2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES - Contenido educativo
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Bueno, vamos a ver ahora la independencia e independencia lineal de vectores.
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Cuando un conjunto de vectores se dice que son linealmente independientes,
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pues cuando al formar una combinación lineal de ellos e igualarlo al vector nulo,
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necesariamente todos los lambda swing, todos los escalares por los cuales multiplicamos a estos vectores,
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deben ser nulos también.
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es decir, esto solamente es cierto si lambda 1, lambda 2, así hasta lambda n son 0
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al contrario, si no necesariamente todos los lambda sui tienen que ser nulos
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para que se verifique esta igualdad, para que esta combinación lineal igualada al vector nulo se cumpla
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si eso no tiene por qué ser así, efectivamente, claro, si lambda sui, lambda 1
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o lambda 2, todos estos son nulos, esto se hace cero aunque sean los vectores linealmente
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dependientes. Pero no solamente hay esa combinación de lambda sui, es decir, puede haber una concreta
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en la cual no todos los lambda sui sean nulos. Entonces, en ese caso se dice que los vectores
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son linealmente dependientes. Bueno, vamos a ilustrar esto con un ejemplo. Vamos a considerar
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Estos dos vectores, por ejemplo, 0, menos 3, y el vector v, pues 1, 4, por ejemplo.
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Y queremos determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes.
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Según la definición que hemos visto, nosotros tenemos que formar una combinación lineal de u y de v,
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por ejemplo, vamos a llamar a los escalares a y b, igual a 0.
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al vector nulo. Haciendo las operaciones, en este caso, el vector nulo es el que tiene
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componentes 0, 0, pues resulta el siguiente sistema. Vamos a multiplicar a por 0 más
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b por 1. La primera ecuación sería que b tiene que ser igual a 0. Y la segunda ecuación
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sería menos 3a más 4b igual a cero.
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Bueno, en este caso nos queda un sistema en el cual la primera ecuación ya nos da el valor de b.
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b vale cero. Al sustituir ese resultado aquí, pues obtendríamos que a también tiene que ser cero.
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Fijaros que en este caso necesariamente a y b, que son los escalares por los cuales multiplicamos u y v
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Tienen que ser nulos para que se verifique esta condición
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Por lo tanto los vectores u y v son linealmente independientes
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Vamos a ver ahora otro ejemplo
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Imaginad que ahora los vectores u y v son estos
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Vamos a formar una combinación lineal de ellos, igualamos al vector 0, el vector nulo de componentes 0, 0 y veamos qué sistema nos queda.
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En este caso la primera ecuación sería 3a menos 6b igual a 0 y la segunda ecuación sería menos a más 2b igual a 0.
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Podemos hacerlo por sustitución, por ejemplo, aquí tendríamos que a es igual a 2b
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y al sustituir en la primera ecuación, 3a, o sea, 3 por 2b menos 6b igual a 0.
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Veis que nos queda 6b menos 6b igual a 0, es decir, 0 por b igual a 0.
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veis que en este caso los valores de b son infinitos
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porque esto se cumple para todo b que sea un número real
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para cualquier valor que tome b esto se va a cumplir
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la única condición es que a tiene que ser igual al doble de b
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es decir, esto se cumple efectivamente cuando b vale 0
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y si b vale 0 la a valdría 0
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pero es el único valor para el cual esto se hace 0
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Pues no, por ejemplo, si b vale 1, esto se cumple y a sería 2 por 1, 2.
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Así que hay infinitos pares de valores, hay infinitas soluciones para este sistema,
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no solamente la solución a igual a 0, b igual a 0.
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Por lo tanto, en este caso, u y v son linealmente dependientes.
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Bueno, vamos a ver ahora que para determinar si dos vectores u y v pertenecientes a v2 son linealmente dependientes o independientes
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no hace falta formar la combinación lineal, igualarlo a cero y resolver el sistema
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Va a ser mucho más sencillo
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Fijaros, imaginaos que tenemos dos vectores u y v y vamos a suponer que son linealmente dependientes.
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¿Eso qué significa? Que si nosotros formamos una combinación lineal de ellos, vamos a llamar a y b los escalares con los cuales multiplicamos e igualamos a cero,
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No necesariamente A y B tienen que ser nulos
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Eso significaba que eran linealmente dependientes
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No necesariamente tienen que ser A y B nulos
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Supongamos que A es distinto de 0
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Por ejemplo, vamos a suponer que A no es 0
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De esta manera, si A es distinto de 0
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Puedo dividir toda esta ecuación por A
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Dividiendo todo por a tendríamos u más b partido de a por v igual a el vector nulo
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Porque al multiplicar el vector nulo por el inverso de a me va a quedar el vector nulo
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Y de aquí despejando u, u sería igual a menos b partido de a por v más 0 que me vuelve a dar esto
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Fijaros el resultado tan importante que tenemos aquí
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Al final lo que nos resulta es que u se puede expresar como un escalar
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Que va a ser este, vamos a llamarle lambda
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Por el vector u, es decir, u es lambda veces v
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Esto es importante porque recordad que cuando veíamos producto de un escalar por un vector
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Decíamos, lo que obtenemos es un nuevo vector que tiene la misma dirección que el de partida
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Si yo multiplico lambda por v, u tiene la misma dirección que v
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Luego el sentido dependía de si lambda era positivo o negativo, pero la dirección es la misma
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Entonces una primera conclusión que tenemos es que si nosotros representamos los vectores u y v
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Vamos a ver que tienen la misma dirección
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Y analíticamente veremos que los vectores u y v son linealmente dependientes cuando exista proporcionalidad entre sus componentes.
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Fijaros, si u tiene componentes u1 y u2 y v tiene componentes v1 y v2,
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y aquí resulta que U1 tiene que ser igual a lambda veces V1
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y U2 tiene que ser igual a lambda veces V2
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De la primera ecuación sacamos lambda y obtenemos que esto es U1 por V1
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De la segunda ecuación, lambda tiene que ser igual a U2 partido de V2
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Igualando ambas, puesto que este lambda tiene que ser el mismo
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Resulta que U1 partido de V1 tiene que ser igual a U2 partido de V2
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Es decir, existe proporcionalidad entre las componentes de U y de V
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Así que gráficamente vamos a ver que tienen la misma dirección
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y analíticamente lo veremos con sus componentes, viendo que hay proporcionalidad entre ellas.
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Volvamos a los dos ejemplos que vimos antes.
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Los vectores u y v que tenemos en el ejemplo número 1,
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fijaros que si nosotros los representamos gráficamente, están aquí representados en color rojo estos dos vectores,
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no tienen la misma dirección y también podemos observar que si vemos si hay proporcionalidad o no
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entre sus componentes, fijaros que 0 es a 1 como menos 3 es a 4, vamos a ver si esta proporcionalidad
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se cumple o no, 0 es a 1 como menos 3 es a 4, pues vemos que no, 0 por 4, 0, menos 3 por 1, menos 3
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Esto no se cumple, no hay proporcionalidad entre las componentes, por eso estos vectores son linealmente independientes.
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Gráficamente vemos que no tienen la misma dirección, analíticamente vemos que no hay proporcionalidad entre sus componentes.
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En el ejemplo número 2 que vimos después, en el cual los vectores eran linealmente dependientes,
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pues observamos que gráficamente, si lo representamos, u y v pertenecen a la misma recta, es decir, tienen la misma dirección
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y si formamos la proporción entre las componentes, 3 es a menos 6, 3 es a menos 6, como menos 1 es a 2,
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Pues en este caso la proporcionalidad sí se cumple
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Multiplicando en cruz, 3 por 2 es 6, menos 1 por menos 6 es 6
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Al multiplicar en cruz da lo mismo
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Es decir, gráficamente, misma dirección, vectores que sean linealmente dependientes
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Proporcionalidad entre las componentes
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Francisca Florido Fernández
- Subido por:
- Francisca F.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- 1
- Fecha:
- 29 de julio de 2024 - 16:01
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
- Duración:
- 12′ 51″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
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