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Asintotas de F Exponenciales y Logarítmicas - Contenido educativo

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Subido el 25 de enero de 2021 por Julio M.

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Asintotas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

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Bien, vamos a calcular hoy las asíntotas de funciones exponenciales y logarítmicas. 00:00:03
Bueno, vamos a empezar con esta función. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el dominio de la función. 00:00:14
El dominio va a estar formado por aquellos números reales para los que existe la función del numerador y la función del denominador. 00:00:21
En el numerador tenemos un polinomio, pues el dominio es todo r, 00:00:30
y en el denominador tenemos la función exponencial, que también está definida para todos los números reales, 00:00:35
y x, que también está definida para todos los números reales. 00:00:40
Por lo tanto, pues el dominio va a ser igual a todos los números reales, 00:00:44
menos los valores para los que se anula el denominador, porque la división por cero no está definida. 00:00:50
Entonces, bueno, resolvemos la ecuación e elevado a x menos x igual a cero. 00:00:57
Entonces, e elevado a x, pues tiene que ser igual a x. 00:01:03
¿Vale? 00:01:09
Pero esta ecuación, vamos a ver que no tiene solución. 00:01:09
Fijaos, la función exponencial e elevado a x, 00:01:13
la función exponencial e elevado a x es de esta forma. 00:01:16
Esta sería la e elevado a x. 00:01:25
¿Vale? 00:01:28
Y la y igual a x, esta es la y igual a e elevado a x. 00:01:28
Y la y igual a x es la bisectriz del primer cuadrante. 00:01:33
Entonces, como veis, en ningún momento toman el mismo valor. 00:01:37
Por lo tanto, no tiene solución. 00:01:40
No tiene solución. 00:01:44
Por lo tanto, el dominio van a ser todos los números reales. 00:01:51
Las asíndotas verticales se buscan en los puntos donde la función no está definida. 00:01:55
Y como el dominio es todo R, pues las asíndotas verticales no tiene. 00:01:58
Y las asíndotas horizontales se buscan calculando los límites cuando x tiende a infinito y a menos infinito de la función. 00:02:01
Si estos límites existen, pues entonces tenemos asíndotas horizontales. 00:02:16
Entonces hacemos el límite cuando x tiende a infinito de x partido por elevado a x menos x. 00:02:23
Pues este límite es igual a infinito partido por elevado a infinito es infinito menos infinito. 00:02:36
Bueno, aquí podríamos tener una indeterminación, pero claramente la función exponencial es la que tiende a infinito mucho más deprisa. 00:02:43
Claramente se ve en la gráfica que tiende mucho más deprisa a infinito, por lo tanto esto es infinito partido por infinito. 00:02:52
Indeterminación, que resolvemos por l'hôpital. 00:03:00
Y esto pues es igual al límite cuando x tiende a infinito de derivada de x1. 00:03:06
Derivada de elevado a x, pues es elevado a x, derivada de x, 1. 00:03:16
Esto es igual a 1 partido por infinito menos 1. 00:03:23
1 partido por infinito, que es 0. 00:03:29
Por lo tanto, este límite existe y es igual a 0. 00:03:33
Tenemos una asíntota horizontal en y igual a 0, cuando x tiende a infinito. 00:03:36
y igual a 0 cuando x tiende a infinito. 00:03:45
Hacemos el límite también cuando x tiende a menos infinito de la función 00:03:50
y, bueno, pues este límite es igual a menos infinito partido por elevado a menos infinito. 00:04:00
Fijaos, cuando nos aproximamos a la función con x muy pequeño, 00:04:14
cuando x tiende a menos infinito, la función hacia donde tiende, pues se aproxima a 0. 00:04:19
¿Vale? Por lo tanto esto es 0 menos menos infinito, 0 más infinito, menos infinito partido por infinito, indeterminación. 00:04:24
Por si hay alguna duda, e elevado a menos infinito, pues es igual a 1 partido por e elevado a infinito, y esto claramente pues es igual a 0. 00:04:37
Bien, pues nos queda una indeterminación del tipo menos infinito partido por infinito, pues aplicamos L'Hôpital, la regla de L'Hôpital. 00:04:48
Nos queda el límite, cuando x tiende a menos infinito, de 1 partido por e elevado a x menos 1. 00:05:01
Y esto es igual a 1 partido elevado a menos infinito, pues es 0 menos 1. 00:05:16
Esto es igual a menos 1. 00:05:25
El límite cuando x tiende a menos infinito existe y es menos 1. 00:05:26
Por lo tanto, tenemos una asíndota en y igual a menos 1 cuando x tiende a menos infinito. 00:05:29
Cuando x tiende a menos infinito. 00:05:43
Y tenemos una asíndota horizontal en y igual a 0 cuando x tiende a infinito. 00:05:51
Por lo tanto, asíndotas oblicuas no tiene. 00:05:55
Porque en el caso de que tuviese, imaginaos que tiene una cuando x tiende a infinito. 00:06:05
Fijaos, por un lado la función se tiene que aproximar a igual a cero. 00:06:13
Si tuviese una asíndota oblicua, pues se tendría que aproximar a igual a cero de la asíndota oblicua. 00:06:16
Entonces, esto no podría ser una función. 00:06:22
Por lo tanto, no tiene asíndotas oblicuas. 00:06:25
Si tiene horizontales, no puede tener asíndotas oblicuas. 00:06:29
Bien, vamos a ver ahora las asíndotas de una función logarítmica. 00:06:37
f de x igual a neperiano de x partido por x. 00:06:42
Bien, lo primero que tenemos que hacer es calcular el dominio. 00:06:47
Esto es un cociente, pues el dominio será el dominio del numerador, 00:06:51
intersección con el dominio del denominador, menos los valores para los que se anula el denominador. 00:06:55
La función neperiano de x está definida, pues, en el intervalo que va de cero a infinito, 00:07:00
porque los logaritmos solamente existen para números positivos. 00:07:06
x está definido, pues, para todos los números reales, menos infinito hasta infinito. 00:07:11
Por lo tanto, el dominio serán aquellos números reales que pertenecen al dominio de ambas funciones, 00:07:17
que será el intervalo que va desde cero hasta infinito, menos los valores para los que se anula el denominador. 00:07:23
¿Cuándo se anula el denominador? Pues para x igual a cero, ¿vale? 00:07:30
Pero el cero no está incluido, pues se quedaría así. 00:07:34
Bien, vamos a estudiar ahora las asíndotas verticales. ¿Dónde las vamos a estudiar? Pues aquí en los extremos, en el 0, pues vamos a ver si en el 0 tenemos una asíndota vertical. 00:07:37
Entonces hacemos el límite cuando x tiende a 0, pero claro, por la izquierda no existe, tenemos que hacer el límite cuando x tiende a 0 por la derecha del neperiano de x partido por x. 00:07:51
Bien, el neperiano de 0 es menos infinito, partido por 0, y además este 0 es un 0 más, porque si nos acercamos a 0 por la derecha, ese 0 va a ser un 0 más. 00:08:07
Menos infinito partido por 0 más, pues esto va a ser igual a menos infinito. 00:08:25
No sé si veis por qué el neperiano de 0 tiende a menos infinito. 00:08:32
Pues lo vemos aquí un momento gráficamente. 00:08:37
Vamos a reventar gráficamente la función neperiano de x. 00:08:41
La función neperiano de x es de esta forma. 00:08:44
A medida que nos vamos acercando a 0, la función tiende a menos infinito. 00:08:47
Por lo tanto, ¿tenemos una asíntota vertical en x igual a 0? 00:08:52
Sí, tenemos una asíntota vertical en x igual a 0, 00:08:55
porque el límite cuando x tiende a cero por la derecha es menos infinito. 00:08:59
Basta con que uno de los límites, o bien por la izquierda o por la derecha, 00:09:04
o en el punto, sean infinito o menos infinito para tener una asíndota vertical. 00:09:08
Por la izquierda no tiene sentido y el límite en el punto tampoco tiene sentido 00:09:15
porque a la izquierda no está definida. 00:09:18
Asíndotas horizontales. 00:09:22
Pues hacemos el límite cuando x tiende a infinito de la función. 00:09:23
Cuando x tiende a menos infinito, nuevamente no tiene sentido porque no está definida para los números negativos. 00:09:33
Si este límite existe, es un número real, tendremos asíndota horizontal. 00:09:41
Bien, pues este límite es infinito partido por infinito, indeterminación. 00:09:46
Y aplicamos pues la regla de L'Hôpital. 00:09:52
Bien, el límite cuando x tiende a infinito de esa función, pues es igual al límite cuando x tiende a infinito de la derivada del neperiano de x, 1 partido por x, derivada de x, 1. 00:09:55
Nos queda el límite cuando x tiende a infinito de 1 dividido entre x, y este límite pues va a ser igual a 1 dividido entre infinito. 00:10:13
Uno partido entre infinito, pues esto es igual a cero. 00:10:34
Por tanto, tenemos una asíndota horizontal en y igual a cero, cuando x tiende a infinito. 00:10:41
Y cuando x tiende a menos infinito, pues no tiene sentido. 00:10:53
¿Y asíndotas oblicuas? No tiene. No tiene. Porque tiene asíndotas horizontales. No podemos tener una asíndota horizontal y oblicua a la vez. ¿Vale? Bueno, pues esto es todo. 00:10:59
Idioma/s:
es
Autor/es:
Julio Molero
Subido por:
Julio M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
100
Fecha:
25 de enero de 2021 - 0:15
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
11′ 23″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
217.68 MBytes

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