con lo cual es negativa en todo ese intervalo
00:02:23
la función en ese intervalo va a ser decreciente
00:02:26
y de 1 a infinito
00:02:28
la derivada de la función en 2 por ejemplo
00:02:30
hemos cogido el valor 2
00:02:33
es positiva
00:02:35
significa que en ese intervalo la función va a ser creciente
00:02:36
¿Qué observamos entonces?
00:02:41
¿Qué ocurre a la derecha y a la izquierda
00:02:48
de estos valores, puntos críticos
00:02:50
que habíamos situado en la recta real.
00:02:52
Fijaros, aquí la función de menos infinito a menos uno, la función f crece.
00:02:57
Y de menos uno a cero, la función t crece.
00:03:03
Como era un punto crítico, en menos uno lo que tenemos es un máximo relativo de la función.
00:03:07
Como siempre calculamos la imagen para ese valor de x.
00:03:14
El máximo es un punto, pues en este caso para x igual a menos uno, la imagen de menos uno vale menos dos,
00:03:19
recuerda que se sustituye en la función, la función que en nuestro caso era x cuadrado más uno partido de x.
00:03:26
Aquí tengo que sustituir para calcular las imágenes de esos puntos.
00:03:39
En cero, fijaros que la función en este caso decrece de menos uno a cero y de cero a uno también decrece
00:03:44
Pero a veces ocurre que la función decrece y luego crece
00:04:00
Eso significa que en cero podría haber un máximo o un mínimo
00:04:05
Si hay distinto comportamiento de la función a la derecha y a la izquierda de ese punto
00:04:11
Pues no, en cero lo que tenemos es nada
00:04:17
En este caso, porque en 0, el punto 0 no pertenecía al dominio de la función.
00:04:22
Sigamos, para 1, hemos visto que la función primero decrece y luego la función crece.
00:04:28
Pues como era un punto singular, en este caso, en 1, vamos a tener un mínimo relativo,
00:04:36
de cual calculamos también la imagen de 1 en la función de partida, ¿no?
00:04:43
1, f de 1, el punto sería el número 2.
00:04:51
Vamos a ver otro ejemplo de función racional.
00:04:55
En esta función racional, el dominio sería todos los números reales,
00:04:59
en este caso, menos 2, que es el punto que me anula el denominador.
00:05:06
Hallamos la derivada primera, para luego calcular los puntos críticos o puntos singulares.
00:05:14
Como es un cociente, sería derivada del numerador 2x menos 5 por el denominador sin derivar menos el numerador como está por la derivada del denominador, que en este caso es 1, y todo dividido por el denominador al cuadrado.
00:05:22
Vamos a hacer las operaciones.
00:05:52
Bien, esta es la primera derivada, la igualamos a cero, con lo cual igualamos a cero el numerador
00:06:43
y resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos dos valores, x igual a 1 y x igual a 3.
00:06:52
Situamos estos puntos en la recta real, el 1 y el 3, pero también tenemos que situar el punto donde la función no estaba definida,
00:07:04
que damos. Aquí como veremos pues hay ahora una asíntota vertical, por lo tanto ahí
00:07:13
aunque la función tuviera distinto comportamiento de la monotonía, que creciera aquí y aquí
00:07:30
decreciera, o al revés, no iba a tener ni máximos ni mínimos. Los intervalos que nos
00:07:35
salen serían de menos infinito a 1, de 1 a 2 y de 2 a 3 y de 3 a infinito. Todos estos
00:07:41
intervalos. Vamos a irlos estudiando. Para todo x perteneciente al intervalo que vale
00:07:47
menos infinito a 1, vamos a coger por ejemplo el punto 0. Para x igual a 0, la derivada
00:07:53
de la función, voy a factorizarla para hacer más cómodamente el cálculo del signo de
00:08:05
la primera derivada, fijaros que el denominador al estar elevado al cuadrado siempre va a
00:08:13
ser positivo. Bien, pues para cero me quedaría negativo, o sea, negativo por negativo entre
00:08:19
positivo, el resultado positivo. Es decir, si f' en cero me ha salido mayor que cero,
00:08:27
sería mayor que cero para cualquier punto de cinta en barro. Positivo aquí, es decir,
00:08:39
La función en ese intervalo va a ser creciente.
00:08:44
En el siguiente intervalo, de 1 a 2, pues podemos coger, por ejemplo, el punto x igual a 1,5, 3 medios.
00:08:54
En este caso, la derivada, esto sería positivo y esto negativo, lo de abajo siempre positivo, resultado final negativo.
00:09:02
La derivada sale menor que 0 en este intervalo, eso quiere decir que la función es decreciente.
00:09:16
En el siguiente intervalo, de 2 a 3, podemos coger, por ejemplo, x igual a 2,5, 5 medios,
00:09:27
la derivada en 2,5, pues esto nos sale positivo y esto negativo.
00:09:40
Lo de abajo siempre es positivo, porque está derivado al cuadrado, resultado negativo.
00:09:46
Es decir, que la función, en este caso, en este intervalo, todavía va a ser decreciente.
00:09:52
Y por último, en el último intervalo, de 3 a infinito, la derivada, vamos a probar para x igual a 4,
00:10:00
la derivada me quedaría positivo, positivo, positivo, el cociente positivo,
00:10:19
la derivada sería positivo y la función entonces sería creciente.
00:10:27
Entonces, en 2 no tenemos nada, pero vamos a ver qué ocurre en 1 y en 3,
00:10:33
que eran los puntos simulares que habíamos obtenido.
00:10:42
Aquí la función era creciente y, sin embargo, a la derecha de 1 decrece.
00:10:47
Eso significa que en x igual a 1 hay un máximo de la función, máximo relativo de la función.
00:11:01
Sus coordenadas serían 1, primera componente, y luego tendría que sustituir aquí en la función para averiguar la imagen de 1.
00:11:15
Para 1 quedaría menos 3.
00:11:29
Y ahora, para x igual a 3, vemos que la función es decreciente, decrece a la izquierda de 3 y a la derecha crece.
00:11:33
Eso significa que en 3 tenemos un mínimo relativo y las coordenadas serían 3 sustituyendo la función 1.
00:11:48
- Idioma/s:
- Autor/es:
- Francisca Florido Fernández
- Subido por:
- Francisca F.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1
- Fecha:
- 29 de julio de 2024 - 15:26
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
- Duración:
- 12′ 15″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 29.17 MBytes
