División de polinomios y factorización | Mediateca de EducaMadrid

Vale. Hemos estado viendo cómo agrupar polinomios, de manera que hemos estado viendo cómo agrupar polinomios, 00:00:00

porque es lo mismo, se agrupan monomios semejantes, no hay otra manera. 00:00:09

¿Recordamos eso? Vale. 00:00:12

Hemos estado viendo cómo multiplicar monomios, cómo multiplicar un número por un polinomio, 00:00:15

y luego cómo multiplicar un polinomio por otro polinomio, aplicando la propiedad distributiva, ¿os acordáis? 00:00:23

¿Vale? Perfecto. Dentro de eso había un caso particular que era la multiplicación de determinados binomios 00:00:28

que cuando multiplicábamos un binomio por sí mismo era el cuadrado de una suma o el cuadrado de una resta 00:00:35

y cuando multiplicábamos un binomio por su conjugado era la suma por la diferencia 00:00:42

y esos tres productos un poquito especiales era lo que se llamaban identidades notables. 00:00:47

¿Vale? El otro día estuvimos viendo que cuando yo multiplicaba dos binomios era fácil saber cuáles eran los binomios que se estaban multiplicando para que me diera un polinomio de segundo grado. 00:00:53

Por ejemplo, cuando os ponía esto, en el juego que hicimos de la sopa de las cuatro en raya, os disteis cuenta que lo que íbamos buscando era multiplicar dos binomios, los dos tenían que tener una x, porque aquí teníais un x cuadrado. 00:01:09

Sabíais que lo que había al final tenía que ser un producto que fuera 6 00:01:32

Y eran 2 y 3 00:01:39

Y para saber si era más o menos nos fijábamos en este del medio 00:01:42

Y tenía que ser la suma de las dos 00:01:45

Porque yo agrupaba los productos medios 00:01:48

Este se multiplicaba por este y este por este 00:01:50

Y me tenía que dar menos 5 00:01:53

Entonces, ¿qué signos hay que poner ahí? 00:01:54

¿Qué dos? 00:01:58

Menos aquí y menos aquí 00:01:58

¿Vale? 00:02:00

Vamos a coger un poquito de distancia para ver qué es lo que hemos hecho. 00:02:03

Si yo escribo un polinomio como producto de esta manera, ¿qué es lo que hemos hecho? 00:02:07

¿Cómo se llamaba escribir una suma como un producto? 00:02:17

Hola, hermano. 00:02:21

Hola. 00:02:22

¿Cuándo hacíamos esto? 00:02:25

¿Qué habíamos hecho? 00:02:32

Factorizar. 00:02:34

Escribir como un producto de factores. 00:02:35

Bueno, pues aquí, aquí arriba, ¿qué es lo que hemos hecho? 00:02:38

Factorizar. 00:02:45

Esto es factorizar. 00:02:46

¿Vale? 00:02:49

Y cuando nosotros escribíamos una factorización, ¿en qué se basaba que yo pudiera escribir una factorización? 00:02:50

¿Por qué yo decía que podía escribir 15,5 por 3? 00:03:00

Porque es lo mismo. 00:03:05

¿Por qué? 00:03:07

¿Pero por qué yo sabía que podía escribir como 5 por 3 y que no puedo escribir como 4 por algo? 00:03:08

¿Por qué? 00:03:20

¿Por qué no lo puedes multiplicar como 4 por algo a lo mejor? 00:03:24

¿Se puede escribir 15 como 4 por algo? 00:03:27

¿Por qué? 00:03:30

Vale. 00:03:32

¿Vuelve a decirlo? 00:03:33

Entonces estás utilizando el concepto de división. 00:03:35

En que tu resto es 0. 00:03:38

Tú dices que es divisible cuando mi resto es 0. 00:03:39

Entonces yo puedo escribir 15 como 5 por 3 porque si divido entre 5 el resto es 0 00:03:42

Y si divido entre 3 el resto sigue siendo 0 00:03:47

Entonces lo que necesito es poder dividir 00:03:49

Pues si yo quiero aprender a factorizar polinomios tendré que saber cómo se dividen 00:03:52

Entonces lo primero es que vamos a aprender a dividir 00:03:58

Y después de aprender a dividir vamos a utilizar la división para factorizar 00:04:02

divisiones de resto 0 00:04:06

para factorizar exactamente igual 00:04:08

que hacíamos con los números 00:04:11

¿Lo hemos entendido? 00:04:12

¿Hemos entendido eso? 00:04:14

¿Luzmira? ¿Sí? ¿Seguro? 00:04:16

Vale, pues eso es lo que vamos a aprender hoy 00:04:19

Vamos a aprender a dividir polinomios 00:04:21

y luego vamos a aprender 00:04:23

a utilizar la división 00:04:25

con resto 0 00:04:27

como una herramienta para encontrar 00:04:29

los factores de mi polinomio 00:04:31

¿Ha quedado claro? 00:04:33

igual que hacíamos con números 00:04:34

con el 15 igual a 5 por 3 00:04:36

¿vale? 00:04:38

bien, entonces 00:04:40

para dividir polinomios 00:04:41

si voy a hacer el mismo algoritmo 00:04:43

de la división 00:04:48

el mismo, cambiando que tengo que hacerlo 00:04:49

con monomios, pero el algoritmo de la división 00:04:51

no cambia, entonces vamos a estudiar 00:04:54

analíticamente primero 00:04:56

como hago el algoritmo de la división con números 00:04:57

que es algo que no me planteo 00:05:00

porque lo aprendí de pequeñito 00:05:01

Y lo tengo automático, pero si lo quiero aplicar a otra cosa, tengo que saber qué pasos doy. 00:05:03

Entonces, cuando vosotros vais a dividir 17 entre 5, ¿qué hacéis? 00:05:09

Vale, dime cómo lo escribes. 00:05:18

El 17 lo pongo aquí. 00:05:21

¿Por qué salen estos números gordos? 00:05:25

El 17 lo pongo aquí. 00:05:28

¿Ahora qué hago? 00:05:30

Hago una cajita, muy bien 00:05:30

Esta es la división euclidea 00:05:33

¿Y entre 5? 00:05:35

Entre 5 00:05:36

Vale, entonces 00:05:37

A la izquierda coloco el 00:05:39

Dividendo 00:05:42

Y dentro de la cajita coloco el 00:05:43

Pues voy a hacerlo igual con polinomios 00:05:46

También 00:05:48

Si yo divido 3x al cuadrado 00:05:51

Menos x más 2 00:05:54

Y lo voy a dividir entre x más 1 00:05:55

Voy a hacer lo mismo 00:05:58

El dividendo lo coloco aquí 00:06:01

Y el divisor 00:06:04

Lo coloco aquí 00:06:06

Igualito que en la otra 00:06:07

¿Vale? 00:06:09

¿Sí? 00:06:11

Voy a hacer esto más pequeño 00:06:15

Y esto lo voy a hacer un poco más grande 00:06:16

Ahora, ¿qué hacíamos con el 17? 00:06:23

Bueno, voy a coger 00:06:35

Y en lugar de 17 voy a poner 170 00:06:36

Vale, cojo el 17 00:06:38

Es decir, no cojo todo mi dividendo 00:06:44

Cojo la primera parte que necesito 00:06:46

Entonces, cogía esto y ¿qué hacía? 00:06:47

Entre 5 00:06:51

Vale, pues voy a hacer lo mismo 00:06:52

Voy a coger 00:06:54

Porque además si hubiera un 51 00:06:55

Tú no coges el 51, sigues cogiendo el 5 00:06:57

Entonces, yo voy a coger 00:07:00

Esto de aquí, que es el término principal 00:07:01

De mi polinomio 00:07:04

Y lo voy a dividir entre el término principal 00:07:05

De mi divisor 00:07:08

Entonces, si yo cojo y 3x cuadrado lo divido entre x, ¿qué me queda? 00:07:09

3x, muy bien. 00:07:17

Pues mi primer cociente va a ser 3x. 00:07:20

Aquí poníamos... 00:07:24

Voy a hacerlo así cortito. 00:07:26

Perdón. 00:07:35

Lo siento, que lo que quería era coger esto en rojo. 00:07:37

Lo estoy haciendo fatal. 00:07:41

Ponía un 3 00:07:42

3, ya está 00:07:43

3 por 5, 15 00:07:47

¿Y ahora qué hacía? 00:07:48

Al 17 00:07:50

¿Qué es eso de al 17? 00:07:50

Restaba 00:07:54

¿El qué? ¿El resultado que me daba de multiplicar? 00:07:55

3 por 5 00:07:57

¿3 por 5 cuánto da? 00:07:58

Vale, ponía aquí el 15 00:08:01

Ponías allí el 15 00:08:02

Y para restar lo que hacías 00:08:07

Lo cambiabas de signo 00:08:09

Y lo agrupabas porque restar es sumar el opuesto. 00:08:12

Nosotros ya tenemos números enteros. 00:08:15

Pues sumamos el opuesto. 00:08:17

La multiplicación de aquí se la restaba el dividendo para saber lo que me quedaba. 00:08:18

Entonces, ¿qué me quedaba aquí? 00:08:22

Un 2. 00:08:24

Un 2, pero en realidad no es un 2, es un 20. 00:08:24

Por eso cogía esto y lo bajaba porque me queda un 20. 00:08:27

¿Lo vemos? 00:08:32

¿Seguro? 00:08:34

Vale. 00:08:35

Pues aquí voy a hacer lo mismo. 00:08:36

Voy a multiplicar el divisor por cada uno de los... 00:08:37

¿Vale? 00:08:40

3x por x. 00:08:41

3x cuadrado, o sea, 3x cuadrado, pero... 00:08:42

Vale, pero como no lo voy a hacer de cabeza porque me voy a equivocar con los signos, 00:08:45

que esto ya es álgebra y tengo muchos signos y muchas cosas, 00:08:50

yo voy a poner lo que me sale de la multiplicación y lo voy a cambiar de signo para sumarlo. 00:08:53

Para restar, sumo el opuesto. 00:08:58

¿Lo veis? 00:09:01

Porque así ya no me tengo que acordar. 00:09:02

Aquí, 3x por más 1, más 3x. 00:09:04

¿Pues qué voy a poner aquí? 00:09:10

Más 00:09:12

¿No? 00:09:13

Si lo quiero restar 00:09:14

Menos 3x 00:09:15

Vale, pero si por ejemplo yo hubiera aquí puesto un menos 00:09:18

Tendría que poner un más 00:09:24

Claro, restar es sumar el opuesto 00:09:26

¿Ha quedado claro? 00:09:30

Porque yo ahora ya tengo valores de distintos signos 00:09:32

Me pueden salir x, ¿no? 00:09:36

¿De acuerdo? 00:09:37

Entonces, voy haciendo lo mismo 00:09:38

¿Y qué es lo que hago ahora? 00:09:40

A grupo 00:09:41

Sé que está bien porque esto me tiene que dar cero 00:09:43

Porque si lo he hecho haciendo la división 00:09:46

Me tiene que dar cero 00:09:49

Si no estoy multiplicando mal 00:09:50

Entonces, ¿qué es lo que me queda? 00:09:51

¿No? 00:09:54

Menos tres 00:09:56

Dos x, ¿se acuerda? 00:09:56

Menos x y menos tres x 00:10:03

¿Cómo? 00:10:04

Menos x 00:10:07

Ah, menos tres 00:10:08

Tres, no 00:10:10

¿Debes uno y debes tres? 00:10:12

Menos cuatro. 00:10:15

¿Luzmila? 00:10:17

¿Menos? 00:10:20

Cuatro X. 00:10:21

¿Menos cuatro X? 00:10:22

Claro. 00:10:25

Si debes una X y debes tres X, debes cuatro X. 00:10:27

Pero tú lo que estás haciendo es sumar. 00:10:30

Claro, porque le he puesto el opuesto. 00:10:32

No resto porque estoy sumando el opuesto. 00:10:35

¿Sabes por qué no pongo una resta aquí y hago la suma? 00:10:37

porque lo haces con el primero y se te olvida 00:10:39

cambiar los signos de los siguientes 00:10:41

es que aquí no hay problema 00:10:43

porque aquí tú tienes solo uno 00:10:45

pero tú aquí tienes muchos términos 00:10:47

cuando restáis 00:10:49

poniendo aquí el signo en lugar de sumar el opuesto 00:10:51

yo lo que estoy haciendo es sumar el opuesto 00:10:54

si en lugar de eso tú restas 00:10:55

lo que sucede es que normalmente 00:10:57

a este le cambias el signo y al resto no 00:10:59

con lo cual lo haces mal 00:11:01

¿lo entiendes? 00:11:03

por eso lo que hacemos 00:11:05

es escribir aquí abajo 00:11:07

Todos ya con el signo opuesto 00:11:09

Y sumamos el opuesto 00:11:11

Para restar sumamos el opuesto 00:11:12

¿De acuerdo? 00:11:13

Vale, evitamos errores 00:11:16

Ahora que hay que hacer 00:11:18

Bajar el más 2 que yo tengo por ahí 00:11:19

Y no lo he puesto 00:11:22

Porque si yo sumo, sumo todo 00:11:23

Igual que aquí si yo sumo, sumo todo 00:11:26

Porque cuando yo multiplico y divido 170 00:11:28

En realidad estoy dividiendo 3 por 5 00:11:30

Que son 30 00:11:33

O sea, son 150, son 30 00:11:34

Lo que estoy poniendo aquí son decenas 00:11:36

Dime 00:11:38

Ah, vale, ¿lo estamos entendiendo? 00:11:39

Vale, pues ahora 00:11:43

Aquí 00:11:45

Bueno, aquí ¿cómo seguiría? 00:11:47

Ahora cogería esto, ¿no? 00:11:50

Y además tengo suerte 00:11:52

4, 4 por 5, 20 00:11:53

Pondría aquí menos 20 00:11:55

Y el resto, 0 00:11:57

Mira 00:11:59

Si lo hago a propósito no me sale 00:11:59

¿Vale? 00:12:02

Pues aquí voy a hacer igual 00:12:05

Ahora, ¿qué voy a coger? 00:12:07

No, pero ¿qué cojo? 00:12:11

El menos 4X. 00:12:12

¿Y entre quién lo voy a dividir? 00:12:14

Entre X. 00:12:17

Y si yo divido menos 4X entre X, ¿cuánto da? 00:12:19

Menos 4. 00:12:25

Menos 4. 00:12:26

Y lo tengo que colocar con su signo. 00:12:27

¿Lo vemos? 00:12:32

Y ya está. 00:12:33

No tiene más chiste. 00:12:34

Entonces, ¿ahora qué tengo que hacer? 00:12:35

Por X, ¿qué me da? 00:12:38

Y para restarlo, más 4X 00:12:41

Y menos 4 por 1, más 1, ¿qué da? 00:12:45

Menos 4, y para restarlo, más 4 00:12:51

Es menos 4 por más 1, menos 4 00:12:55

Y menos 4 para restarlo, tengo que poner su opuesto, que es más 4 00:13:02

Y ahora resto 00:13:06

Entonces, ¿qué me queda aquí? 00:13:07

O sea, ahora sumo, perdón 00:13:09

Más 6, ya está 00:13:10

Entonces, ¿quién es mi cociente? 00:13:13

Evidentemente, es un polinomio 00:13:26

Así que se suele escribir así 00:13:28

Cociente c de x 00:13:29

Que es el valor de la variable 00:13:37

Si fuera b, pues c de b 00:13:39

Si fuera n, pues c de n 00:13:41

¿Vale? 00:13:43

la variable se pone entre medias 00:13:44

¿y sería? ¿qué polinomio? 00:13:46

es x menos 4 00:13:48

¿y quién es el resto? 00:13:49

es r, ¿no? sería 00:13:52

r de x 00:13:54

¿qué sería? 00:13:56

más 6 00:13:57

aquí, ¿quién es mi cociente? 00:13:58

34 00:14:04

¿y quién es mi resto? 00:14:05

entonces, ¿aquí qué prueba de la división podía escribir? 00:14:08

34 por 5 00:14:12

No, hazme la prueba bien, dividiendo es igual, por tanto yo podía escribir que 170 era igual a 5 por 34, que esto es lo que hace la división interesante para factorizar, 00:14:14

porque como ahí no hay nada 00:14:44

se queda como un producto de dos cosas 00:14:45

nada más, sin suma 00:14:47

porque tengo un resto cero, ¿lo veis? 00:14:49

y aquí funcionará también 00:14:51

el algoritmo de la división 00:14:54

debería funcionar 00:14:55

si he tenido el algoritmo de la división 00:14:56

perdón, ¿funcionará el algoritmo 00:14:59

de la prueba de la división? 00:15:01

debería, ¿no? 00:15:03

entonces, mi dividendo tendrá que ser 00:15:05

igual 00:15:08

a mi divisor 00:15:08

por cociente 00:15:11

más el resto, es decir, que 3x cuadrado menos x más 2 tiene que ser igual a ¿quién? 00:15:13

3x menos 4 es igual a x más 1 más 6, ¿vale? 00:15:22

Vamos a ver, 3x por x, voy a quitar esta parte de aquí y voy a operar directamente el divisor por el cociente más el resto. 00:15:32

Y entonces voy a ir operando, 3x por x, 3x al cuadrado, muy bien, 3x por más 1, más 3x, menos 4 por x, menos 4x y menos 4 por 1, menos 4, más 6, agrupamos y me queda 3x cuadrado, más 3x menos 4x, menos x y menos 4 más 6, más 2, 00:15:54

Perdón, sí, sí, sí, que es exactamente mi dividendo. 00:16:24

Es más largo, pero es exactamente lo mismo, ¿veis? 00:16:36

El algoritmo funciona de la misma manera, ¿vale? 00:16:39

¿De acuerdo? 00:16:49

Pero no me lo borré, por favor. 00:16:55

No, no, copiarlo tranquilamente es despacito y buena letra, ¿vale? 00:16:56

Lo bueno es que siempre, aquí tengo que tantear, cuando estoy con números tengo que tantear con las tablas, aquí no hace falta tantear. 00:17:11

Yo cojo el monomio principal, cojo el monomio principal del divisor, o sea, el monomio principal del dividendo, el monomio principal del divisor, los divido y eso es mi cociente. 00:17:19

No hay que tantear, solo hay que dividir dos monomios directamente. 00:17:30

directamente 00:17:34

una pregunta 00:17:40

porque en esta pregunta está de aquí 00:17:41

no han seguido viviendo 00:17:44

hasta hasta ahora se ha quedado cero 00:17:52

no hay más números en el dividiendo 00:17:55

dímelo bien 00:17:56

porque ya no hay más términos en el dividiendo 00:17:58

no, porque no hay ningún número que multiplicado por el divisor de cero 00:17:59

como que no, cero por cinco es cero 00:18:03

vale, cero pero 00:18:05

porque no ha seguido viviendo 00:18:06

Porque el resto es más pequeño que el divisor. 00:18:09

Nosotros dejábamos de dividir con números cuando mi resto era más pequeño que divisor. 00:18:17

Porque no podía hacer agrupaciones. 00:18:21

Entonces, ¿por qué aquí he dejado de dividir cuando he llegado a más 6? 00:18:22

¿Por qué es más pequeño? 00:18:31

Dime qué ibas a decir, Ricardo. 00:18:33

No pasa nada, dímelo. 00:18:35

Pero, por ejemplo, ¿tú puedes dividir 5 dividido entre 25? 00:18:37

No, con decimales 00:18:39

Y nosotros hablamos de divisiones enteras 00:18:41

Nosotros siempre hacemos divisiones enteras 00:18:44

Cuando hablamos de divisibilidad 00:18:46

No trabajamos con decimales 00:18:47

Trabajamos con restos 00:18:49

¿Vale? 00:18:51

Si no, siempre podrías hacerla exacta 00:18:52

Porque es un grado más pequeño 00:18:54

Que el grado del divisor 00:19:00

¿Ves? 00:19:01

Aquí, en este menos 4x 00:19:03

Tú tenías un grado que era igual a este 00:19:05

Por eso podía seguir dividiendo 00:19:08

Y te daba un número 00:19:09

¿Lo ves? 00:19:11

Ahora si tú quisieras dividir 6 entre x 00:19:12

Te saldría 6 entre x 00:19:15

Que no es un polinomio, es una fracción algebraica 00:19:16

Si aquí diera 6x 00:19:18

Y en el divisor x cuadrado aquí 00:19:25

No, no podrías dividir 00:19:30

Porque el grado del resto es más pequeño que el del divisor 00:19:31

¿Lo hemos entendido? 00:19:34

practicar. Vamos a practicar. ¿Lo tenéis? ¿Está copiado ya? Vale. Ricardo, si no lo 00:19:38

vas a copiar, hazle una foto. Y lo copias luego en casa. No, no se lo he copiado. Ah, 00:19:51

genial. Vale, vale. Bueno, fotos, os estamos grabando, así que luego podéis ver la grabación. 00:19:57

Vale, vamos a hacer una división un poquito más larga y la hacemos entre todos. Y yo 00:20:09

hago lo que vosotros me decís, ¿vale? Para que practiquéis vosotros. 00:20:13

¿Vamos a hacer el cuaderno? Sí, sí, al mismo tiempo. 00:20:18

Entonces, vamos a hacer... ¿Qué pasó? ¿Qué faltó? 00:20:22

Nada, ya está. ¿Qué faltó? 00:20:26

No, no, me faltaba, no, pero la quiero a mí. ¿Ya está? Vale. Vamos a ver. 00:20:29

Vamos a dividir 00:20:35

3x cubo menos 5x cuadrado más 4 entre 00:20:36

x cuadrado menos 1. 00:20:57

¿Por qué pones tanto espacio? 00:20:59

¿Por qué he puesto tanto espacio? 00:21:01

Por algo es, por eso lo pregunto. 00:21:04

Claro, ¿qué ves? 00:21:06

Yo lo estoy dejando, de hecho. 00:21:09

¿Por qué? 00:21:12

x al cubo, 00:21:16

x cuadrado, 00:21:18

¿dónde está? 00:21:20

Pues tendría que aparecer. 00:21:22

Claro, por eso dejo este espacio. 00:21:23

Porque posiblemente me aparezcan por ahí 00:21:26

términos en X y tendrán que tener su sitio. 00:21:28

El que yo no lo tengo aquí 00:21:31

significa que lo que me estás diciendo 00:21:32

es que para que no exista la X 00:21:35

¿por qué número tiene que estar multiplicado? 00:21:37

¿No? 00:21:41

Por cero. 00:21:42

¿Lo ves? 00:21:48

¿Pero hay que ponerlo o no? 00:21:49

Me da igual si lo pones o no, porque sumar nada 00:21:51

es como tener el agujero. 00:21:53

Pero tienes que dejar el agujero. 00:21:55

Lo que yo quiero que entiendas 00:21:58

es que si hay algún término 00:21:59

Algún término que no te aparece 00:22:01

Es que su coeficiente por necesidad 00:22:03

¿Cuál tiene que ser? 00:22:05

El cero 00:22:07

Porque la única manera de que una letra desaparezca 00:22:08

Es que su coeficiente sea cero 00:22:12

Porque cero por algo es cero 00:22:14

Si no, no puede desaparecer 00:22:17

Porque el coeficiente de la x es un uno 00:22:19

¿Lo entendemos? 00:22:22

Entonces la única manera de que haya desaparecido un término 00:22:24

Es que su coeficiente sea cero 00:22:27

¿Ha quedado claro? 00:22:29

Vale, pues entonces 00:22:31

Vamos a ver 00:22:33

¿Qué haríais primero? 00:22:35

Venga, vamos a dividir 00:22:40

3x al cubo entre x al cuadrado 00:22:42

Vale, si queréis 00:22:45

Cogéis la hoja de sucio aquí 00:22:47

3x al cubo entre x al cuadrado 00:22:48

¿Cuánto da? 00:22:51

3x 00:22:56

3x 00:22:57

3 entre 1, 3 00:22:58

Y x al cubo entre x al cuadrado 00:23:00

Así que, ¿qué pongo en el cociente? 00:23:02

¿Por qué x cubo entre x cuadrado? 00:23:05

Porque se restan los componentes 00:23:09

¿Propiedades de las potencias? 00:23:10

Para dividir potencias de la misma base 00:23:18

Se deja la misma base y se restan los oponentes 00:23:20

¿Lo veis? 00:23:24

Vale 00:23:26

Entonces sería 3x 00:23:26

Vale, 3x 00:23:30

¿Ahora qué hago? 00:23:31

Multiplico 3x por x al cuadrado 00:23:34

¿Qué da? 00:23:36

3x al cubo 00:23:37

Claro, ¿y cómo lo escribo ahí? 00:23:43

3x al cubo 00:23:46

¿No? 00:23:47

Ah, menos 3x al cubo 00:23:47

El opuesto, muy bien, menos 3x al cubo 00:23:49

Sigue 00:23:52

Tendría que bajar el menos 00:23:53

No, no has terminado de multiplicar 00:23:55

Ah, vale, vale, 3x al cuadrado por menos 2 00:23:58

¿Por qué 3x al cuadrado? 00:24:02

O sea, 3x por menos 2 00:24:03

Vale, 3x por menos 2, ¿cuánto da, Ricardo? 00:24:04

Sería 3x 00:24:07

Menos 6X 00:24:08

¿Y qué vas a colocar aquí? 00:24:10

Más 00:24:12

Pero poned más, acuérdate 00:24:12

El único en el que lo puedes evitar 00:24:15

Es en el primero si es positivo 00:24:18

El resto tiene que ir con su signo 00:24:19

Entonces me daría más 6X 00:24:21

¿Pero qué problema tienes aquí? 00:24:25

Que está en el cuadrado y lo tienes que colocar en el otro lado 00:24:27

Lo tienes que colocar en el agujero 00:24:29

De acuerdo, claro 00:24:30

Porque tienes que ir dentro de las X 00:24:31

Debajo de las X 00:24:37

Porque luego cuando sume 00:24:38

Tú solo puedes sumar monomios semejantes 00:24:39

No puedes sumar x cuadrado con x 00:24:43

Entonces tendrás que colocarlo en su hueco 00:24:46

Y ahora bajas el más 4 00:24:49

No, ahora sumas 00:24:51

Ah, eso, todo 00:24:53

Ahora sumas todo 00:24:54

Este se va 00:24:56

Sumas de izquierda a derecha 00:25:01

Muy bien, Ricardo 00:25:04

Menos 5x cuadrado 00:25:07

Más 6X 00:25:08

Sigue, sigue 00:25:10

Más 4, hay que... 00:25:12

Suma todo 00:25:14

Vale, pues como es X cuadrado y X cuadrado se puede seguir 00:25:14

Muy bien, como tengo grado 2 y grado 2 00:25:18

Yo puedo seguir 00:25:21

¿Qué voy a dividir ahora? 00:25:22

Menos 5X cuadrado entre X cuadrado 00:25:23

Vale, lo pones al lado 00:25:26

Menos 5X cuadrado entre 00:25:27

X cuadrado 00:25:30

¿Qué da? 00:25:31

Espera, espera 00:25:32

5X 00:25:32

No, menos 5 00:25:35

Ahora sí 00:25:38

Y aquí coloco 00:25:39

Menos 5 00:25:41

Ahora menos 5 por x al cuadrado 00:25:43

¿Cuánto da? 00:25:46

A ver, 5x 00:25:47

Menos 5x al cuadrado 00:25:49

Y lo cambias, sería más 5x al cuadrado 00:25:51

Perfecto 00:25:53

Y ahora menos 5 por menos 2 00:25:55

¿Cuánto da menos 5 por menos 2? 00:25:59

Y 5 por 2, 10 00:26:01

Más 10 00:26:03

Entonces, ¿qué pones ahí? 00:26:04

Sí, pero ¿qué pones? 00:26:06

Muy bien, Ricardo, menos 10 00:26:09

Tengo que hacer el opuesto 00:26:11

Tengo que escribir el opuesto de lo que me da 00:26:13

Para ahora sumar 00:26:15

Muy bien 00:26:17

Más 6X 00:26:22

Y ahora 00:26:25

Más por menos, menos 00:26:26

No, más por menos, menos, no 00:26:29

Tengo 4 y debo 10 00:26:31

Ah, vale 00:26:33

Es una suma de enteros 00:26:34

Tengo 4 y debo 10, menos 6. 00:26:36

Ahí está. 00:26:38

Entonces sería más 6X menos 6. 00:26:39

Y como X ya es más bajo que X al cuadrado... 00:26:41

Como el grado de 6X. 00:26:44

Pero dímelo bien. 00:26:46

Vale, como el grado de 6X es menor que el grado de... 00:26:48

¿De X al cuadrado? 00:26:52

Muy bien. 00:26:54

¿Y del divisor? 00:26:54

¿Del divisor? 00:26:55

Pues ya. 00:26:57

Ya lo conseguí. 00:26:57

Entonces sería el resto, ¿no? 00:26:58

Vale, entonces, ¿quién es mi cociente? 00:26:59

3X menos 5. 00:27:02

Puedes poner la letra que tú quieras 00:27:03

Te pongo la cepa que te acuerdes que es el cociente 00:27:10

R de X sería 3X menos 5 00:27:12

Y D 00:27:15

R de X 00:27:16

Bueno, lo puedo poner para la que yo quiera 00:27:19

Sí, pero las D 00:27:21

Las sueles usar para el dividendo y el divisor 00:27:22

Con lo cual tienes ahí un problema 00:27:25

Más 6X menos 6 00:27:26

¿Y cuál sería la prueba? 00:27:28

Dividendo es igual al divisor 00:27:32

Es decir, ¿qué tendría que multiplicar? 00:27:34

X al cuadrado menos 2 00:27:37

Por 3X menos 5 00:27:38

Más 6X menos 6 00:27:41

¡Hala! 00:27:43

Multiplicadme 00:27:46

X al cuadrado por 6X 00:27:47

No 00:27:53

X al cuadrado por 3X 00:27:53

Ah, perdón, que me doy al final 00:27:55

3X al cuadrado 00:27:56

3X al cubo 00:27:58

Al cubo, perdón 00:28:01

Y ahora 00:28:02

menos 5x al cuadrado 00:28:04

muy bien 00:28:07

espera, vamos a borrar 00:28:08

ahora 00:28:10

6x 00:28:12

más 10 00:28:13

más 6x 00:28:17

menos 6 00:28:21

fíjate que si aquí tú tuvieras un menos 00:28:21

habrías tenido que cambiar de signo 00:28:25

todo lo que hay aquí detrás 00:28:27

y hubieras puesto menos 6x más 6 00:28:28

¿ha quedado claro? 00:28:31

vale 00:28:32

ahora habéis visto 00:28:33

porque os puse para practicar 00:28:36

operaciones, porque si no, no tenemos agilidad 00:28:38

lo hacéis muy bien 00:28:40

y entonces, ¿qué me queda? 00:28:41

menos 3x 00:28:44

a ver, asociamos 00:28:46

3x al cubo 00:28:47

3x al cubo 00:28:50

va solo 00:28:52

menos 5x al cuadrado va solo 00:28:52

menos 6x 00:28:55

y más 6x se van 00:28:57

se fueron 00:28:59

Menos, más 4 00:29:01

¿Me sale el dividendo? 00:29:03

Más 10 menos 6 es más 4 00:29:08

Funciona exactamente igual 00:29:10

Igual que divides números, divides polinomios 00:29:14

Con la ventaja de que tenemos un teorema que os va a encantar 00:29:17

Pero que ahora nos lo va a liar ya de todo 00:29:22

Pero si es que cualquiera va directamente al teorema 00:29:25

No, no, no, yo prefiero entenderlo primero 00:29:29

Porque yo soy así de pija. 00:29:31

Vamos, o ya me puede llamar 00:29:34

frígida, pero no me importa. 00:29:36

Vamos a ver. Lo bueno es que tenemos 00:29:37

un teorema, hacer la prueba 00:29:39

es un poco emborroso. 00:29:42

Sí, pero sabe si lo has hecho bien o no. 00:29:43

Y sabe si lo has hecho bien o no. 00:29:46

Pero además es que en álgebra 00:29:47

sucede una cosa muy chula 00:29:49

que es que se cumple 00:29:52

el teorema del resto. 00:29:53

¿Os vais a poner ahí? 00:29:55

Sí, sí, sí, termina de copiar tranquilamente. 00:29:57

¿Hasta aquí lo habéis entendido todos? 00:29:59

Sí 00:30:03

¿Ricardo? 00:30:03

Sí, pero estaría bien hacer uno o dos 00:30:04

No, tendrás que hacer dos docenas 00:30:07

Tendrás que hacer dos docenas 00:30:09

Pero digo 00:30:12

Lo que pasa es que yo tengo que darte la clase de hoy 00:30:13

Luego te pongo si quieres para practicar 00:30:17

Y que los puedas hacer 00:30:20

Pero esto es sencillo 00:30:21

¿Necesitas que yo te ponga dividendo y divisor? 00:30:22

No, eso no 00:30:26

O sea, lo que falla es cuando 00:30:27

ha sido lo del 6X menos 6 00:30:29

que ya no... 00:30:31

El resto. 00:30:34

El resto, sí. La cuestión es 00:30:35

ya no se puede dividir más. Es lo que no entiendo. 00:30:37

Mira, eso... Muy bien. Gracias por preguntarme. 00:30:39

Eso es lo que me tenías que haber preguntado. 00:30:42

Si yo divido 6X entre X cuadrado, 00:30:43

mira, mira lo que pasa. 00:30:46

¿Qué te da? 00:30:52

De coeficiente 00:30:54

6, ¿no? 00:30:55

Pero las X es más grande abajo. 00:30:57

que arriba 6 entre x no es un polinomio no es un monomio tiene la x en el 00:31:00

denominador es una fracción algebraica tendrías que hacer es como hacer 00:31:09

decimales no entiendes entonces no puedes porque el grado del resto es más 00:31:13

pequeño que el grado del divisor tendrías x más grandes abajo entiendes 00:31:20

Porque no puedo seguir 00:31:28

¿Lo has entendido ahora? 00:31:29

Perfecto, gracias por preguntar 00:31:31

¿Alguno más que tenga alguna duda? 00:31:33

No, no teníamos una duda 00:31:36

Si fuera por ejemplo 00:31:37

En vez de x al cuadrado fuera 2x al cuadrado 00:31:39

Vale, tendrías que dividir los números 00:31:42

Igual y te quedaría 3 medios 00:31:44

Si tú divides 00:31:46

3x al cubo 00:31:48

Entre 2x al cuadrado 00:31:49

Te da 3 medios de x 00:31:51

Y eso es lo que hay que colocar aquí 00:31:54

claro, por eso no lo he usado 00:31:56

porque estábamos aprendiendo 00:31:58

y no quería complicar 00:31:59

la existencia 00:32:02

¿vale? pero se actuaría 00:32:04

exactamente igual 00:32:06

funcionaría igual, por eso tenemos que saber 00:32:07

trabajar con fracciones 00:32:10

¿vale? 00:32:11

entonces 00:32:14

vamos a dejar esto aparte 00:32:15

¿ha quedado claro como se dividen 00:32:18

polinomios? 00:32:22

vale 00:32:24

vamos a ver entonces una cosa muy chula 00:32:24

que se llama teorema del resto. 00:32:28

Si es un teorema es porque está demostrado. 00:32:30

¿Vale? Entonces, 00:32:33

ponemos ahí, 00:32:35

cuando dividimos... 00:32:36

Teorema del resto, ¿no? 00:32:38

Sí. 00:32:42

Como cualquier teorema va a tener condiciones. 00:32:45

Si se cumplen las condiciones, 00:32:48

se cumple el teorema. Que no se cumplen las condiciones, 00:32:50

no se cumple el teorema. 00:32:52

Entonces, no me vale para todo, pero sí me va a valer 00:32:54

para algunas cosas y va a ser muy útil 00:32:56

en algunos momentos. 00:32:58

Cuando dividimos un polinomio P de X entre un divisor, o sea, lo que hay en la cajita, de la forma X menos A, 00:32:59

Cuando dividimos un polinomio P de X entre un divisor de la forma X menos A, el resto coincide con el valor numérico que alcanza P. 00:33:34

al sustituir x 00:34:05

por a, es decir 00:34:15

que el resto 00:34:17

de esta división 00:34:19

es más complicado escribirlo 00:34:20

que escribirlo con símbolos 00:34:25

por eso se utilizan los símbolos en matemáticas 00:34:27

PDA 00:34:29

¿Esto es igual a PDA? 00:34:30

Sí 00:34:33

Ya verás, ya verás, ya verás 00:34:34

Esto es un teorema, no es fácil de ver 00:34:36

Pero vamos a aplicarlo para que veas que se cumple 00:34:38

¿Tú te acuerdas que la primera división que yo... 00:34:41

Este he dividido entre x cuadrado menos 2 00:34:44

No es como yo los que te he dicho 00:34:47

Pero este de aquí sí cumple 00:34:49

Porque yo estoy dividiendo entre x más 1, ¿no? 00:34:52

Y es x menos a 00:34:56

¿Vale? 00:34:57

¿Pero cómo puedo poner esto? 00:34:58

Lo he puesto 00:35:00

Claro 00:35:01

Lo puedo poner como x menos menos 1, ¿no? 00:35:02

Sí 00:35:06

Entonces, ¿quién sería? 00:35:06

Menos 1 00:35:10

Pues si tú coges este dividendo 00:35:13

Y haces su valor para menos 1 00:35:16

Calculas el valor de ese dividendo para menos 1 00:35:20

¿Qué te tiene que salir? 00:35:24

Más 6 00:35:30

El resto que tenía 00:35:31

Uy 00:35:32

No 00:35:36

Voy a coger 00:35:38

Voy a borrar esto que ya no lo necesitamos 00:35:41

Si yo divido d de x entre x menos menos 1 00:35:45

Me va a dar 3x menos 4 00:35:55

¿Vale? 00:36:01

¿Y de resto qué me ha dado? 00:36:02

¿Esto lo has visto? 00:36:09

Vale, vamos a calcular el valor numérico de d 00:36:10

Para x igual a menos 1 00:36:14

A ver qué pasa 00:36:17

Eso sería 3 menos 1 al cuadrado 00:36:18

Eso es 00:36:22

Yo voy a colocar 00:36:23

Mi polinomio de dx 00:36:25

Pero en lugar de poner una x 00:36:27

Voy a poner un paréntesis 00:36:28

¿Qué voy a meter dentro del paréntesis? 00:36:30

El menos 1 de aquí 00:36:32

Que es justo este menos 1 de aquí 00:36:34

¿Vale? 00:36:38

Bien 00:36:42

A operar 00:36:42

Recuerda que la jerarquía existe 00:36:46

Así que primero hago la potencia 00:36:50

y luego la multiplicación 00:36:51

por menos 1 00:36:52

es el valor 00:36:55

que anula el divisor 00:36:58

¿para qué valor se hace nulo el divisor? 00:36:59

para x igual a menos 1 00:37:03

¿vale? 00:37:04

¿lo ves? 00:37:07

si yo sustituyo la x por menos 1 00:37:08

menos 1 más 1 es 0 00:37:09

¿de acuerdo? 00:37:10

así que sustituyo la x por el valor que anula el divisor 00:37:13

en cada divisor 00:37:16

va a ser un valor distinto 00:37:18

De hecho, como vamos a usarlo mucho, le vamos a dar ahora un nombre, que se llama raíz de un polinomio. 00:37:20

Entonces, vamos a ver, 3 menos 1 por menos 1, 1 por 3, menos menos 1, pues si te da el resto, es bastante difícil que no lo hayas hecho bien. 00:37:25

Y solo tengo que calcular el valor numérico de este polinomio, ¿vale? 00:37:49

¿De acuerdo? 00:37:54

Vamos a comprobarlo con otra 00:37:55

Dividimos 00:37:57

Y comprobamos el teorema del resto 00:37:59

Venga 00:38:03

Ricardo, lanza un polinomio 00:38:03

No te pases que vamos a dividir entre 00:38:05

X menos A o X más A 00:38:08

Ya hemos puesto 3 muchas veces 00:38:10

7X a la 00:38:14

7X a la 00:38:16

Cuarta 00:38:18

Joder 00:38:20

Escucha, Ricardo, que has venido un poco arriba 00:38:22

al cubo 00:38:24

venga, al cubo 00:38:28

me sigue pareciendo 00:38:30

eso me pasa a mi cuando pongo esa 00:38:31

me llevo 00:38:36

vale, 7x al cubo 00:38:36

menos 00:38:40

menos x 00:38:41

más 4 00:38:44

y lo vamos a dividir 00:38:49

tiene que ser un divisor que sea de la forma 00:38:51

x más algo o x menos algo 00:38:53

tiene que ser más de 3 00:38:56

No, puede ser X 00:38:59

X más 3, X menos 2 00:39:01

X más 5, X menos 8 00:39:03

X más 9 00:39:05

Vale 00:39:08

Te gusta multiplicar 00:39:08

Con la calculadora, ¿eh? 00:39:16

Joder, macho 00:39:17

Porque vas a tener que hacer un 9 00:39:18

Al cubo, yo no digo nada 00:39:21

Y multiplicado por 7 00:39:23

¿Qué es lo que no? 00:39:24

Tenemos calculadoras 00:39:25

Para eso existen 00:39:31

Vamos a decir 00:39:33

Él ha puesto X más 9 00:39:34

Vamos a adivinar con antelación 00:39:36

El resto que nos tiene que dar 00:39:38

Será 00:39:40

Coger el dividendo 00:39:41

Y calcular cuánto vale 00:39:44

Para qué valor de la X 00:39:48

¿Qué valor hace que el divisor valga 0? 00:39:50

Si aquí pone más 9, ¿qué valor tengo que meter a la X para que valga menos 9? 00:39:55

Pues lo voy a calcular para menos 9. 00:40:01

Siempre es el opuesto. 00:40:04

Porque antes decíamos X menos A y metemos A. 00:40:06

Así que si es X más A es menos A. 00:40:08

X menos menos 9. 00:40:10

Claro. 00:40:12

X más 9 es X menos menos 9. 00:40:13

¿Vale? ¿Ha quedado claro? 00:40:16

Pero es más fácil si te das cuenta de que aquí el valor que tienes que meter para que valga 0 es menos 9. 00:40:17

el opuesto de este 00:40:25

¿lo ves? 00:40:27

ahora mismo sí, pero si fuera x más 9 00:40:28

no, no, una x y un número 00:40:31

es que no hay más 00:40:33

es que no tienes más 00:40:34

y te estoy diciendo que solo pueden ser de la forma 00:40:37

x más algo o x menos algo 00:40:39

así que 00:40:41

no, no, es que el teorema de restos 00:40:42

solo funciona con esos divisores 00:40:45

el teorema de restos 00:40:47

solo funciona con esos divisores 00:40:50

de la forma x 00:40:51

menos algo 00:40:53

Vamos a ver 00:40:54

¿Qué habrá que calcular? 00:40:57

7 por 00:41:02

A ver, habrá que hacer 7 por 00:41:03

En paréntesis 00:41:08

Y ahora 00:41:08

Menos 9 al cubo 00:41:10

Muy bien 00:41:12

Menos 00:41:14

Menos 9 00:41:17

Más 4 00:41:19

¡Hala! 00:41:21

Ricardo 00:41:23

81 por 9 00:41:24

729 00:41:28

Así que 00:41:30

Si no me he equivocado 00:41:33

Sí, está bien 00:41:34

7 por 729 00:41:35

Más 9 00:41:39

Más 4 00:41:40

Ojito que hay que hacer primero la multiplicación 00:41:41

¿Vale? 00:41:44

63 00:41:47

Me llevo 6 00:41:47

7 por 2 00:41:49

Y 6 00:41:50

20, pongo un 0 00:41:52

y me llevo 2 00:41:55

7 por 7 00:41:56

y 2 00:41:59

y 2 que es 51 00:42:00

más 00:42:03

13, así que 00:42:05

me va a dar un resto, agárrate 00:42:07

lorito 00:42:09

no, era todo, ah sí, esto es negativo 00:42:09

perdón, esto es negativo 00:42:17

porque es 9 por 9 por 9 00:42:19

pero es menos 9 por menos 9 por menos 9 00:42:21

¿vale? 00:42:23

Así que es menos esto 00:42:25

Claro, pero menos 729 00:42:27

Por 7 me da negativo 00:42:30

Así que del 3 al 3 nada 00:42:31

5.090 00:42:34

Menos 5.090 00:42:41

Si no me he equivocado 00:42:48

Agarra las calculadoras 00:42:48

Porque la división va a ser de AUPA 00:42:51

Vamos a ver 00:42:53

No, lo he hecho muy bien 00:42:57

Si somos capaces de dividir esto 00:42:59

Somos capaces de dividir los factos 00:43:01

Que lo mismo te va a poner el menos en el 7 00:43:03

Que en el 729 00:43:07

Muy bien, gracias Lorena 00:43:08

Vale 00:43:11

A ver, Luzmila 00:43:14

Si yo divido 7x al cubo 00:43:16

Entre x que le da 00:43:25

Y de la x que exponente 00:43:26

Muy bien 00:43:41

7x cuadrado 00:43:44

Pues eso pongo aquí 00:43:46

Pues ahora 00:43:47

Si 7x cuadrado lo multiplico por x 00:43:49

Me dará 7x al cubo 00:43:52

Y que lo pongo 00:43:53

En positivo o en negativo 00:43:55

Porque es el opuesto 00:43:57

Fenomenal 00:44:00

¿Puedes seguir multiplicando el siguiente? 00:44:01

Claro, has multiplicado 7x cuadrado por x 00:44:09

Pero aquí te queda un más 9 00:44:13

Entonces, ¿qué sería? 00:44:14

No 00:44:21

7x cuadrado por 9 00:44:21

Por más 9 00:44:24

7 por 9 00:44:28

63 00:44:29

Así que sería 00:44:33

pero el más es lo que me da 00:44:35

y yo aquí que pongo 00:44:42

en lugar de más 00:44:43

tengo que poner el opuesto 00:44:45

que va a ser menos 00:44:48

menos 63x cuadrado 00:44:49

vale 00:44:54

ahora hay que sumar 00:44:55

me queda 00:44:57

menos 63x cuadrado 00:45:02

menos x 00:45:05

más 4 00:45:06

Ahora, ¿qué divido, Ricardo? 00:45:07

¿Qué término principal coges aquí? 00:45:12

El primero 00:45:27

Dímelo bien 00:45:28

Muy bien 00:45:31

Y menos 63x cuadrado, ¿entre qué lo divido? 00:45:33

Muy bien, ¿y me da? 00:45:38

Primeros signos, menos entre más 00:45:42

Menos 00:45:44

63 se queda igual 00:45:46

No, a la 1 00:45:48

2 menos 1 es 1 00:45:50

Estoy dividiendo, ¿vale? 00:45:51

Muy bien, pues eso es lo que escribo aquí 00:45:54

¡Hala! 00:45:56

Multiplica y resta 00:46:02

Nada, va a ser más fácil 00:46:04

Menos 63x por x 00:46:06

¿Qué te da? 00:46:09

Menos 63x cuadrado 00:46:10

¿Lo cambiamos? 00:46:12

Vale, menos 63x cuadrado y lo tienes que cambiar de signo 00:46:14

Menos 63x cuadrado 00:46:17

Y ahora sí usa la calculadora. 00:46:19

Que sería más 567X. 00:46:50

Así que este se va. 00:46:57

¿Y qué me va a quedar aquí? 00:46:58

Más 4, ¿no? 00:46:59

Sí, pero eso ya luego. 00:47:00

566X más 4. 00:47:05

Claro, porque va acompañado. 00:47:09

Y ahora, si yo divido 566X entre X, ¿qué me da? 00:47:14

566. 00:47:21

Con el más. 00:47:22

¿Por qué 65? 00:47:27

¿Qué dice? 00:47:28

Es 567X menos X, si a 567 le quitas una, te da más. 00:47:29

Y cruzar los dedos para que no nos hayamos equivocado con esta cantidad enorme de números. 00:47:36

Entonces, 566 por X son 566X y lo cambio de signo, el opuesto es menos. 00:47:41

Y ahora, 566 por 9. 9 por 6, 54. Me llevo 5. 9 por 6, 54. Y 5, 59. Me llevo 5. Y 9 por 5, 45. Y 5, 50. Y lo tengo que poner en negativo. 00:47:47

por eso 00:48:08

porque es más y tengo que poner el opuesto 00:48:12

y si ahora 00:48:15

menos 5.094 00:48:17

le sumo 4 00:48:19

menos 00:48:20

tan tan tan tan 00:48:23

se puede hacer de dos maneras 00:48:33

claro, espera 00:48:43

no es que se pueda hacer de dos maneras 00:48:45

es que 00:48:47

Bueno, pues voy a dar primero la definición de raíz 00:48:48

Y te vas a dar cuenta de que lo que estamos haciendo 00:48:52

Es que si yo calculo el valor numérico 00:48:54

De la raíz del divisor 00:48:55

¿Vale? 00:48:56

El dividendo para la raíz del divisor 00:48:59

No, no son raíces cuadradas, no tiene nada que ver 00:49:00

¿Vale? Es una definición 00:49:02

Raíz de polinomio 00:49:04

Entonces, dime 00:49:06

Dime, Luzmila 00:49:07

Menos 00:49:10

De aquí 00:49:12

Porque mi polinomio 00:49:18

Dividendo es 00:49:20

7x al cubo menos x más 4 00:49:21

Y para colocar y calcular el valor numérico 00:49:25

Sustituyes la x por el valor que quieres 00:49:28

Entonces yo lo estoy calculando para menos 9 00:49:31

Significa que yo pongo mi polinomio 00:49:34

Donde pone x en lugar de la x 00:49:37

Pongo un paréntesis 00:49:43

Y dentro meto el menos 9 00:49:44

Porque quiero el valor numérico del dividendo para menos 9 00:49:48

¿Ha quedado claro? 00:49:52

Vale. 00:49:54

Vamos a ver, nos falta vocabulario. 00:49:56

Estamos todo el rato hablando del valor que anula el divisor, valor que anula el divisor. 00:49:59

A eso se le llama raíz de un polinomio. 00:50:03

¿Vale? 00:50:05

Y es muy útil porque lo vamos a usar muchas veces. 00:50:06

Entonces vamos a darle palabra. 00:50:08

Vamos a ponerle una palabra. 00:50:10

En el D-9 estás hablando, ¿no? 00:50:11

Claro. 00:50:13

Se llama raíz de un polinomio cualquiera. 00:50:13

se llama 00:50:18

raíz, y es una raíz algebraica 00:50:21

nada que ver con las raíces cuadradas 00:50:24

las aritméticas, se llama 00:50:25

raíz de un polinomio 00:50:27

cualquiera 00:50:30

al valor 00:50:31

que lo anula 00:50:37

claro, si es de la forma 00:50:38

x menos a sería 00:50:49

la raíz es x igual a 00:50:50

claro 00:50:52

entonces 00:50:55

ojo porque si es este 00:50:56

Si es este grande 00:50:58

7x al cubo menos x más 4 00:51:00

Yo no sé calcular las raíces de ese polinomio 00:51:02

No sé que valores metidos en la x 00:51:04

Pueden dar 0 00:51:07

Pueden hacer que eso valga 0 00:51:08

Lo que pasa es que si es tan facilito 00:51:10

Como x más 9 00:51:12

Lo tengo calentado 00:51:13

Porque sé que la x que tengo que meter 00:51:15

Menos 9 00:51:17

Entonces menos 9 es la raíz del divisor 00:51:18

Si yo calculo 00:51:21

Reformulando ahora que tenemos vocabulario 00:51:22

El tema del resto sería 00:51:24

Si yo calculo el valor numérico del dividendo 00:51:26

Para la raíz del divisor 00:51:29

Me da el resto de dividir 00:51:32

Ese dividendo entre el divisor 00:51:34

Pero es lo que estás diciendo 00:51:35

Lo que tú estás diciendo es que si tú calculas 00:51:39

El valor numérico del dividendo 00:51:43

Para la raíz del divisor 00:51:46

Te está dando el resto de dividir 00:51:49

El dividendo entre el divisor 00:51:52

¿Vale? ¿Ha quedado claro? 00:51:54

Pues eso es importante 00:51:57

Lo que pasa es que estas divisiones 00:51:59

¿Os gustan o no os gustan? 00:52:01

Es laborioso 00:52:05

Cansan, ¿verdad? 00:52:06

Ahora mismo tenéis una cara de agotamiento 00:52:08

No, no, pero a mí ya me me cansa 00:52:10

que pongas un examen todo mezclado 00:52:13

porque si pones divisiones 00:52:14

Vale, vale, para, para 00:52:16

A ver, las divisiones son cansadas 00:52:17

Las divisiones de polinomios son cansadas, ¿vale? 00:52:23

Y a mí las que me van a interesar en realidad no son todas estas divisiones. 00:52:26

Claro, les hemos venido a jugar. 00:52:31

Claro, yo te enseñaba a dividir. 00:52:32

Pero en realidad, para calcular factores de este tipo, 00:52:35

como las que vimos al principio, ¿tú te acuerdas de esto que vimos al principio? 00:52:42

Fíjate de qué forma son los divisores, los factores. 00:52:46

X más algo y X menos algo. 00:52:50

¿Puedes calcular esto? 00:52:52

Entonces, claro, los restos se pueden calcular a ojo, pero hay algo mejor. Un tal Ruffini dijo, bueno, bueno, yo he ideado una forma, un algoritmo para dividir, si divides por x menos a, o x más a, porque es lo mismo, ya hemos visto que x más a es x menos menos a. 00:52:53

¿Vale? Entonces si divides por un bionimo 00:53:20

De la forma X más menos A 00:53:22

Yo te voy a enseñar a dividir 00:53:23

Sin que tengas que coger ninguna X 00:53:26

Mira, esto te va a encantar 00:53:27

Te va a encantar 00:53:30

Y a ti Ricardo posiblemente también 00:53:32

Ya verás 00:53:33

No puedo dividir 00:53:35

No puedo usar Ruffini para divisiones como esta 00:53:37

No puedo 00:53:40

¿Por qué? Porque tengo un cuadrado 00:53:41

Así que ahí me aguanto 00:53:43

Y divido con la división del cajoncito de Euclides 00:53:45

De toda la vida 00:53:48

Tampoco puedo dividir por este tipo de cosas que os hizo, que dijo antes Ricardo 00:53:48

¿Por qué? 00:53:56

¿Por qué no puedo dividir entre 3x cuadrado menos, entre 3x menos 2? 00:53:58

Porque tengo un 3 y no me vale 00:54:02

Tiene que ser x más algo o x menos algo 00:54:05

¿Ha quedado claro? 00:54:09

Un binomio de coeficiente principal 1 00:54:10

¿De acuerdo? 00:54:13

Vale 00:54:16

Pues si yo lo hago así 00:54:16

Esta lo cumple, ¿verdad? 00:54:19

Sí 00:54:22

Vale 00:54:23

Pues lo voy a hacer aquí 00:54:23

Voy a coger el divisor 00:54:32

Y el dividendo 00:54:35

¿De acuerdo? 00:54:37

Entonces voy a coger el 7 cubo 00:54:39

7x al cubo 00:54:41

Bueno, voy a hacer una más fácil porque esta es muy oligosa 00:54:42

Y no quiero trabajar tanto con vosotros 00:54:45

Porque os cansáis 00:54:48

Esta, 3x cuadrado menos x más 2 entre x más 1, ¿de acuerdo? 00:54:49

Vamos a dividir 3x cuadrado menos x más 2 entre x más 1 00:54:56

Esto es lo que hicimos antes, ¿lo veis? 00:55:05

3x cuadrado menos x más 2 entre x más 1 00:55:08

Además me interesa porque ya sabéis lo que va a dar de cociente 00:55:10

Para hacer Ruffini se hace lo siguiente 00:55:14

A Boli ponemos dos rayas 00:55:21

Vamos a hacer la división por Ruffini 00:55:25

Entonces a Boli ponemos dos rayas 00:55:29

Aquí vamos a colocar los coeficientes del polinomio dividendo 00:55:32

Aquí 00:55:39

Los coeficientes del polinomio dividendo 00:55:40

Ojo, completos 00:55:44

Eso significa que si hay algún término que no aparece hay que colocar el 0 00:55:46

¿Vale? 00:55:50

Hay que ponerlo completo, todos los lugares 00:55:53

¿Ha quedado claro? 00:55:56

Entonces, ¿qué coeficiente tengo yo aquí para empezar? 00:55:57

Coeficiente 00:56:02

3 00:56:02

¿Y luego? 00:56:04

¿No? 00:56:07

¿No? 00:56:09

A 00:56:10

Menos 1 00:56:11

Claro 00:56:15

Y ahora más 2 00:56:17

Y luego 00:56:20

Más 2 00:56:21

Este es el coeficiente de grado 00:56:22

De x cuadrado 00:56:26

Así que el coeficiente cuadrático 00:56:28

Este es el coeficiente de grado 1 00:56:30

El coeficiente delineal 00:56:33

Y este es el número que va solo 00:56:35

El término independiente 00:56:37

¿Os acordáis? 00:56:38

Es independiente si 00:56:40

Si divido entre un 00:56:41

una x, ¿de qué grado me va a quedar 00:56:43

el cociente? 00:56:46

1. 00:56:48

Porque al grado 2 le tengo que quitar 00:56:50

una x. Así que me va a quedar 00:56:52

de grado 1. Luego, mi cociente 00:56:54

va a tener dos términos. Término lineal 00:56:56

y término independiente y nada más. 00:56:58

Nada más. Justo lo que 00:57:00

nos pasaba aquí. Nos hemos dado cuenta 00:57:02

que daba grado 1. Solo término 00:57:04

lineal y término independiente. 00:57:06

¿Ha quedado claro? 00:57:08

Pues entonces, 00:57:10

Entonces, ¿qué coloco aquí? Aquí coloco la raíz del divisor, que es menos 1. Ojo, no coloco el divisor, coloco la raíz del divisor, porque esto se basa en realidad en el teorema del resto. 00:57:11

Voy a calcular valores numéricos con esto. 00:57:34

¿Vale? Entonces, ¿qué es lo que hago? 00:57:38

El número de aquí se suma para abajo, sumo. 00:57:46

Y el número de aquí se multiplica. 00:57:51

Así que voy a bajar el más 3 porque no tengo otra cosa. 00:57:54

Aquí bajo el 3. 00:58:05

3 por menos 1 y se coloca aquí en el siguiente. 00:58:06

Luego os gusta mucho 00:58:12

Rufino os gusta mucho 00:58:16

De verdad, ya verás, te va a encantar 00:58:18

Ahora sumas 00:58:20

Suma que sería menos 4 00:58:22

Ahí está 00:58:24

Menos 4 por menos 1 00:58:25

Más 4 00:58:28

Y aquí da 00:58:34

Más 6 00:58:35

Pues ya está, ya has dividido 00:58:37

Esto es el resto 00:58:39

Y este es el cociente 00:58:41

Pero le tienes que poner una X 00:58:44

Claro, le tienes que poner la X que le toca 00:58:46

El número de variables que le tocaría 00:58:48

Como es de X cuadrado 00:58:50

Como se hizo una X cuadrada entre X 00:58:52

Le tocará un término lineal 00:58:54

Así que mi cociente es 00:58:55

3X menos 4 00:58:57

Y mi resto 6 00:58:59

¿Cómo parece de poner la X? 00:59:01

Nada, nada, mira aquí 00:59:03

3X menos 4 de cociente 00:59:04

Y de resto 6 00:59:08

porque tienes que aprender 00:59:10

la forma general de dividir 00:59:15

esto solo son para casos particulares 00:59:16

¿qué condición he dicho yo que tienes que cumplir 00:59:18

para poder dividir así? 00:59:21

es que si no te sabes la condición 00:59:23

no puedes aplicarla 00:59:25

solo tiene que ser x más y 00:59:26

o sea x más algo 00:59:27

o x menos algo 00:59:29

solo me sirve para dividir entre divisores 00:59:30

de la forma x más algo 00:59:33

o x menos algo 00:59:34

si tengo otro divisor no puedo 00:59:36

tienes que dividir como toda la vida 00:59:38

Entonces solo es un caso particular de división 00:59:39

Yo no te puedo enseñar solo un caso particular 00:59:41

Te tengo que enseñar a dividir 00:59:44

Y luego, si divides 00:59:45

Entre estos divisores particulares 00:59:47

Te enseño este caso particular 00:59:50

Que es más rápido, este algoritmo es mucho más rápido 00:59:52

Por ejemplo 00:59:54

Hacemos otro, ¿vale? 00:59:55

Hacemos otro 00:59:59

5x a la cuarta menos 3x cuadrado 00:59:59

Más x menos 2 01:00:07

que era largo 01:00:08

de los que decías 01:00:12

entre 01:00:13

x más 3 01:00:15

¿Pero no se puede hacer con la caja? 01:00:17

Sí, pero lo voy a hacer 01:00:22

por Ruffini 01:00:24

¿Dividiendo Ruffini, no? 01:00:25

Sí, vamos a dividir 01:00:28

con el algoritmo de Ruffini 01:00:29

Se podría decir Divirini 01:00:31

Divirini 01:00:32

Mira, no me lo habían dicho hasta ahora 01:00:34

No, es un algoritmo 01:00:38

Basado en el teorema del resto 01:00:56

Entonces funciona siempre que tienes 01:00:58

Polinomios de este tipo 01:01:00

Divisores de este tipo 01:01:02

¿Vale? Se escribe así Ruffini 01:01:03

Era un italiano 01:01:06

Nunca lo hubierais dicho 01:01:09

Con dos Fs, ¿vale? 01:01:13

Vale 01:01:19

¿Qué hacíamos primero? 01:01:20

La cajita, muy bien 01:01:22

La crucecita de aquí 01:01:24

¿Qué colocábamos arriba? 01:01:28

Arriba colocábamos 01:01:32

Los números de los términos 01:01:33

Los coeficientes de los términos 01:01:36

¡Ojo! 01:01:38

Todos 01:01:39

Así que decidme qué tengo que poner 01:01:40

5 menos 3 01:01:42

1 no 01:01:47

Pero tú lo has visto bien 01:01:49

Pero lo has dicho mal 01:01:52

Diles que no han visto 01:01:52

5x a la cuarta 01:01:54

Luego está la tercera 01:01:57

Que completo 01:01:58

Que falta, el coeficiente de quién 01:02:01

Que sería 1 01:02:03

No, porque si fuera 1 01:02:05

Aparecería que es un cubo 01:02:07

Es 0 01:02:08

Porque si fuera el coeficiente 1 01:02:10

1 por x al cubo 01:02:13

sería 0 01:02:14

y aquí no aparece ningún x al cubo 01:02:17

así que tiene que ser un 0 01:02:19

por x al cubo para que no aparezca nada 01:02:23

no sé de qué estoy hablando 01:02:25

vamos a ver 01:02:27

falta x a las 3 01:02:27

tiene que ser un 0 01:02:30

este hay que moverlo porque es el coeficiente 01:02:32

del término cuadrático 01:02:35

y me falta el coeficiente del término al cubo 01:02:36

que es un 0 01:02:39

Y hay que ponerlo completo 01:02:41

Pero ahí sería más o menos 01:02:43

Más 01:02:46

Pero si es cero 01:02:47

¿Qué más me da? 01:02:48

Pon el signo que tú quieras 01:02:51

Normalmente llevo 01:02:53

Menos tres 01:02:55

Más uno 01:02:56

Genial, ahora sí 01:02:58

Y ahora aquí abajo ponemos 01:03:02

Como es 01:03:03

Ahora quiero aquí la raíz del divisor 01:03:04

Menos tres 01:03:08

La raíz de x más 3 01:03:09

¿Quién es la raíz de x más 3? 01:03:14

Menos 3 01:03:16

Coloco menos 3 01:03:17

¿Ha quedado claro? 01:03:19

Escuchadme porque esto es importante 01:03:23

Si yo coloco menos 3 como raíz 01:03:25

Mi divisor tiene que ser x más 3 01:03:28

¿Ha quedado claro? 01:03:30

Si fuera x menos 3 sería más 3 01:03:33

Vale, si yo tuviera aquí una raíz que fuese 01:03:35

8 01:03:39

¿Quién sería mi divisor? 01:03:46

X menos 8 01:03:49

Vale, ¿lo hemos pillado? 01:03:50

Sí, pon otro si quieres 01:03:51

Y si mi divisor fuera 01:03:53

X menos 1 01:03:57

X más 1 01:03:58

No, pondría más 1 01:03:59

No, X más 1 no 01:04:02

Más 1 01:04:05

No, no, no 01:04:06

X igual a más 1 01:04:08

Ojo 01:04:10

Siempre hay que poner signos también más 01:04:13

Si no se pone 01:04:14

Me da igual, x igual a 1 01:04:15

El número 1 es más 1 01:04:18

Lo que quiero que entiendas 01:04:20

Es que la raíz es un número 01:04:23

Que sustituido en mi letra 01:04:25

De mi polinomio 01:04:29

Hace que el polinomio valga 0 01:04:30

Así que nada de x más 01:04:32

No, no, la raíz es más 1 01:04:34

Cuando sustituyo la x 01:04:36

Por más 1, por eso se pone 01:04:39

x igual a más 1 01:04:40

¿Ha quedado claro? Vale. Aquí, como el divisor es x más 3, ¿quién es mi raíz? Menos 3. 01:04:42

Entonces, ¿qué pongo aquí abajo? Un 5. Muy bien. ¿Y ahora? 5 por menos 3. 01:04:52

Ricardo, ¿no tú? 5 por menos 3. 15 menos 15. ¿Y dónde lo pones? En el 0. 01:05:00

Debajo del 0, muy bien, menos 15 01:05:08

Ahora qué haces 01:05:10

Aquí sumas 01:05:11

Menos 15 más 0 01:05:13

Muy bien 01:05:14

Menos 15 por 3 01:05:19

Piensa en el reloj 01:05:21

Piensa en el reloj 01:05:24

Eso sería 4 01:05:26

45 01:05:31

3 cuartos de hora 01:05:32

Más 45 01:05:34

Muy bien, más 45 menos 3 01:05:37

Muy bien, más 42 01:05:40

Más 42 por menos 3 01:05:44

Más por menos es menos 01:05:47

126 01:05:48

Y ahora que pongo aquí abajo 01:05:50

¿Vale? 01:05:53

Menos 125 por 3 01:05:59

375 01:06:00

Menos 2 01:06:05

Más 373 01:06:07

¿Vale? 01:06:10

¿Quién es mi resto? 01:06:12

Más 373 01:06:14

¿Vale? 01:06:17

¿Quién es mi cociente? 01:06:18

5x a la 4. 01:06:22

No. 01:06:24

Porque si aquí tengo x a la cuarta y he dividido entre x. 01:06:26

Ah, 5x a la 3. 01:06:30

Claro. 01:06:32

Siempre es un grado menos porque estoy dividiendo entre x. 01:06:33

Entonces tendrá que ser 5x al cubo. 01:06:36

Menos 15x. 01:06:39

Cuadrado. 01:06:42

Cuadrado más 42x menos 125. 01:06:42

Siempre es un grado menos que el dividendo. 01:06:47

Sí. 01:06:54

Lo que yo tengo aquí es el cociente, pero son los coeficientes del cociente. 01:06:55

Tengo que ponerle las X. 01:07:00

Siempre voy a tener una menos que las que tenía en el dividendo. 01:07:03

Porque si tengo un dividendo de X a la cuarta y lo divido entre X, siempre me va a quedar X al cubo. 01:07:06

¿Lo ves? 01:07:14

Si tú divides 01:07:14

Un grado 3 01:07:17

Perdón, un grado 4 01:07:20

Entre un grado X 01:07:23

¿Qué te queda? 01:07:27

Pues eso, siempre te queda 01:07:29

Como siempre vas a dividir 01:07:30

Para aplicar Ruffini siempre divides entre X 01:07:32

En calla, Marco 01:07:35

Siempre divides entre X 01:07:38

Lo que sea 01:07:41

No, no, Ricardo 01:07:42

Que no, escucha lo que estoy diciendo 01:07:49

Tu polinomio cociente 01:07:51

Tiene que tener un grado menos 01:07:54

Que el dividendo 01:07:56

Porque estás dividiendo el grado del dividendo 01:07:57

Entre el divisor 01:07:59

Vale, pues si tienes los coeficientes 01:08:00

Y sabes que son de un grado menos que el dividendo 01:08:03

El primero tiene que ser el coeficiente 01:08:06

De x al cubo 01:08:08

Porque aquí tengo x a la cuarta 01:08:09

¿Un grado menos? 01:08:10

Porque luego el siguiente coeficiente, ¿quién es? 01:08:12

Menos 15, pero del siguiente, x cuadrado 01:08:21

Y el otro coeficiente, ¿qué es? 01:08:25

Más 42, pero será del dx 01:08:28

Porque tú has ido colocando aquí los coeficientes en orden decreciente 01:08:31

Si este era el dx a la cuarta 01:08:35

este es el de x al cubo 01:08:39

este es el de x cuadrado 01:08:42

este es el de x 01:08:44

¿no? 01:08:44

mirad 01:08:49

a ver, Ricardo 01:08:49

Lorena, para 01:08:58

¿me dejáis a mí? 01:09:01

no, para 01:09:05

Ricardo, tú aquí 01:09:07

Has puesto los coeficientes de tu polinomio dividendo completo 01:09:09

Eso significa que si el 5 era el coeficiente de X a la cuarta 01:09:17

El 0 es del coeficiente de X al cubo 01:09:23

Este es el coeficiente de X cuadrado 01:09:27

El más 1 es el coeficiente de X 01:09:29

Y el menos 2 es el término independiente 01:09:32

¿Sí? 01:09:34

Pues si ahora tengo un grado menos 01:09:35

En todos 01:09:38

Porque mi cociente tiene un grado menos 01:09:39

Porque estoy dividiendo 01:09:43

Mi dividendo entre X 01:09:45

Este será el coeficiente 01:09:46

De X al cubo 01:09:48

Este será el coeficiente 01:09:50

De X al cuadrado 01:09:53

Este será el coeficiente de X 01:09:54

Y este será mi término independiente 01:09:57

¿Te ha quedado claro? 01:09:59

Sí, sí, que es completo, lo sé 01:10:00

¿Ahora lo entiendes? 01:10:04

Vale 01:10:07

Entonces siempre va a ser uno menos, con lo cual yo tengo el cociente y tengo el resto 01:10:07

¿Vale? 01:10:13

¿Cómo escribiría la prueba? 01:10:14

Que 5x a la cuarta menos 3x cuadrado más x menos 2 que es mi dividendo 01:10:18

¿A qué va a ser igual? 01:10:26

Recuerdo, dividendo es igual a divisor por cociente más el resto 01:10:28

Así que, ¿quién es mi divisor? 01:10:32

Divisor es x más 3 01:10:33

Perfecto 01:10:39

¿Quién es tu cociente? 01:10:40

5 menos 15 01:10:45

Sí, no, 5x al cubo 01:10:47

5x al cubo menos 15 al cuadrado más 42x 01:10:50

Menos 15x al cuadrado más 42x 01:10:54

Menos 125 01:10:57

¿Y quién es el resto? 01:10:59

Más 373 01:11:02

¿Vale? 01:11:03

Así que, si yo, no perdéis de vista el objetivo de la clase, que era escribir un polinomio como una factorización. 01:11:06

¿Qué necesito para que esto exista? 01:11:17

Que no haya... 01:11:21

¿Qué es lo que no...? 01:11:23

Para que yo pueda escribir un polinomio como una multiplicación, ¿qué me sobra? 01:11:25

División. 01:11:29

Que no haya... 01:11:30

¿Que no haya qué? 01:11:31

Resto. 01:11:34

El resto. 01:11:35

Yo voy a buscar divisiones 01:11:35

En las que este resto no exista 01:11:40

Es decir, que este resto valga 01:11:42

Cero 01:11:44

Vamos a hacerlo 01:11:45

¿Cómo vamos a hacerlo? 01:11:47

¿Lo vamos a hacerlo nosotros? 01:11:52

Lo vamos, sí 01:11:53

Por ejemplo 01:11:54

No, pero vamos a ver 01:11:56

Si algo tiene resto, tiene resto 01:11:59

¿Cómo vas a hacer que no tenga resto? 01:12:01

No, yo tengo un polinomio 01:12:02

y voy a intentar encontrar divisiones 01:12:06

que den de resto feo. 01:12:09

¿Qué hacías cuando factorizabas 01:12:10

un número? 01:12:12

¿Y qué hacías para descomponer? 01:12:16

¿Entre qué? 01:12:19

Entre el número de... 01:12:21

Por el que fuera. 01:12:22

Por el que fuera. 01:12:24

¿Y cómo adivinabas 01:12:27

por el que fuera divisible? 01:12:28

Por los criterios de divisibilidad. 01:12:30

Vale, y usabas los criterios de divisibilidad 01:12:31

pero lo tenías que adivinar. 01:12:33

Lo tenías que encontrar tú a priori 01:12:35

¿Tú sabías cuál número podía ser? 01:12:37

Buscabas. 01:12:39

Hombre, no. 01:12:40

Sí, en el cuarenta y... 01:12:41

Vale. 01:12:42

A ver, jódete. 01:12:47

A... 01:12:48

Voy a ver si es divisible entre... 01:12:49

Vale, voy a ver si es divisible entre qué. 01:12:51

E ibas probando. 01:12:52

Claro, primero entre... 01:12:53

Vale, pero vas probando. 01:12:54

Adivinas tú cuál es el número que te da de resto cero. 01:12:57

¿Lo veis? 01:13:02

Lo que pasa es que te ayudabas para no hacer tantas divisiones, 01:13:03

te ayudabas de los criterios de divisibilidad, 01:13:07

Pero en realidad tú estabas adivinando 01:13:09

Qué números ponías ahí 01:13:11

Qué números podías poner 01:13:12

Y además, los que aquí no te servían 01:13:14

Por ejemplo, si el 2 ya sabes que no te sirve 01:13:17

Porque no es par 01:13:19

Te va a servir el 4, te va a servir el 6 01:13:20

Nada, si no ha servido aquí 01:13:22

Me da igual 01:13:24

Qué números factorice, ya no va a ser nunca 01:13:25

¿Eso lo veis? 01:13:29

Los que no son, no son nunca 01:13:30

Vale, pues eso es 01:13:32

Algo parecido 01:13:35

A lo que vamos a hacer aquí 01:13:36

Yo voy a hacer la división de Ruffini 01:13:38

¿Qué número voy a colocar arriba? 01:13:42

1 01:13:49

Muy bien 01:13:50

1 más 1, perdón 01:13:51

Sí 01:13:53

Menos 9 01:13:54

Más 9 01:13:56

Vale 01:13:57

¿Y yo qué quiero que dé aquí? 01:13:58

Sé poco, pero sé que ahí quiero un 0 01:14:03

Pues para que eso sea un 0, ¿qué tengo que poner aquí? 01:14:06

Esto lo sé de cajón. 01:14:10

¿Vale? 01:14:15

Porque yo quiero que mi resto sea 0, 01:14:15

por tanto, este número tiene que ser 9, 01:14:17

menos 9. Pero ojo, porque 01:14:19

menos 9 es el resultado de 01:14:21

multiplicar lo que tengo aquí 01:14:23

por lo que yo pongo aquí. 01:14:25

Entonces, 01:14:30

¿esto puede ser un 2? 01:14:32

No. ¿Por qué? 01:14:34

Porque no hay ningún número multiplicado por 2, que es 9. 01:14:35

Vale, vale, vale. 01:14:38

Entonces, ¿qué estás buscando? ¿Cuáles son los únicos números que puedes poner aquí? 01:14:39

Que son los divisores del último. 01:14:44

Son los únicos números que puedo probar. 01:14:52

¿Vale? 01:14:55

Entonces, yo tendré que probar, y hacer la prueba significa ponerme y hacer la prueba. 01:14:56

Y tendré que poner aquí el más 1, el menos 1, porque valen el positivo y el negativo. 01:15:02

El más tres, el menos tres 01:15:09

¿Y quién más? 01:15:11

A ver, y el nueve 01:15:13

Nueve menos nueve 01:15:14

Claro, pues estos son los tres números que voy a probar 01:15:17

No, los seis 01:15:20

Perdón, los seis números que voy a probar 01:15:21

Los tres positivos y negativos 01:15:24

¿Vale? 01:15:25

Entonces, elegí 01:15:27

¿Por quién me lo queréis empezar? 01:15:28

Más tres 01:15:31

Vale 01:15:32

Yo solo iré en orden 01:15:33

Pero es Marco 01:15:36

¿Y si la clava la primera que ahorra? 01:15:38

Pues ya está, más 3 01:15:42

Bajo, y ahora ya hago la división normal 01:15:44

Así que venga, haciendo la división 01:15:48

¿Qué escribo ahora? 01:15:49

1 por 3, por más 3 01:15:51

Y lo pongo aquí, debajo del 1 01:15:54

Y son 4 01:15:56

4 01:15:57

4 por 3, 12 01:15:58

Y son 21 01:16:01

No, menos 3 01:16:03

3 positivo 01:16:06

Más 3 01:16:08

Ya lo hemos liado 01:16:08

Ya lo hemos liado porque sale 01:16:10

Más 3 por más 3 01:16:13

Más 9 01:16:14

Aquí me sale un más 9, no se va 01:16:16

Vale, pues vamos a probar con el menos 3 01:16:18

Pero ojo 01:16:22

El 3, el más 3 01:16:23

¿Puede ser en algún momento? 01:16:25

Sí 01:16:28

No, si ya has visto que no 01:16:28

Lo tachas 01:16:31

Ni en ese ni en ningún otro 01:16:32

Bueno, pero me refiero 01:16:34

Ninguno de los que sigan 01:16:37

¿Vale? 01:16:39

De acuerdo 01:16:40

¿Qué pongo aquí ahora? 01:16:41

Menos 3 01:16:44

Bajamos el 1 01:16:45

Menos 3 01:16:47

Menos 2 01:16:49

Ya lo molé otra vez 01:16:51

18 01:16:53

Uy, perdón, 6, 6, 6 01:16:56

Posición 01:16:58

Ah, perdón, perdón 01:16:59

Que esto es un menos 9 01:17:04

Sí, sí, lo siento, lo siento 01:17:05

Ya decía yo que era raro que no saliera 01:17:10

Porque os lo he puesto facilito 01:17:11

Vale, no pasa nada 01:17:13

Vais a ver que da igual 01:17:18

Aquí daba igual 01:17:20

Al descomponer daba igual el orden en que los averiguaba 01:17:21

Pues aquí igual 01:17:24

Entonces, ¿qué me va a quedar? 01:17:24

Un más 6 01:17:28

Entonces sale 01:17:29

Menos 3 01:17:30

Y menos 3 por 3 menos 3 más 9 01:17:33

Ya lo he encontrado 01:17:35

Entonces 01:17:35

Si menos 3 es mi raíz 01:17:38

¿Quién es mi divisor? 01:17:40

X más 3 01:17:42

Vale, el divisor 01:17:45

Tiene que ser 01:17:47

X más 3 01:17:49

¿Lo veis? 01:17:50

Muy bien, este es mi resto 01:17:52

¿Y quién es mi cociente? 01:17:54

¿Tengo X al cuadrado? 01:17:57

No, no es X 01:17:59

¿Está fenomenal? 01:18:00

Menos 3 01:18:03

Entonces, fíjate que yo puedo exponer este divisor como qué 01:18:03

O sea, este dividendo como quién 01:18:09

Mi divisor 01:18:12

X al cuadrado 01:18:13

No, mi divisor 01:18:15

X más 3 01:18:16

Por 01:18:17

Un X al cuadrado 01:18:18

O X al cuadrado 01:18:21

Menos 2X 01:18:22

Menos 3 01:18:23

Vale, ya he factorizado un poco 01:18:24

¿Podría volverlo a hacer? 01:18:26

¿Puedo volver a dividir x cuadrado entre x más algo? 01:18:28

Sí 01:18:34

Porque tengo un grado más grande 01:18:34

Pues, ala, sigue 01:18:36

No, ya 01:18:37

¿Cuál pusiste que funcionaba? 01:18:44

El más 3 01:18:48

El más 3 01:18:49

Vamos a poner aquí un más 3 01:18:50

Bajamos el 1 01:18:52

Bajamos el 1 01:18:53

3 01:18:56

Que sería 01:18:58

1 01:19:00

Y luego es E3 01:19:01

Ya lo tienes aquí 01:19:04

Entonces, fíjate 01:19:06

¿Cómo lo estoy escribiendo? 01:19:15

Yo ahora lo que he factorizado es esto 01:19:18

Es decir que el X más 3 lo tengo que arrastrar 01:19:20

No se irá a ningún sitio 01:19:23

Y lo que voy a escribir como divisor por cociente ahora 01:19:24

En esta nueva división aquí roja y verde 01:19:27

Es solo lo que he subrayado 01:19:29

Entonces, ¿qué escribiré? 01:19:31

X más 3 01:19:34

Que lo arrastro por 01:19:36

Si es más 3 aquí 01:19:37

Hay que escribir el divisor 01:19:40

Ya voy a borrar esto que no lo necesito 01:19:42

Hay que escribir el divisor 01:19:43

¿Quién es mi divisor? 01:19:46

X menos 3 01:19:47

Y esto quiero que lo escribáis en cada uno 01:19:49

¿Vale? 01:19:55

¿De acuerdo? Cuando lo hagáis escribimos el divisor 01:19:56

¿Quién es el divisor? 01:19:58

X menos 3 01:20:00

Que va a multiplicar al cociente 01:20:01

¿Y quién es mi cociente? 01:20:03

X más 1 01:20:04

Ya está. 01:20:06

Ya está. 01:20:10

Acabo de factorizar el polinomio. 01:20:14

Yo he escrito x al cubo más x cuadrado menos 9x menos 9 como x más 3 por x menos 3 por x más 1. 01:20:16

Y ahora dices, Carmen, ¿de qué puñetas va a ir todo esto? 01:20:23

Pues ahora te digo, cuando yo te pedía que encontraras las raíces de este polinomio, ¿tú las podías encontrar? 01:20:28

¿Qué valores anulaban ese polinomio se podía encontrar fácilmente? 01:20:34

Ni de pajolera idea. 01:20:38

Pero si yo te digo, ¿me dices qué valores anula el este? 01:20:40

X igual a menos 3. 01:20:48

Acabas de encontrar las tres raíces de X al cubo más X cuadrado menos 9X menos 9. 01:20:56

Que era algo que antes no podíamos hacer. 01:21:08

Esta es la potencia de esto. 01:21:12

encontrar los valores 01:21:14

que anulan un polinomio 01:21:17

que no es nada fácil 01:21:19

en realidad estáis resolviendo ecuaciones 01:21:20

de cualquier grado 01:21:22

si tú coges 01:21:23

y metes x igual a 01:21:26

menos 3 aquí 01:21:28

vale 0, ¿lo comprobamos? 01:21:29

el resto es 0, ¿no? 01:21:36

luego el valor del polinomio para estas raíces 01:21:45

tiene que dar 0 01:21:47

Vamos a comprobarlo 01:21:48

Coge la primera raíz, la que quieras 01:21:50

Menos 1, que no la hemos usado 01:21:52

Si tú haces menos 1 al cubo, ¿qué te da? 01:21:53

Menos 1 al cuadrado 01:22:04

Menos 9 por menos 1 01:22:05

Vale, vamos a probar 01:22:10

Haces bien 01:22:22

Haces bien 01:22:28

Porque es una particularización 01:22:29

Claro, menos 3, ¿no? 01:22:31

¿Vale? 01:22:34

Menos 3 por menos 3 por menos 3 01:22:36

Menos 27, genial 01:22:38

Ahora, menos 3 por menos 3 01:22:44

Pues más 9 01:22:46

Ahora, menos 9 por menos 3 01:22:48

Más 27 01:22:50

Vamos a comprobar con el tercero que nos queda 01:22:54

Hemos comprobado con el menos 1, con el menos 3 01:23:05

¿Con quién me queda? 01:23:07

Entonces esto será 01:23:07

3 por 3 es 9 por 3 01:23:12

Más 27 01:23:13

Más 9 01:23:14

Menos 27 01:23:17

Menos 9 01:23:21

Y si lo intentas con cualquier otro valor 01:23:22

Verás que no 01:23:28

Porque si es un polinomio de grado 3 01:23:28

El teorema fundamental 01:23:32

De la zona me dice que como mucho 01:23:34

Vas a encontrar 3 raíces 01:23:35

Y si es de grado 4, 4 01:23:37

Y si es de grado 5, 5 01:23:38

Y si es de grado 1, 1 01:23:40

Una. 01:23:42

¿Ha quedado claro? 01:23:48

Entonces, la importancia de la factorización es que me permite, primero, 01:23:51

trabajar con fracciones algebraicas, porque si yo ya puedo factorizar el numerador 01:23:55

y puedo factorizar el denominador, puedo eliminar factores comunes. 01:23:59

Así que simplifico. 01:24:05

Y permite encontrar cualquier tipo de raíz y resolver ecuaciones de cualquier grado, 01:24:07

porque fíjate que tú en realidad estás resolviendo esto. 01:24:12

Si tú encuentras las raíces 01:24:15

Estás diciéndome 01:24:17

Qué valores de la X 01:24:18

Hacen que esto valga cero 01:24:20

Esto es una ecuación de tercer grado 01:24:22

A ver, un segundo 01:24:25

El Ruffini 01:24:26

Lo que tiene es un rayado 01:24:31

Vamos un poquito para atrás 01:24:33

Lo que tiene es un rayado 01:24:36

¿Cómo ha llegado a la X de arriba? 01:24:37

Porque el X más 3 lo tengo claro 01:24:38

Y ahora, esto es divisor por cociente 01:24:40

En esta segunda división 01:24:43

¿quién es tu divisor? el x menos 3 01:24:45

¿quién es tu cociente? 01:24:48

el x más 1 01:24:50

porque lo que has hecho ha sido 01:24:51

dividir esta 01:24:56

¿ves? el coeficiente es el 1, el menos 2 y el menos 3 01:24:57

y puedes hacer todas las divisiones 01:25:02

para abajo 01:25:04

el otro día que os costaba 01:25:04

encontrar las raíces, ahora ya es súper fácil 01:25:12

¿puedo pasar 01:25:14

la hoja? 01:25:16

tranquila, tranquila 01:25:18

ahora es fácil porque ahora 01:25:20

Ahora ya lo puedo tantear con más facilidad. 01:25:22

Yo cojo y en el que teníamos al principio, ¿os acordáis? 01:25:25

De x cuadrado menos 5x más 6. 01:25:28

En el juego de las cuatro enrayadas jurídicas del otro día. 01:25:31

Ahora puedo factorizar sin ningún problema. 01:25:35

¿Vale? 01:25:50

Entonces, en el momento en que tú encuentras aquí raíces, estás encontrando divisores. 01:26:05

Es decir, estás encontrando factores. 01:26:12

¿Lo ves? 01:26:15

¿De acuerdo? 01:26:18

Hay un teorema con ese nombre. 01:26:19

Teorema del factor que voy a deciros ahora. 01:26:21

Que es un resultado que ya hemos visto. 01:26:25

Teorema del factor. 01:26:35

¿Lo has entendido, Lorena? 01:26:40

¿Ricardo, lo has entendido? 01:26:45

¿Rudmila, lo has entendido? 01:26:47

Sí, pero... 01:26:50

Hay que practicar mucho. 01:26:51

Sí, sí, te acabo de enseñar. 01:26:53

Hay que practicar mucho. 01:26:55

Os voy a dejar una hoja enterita para que practiquéis que tiene por un lado polinomios 01:26:56

y por el otro lado su factorización. 01:27:00

¿Vale? 01:27:02

Que es lo que vamos a empezar a hacer ahora. 01:27:03

Pero factorizar era una herramienta fundamental en la aritmética, ¿os acordáis? 01:27:07

La hemos usado para trabajar con potencias, la hemos usado para trabajar con raíces, 01:27:12

la hemos usado para trabajar con fracciones. 01:27:15

Pues factorizar polinomios va a ser una herramienta fundamental en la algebra. 01:27:17

¿De acuerdo? 01:27:22

Factorizar polinomios. 01:27:25

Lo que vamos a ver ahora es el teorema del factor. 01:27:26

Entonces les ponemos ahí, si X igual a A es raíz de un polinomio P de X, P mayúscula y entre paréntesis X, eso es, entonces P de X se llama, ¿vale? 01:27:28

Entonces, X menos A es un factor de P de X 01:28:05

Fíjate, si X igual a A es raíz de P de X, ¿qué significa? 01:28:14

Por la definición de raíz, el valor numérico de P para X igual a A, ¿cuánto tiene que valer? 01:28:30

Cero, ¿vale? 01:28:39

Pero si P de A es 0 por el teorema del resto 01:28:43

Significa que al dividir P de X entre X menos A 01:28:47

El resto es 0 01:28:53

Y esa es la definición de factor 01:28:55

Y al revés igual 01:29:00

Si X menos A es un factor de P de X 01:29:13

Significa que tú puedes dividir P de X entre X menos A y el resto es 0 01:29:17

Pero si el resto es 0 significa que el valor numérico de P de A es 0 01:29:23

Por el teorema del resto 01:29:29

Luego lo que me está diciendo es que A es raíz de P de X 01:29:30

¿Lo veis? 01:29:34

Son todo, son todo, esa implicación en los dos sentidos 01:29:38

Son todo palabras equivalentes 01:29:41

Me da igual decir que 2, o sea que A es raíz de P de X 01:29:44

Que decir que P de A es 0 01:29:48

que decir que p de x entre x menos a es divisible, que x menos a es factor de x, son equivalentes a esas cuatro frases. 01:29:50

Cada vez que me dicen alguna de estas frases, yo puedo escribir esto. 01:30:02

¿Lo veis? 01:30:08

Si me dicen, x igual a raíz de p de x, yo puedo escribir que p de a es cero. 01:30:10

Me dicen, p de x entre x menos a, o sea, p de x es divisible entre x menos a. 01:30:14

Es decir, es exacta la división 01:30:20

P de A es cero 01:30:22

X menos A es factor de P de X 01:30:23

P de A es cero 01:30:26

¿Es equivalente? 01:30:27

Si soy un factor es que el resto es cero 01:30:31

Si el resto es cero es que el valor numérico es cero 01:30:32

¿Puedo ser un minuto? 01:30:34

Sí 01:30:37

¿R2P2X es el óvido martinolio? 01:30:37

Sí, es el óvido martinolio 01:30:50

No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 01:30:52

el relato 01:31:22

por tu culpa seré 01:31:22

que te respondes 01:31:30

o sea, que alguien matemático 01:31:31

se me haría de mal 01:31:33

yo no, yo se lo voy a matar 01:31:34

y te lo digo 01:31:40

porque yo 01:31:40

a mí se lo metido 01:31:48

en su vida 01:31:49

o sea, y tú puedes decir 01:31:50

si yo pregunté 01:31:53

¿tengo que hacer el curso entero o solo me quedaron? 01:31:54

solamente yo 01:31:57

solamente lo voy a tener 01:31:59

¿Dudas de esto? 01:32:01

¿Ha quedado claro? 01:32:30

Esto es lo que hay para factorizar 01:32:32

lo que pasa es que no podía 01:32:34

explicaros simplemente la factorización 01:32:36

porque no ibas a entender nada 01:32:38

del contexto y de para qué sirve 01:32:39

y cómo se enlaza con lo que estamos viendo 01:32:41

entonces, lo que vamos a hacer es 01:32:43

practicar la factorización, que eso sí es lo que vais a usar 01:32:45

¿de acuerdo? entonces yo aquí 01:32:48

os he preparado una ficha 01:32:49

grande de ejercicios 01:32:51

en que tenéis varios por un lado 01:32:52

los polinomios por un lado 01:32:56

y en la parte de atrás 01:32:57

la factorización 01:32:59

¿vale? 01:33:00

entonces, vamos 01:33:07

Yo voy a empezar por los de abajo 01:33:08

Vamos a hacerlos juntos desde abajo 01:33:11

¿Vale? 01:33:13

¿Pero de cuál? ¿De factorización? 01:33:15

Sí 01:33:17

Claro 01:33:17

Por detrás está la factorización que te tiene que dar 01:33:20

Para que tú puedas comprobar 01:33:23

Si lo has hecho bien o no 01:33:26

Entonces, vamos a empezar 01:33:28

2x a la cuarta 01:33:30

Más 10x al cubo 01:33:32

Menos 8x cuadrado 01:33:35

Menos 40x 01:33:37

¿Qué veis nada más empezar? 01:33:38

Un segundo 01:33:41

Que no tiene término independiente 01:33:41

¿Y eso qué significa? 01:33:48

Que tendremos que poner un número al final 01:33:50

Que es cero 01:33:52

No, que puedes sacar la X como factor 01:33:53

Pues ya tienes una factorización 01:33:56

Si me estás diciendo que la puedes sacar de factor común 01:33:58

¿Solo la X o puedes sacar algo más? 01:34:00

Bueno, el 2 también 01:34:07

El 2 también 01:34:07

Ya tienes tu primer factor 01:34:08

Porque por 2, o sea, por 5 01:34:14

Par, par, par 01:34:17

Y si todos tienen X 01:34:18

Es que puedes sacar una X 01:34:21

Pues no te olvides 01:34:22

Que sacar factor común 01:34:26

Es factorizar 01:34:27

O sea, sacar factor común 01:34:29

Ya es factorizar 01:34:33

Luego antes de liarme a Ferrufini 01:34:34

Primero factorizo lo más evidente 01:34:37

Que es sacar factor común 01:34:39

Y ahora 01:34:42

El 2X 01:34:43

¿A quién está multiplicando? 01:34:45

para que me dé 2x a la cuarta 01:34:46

2x al cubo 01:34:50

x al cubo 01:34:52

y ahora para que me dé 01:34:54

10x al cubo 01:34:57

5x al cuadrado 01:34:58

más 5x al cuadrado, ¿os acordáis cuando sacamos 01:35:00

factor común? 01:35:03

y ahora para que me dé menos 8x al cuadrado 01:35:04

menos 4x 01:35:06

y ahora 01:35:09

para que me dé menos 40x 01:35:12

Menos 20 01:35:14

¿Vale? Pues ya tienes la primera factorización 01:35:15

¿Qué necesito factorizar ahora? 01:35:19

El x al cubo 01:35:25

Más 5 al cuadrado 01:35:29

Menos 4x menos 20 01:35:30

Pues ahí ya 01:35:31

Rufín 01:35:32

Ojo copiar bien los signos 01:35:33

Que ahí es donde será esto 01:35:43

Que es lo que me ha pasado a mí antes 01:35:44

1 más 5 01:35:46

1 más 5 01:35:48

Menos 4 01:35:52

Menos 20 01:35:54

Vale, yo sé que aquí me tiene que dar 01:35:55

Cero 01:35:58

Luego voy a ponerlo un poquito más corto 01:35:59

Luego yo sé que aquí tengo que poner 01:36:01

Más 20 01:36:07

Así que aquí en el cajón tendré que ir probando 01:36:07

Divisores del 20 01:36:11

Yo empezaría por el 2 01:36:12

Yo empezaría por el, vale 01:36:15

¿Tú quieres el 2? 01:36:16

Vale, pues venga, positivo o negativo 01:36:17

Pues venga, menos 2 01:36:19

Bajo el 1 01:36:23

Menos 2 01:36:25

Menos 6 01:36:27

Más 2 01:36:32

Menos 10 01:36:34

Ay, perdón, joder 01:36:35

Jolín, qué puntería tienes, Lorena 01:36:36

A la 01:36:38

Nada más, a la primera 01:36:39

¿Veis por qué dividir así con Rufiña 01:36:42

Os acaba gustando un montón? 01:36:48

Pues es una forma muy sencilla 01:36:51

De hacer la división 01:36:52

¿Vale? Entonces 01:36:53

Eso significa 01:36:55

Que yo, este polinomio 01:36:56

¿Cómo lo puedo escribir? 01:36:59

X más 2 01:37:00

Esta es la raíz, ¿quién es el divisor? 01:37:05

Lo ponemos aquí 01:37:07

Teorema del factor 01:37:08

Si X igual a menos 2 es raíz 01:37:13

X más 2 es factor 01:37:15

Un momentito, a ver si lo he puesto bien antes 01:37:17

Que ahora tengo una duda 01:37:19

Espera, espera 01:37:21

Sí, está bien 01:37:22

Vale 01:37:24

Entonces, ¿cómo pongo esta factorización? 01:37:30

2X 01:37:33

Por X más 2 01:37:34

X más 2 es el divisor 01:37:37

¿Quién es el cociente? 01:37:39

1 01:37:46

Por 01:37:47

X al 01:37:48

1 por X a la 3 01:37:51

A la 3 01:37:53

Al cubo 01:37:54

¿Por qué X por X al cubo? 01:37:54

No 01:37:58

¿X al cubo no? 01:37:59

Ah, vale, vale 01:38:02

X al cuadrado 01:38:03

X al cuadrado 01:38:05

¿Por qué X por X al cuadrado me tiene que dar X al cubo? 01:38:06

Entonces, x al cuadrado más 3x menos 10 01:38:10

Ahora, ¿cuál es el que tengo que hacer? 01:38:20

x al cuadrado más 3x menos 10 01:38:24

Ahora el 0 tiene que estar aquí 01:38:26

Así que aquí tengo que tener el 10 01:38:35

Voy a poder poner, por ejemplo, el 4 01:38:37

Antes podía dividir por... el 4 podía ser un factor y ahora no, ¿verdad? 01:38:40

Entonces, ¿por qué qué número queréis? 01:38:43

Más 2 01:38:47

1 por más 2 01:38:49

2 01:38:53

5, 5 por más 2, más 10 01:38:54

¡Hale, qué puntería! 01:38:57

Y si es 01:38:59

X igual a más 2 01:39:00

¿Cuál es el divisor? 01:39:03

X menos 2 01:39:04

Entonces sería 2X por X más 2 por X menos 2 01:39:05

Y ahora, X más 2 lo tenía de antes 01:39:21

Y ahora, ¿qué voy a poner? 01:39:24

¿X menos 2? 01:39:26

Ese es el divisor. ¿Y el cociente? 01:39:27

El cociente sería 01:39:29

X 01:39:30

5 01:39:32

¿Más? 5 01:39:34

¿Quiénes son las raíces? 01:39:36

Menos 2 01:39:41

Es de grado 4, fíjate. 01:39:44

¿Quién es el que hace? 01:39:47

Son los valores que hacen que mis factores valgan 0. 01:39:48

¿No? 01:39:52

¿Vale? 01:39:53

¿Qué valor hace que 2X valga 0? 01:39:54

Menos 2 01:39:57

¿Qué valor metes en la X para que 2 por X valga cero? 01:39:58

¿Por qué tienes que multiplicar el 2 para que valga cero? 01:40:09

¿De este factor la raíz es cero? 01:40:17

¿De este factor quién es la raíz? 01:40:23

Menos 2 01:40:26

¿De este factor quién es la raíz? 01:40:27

Más 2 01:40:30

¿Y de este factor quién es la raíz? 01:40:31

si tú pones aquí cero 01:40:34

esto se anula 01:40:37

cero, cero, cero y cero 01:40:38

si tú pones aquí menos dos 01:40:41

menos dos 01:40:44

esto se anula 01:40:44

si tú pones aquí más dos, más dos, más dos 01:40:46

en la x, se anula 01:40:49

y si tú pones menos cinco, menos cinco, menos cinco 01:40:51

y menos cinco, se anula 01:40:53

si leo la pizarra no cuenta 01:40:54

sí, sí, tranquilos 01:41:03

tranquilos, copiad 01:41:05

el único inconveniente de Ruffini 01:41:07

es que solo podemos tantear raíces 01:41:47

que son enteras 01:41:49

y cuando no tenemos raíces enteras tenemos un problema 01:41:50

con Ruffini nunca las vais a encontrar 01:41:52

ya, pero en algún momento tendrás que encontrar raíces 01:41:54

lo bueno es que con Ruffini 01:42:01

si hay una no entera me sale aquí al final 01:42:02

pero si hay más de una raíz 01:42:04

que sea una fracción 01:42:07

con Ruffini no lo podéis encontrar 01:42:08

Estamos calculando las raíces de este polinomio de aquí 01:42:09

A través de su factorización 01:42:34

Porque escribimos el polinomio que es una suma 01:42:38

Como una multiplicación de binomios 01:42:45

¿lo veis? 01:42:47

y esa es la utilidad 01:42:51

porque encontrar que valores valen 0 01:42:52

tengo que meter para que los valores 01:42:55

valgan 0 01:42:57

no sé, no tengo ni idea de cómo hacerlo 01:42:57

pero encontrar en una multiplicación 01:43:00

que valores tengo que meter en los factores 01:43:02

para que la multiplicación valga 0 es fácil 01:43:04

alguno de los factores tiene que ser 0 01:43:06

sí o sí 01:43:09

¿lo entendemos? 01:43:09

una multiplicación solo da 0 01:43:13

si alguno de sus factores 01:43:15

es cero. Entonces, ¿cuáles son las cuatro 01:43:17

únicas posibilidades? Pues que o que 2x 01:43:19

valga cero, es decir, x igual a cero 01:43:21

o que x más 2 valga cero 01:43:23

es decir, x igual a menos 2 01:43:25

o que x menos 2 valga cero 01:43:27

es decir, x igual a más 2 01:43:29

o que x más 5 valga cero, es decir 01:43:30

x igual a menos 5 01:43:33

las raíces de cada binomio 01:43:34

¿ha quedado claro? De cada factor 01:43:36

y son chupadas de encontrar 01:43:39

algo que es muy difícil 01:43:41

de hacer cuando tengo el polinomio escrito en forma 01:43:43

de suma, es muy fácil de hacer 01:43:45

Cuando tengo el polinomio escrito en forma de multiplicación 01:43:47

¿Lo entendemos? 01:43:49

¿Hacemos uno más? 01:43:54

Y ya os los dejo 01:43:55

Pues es mirar a ver 01:43:56

Si tienes un número 01:44:02

Que esté multiplicando en todos 01:44:03

Un divisor común 01:44:05

O sea, un factor común en los coeficientes 01:44:07

Y una letra 01:44:09

En el momento que tengas una letra 01:44:10

Tienes un divisor común 01:44:11

Venga, vamos a hacer este 01:44:13

X al cubo 01:44:19

Más X al cuadrado 01:44:22

Menos 5X más 3 01:44:25

No puedo sacar 01:44:27

El G 01:44:29

Del 2 01:44:31

No puedo sacar factor común 01:44:33

Porque no tengo coeficientes 01:44:35

Por delante 01:44:38

Y tampoco tengo todos los números con X 01:44:39

Entonces voy a ir directamente 01:44:41

A Rufino 01:44:43

¿Vale? 01:44:44

Así que directamente 01:44:46

¿Qué coeficientes escribo? 01:44:48

¿Rufmila? 01:44:49

Porque no tengo coeficientes 01:44:52

que tengan un divisor común 01:44:54

y porque 01:44:57

no tengo letras al final 01:44:58

así que no hay nada que se repita 01:45:00

así que 01:45:03

Luzmila, ¿qué escribo aquí? 01:45:04

coeficiente de x al cubo 01:45:09

1, muy bien, ¿luego? 01:45:11

1 01:45:14

y luego 01:45:15

¿qué valores 01:45:15

crees que puedes probar aquí? 01:45:19

esto tiene 01:45:22

que ser 0 01:45:23

Luego esto tiene que ser un menos 3 01:45:24

Así que ¿qué valores vas a probar ahí? 01:45:27

¿2? 01:45:32

¿El 2 puedes dividir? 01:45:33

¿Puedes hacer que 3 sea el resultado de multiplicar por 2? 01:45:35

No, pues el 2 no 01:45:39

Tienen que ser divisores de este número 01:45:40

1 o menos 1 01:45:42

3 y menos 3 01:45:45

Tengo 4 01:45:47

Puedo hacer el más 1, el menos 1, el más 3 o el menos 3 01:45:49

Ale, ¿con cuál quieres probar? 01:45:52

menos 4 por más 1 más 4 01:45:56

¿da? 01:46:16

no da ¿verdad? 01:46:17

fuera 01:46:19

y si no ha sido ahora 01:46:20

¿qué? 01:46:23

ah pues a ver si lo he hecho mal 01:46:25

1 por 1 01:46:27

ah si he sumado mal 01:46:29

2, 2 más 1, 2 menos 3 01:46:30

si si perfecto 01:46:33

pues entonces esto ya como lo puedes escribir 01:46:34

si x igual a más 1 01:46:36

es la raíz ¿cuál es el divisor? 01:46:39

No, x menos 1, eso es. 01:46:42

Entonces, ¿cómo puedo escribir esto? 01:46:48

Divisor, x menos 1 por, y el cociente, si esto era x al cubo, quítale 1. 01:46:51

x al cuadrado, x menos 3, vale. 01:47:05

Y ahora, seguimos, el 0 ahora lo tengo que tener aquí, ¿verdad? 01:47:14

Así que esto tiene que ser un más 3, pues vuelvo a poder probar los mismos, aquí puedo probar los mismos, ¿cuál quieres probar ahora? 01:47:27

¿Menos 1? Vale, pues ponemos aquí abajo un 1, 1 por menos 1, menos 1, esto es un 1, no, con menos 1 no da 01:47:38

No, porque esto sería un menos 1 01:47:47

Así que el menos 1 01:47:51

Nada, lo quito 01:47:59

¿Cuál? 01:48:00

Más 3 01:48:02

1 por más 3, más 3 01:48:03

5 por más 3, más 15 01:48:06

No, no da 01:48:08

Así que el más 3, fuera 01:48:09

Más 1 01:48:15

1 por más 1, 1 01:48:18

2 y 1, 3 01:48:21

y 3, sí 01:48:22

entonces, ¿cómo vas a escribir esto? 01:48:23

el x 01:48:27

has hecho este ahora, has factorizado 01:48:28

este, así que lo anterior lo arrastras 01:48:30

no ha desaparecido, ¿tú te acuerdas que cuando 01:48:32

hacíamos la raya 01:48:34

y hacías este, este 01:48:35

seguía multiplicando 01:48:38

luego escribías todo, ¿te acuerdas? 01:48:39

tenías que arrastrar este y este y este 01:48:44

que eran los que ibas encontrando, pues ahora 01:48:46

igual, entonces 01:48:48

el x menos 1 lo tengo ya 01:48:55

Ahora, este x cuadrado más 2x menos 3 que acabo de dividir, ¿cómo lo factorizo? 01:48:57

x menos 1. 01:49:02

Claro, si la raíz es más 1, ¿quién es el divisor? 01:49:03

¿No? 01:49:09

x menos 1. 01:49:12

Menos 1, perdón. 01:49:13

x menos 1, así que vuelve a ser x menos 1 por... 01:49:14

Vale, ahora x más 3. 01:49:22

X más 3 01:49:28

Mi cociente 01:49:29

¿Por qué X más 3? 01:49:31

Ah, 1 es X, vale 01:49:34

1 es X y el 3 es el término independiente 01:49:35

O sea que normalmente cuando se quedan 2 ya 01:49:38

Ya está 01:49:40

Dime 01:49:41

¿Qué no has pillado? 01:49:46

Tú has visto que estás dividiendo este, ¿eh? 01:49:50

¿Vale? 01:49:54

¿Quién es tu divisor? 01:49:56

X menos 1 01:49:57

¿Y quién es tu cociente? 01:49:58

X más 3 01:50:02

¿Ahora sí? 01:50:03

Vale 01:50:06

¿Quiénes son las raíces 01:50:06

De X al cubo 01:50:08

Más X cuadrado 01:50:14

Menos 5X más 3 01:50:15

¿Qué valores anulan ese polinomio? 01:50:17

Más 1 01:50:21

X igual a 1 01:50:22

X igual a 1 01:50:24

Doble 01:50:26

Doble 01:50:27

Dos veces 01:50:28

Porque esto es x menos 1 al cuadrado por x más 3 01:50:29

¿Lo veis? 01:50:34

Así que x igual a 1 es una raíz dos veces 01:50:37

Pero si es más 1 igual 01:50:40

Claro, pero es doble 01:50:44

x más 1 y x más 1, dos veces 01:50:46

Doble 01:50:50

Y 01:50:52

Y x menos 3 01:50:53

x igual a menos 3 01:50:56

¿Vale? 01:50:58

Esta es una raíz doble. 01:51:01

Aparece dos veces. 01:51:03

¿Y no se puede poner x1 y... 01:51:04

Bueno, pues x igual a 1 doble. 01:51:06

Es que se llama raíz doble. 01:51:10

Raíz triple, raíz cuádruple. 01:51:11

Si sale tres veces, cuatro veces. 01:51:13

¿Vale? 01:51:16

¿Ha quedado claro? 01:51:17

¿Sí? 01:51:19

Pues tenéis aquí ejercicios para... 01:51:21

Nos vemos el lunes con las dudas que tengáis. 01:51:24

¿Vale? 01:51:27

Ah, perdemos. 01:51:27

Nos vemos el viernes con las dudas que tengáis. 01:51:29

perdonad 01:51:30

ala 01:51:33

División de polinomios y factorización - Contenido educativo

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