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2020_2021_MatemáticasII_1Ordinaria_B2 - Contenido educativo

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Subido el 24 de agosto de 2021 por Pablo Jesus T.

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Bueno, vamos a corregir el junio de 2021 de Madrid, la opción B, el ejercicio 2. 00:00:14
Este ejercicio sí que era más complicado que el de la opción A, muchísimo más, 00:00:23
y dado que se podían elegir 4 de 8, me gustaría saber qué porcentaje de alumnos ha elegido este ejercicio, 00:00:30
aunque tampoco es tan difícil. Se trata de una función a trozos, 00:00:35
una rama a la izquierda de 0 es el seno, a la derecha de 0 es x por y a la x, 00:00:39
y bueno, pues hay que estudiar la continuidad y la derivabilidad 00:00:43
intervalos de crecimiento y decrecimiento 00:00:49
un teorema, en este caso de los valores intermedios 00:00:51
o también en algunos libros le llaman de Darboux 00:00:55
y una integral definida 00:00:58
entonces vamos a empezar viendo en GeoGebra 00:01:02
la función, como podéis ver aquí 00:01:05
a la izquierda de 0 tengo el seno 00:01:08
a la derecha del 0, x por y a la x 00:01:10
y no cuesta nada ver que efectivamente es continua. 00:01:12
Si yo hago el límite por la izquierda y el límite por la derecha 00:01:19
y el valor de la función, pues da cero. 00:01:24
Así que es continua. 00:01:27
También podemos ver que es derivable. 00:01:29
¿Por qué? 00:01:32
Porque la función roja es la derivada y como vemos es continua. 00:01:32
Entonces, si la derivada es continua, es que la función es derivable. También lo podemos ver aquí en el punto A. Si nosotros vemos cómo se va acercando la derivada a 1, cuando nosotros pasamos al positivo sigue siendo 1, o sea que es continua y derivable. 00:01:38
también lo podemos ver en las cuentas, si hacemos el límite por la izquierda y por la derecha, pues da 1, ¿de acuerdo? 00:02:06
Ahí lo tenemos, así que la función es continua y derivable. 00:02:12
Vamos a verlo, a hacerlo con las cuentas, ya que GeoGebra no nos van a dejar usarlo en la EBAO. 00:02:17
Bien, lo primero, dado que lo repito una vez más, que nos piden es el apartado A, continuidad en x igual a 0, 00:02:25
Pues lo que hay que hacer es, primero, ¿existe el límite cuando x tiende a 0 de f de x? 00:02:36
Para eso, dado que es una función a trozos, necesitamos hacer el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda del seno de x, como todos sabemos, pues es 0. 00:02:48
el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x por e a la x 00:02:59
pues es 0 por 1, se acercaría a 0 por 1, 0 00:03:04
así que existe el límite y es 0 00:03:08
además tenemos que ver si existe f de 0 00:03:12
que claro que existe porque el igual está en la rama de abajo 00:03:15
sustituyendo por 0 de 0 00:03:19
y la tercera condición que se debe cumplir 00:03:21
es que el límite cuando x tiende a 0 de f de x 00:03:24
tiene que valer lo mismo que f de 0 00:03:28
como 0 es igual a 0 pues se cumple 00:03:30
y ya tendríamos demostrada que es continua 00:03:33
en x igual a 0 00:03:36
para ver la derivabilidad 00:03:39
pues aquí vamos a hacerlo de dos maneras 00:03:43
una manera es decir 00:03:46
la función derivada de x es 00:03:48
por un lado el seno es el coseno 00:03:51
si x es menor que 0 00:03:54
Y por otro lado es la derivada de un producto, derivada del primero por el segundo sin derivar, más, lo voy a poner aquí abajo en moradito, la derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero por la derivada del segundo. 00:03:57
Si nosotros sacamos factor común, por ponerlo ya más limpio, pues tenemos x más 1 por elevado a x, si x es mayor que 0. 00:04:14
Recordaros que se pierde el igual cuando hacemos la derivada porque no sabemos si va a ser continua la derivada. 00:04:26
Entonces, ahí no podemos poner el igual. 00:04:36
Si hacemos el límite y se cumple, entonces podríamos añadirlo. 00:04:39
Es decir, si yo hiciera aquí el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda del coseno de x, pues esto es 1, 00:04:42
y el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x más 1 por e a la x, pues es 1 por 1, 1. 00:04:50
Entonces, como existe, sí que podríamos volver a poner, ¿dónde estaba el igual? 00:04:59
Arriba, abajo, abajo, pues podríamos volver a poner el igual. 00:05:05
Cuidado con esto. En la corrección de la universidad les gusta jugar con la definición de derivada correcta f de x sub 0 es el límite cuando x tiende a x sub 0 de f de x menos f de x sub 0 partido por x menos x sub 0. 00:05:09
Esa es la definición de derivada de una función en un punto. 00:05:37
Entonces nosotros podríamos hacer la derivada en 0 por la izquierda como el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda 00:05:40
de seno de x menos seno de 0, seno de 0 es 0, partido por x menos 0. 00:05:50
Entonces el límite de seno de x partido por x es 1. 00:05:59
Y si hacemos el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, pues sería el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x por e a la x menos, cuando yo sustituyo por 0, pues esto da 0, partido por x menos 0 otra vez. 00:06:02
Podríamos simplificar la x y en realidad esto queda así y vuelve a dar 1. 00:06:21
O sea que me da igual hacerlo con la definición de límite, aunque parece que esto les gusta más, que hacer la función derivada, que a fin de cuentas hemos hecho eso, y luego hacer el límite cuando tiende a cero, por la izquierda y por la derecha. 00:06:28
Podéis elegir hacerlo de una manera u otra. En cualquier caso, es derivable, vamos a ponerlo a la misma altura, es derivable en x igual a cero. 00:06:47
Y ya tenemos el apartado A. Vamos con el apartado B, ya lo habíamos visto en GeoGebra, el A, que estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringido a menos pi medios y demuestra que existe un punto x sub cero entre cero y uno, intervalo cerrado, de manera que f de x sub cero sea 2. 00:06:58
Primero vamos a hacer con la derivada porque el intervalo es menos pi, hemos dicho que era menos pi2. 00:07:19
En el intervalo menos pi2 pues tenemos que tener en cuenta las dos funciones. 00:07:34
Si nosotros para hallar crecimiento y decrecimiento igualamos la primera derivada a cero, pues coseno de x igual a cero, 00:07:44
entre menos pi medios 00:07:52
entre menos pi y 2 00:07:55
solo tiene una solución que sería 00:07:56
menos pi medios 00:07:58
¿de acuerdo? 00:08:01
el coseno de menos 90 00:08:02
pues es 0 00:08:03
y entre 0 y 2 00:08:06
tendríamos que igualar 00:08:11
la derivada 00:08:14
x más 1 por la x a 0 00:08:15
y esto, la única solución sería menos uno, que no vale, porque estaríamos entre cero y dos. 00:08:21
Arriba estaríamos entre menos pi cero y abajo entre cero y dos. 00:08:34
¿Qué quiere decir esto? Bueno, pues que cuando nosotros dividimos nuestro eje, 00:08:37
el único sitio que tenemos entre menos pi y dos, solo tenemos menos pi medios, 00:08:46
Y entonces, pues si nosotros cogiéramos uno de los valores, por ejemplo, menos 3 pi cuartos y sustituimos en la derivada el coseno, fijaros que estamos haciendo una circunferencia goniométrica, 00:08:52
nos estamos moviendo para acá 00:09:13
lógicamente el coseno 00:09:15
que en cero 00:09:18
vale uno 00:09:20
pues cuando nos vamos moviendo 00:09:21
hacia la izquierda menos pi medios vale cero 00:09:24
y aquí vale 00:09:26
negativo 00:09:29
y en todo el resto 00:09:30
podemos poner el cero 00:09:34
que es donde cambia también 00:09:35
pero es positivo 00:09:36
¿qué quiere decir todo esto? 00:09:39
que la función crece 00:09:41
cuando x pertenece de menos pi medios hasta 2 00:09:43
y decrece cuando x pertenece de menos pi hasta menos pi medios. 00:09:50
¿De acuerdo? 00:10:02
Si nosotros queremos verlo esto con GeoGebra, 00:10:02
segundito, pues aquí tenemos la función representada entre menos pi y 2. 00:10:08
se ve ahí entre menos pi y 2 00:10:14
si igualamos a 0 00:10:17
pues vemos este resultado 00:10:20
en este caso K1 00:10:22
lo haríamos que valiera menos 1 00:10:23
para que nos dé menos pi medios 00:10:25
y esta menos 1 00:10:26
que no tiene solución 00:10:30
así que tenemos que 00:10:32
entre menos pi y menos pi medios 00:10:34
decrece como se ve en la gráfica 00:10:37
y de pi medios hasta 2 crece 00:10:39
¿vale? 00:10:41
O sea, que lo tenemos bien. 00:10:42
Vamos a seguir, porque ahora viene el teorema de los valores intermedios. 00:10:48
Para eso os voy a enseñar el teorema de los valores intermedios aquí en la Wikipedia. 00:10:54
Y lo veis aquí, donde mejor se ve es aquí. 00:11:01
¿Qué quiere decir el teorema de los valores intermedios? 00:11:05
es que si yo cojo un intervalo a b 00:11:07
que a su imagen es f de a y b su imagen es f de b 00:11:09
podría ser al revés 00:11:15
pero bueno, eso es lo de menos 00:11:17
cualquier valor c 00:11:19
toma todos los valores 00:11:24
entre f de c 00:11:27
toma todos los valores obligatoriamente entre f de a y f de b 00:11:29
se puede salir por arriba, se puede salir por abajo 00:11:32
es decir, como esta, por ejemplo, toma este valor 00:11:34
que no está entre f de a y f de b 00:11:37
pero como veis toma todos los valores 00:11:39
si fuéramos haciendo líneas horizontales 00:11:41
una vez llegado aquí 00:11:44
todos los valores entre f de a y f de b 00:11:46
se toman en el intervalo entre a y b 00:11:49
sus imágenes 00:11:51
así que es así 00:11:52
es más, si queréis para entenderlo 00:11:56
antes de hacerlo 00:12:00
si nos vamos a GeoGebra 00:12:01
yo hago la recta igual a 2 00:12:03
y vemos que efectivamente la función tiene un valor en el que es 2. 00:12:07
Geogebra nos le halla, en este caso es 0.85, cosa que nosotros no podemos hallar algebraicamente. 00:12:12
No podemos hallar algebraicamente porque tendríamos que resolver la ecuación x por e a la x igual a 2 00:12:18
y esa ecuación no la sabemos resolver algebraicamente. 00:12:25
Podríamos hacerlo con métodos numéricos, pero no es el caso. 00:12:29
Porque no nos interesa el 0,85, solo nos interesa demostrar que existe un valor, ¿de acuerdo? Y aquí lo vemos claramente que lo que quiere decir el teorema de los valores intermedios es que cualquier valor entre 0 y 1 toma valores entre 0 y f de 1, que es e. 00:12:32
Eso lo tenemos aquí, entre 0 y e. Como 2 está entre 0 y e, existe un número que está entre 0 y 1 cuya imagen es 2. 00:12:54
¿Entendido? Si me dijeran 3, ya no podría afirmarlo. A lo mejor porque hiciera la función así, tocara el 3 y luego volviera para abajo. 00:13:07
Pero todos los números entre 0 y e son imagen de un determinado valor entre 0 y 1. 00:13:16
Y ese es el teorema de los valores intermedios. Si nosotros volvemos a nuestra surface, pues eso tendríamos que decir, enumerar el teorema de los valores intermedios, se me ha olvidado decir una cosa importantísima, que ahora la voy a decir, claro, al enumerarlo. 00:13:22
la función f de x tiene que ser 00:13:44
continua en el intervalo 00:13:52
a, b, entonces si la función es continua en el intervalo a, b, en nuestro caso 00:14:03
el intervalo es 0, 1 00:14:07
¿la función es continua en el intervalo 0, 1? Sí, lo hemos demostrado en la otra parte 00:14:10
entonces, si f de 0 00:14:15
menor que 2, menor que 00:14:19
f de 1, cosa que es verdad, porque f de 0 es 0 y f de 1 es el número e, que es 2,7182, entonces existe un c perteneciente al intervalo 0,1 tal que f de c es igual, ¿vale? 00:14:23
teorema de los valores intermedios 00:14:51
o de Darbu 00:14:53
y este es el apartado B 00:14:53
ya lo tendríamos terminado 00:14:55
y ahora viene el apartado C 00:14:57
que dice calcula la integral 00:15:01
entre menos pi medios y 1 de f de x 00:15:02
bueno 00:15:05
pues el apartado C 00:15:06
lo que haríamos 00:15:09
sería lo que nos pide 00:15:11
una integral definida entre menos pi medios y 1 00:15:13
de f de x 00:15:16
diferencial de x 00:15:18
Esta integral no la podemos hacer directamente porque tiene dos ramas y con cero en medio. 00:15:19
Entonces hay que hacer la integral de menos pi medios hasta cero de la rama de la izquierda, que era seno de x, ¿verdad? 00:15:26
Más la integral entre cero y uno de x por e a la x diferencial de x. 00:15:36
Bueno, nosotros esto lo hacemos, la primera integral es inmediata. 00:15:45
Primero es menos coseno de x, ¿verdad? Y la segunda integral pues hay que hacerla por partes. 00:15:49
Si nosotros hacemos, voy a hacer aquí, la integral de x por e a la x diferencial de x, pues llamamos u a x diferencial de v a e a la x diferencial de x, 00:15:57
u diferencial de u 00:16:15
1 o diferencial de x 00:16:17
y v 00:16:20
pues sea la x diferencial de x 00:16:21
no vamos a contar ahora el chiste 00:16:24
de la exponencial 00:16:25
entonces como yo tengo la integral 00:16:27
de u diferencial de v 00:16:30
eso es u por v 00:16:31
menos la integral 00:16:32
de v diferencial de u 00:16:37
es decir 00:16:40
e a la x 00:16:41
aquí hay un pequeño error 00:16:45
porque esto no es 00:16:47
ahí ya no se pone, es v 00:16:50
e a la x diferencial de x 00:16:52
en otras palabras, la integral de esta es 00:16:55
e a la x 00:16:58
y si sacamos factor común 00:16:59
más c 00:17:02
tendríamos x menos 1 00:17:02
por e a la x más c 00:17:06
¿vale? esa es la integral 00:17:07
entonces una vez que la he hecho por partes 00:17:10
y para aprovechar que ya lo tenía aquí 00:17:12
sería x menos 1 00:17:14
por e a la x, y todo esto hay que evaluarlo, esta entre menos pi medios y 0, y esta entre 0 y 1. 00:17:16
Vamos a evaluarlas, menos coseno de 0, bueno, el coseno de 0 es 1, así que tenemos menos 1 menos el coseno de menos pi medios, que es 0, 00:17:26
más, primero con 1, 1 menos 1, 0, así que tenemos 0, menos, y ahora sustituimos por 0, y queda menos 1 por 1, menos 1. 00:17:39
Esta es la regla de Barrow, y tenemos menos 1 más 1 igual 0. 00:17:56
La integral definida da 0, ¿puede dar 0? Sí, porque no nos están pidiendo el área. 00:18:03
si nos pidieran el área es cuando no podría dar 0 00:18:08
si lo queremos ver en GeoGebra 00:18:11
pues ahí lo tenemos 00:18:13
el área sería lo morado 00:18:17
pero es que como vale lo mismo el área que está por debajo del eje x 00:18:19
que el área que está por encima del eje x 00:18:23
como vamos a ver aquí 00:18:25
pues da 0 00:18:27
esta es la integral menos coseno por un lado 00:18:29
y x menos 1 por e a la x por otro 00:18:31
valoramos 1, 0 y menos 1 00:18:33
y como veis pues 00:18:38
da cero 00:18:41
así que el resultado 00:18:42
es cero 00:18:44
mucho cuidado con esto 00:18:47
no confundamos integral definida con área 00:18:48
son conceptos 00:18:51
diferentes 00:18:53
y hemos terminado 00:18:54
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
49
Fecha:
24 de agosto de 2021 - 20:01
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
18′ 58″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
361.91 MBytes

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