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Ejemplo de Examen - Ej 3) - Contenido educativo

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Subido el 16 de abril de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos con el ejercicio 3. Es una función racional y os pido máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento, es decir, la monotonía y los puntos críticos. 00:00:00
Normalmente, aunque se lo he puesto como un único ejercicio, esto suele ser un único apartado, pero bueno, para facilitaros un poquito ya que habéis tenido menos clases, pues lo he puesto simplemente como un ejercicio. 00:00:10
Os recuerdo que se pueden calcular primeramente los máximos y mínimos 00:00:24
y luego los intervalos de crecimiento a partir de ellos 00:00:28
o calcular el crecimiento y crecimiento y a partir de ellos los máximos y mínimos. 00:00:31
¿Qué es lo que vamos a hacer? 00:00:36
Pues sobre la marcha dependiendo de los valores que obtengamos. 00:00:38
Lo primero siempre, al ser una función racional, 00:00:41
lo primero que voy a tener en cuenta es calcular su dominio. 00:00:43
El dominio van a ser siempre todos los reales salvo donde se anula el denominador. 00:00:46
Pero el denominador es x cuadrado más 1. Si yo hago esto igual a 0, ¿qué ocurre? Que esto nunca va a ser 0, ¿verdad? 00:00:50
Porque me queda x cuadrado igual a menos 1. Esto no tiene solución. 00:00:58
Por lo tanto, ¿esto qué quiere decir? Que el dominio de f de x van a ser los números reales, ¿vale? 00:01:03
Es decir, no vamos a tener ninguna asíntota vertical. 00:01:11
Esto lo tenemos que tener siempre en cuenta para mirar los intervalos de crecimiento y decrecimiento 00:01:14
para ver si tenemos que ir parándonos en algún sitio. 00:01:18
En este caso es todo perfecto. 00:01:21
Vale, pues lo primero vamos a calcular, siempre lo hagamos tanto crecimiento como monotonía como puntos críticos, 00:01:23
lo primero es ver cuándo la derivada es cero. 00:01:30
Entonces vamos a calcular lo primero, la derivada primera. 00:01:33
f' de x es un cociente de funciones, empezamos derivando. 00:01:37
En el numerador, derivada del numerador, que es 2x, por el denominador sin derivar, por x cuadrado más 1, menos numerador sin derivar, x cuadrado menos 1, por la derivada del denominador, que también es 2x. 00:01:42
Todo ello partido por el cuadrado del denominador, x cuadrado más 1, al cuadrado. 00:01:57
Operamos el numerador y me queda 2x cubo más 2x menos 2x cubo más 2x, ¿vale? 00:02:02
Estoy multiplicando este 2x por todo y teniendo en cuenta este signo menos, ¿vale? 00:02:14
Partido por, no desarrollo, ¿vale? Lo dejo x cuadrado más 1 al cuadrado. 00:02:20
los cubos se me van y que me queda 4x partido por x cuadrado más 1 al cuadrado 00:02:26
¿y yo qué es lo que quiero? 00:02:36
yo lo que quiero es que f' de x sea 0 00:02:38
por lo tanto lo que quiero es que 4x partido por x cuadrado más 1 al cuadrado sea 0 00:02:43
y de aquí lo que me queda, quitamos el del mirador para seguir multiplicando 00:02:51
me queda que 4x es 0, o lo que es lo mismo, que x es igual a 0. Pues este es el único 00:02:55
punto crítico que vamos a tener, es decir, o hay un máximo o hay un mínimo, ¿vale? 00:03:04
Pero no puede haber uno de cada porque solamente tenemos un punto crítico. Para ver si es 00:03:10
máximo o mínimo, ¿qué podríamos hacer? Derivada segunda. A ver, no es difícil hacer 00:03:14
la derivada segunda de este cociente, pero a lo mejor nos puede dar pereza. Entonces, 00:03:19
¿Qué es lo que vamos a hacer? Ya que me están pidiendo todo y además sabemos que el dominio es R, yo lo que voy a mirar exactamente es primero la monotonía. 00:03:25
Voy a ver dónde crece y dónde decrece, es decir, yo tengo aquí mi recta, aquí tengo el 0, aquí tengo el más infinito y aquí tengo el menos infinito. 00:03:35
y lo que quiero ver es cuando la función 00:03:45
dependiendo de lo que hace la f' de x 00:03:48
así hará la f de x 00:03:52
entonces aquí lo único que podemos hacer 00:03:58
es mirar una inequación 00:04:02
es resolver la inequación 00:04:04
¿qué podemos hacer? 00:04:06
directamente coger un valor intermedio 00:04:08
ya sabéis que yo tiendo a factorizar 00:04:10
y poner cada trocito 00:04:12
pero bueno, podemos coger un valor intermedio, aquí el menos 1 y aquí el 1, y sustituir en la función, para ver el signo de la derivada. 00:04:13
El denominador siempre es positivo, porque está al cuadrado, ¿vale? Por lo tanto me olvido de él. 00:04:22
Me fijo en el numerador, obviamente a la izquierda en el menos 1 esto es negativo, y a la derecha va a ser positivo. 00:04:28
Por lo tanto con esto nosotros ya que sabemos que si la derivada es negativa es que la función es decreciente, 00:04:36
y si la derivada es positiva es que la función es creciente. 00:04:41
Y si sabemos que el dominio es r, y como es una función racional también sabemos o sabremos en breve, 00:04:45
esto significa que es continua en r, ¿vale? 00:04:53
Ya que es continua, o sea que no se anula ningún punto, también va a ser continua en r. 00:04:57
¿Eso qué significa? Pues que si viene decreciendo para luego crecer, 00:05:03
el punto x igual 0 va a ser un mínimo. 00:05:07
¿Vale? Mínimo relativo 00:05:11
Entonces fijaos que haciendo de esta manera voy a resolver o voy a contestar a las dos opciones 00:05:14
Es decir, ¿qué es lo que vamos a tener? 00:05:19
Que x igual 0 es un mínimo relativo 00:05:22
Es un mínimo relativo 00:05:25
Siento escribir tan mal, ¿vale? 00:05:28
Y puedo calcular incluso las coordenadas 00:05:31
El punto es 0, sustituyo en la función y me queda menos 1 entre 1, menos 1 00:05:34
¿Vale? 00:05:40
Esto por un lado 00:05:41
Y luego 00:05:44
Intervalos de 00:05:44
Decrecimiento 00:05:47
¿Dónde decrece? 00:05:49
Pues de menos infinito 00:05:55
Al cero 00:05:57
Y aquí siempre abierto, ¿vale? 00:05:58
Porque en un punto ni crece ni decrece 00:06:00
De hecho, es el mínimo 00:06:01
Y luego 00:06:03
Intervalos 00:06:04
Decrecimiento 00:06:06
Vaya, que me quedo sin batería 00:06:07
A ver si me da tiempo a terminar 00:06:12
Decrecimiento sería de 0 a infinito, ¿vale? 00:06:14
Y ya estaría hecho el ejercicio y me he evitado hacer una segunda derivada. 00:06:19
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
61
Fecha:
16 de abril de 2025 - 14:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
06′ 25″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
15.83 MBytes

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