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Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones en función de un parámetro - Contenido educativo - Contenido educativo

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Subido el 6 de octubre de 2025 por Roberto A.

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Hola, buenas. Voy a continuar con la segunda parte del tema 1, que es la discusión de un sistema de ecuaciones dependiendo de un parámetro. En este caso es el parámetro A. 00:00:00
Hay tres ejercicios, este que hemos puesto en clase, este lo resuelvo y este lo dejo para casa por si queréis practicar. 00:00:11
El caso es que cuando empezamos con el ejercicio, nosotros lo convertimos a notación matricial. 00:00:18
Esta parte de aquí de la izquierda es lo que se llama la matriz A y todo en su conjunto, una matriz 3x4, es lo que vamos a llamar luego matriz ampliada, donde estudiaremos los rangos y en el tema 4 veremos lo que es el teorema de Roche-Froguényo. 00:00:25
El objetivo aquí es escalonar, queremos hacer un sistema escalonado, por lo tanto lo que hacemos es que a la segunda fila le restamos la primera fila por A y a la tercera fila le restamos dos veces la fila 1, con lo cual obtenemos este sistema de aquí. 00:00:38
Si os fijáis, ya hemos hecho un 0 en la columna 1 y para ello hemos tenido que coger como referencia la fila 1. 00:00:54
Vemos aquí que la fila 2 es la combinación lineal entre ella misma y la fila 1 multiplicada por menos A 00:01:04
y la fila 3 es ella misma con la combinación lineal de la fila 2 multiplicada por menos 1. 00:01:11
Es decir, cuando queremos hacer un 0 en la primera columna, cogemos la primera fila como referencia. 00:01:18
Una vez que ya tenemos estos ceros, el objetivo es conseguir un cero aquí a la hora de escalonar. 00:01:24
Y para ello, como queremos hacer un cero en la segunda columna, tomamos como referencia la segunda fila. 00:01:29
Entonces, aquí vemos que 2 menos a es lo mismo que a menos 2, pero cambiado de signo. 00:01:37
Por lo tanto, si sumamos f2 más f3 y lo guardamos en f3, obtenemos ya este sistema de aquí, que como veis está escalonado. 00:01:41
Por lo tanto, mi última ecuación es az igual a 6 más a menos a al cuadrado. 00:01:51
Es decir, que si yo despejo z, pues resulta que sería a más a menos a al cuadrado partido de a. 00:01:59
Pero yo no puedo hacer la división por cero, no puede ser cero. 00:02:06
Por lo tanto, yo tengo ya aquí mi primer caso, y es que a sea cero. 00:02:09
Si yo sustituyo en esta matriz de aquí, la que ya está exclonada, sustituyo la A por 0, mi sistema se convierte en esto de aquí. 00:02:13
Y vemos una incongruencia, vemos que 0 no es lo mismo que 6, mientras que nuestro sistema nos fuerza a que 0 es igual a 6. 00:02:22
Pero como 0 es distinto de 6, no tiene solución y estamos ante un sistema incompatible. 00:02:31
¿Cuál es el rango de esta matriz, de esta matriz A? 00:02:37
Pues si nos vemos, ¿cuántas filas son distintas de cero? Pues son esa primera y esta segunda. Por lo tanto, el rango de la matriz A es 2. 00:02:39
Veremos cuando estudiemos el teorema de Roche-Frobenius que nosotros lo que vamos a comparar es el rango de esta matriz A, esa de aquí a la izquierda de los puntos, con el rango de toda la matriz, incluidos los términos independientes. 00:02:49
Si os fijáis, si yo tengo la matriz toda en su conjunto, es de rango 3, porque no tengo ninguna línea de ceros. 00:03:07
Veis que aquí en la tercera fila hay tres ceros, eso sí, pero la última es un 6. 00:03:15
Por lo tanto, el rango de la matriz A es 2, el rango de la matriz ampliada es 3, 00:03:20
y en el momento que el rango de la matriz A es distinto del rango de la matriz ampliada, ya es un sistema incompatible. 00:03:25
Pero esto, como os digo, lo veremos en el tema 4. 00:03:32
Pasamos al caso de que A es distinto de 0 00:03:34
Entonces yo ahora aquí empiezo desde la última a despejar 00:03:42
Veo que aquí sí puedo dividir por 0 porque estoy en el caso de que A es distinto de 0 00:03:46
Y continúo con mi segunda ecuación 00:03:52
Cuando yo estoy despejando mi segunda ecuación, la Z lo sustituyo por todo esto de aquí 00:03:54
Que lo veis aquí abajo, ¿de acuerdo? 00:04:01
observo que tengo aquí que obtengo aquí observo que tengo un 2 menos a y 2 menos a nunca puede ser 00:04:03
nunca puede ser cero por lo tanto tenemos un nuevo caso que hasta que yo no llegue aquí yo no puedo 00:04:14
decir que hay otro nuevo caso de que hace a distinto de 2 aquí observo en mi caso a distinto 00:04:22
de 0 cuando yo llego a que tengo en el denominador a la hora de despejar el y tengo este factor que 00:04:28
es 2 menos a lo igual a 0 y veo que ese es 2 entonces yo ya mi segundo caso se convierte por 00:04:36
eso está aquí en colorado se convierte en a distinto de 0 ya también distinto de 2 para que 00:04:43
para que yo pueda hacer esta división como indicamos aquí tenemos un nuevo caso que es a 00:04:49
Y lo incluimos en el caso 2. Por lo tanto, el caso 2 es A distinto de 0 y A distinto de 2. 00:04:55
Si continuamos con este caso, vemos que la matriz que nos queda es la matriz esta de aquí y el rango de esta matriz es 3. 00:05:06
¿Por qué? Porque tengo aquí una matriz escalonada y el A estamos en un caso de que no puede ser 0. 00:05:16
Por lo tanto, tenemos tres filas distintas de 0 y el rango es A. 00:05:23
El rango de la matriz ampliada, que todo esto de aquí, la matriz ampliada, si os fijáis, esto no puede ser 0 y esto tampoco es 0. 00:05:29
Cuando A es 0 esto vale 6 y cuando A vale 2 esto vale 4. Por lo tanto, el rango también es 3. 00:05:38
Cuando el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz ampliada y además es igual al número de incógnitas, que tenemos 3 incógnitas, 00:05:48
el teorema de Rochefrobenio que ya digo que veremos en el tema 4 00:05:55
me dice que es un sistema compatible determinado y que la solución es única 00:05:59
que precisamente es lo que tenemos aquí 00:06:02
recordamos que z vale todo esto, lo he despejado 00:06:06
luego he operado y que y es igual a todo esto de aquí 00:06:09
y como a cuadrado menos 5 a más 6 00:06:13
si yo lo factorizo es igual a la multiplicación de a menos 2 por a menos 3 00:06:18
Pues yo puedo tachar el 2 menos a con el 2 menos a de abajo 00:06:22
Recuerda que a menos 2 es lo mismo que 2 menos a pero he cambiado el signo 00:06:28
De ahí viene este signo menos 00:06:33
Por lo tanto mi i me queda como 3 menos a partido de a 00:06:35
¿Vale? 00:06:41
Aquí lo explico que nunca puede ser 0 00:06:43
Por lo tanto puedo tacharlo 00:06:46
¿De acuerdo? 00:06:48
Entonces, de la primera ecuación, que tengo que x más y menos z es igual a a, pues voy sustituyendo el valor de a, lo dejo igual, el y por todo esto, 3 menos a partido de a, y la z es 6 más a menos a al cuadrado partido de a. 00:06:49
Por lo tanto, operando, obtengo que la solución es 2A más 3 partido por A. Por lo tanto, es un sistema compatible y determinado, una solución única. 00:07:07
Ya adelantando temario del tema 4, el problema de Roche-Fervenio, ya lo hemos visto, que salía así, y aquí corroboramos que efectivamente cuando la A es distinta de 0, 00:07:16
Pero además la A es distinta de 2, mi sistema es compatible determinado, la solución es única y esta es la solución para cualquier A que sea distinto de 0, pero que además sea distinto de 2. 00:07:30
En el tercer caso estamos en que A vale 2, entonces si te fijas yo sustituyo aquí mi sistema original donde haya una A pongo un 2, obtengo esto de aquí, pero ya yéndome al escalonado lo que hago es donde haya una A pues pongo un 2. 00:07:42
Y si nos fijamos, pues obtenemos este sistema de aquí. Pero ¿qué ocurre con este sistema de aquí? Que precisamente la tercera fila es dos veces la primera. Si yo sigo operando, resulta que obtengo esta matriz de aquí, donde el rango de mi matriz A es 2, ¿de acuerdo? 00:08:05
El rango de mi matriz A es 2. ¿Por qué? Porque tengo dos filas que son distintas de 0. Sin embargo, en la ampliada, que es todo esto, que es una matriz 3x4, vemos que igual que tengo dos filas que son distintas de 0 y una es 0. 00:08:31
Por lo tanto, el rango de A y el rango de la matriz ampliada en los dos casos es 2, pero como es distinto de 3, que es el número de incógnita, estamos ante un sistema compatible indeterminado donde hay infinitas soluciones. 00:08:52
¿De acuerdo? Infinitas soluciones. Entonces, recopilando el caso 3 donde a es igual a 2, lo que obtengo es que esta fila tercera es 0. 00:09:07
Veo que aquí despejo que la z vale siempre 2. Tengo 3 incógnitas, tengo 2 ecuaciones, con lo cual tengo un grado de libertad. 00:09:21
elijo que por ejemplo la y valga lambda y de aquí arriba despejo que esto es x más lambda menos 2 00:09:33
porque z vale 2 igual a 2 por lo tanto x es 4 menos lambda 00:09:41
entonces si el valor de a es un 2 tengo un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones 00:09:46
que dependen todas del parámetro lambda y este sería el juego de infinitas soluciones 00:09:53
A modo rápido, si tenemos este sistema de aquí, que es otro, lo operamos igual, buscamos el escalonamiento y detectamos que este último valor de aquí es z-9 partido de 4a-5, pero sabemos que no podemos dividir por 0. 00:10:01
Por lo tanto, si yo lo igualo a 0, obtengo que a vale 5 cuartos, con lo cual tengo dos casos. El caso en el que a valga 5 cuartos, que si yo aquí sustituyo, me encuentro en la tercera fila que 0 es igual a menos 9 y eso es imposible porque 0 es distinto de menos 9, por lo tanto no tiene solución, es un sistema incompatible. 00:10:20
Si yo aquí escribiese la matriz, veréis que tengo aquí un número, un número que es distinto de cero. 00:10:48
Esto es un cero y esto es un cero, pero aquí tengo el menos nueve. 00:10:55
En los sistemas incompatibles, el rango de A y el rango de la matriz ampliada es diferente. 00:10:58
En el momento que el rango de la matriz sea distinto de la ampliada, ya es un sistema incompatible, no tiene solución. 00:11:03
Pero eso ya os adelanto que lo veremos con tranquilidad en el tema 4. 00:11:11
aquí el caso donde a es distinto de 5 cuartos 00:11:15
pues si a es distinto de 5 cuartos 00:11:18
sí que puedo poner que la z vale menos 9 partido de 4 a menos 5 00:11:20
porque nunca se me va a anular el denominador 00:11:25
despejo de aquí la y de la segunda ecuación 00:11:29
y obtengo que y vale todo esto de aquí 00:11:33
hago lo mismo con la primera ecuación 00:11:37
donde x es igual a 1 más 2 y menos z 00:11:39
sustituyo la Y, sustituyo la Z 00:11:42
y obtengo esto de aquí, ¿de acuerdo? 00:11:45
entonces aquí tenéis un resumen 00:11:48
de la segunda parte del tema 1 00:11:51
que es una discusión de un sistema 00:11:54
de un sistema dependiendo de un parámetro 00:11:56
entonces recordad siempre la máxima 00:12:01
que hemos dicho siempre, si yo tengo que AX 00:12:04
es que con esto aquí, perdonad pero escribo fatal 00:12:07
con esto, como lo tengo configurado ahora mismo. 00:12:10
Si esta A es igual a cero, yo tengo que ver cuánto vale B, 00:12:14
porque si tengo cero igual a un número B que es distinto de cero, 00:12:22
esto es un sistema incompatible y no tiene solución. 00:12:29
Pero si yo tengo que cero es igual a B y la B vale cero, 00:12:32
tengo un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones. 00:12:35
Y si al final tengo una cosa que es ax igual a b, donde tanto y la a es distinto de 0, ¿vale? 00:12:40
La a es distinta de 0, pues entonces tengo un sistema compatible determinado con una única solución. 00:12:50
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
15
Fecha:
6 de octubre de 2025 - 17:34
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
13′ 04″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
33.86 MBytes

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