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FU1. 3.5 Composición de funciones. Ejercicio 12 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 16 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos la composición de funciones. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar la composición de funciones. 00:00:40
Esta operación ya no es una operación aritmética, como podría ser la suma, la resta, la multiplicación o la división. 00:00:51
En este caso tenemos dos funciones reales de variable real f y g y se define la función compuesta de g y f, así leído en este orden, 00:00:57
y que se va a representar como f, este circulito que es el operador para la composición de funciones y g, de la siguiente forma. 00:01:07
Aquella que va a hacer corresponder a los valores de x que pertenecen al dominio de g, tales que su imagen a través de g, g de x, pertenezca al dominio de f. 00:01:16
Es una definición un tanto compleja, pero en cuanto veamos la definición de la imagen de g compuesta con f, vamos a ver que tiene sentido. 00:01:28
Decía, es la función que hace corresponder a estos valores de x una imagen que se calcula de la siguiente manera. 00:01:37
f de g de x. Lo que vamos a hacer es, en primer lugar, utilizar x como entrada para la función g, 00:01:42
vamos a calcular su imagen y esa imagen a su vez va a ser la entrada para la función f, 00:01:52
vamos a calcular su imagen y esta va a ser la imagen de la función compuesta de g y f. 00:01:57
Fijaos en que la definición del dominio tiene todo el sentido. En primer lugar necesitamos que 00:02:02
los valores de x que van a entrar a la función compuesta de g y f pertenezcan al dominio de g 00:02:08
puesto que lo primero que vamos a hacer es calcular g de x. Las imágenes de g de x a su vez necesariamente 00:02:14
deben pertenecer al dominio de f puesto que lo siguiente que vamos a hacer es utilizar esas 00:02:21
imágenes como entrada para la función f. Así pues el dominio va a ser los x pertenecientes al 00:02:25
dominio de g, tales que las imágenes g de x pertenezcan al dominio de f. Para ver cómo funciona 00:02:32
esto vamos a utilizar este ejercicio como ejemplo. Se nos dan dos funciones reales de variable real 00:02:40
f de x igual a 1 entre x menos 2 y g de x igual a x al cuadrado más 1 y se nos pide que determinemos 00:02:48
las funciones y sus dominios g compuesta con f y f compuesta con g. En el caso de g compuesta de f 00:02:55
lo que vamos a hacer es ver cuál es la expresión algebraica de f de g de x utilizando la definición 00:03:03
que habíamos visto anteriormente. Para ello vamos a empezar con la función más externa f de g de x 00:03:10
vista que la definición de f de x es 1 partido por x menos 2 la definición de f de g de x será 00:03:16
esta misma sustituyendo x por g de x, o sea, 1 dividido entre g de x menos 2, como vemos aquí. 00:03:24
A continuación pasamos a por la función interior, g de x. Vamos a sustituir este g de x dentro de 00:03:31
esta expresión algebraica por su definición, en este caso x al cuadrado más 1. Así pues lo que 00:03:36
tenemos es 1 dividido entre x al cuadrado más 1, que es g de x, menos 2. Operando, comprobamos que 00:03:42
la expresión algebraica de la función compuesta de g con f es 1 dividido entre x al cuadrado 00:03:49
menos 1. Para determinar su dominio vamos a utilizar la definición anterior. Van a 00:03:56
ser los valores de x pertenecientes al dominio de g, tales que sus imágenes pertenezcan al 00:04:02
dominio de f. Bien, el dominio de g, dado que g es una función polinómica, va a ser 00:04:07
toda la recta real. Así que todos los valores de x pertenecientes a la recta real, tales 00:04:14
es que las imágenes de g de x, que se van a calcular como x al cuadrado más 1, aquí 00:04:19
lo tenemos, pertenezcan al dominio de f. Puesto que f es esta función racional, su dominio 00:04:25
será toda la recta real excepto los ceros del denominador, o sea, toda la recta real 00:04:31
excepto el 2. Y ya lo tenemos. Todos los valores de x pertenecientes a la recta real, el dominio 00:04:34
de g, tales que x al cuadrado más 1, esto es, las imágenes de g de x, pertenezcan a 00:04:40
toda la recta real excepto el número 2, o sea, el dominio de f. Lo que estamos buscando son los 00:04:47
valores de x pertenecientes a la recta real, tales que x al cuadrado más 1 sean distintos de 2, 00:04:52
puesto que nos vale cualquier valor real excepto el número 2. Si resolvemos la ecuación x al cuadrado 00:04:58
más 1 igual a 2, obtendremos los valores de x que hemos de omitir, que son los valores x igual a 00:05:03
menos 1 y 1, como vemos aquí. Así pues, el dominio de la función compuesta de g con f va a ser toda 00:05:09
la recta real excepto el menos 1 y el 1. Si vamos atrás a la definición algebraica de la función 00:05:16
compuesta de g con f, 1 entre x al cuadrado menos 1, podemos ver que tiene sentido. Esta es una 00:05:23
función racional, su dominio natural en principio va a ser toda la recta real excepto los ceros del 00:05:28
denominador, que son x igual a 1 y menos 1. Así pues, este dominio tiene sentido y cuadra con la 00:05:32
definición que hemos obtenido anteriormente. En lo que respecta a la función compuesta de f con g, 00:05:38
igualmente vamos a determinar su expresión algebraica a partir de la definición que sería 00:05:45
en este caso g de f de x. Empezamos con la función más externa. g de x se define como x al cuadrado 00:05:49
más 1. Aquí tenemos g de f de x y entonces sustituimos x por f de x. Será f de x al cuadrado 00:05:57
más 1 como vemos aquí. Pasamos a la función más interna f de x. Su definición es 1 dividido entre 00:06:05
x menos 2 y entonces lo que hacemos es sustituir eso en esta expresión que tenemos aquí. 1 entre 00:06:11
x menos 2 al cuadrado que es f de x al cuadrado más 1. Operamos para obtener la expresión algebreca 00:06:17
de esta función compuesta de f con g. En primer lugar calculamos el cuadrado, ponemos denominador 00:06:24
común para poder hacer la suma de esas dos acciones algebraicas y una vez que tenemos denominador 00:06:30
común operamos para ver cuáles son los polinomios resultantes tanto en el numerador como en el 00:06:35
denominador. En este caso obtenemos x al cuadrado menos 4x más 5 dividido entre x al cuadrado menos 00:06:39
4x más 4. Para determinar el dominio de la función compuesta de f con g operamos de forma análoga. 00:06:45
Utilizamos la definición. Serán los valores de x pertenecientes al dominio de f tales que las 00:06:53
imágenes f de x pertenezcan al dominio de g. El dominio de f es toda la recta real excepto el 00:06:58
número 2. Las imágenes de f de x se van a calcular como 1 dividido entre x menos 2 y queremos que 00:07:04
estos valores pertenezcan al dominio de Hecht, que en este caso es toda la recta real. Puesto que 00:07:11
hemos eliminado de nuestra consideración para 1 dividido entre x menos 2 pertenezca a los números 00:07:18
reales el valor 2, hemos eliminado el 0 del denominador, para el resto de valores reales 00:07:24
desde luego 1 entre x menos 2 va a ser un número real. No nos habría valido el número 2. 1 entre 00:07:30
2 menos 2 que es 0 no estaría definido, no sería un número real. Pero puesto que está omitido ya en 00:07:36
la parte previa, no debemos preocuparnos. Y consecuentemente el dominio de la función 00:07:42
compuesta de f con g va a ser todos los números reales excepto el número 2. Igual que pasaba con 00:07:47
el apartado anterior. Si vamos hacia atrás y vemos qué es lo que ocurre con esta función racional, 00:07:53
su dominio natural en principio será toda la recta real dado que se trata de una función 00:07:58
racional excepto los ceros del denominador. El denominador x al cuadrado menos 4x más 4 era x 00:08:04
menos 2 al cuadrado factorizado y podemos ver aquí fácilmente que los ceros del denominador son en 00:08:10
realidad únicamente el número 2. Ese es el valor que hemos excluido de la recta real cuando 00:08:15
determinamos de forma algebraica el dominio de la función f compuesta con g. En el aula virtual de 00:08:20
la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información 00:08:29
en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes 00:08:36
a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:08:41
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
10
Fecha:
16 de noviembre de 2025 - 14:25
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 12″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
22.02 MBytes

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