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Sistemas de ecuaciones: primeras definiciones - Contenido educativo
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Se explica cómo escribir un sistema de ecuaciones de forma matricial y los distintos tipos que hay en función del número de soluciones
¡Hola! ¿Qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato.
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Comenzamos con un tema nuevo. En este caso se trata de sistemas de ecuaciones y diréis
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¿otra vez sistemas de ecuaciones? Pues sí, me temo que sí. Pero una cosa os digo, este
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va a ser el curso definitivo. Claro, es el segundo de bachillerato, no hay uno después.
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Pero bueno, no es por eso por lo que es definitivo, sino porque vamos a poder resolver sistemas
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de cualquier número de ecuaciones y cualquier número de incógnitas, ahí es nada. Y para ello va a ser fundamental las matrices, las matrices, determinantes y rango.
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Comencemos a ver cómo se pueden denotar los sistemas de ecuaciones mediante matrices.
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Comencemos con las primeras definiciones. Una ecuación lineal de primer grado es una ecuación en la que las incógnitas tienen grado 1 y los coeficientes van a ser en general números reales.
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Las incógnitas las x y los coeficientes las a sub i, todos números reales.
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El término independiente es el número que queda a la derecha solo sin incógnitas.
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Vamos a ver que una solución a esta ecuación es simplemente una serie de valores que transforman la ecuación en una identidad de números.
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Por ejemplo, esa ecuación, pues si sustituimos la x por 2, la y por 0, la z por 0, la t por menos 1,
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hacemos la cuenta y el resultado es 1, que es el término independiente de la ecuación.
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¿Qué significa resolver una ecuación? Pues significa encontrar todas las soluciones, no una sola.
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Cuando haya más de una, encontrarlas todas.
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Lo que vamos a trabajar no es con una ecuación nada más, sino con varias ecuaciones, con un sistema.
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Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto formado por m ecuaciones lineales y n incógnitas en cada una las mismas, claro.
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Pues se puede escribir de esa forma, tan grande.
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Bien, ¿qué ocurre? Pues que aquí vamos a tener también coeficientes, a sub j, términos independientes, b sub j,
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y una solución va a ser un conjunto de valores para las x, de manera que se satisfagan todas las ecuaciones,
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no solo una, sino todas las que tengamos, claro.
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Bien, ¿qué pasa? Que tenemos muchos coeficientes, un montón.
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Esos coeficientes se pueden organizar en una matriz en forma de tabla de filas y columnas.
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Esto se va a llamar matriz de coeficientes. ¡Qué sorpresa! Los términos independientes también se pueden distribuir en una columna y ¿cómo se va a llamar? Matriz de términos independientes o columna de términos independientes.
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¿Qué falta aquí? Las incógnitas. Las incógnitas también se pueden distribuir en forma de columna, columna de incógnitas y cuando tenemos todo esto junto podemos escribir de forma matricial el sistema de ecuaciones.
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Esto se puede simplificar. La notación fijaos cuánto. A por x igual a b. Es una ecuación, digamos, de primer grado con una incógnita matriz.
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Es la matriz x. Ahora, x no es una incógnita solo, sino una matriz de incógnitas. Bien. Pues esto, si solo nos interesan los coeficientes,
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podemos construir una matriz grande que se va a llamar matriz ampliada y que en ocasiones nos va a resultar muy útil, especialmente cuando resolvamos sistemas
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utilizando el rango. Bien, vamos a ver un ejemplo, ya veréis que esto es muy sencillo. Si tenemos ahí un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas,
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eso daría lugar a una matriz de tres filas, cuatro columnas de coeficientes y el término independiente, la matriz B. Si queremos construir la matriz ampliada
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que se llama, pues sería una matriz de tres filas y cinco columnas, esa que tenéis ahí. Fácil, ¿verdad? No nos olvidemos de los ceros, por supuesto.
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Bien, y matricialmente, pues el producto de esa matriz por la matriz de incógnitas X, Y, Z, T, pues daría igual a 0, menos 1, 21.
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Y ahora lo que vamos a ver es qué tipos de sistemas de ecuaciones hay en función del número de soluciones.
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Como ya sabéis de otros cursos, un sistema de ecuaciones puede ser o compatible o incompatible.
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El sistema se llama compatible si tiene solución, como por ejemplo ese que tenéis ahí.
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¿Cuándo se llama incompatible? Bueno, pues un sistema incompatible si no tiene solución.
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Por ejemplo, ese sistema no puede ser compatible. ¿Por qué?
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Porque 2x más y no puede ser a la vez 0 y 1. Eso es imposible.
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Los sistemas, aparte de ser compatibles o incompatibles,
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los sistemas compatibles se clasifican en dos, determinados e indeterminados.
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Los sistemas compatibles determinados son aquellos que tienen una sola solución,
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como el anterior. Ese sistema tiene la solución menos 1, 2, única.
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Y los sistemas se dicen compatibles indeterminados si tienen infinitas soluciones.
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Por ejemplo, ese sistema de ahí básicamente tiene infinitas soluciones, como veremos en otros vídeos,
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pues porque hay más incógnitas que ecuaciones y, por tanto, el número de soluciones va a ser infinito.
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Hay un tipo de sistemas especiales que se llaman homogéneos.
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Los sistemas homogéneos son aquellos cuyo término independiente es cero, por ejemplo ese de ahí,
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todo a la derecha ceros, y estos se resuelven de una manera muy sencilla,
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por lo menos para encontrar una solución. Y es la trivial, se llama 0, 0, 0, porque va a ser solución porque al sustituir todo van a ser ceros.
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¿Eso qué significa? Que los sistemas homogéneos no van a poder ser incompatibles porque siempre va a haber una solución,
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con lo que van a poder ser sólo compatibles determinados, compatibles indeterminados.
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Bueno, pues esto ha sido todo. En futuros vídeos vamos a estudiar cómo discutir un sistema en función de una noción fundamental de las matrices
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que ya hemos visto en temas anteriores. El rango. Hasta la próxima. Espero que os haya gustado. Un saludo.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Manuel Domínguez Romero
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 310
- Fecha:
- 26 de julio de 2018 - 17:57
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 05′ 41″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 49.08 MBytes
