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Las lúnulas de Hipócrates de Quíos - Contenido educativo
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Demostración de que las lúnulas construidas sobre los catetos de un triángulo rectángulo tienen la misma superficie que éste. Realizado con GeoGebra.
¿Qué crees tú? ¿Es mayor el área de las dos lunas de color azul oscuro juntas, o la superficie de la gran duna roja sobre la que se apoyan?
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El matemático Hipócrates, que vivió en la isla griega de Kíos en el siglo V a.C., demostró que son exactamente iguales.
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Eso resulta sorprendente, porque las lunas son figuras curvas, y la duna es un triángulo de lados rectos.
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No parece posible recortar la superficie de unas para rellenar completamente la otra sin que falte ni sobre ningún trocito
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Y sin embargo, es cierto
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Para demostrarlo, veamos cómo se han construido estas figuras llamadas lúnulas de Hipócrates
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Partimos de un triángulo rectángulo
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sobre los puntos medios de los lados, construimos semicírculos cuyo diámetro es igual a cada lado.
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Como el triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras, que dice, y en este caso,
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quitando paréntesis, sacando factor común el 4, dividiendo ahora entre 4, multiplicando por pi,
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Así llegamos a la fórmula del área de los círculos y dividiendo entre dos tenemos que la suma de los dos semicírculos superiores iguala al área del semicírculo de abajo.
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Ya casi hemos terminado, porque escribiendo el círculo arriba, vemos que pasa exactamente por el vértice superior del triángulo.
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Esto es así porque el ángulo de 90 grados es justo la mitad del ángulo central, que sería 180.
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Si estuviera fuera, sería menor, y si estuviera dentro, mayor.
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Bueno, el semicírculo superior será ahora blanco.
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Y si quitamos estos dos pequeños sectores circulares, nos quedaría el triángulo.
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Pero si quitamos estos sectores de los semicírculos de arriba, tendremos las dos lúmulas.
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Como la suma de los semicírculos es igual, el área de las lunas es igual a la del triángulo.
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En la construcción no importa para nada la forma del triángulo.
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La suma de las áreas de las lúmulas es siempre igual al área del triángulo
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
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- Educación Secundaria Obligatoria
- Ordinaria
- Primer Ciclo
- Primer Curso
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- Diversificacion Curricular 1
- Diversificacion Curricular 2
- Primer Ciclo
- Ordinaria
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- José Bosch Betancor
- Subido por:
- Tic ies josehierro getafe
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial
- Visualizaciones:
- 191
- Fecha:
- 7 de diciembre de 2015 - 10:41
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES JOSÉ HIERRO
- Duración:
- 03′ 28″
- Relación de aspecto:
- 3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
- Resolución:
- 720x480 píxeles
- Tamaño:
- 6.74 MBytes