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Ejercicio 3-25-9 - Contenido educativo

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Subido el 13 de noviembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver este ejercicio en el que me da una función definida a trozos. 00:00:00
Tenemos una parte x con exponenciales, la otra con logaritmos, con una función racional. 00:00:04
No asustarse, porque da lo mismo, son funciones igual de sencillas. 00:00:08
Y lo que nos están pidiendo es que estudiemos la continuidad y derivabilidad de f en el punto x igual a 1. 00:00:13
Y luego me piden calcular el límite. 00:00:19
Pues ya está. 00:00:22
Si me pidieran calcular la continuidad y derivabilidad en toda la función, 00:00:23
tendríamos que empezar diciendo la parte de arriba, esta función es una función continua, etc., etc., 00:00:26
tendríamos que ir hablando de cada una de ellas, pero en este caso me están hablando solamente 00:00:34
de que estudie la continuidad y derivabilidad en x igual a 1. 00:00:38
Por lo tanto me tengo que centrar solamente en este valor, que obviamente es el punto donde, 00:00:43
bueno, se ve un poquito mal, pero lo que quiero decir es que es justamente el punto donde se diferencia, 00:00:49
donde salta la función, donde cambia de un trozo a otro. 00:00:54
Entonces, ¿qué quiere? Lo primero, ¿qué significa que sea continua en x igual a 1? 00:00:56
Bueno, pues esto lo que quiere decir es que el valor de la función f de 1 es igual al límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x 00:01:04
y que tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x. 00:01:14
Vale, pues vamos a comprobar si esto se cumple o no. 00:01:22
Vamos a comprobarlo aquí a la derecha. 00:01:26
El valor f de 1 coincide con el límite por la derecha, porque lo tenemos aquí abajo al igual. 00:01:30
Por lo tanto, esto es igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de e más x logaritmo neperiano de x partido por x cuadrado más 1. 00:01:36
Y esto es igual a e más logaritmo neperiano de 1 es 0, 0 por 1 es 0 00:01:51
Y abajo me queda 1 más 1 es 2, es decir 0 partido por 2 es 0 00:01:59
Luego todo esto vale e 00:02:03
Ya os he dicho que no nos tenemos que asustar porque veamos exponenciales, logaritmos o demás 00:02:05
Y tenemos que comprobar el valor del límite cuando x tiende a 1 por la izquierda 00:02:10
Que es x por e elevado a x 00:02:16
Sustituyo la x por 1 que obtengo 1 por e elevado a 1, es decir, ¿qué ocurre? 00:02:19
Que obtenemos el mismo valor. 00:02:24
Luego esto significa que sí es continua en x igual 1. 00:02:26
Fijaos, si me hubiera salido que no es continua, lo tendría mucho más fácil 00:02:34
porque si la función no es continua no puede ser derivable. 00:02:38
Pero como ha salido que es continua tenemos que comprobar la derivabilidad. 00:02:42
Para calcular la derivabilidad, pues necesito calcular la función derivada. 00:02:45
Como es una función definida a trozos, voy a calcular la derivada de cada uno de los trozos. 00:02:49
La derivada del numerador es un producto, por lo tanto, derivada de x, que es 1, 00:02:55
por la segunda sin derivar, por elevado a x, más x por la derivada de elevado a x, que es ella misma. 00:02:59
Y esto sería cuando la x sea estrictamente menor que 1. 00:03:06
Para el segundo trozo, la segunda función, la derivada de una constante como ese es 0, 00:03:09
Daros cuenta que es el número e, no es elevado a algo, ¿vale? 00:03:15
Por tanto, ese sería 0 y el otro trocito de función es un cociente. 00:03:19
Luego tenemos que hacer la derivada del cociente, que sería la derivada del numerador, que es un producto, ¿vale? 00:03:25
Luego primero tenemos aquí la derivada del numerador que es derivada de x que es 1 por el logaritmo sin derivar más x por la derivada del logaritmo neperiano que es 1 partido por x. 00:03:32
Esto es la derivada del numerador, luego esto hay que multiplicarlo por el denominador. 00:03:45
Menos el numerador sin derivar, x logaritmo neperiano de x, por la derivada del denominador que es 2x. 00:03:51
y todo ello dividido por el denominador al cuadrado, por x al cuadrado más 1. 00:03:59
Vamos a intentar ponerlo un poquito mejor. 00:04:08
Esto sería logaritmo, voy a multiplicar por el x al cuadrado, 00:04:13
sí, lo voy a multiplicar para que nos quede, la verdad es que no haría falta en un principio, 00:04:18
porque lo que yo quiero estudiar son los límites, 00:04:23
entonces simplemente lo podríamos ir sustituyendo, 00:04:26
Pero bueno, para que nos quede mejor, lo opero y me quedaría logaritmo neperiano de x más 1, o 1 más logaritmo neperiano de x, este más 1 no está dentro del logaritmo, ¿vale? Esto multiplicado por x cuadrado más 1 menos 2x cuadrado logaritmo neperiano de x. 00:04:28
se me ha ido arriba 00:04:48
logaritmo neperiano de x 00:04:50
lo siento pero me resulta un poco complicado 00:04:54
y se me va todo hacia arriba, vale 00:04:59
no lo consigo hacer recto, aquí se me ha olvidado 00:05:00
hemos dicho por esto al cuadrado 00:05:02
y no sé cuándo se me ha borrado 00:05:04
o a lo mejor es que no lo he terminado de poner 00:05:05
partido por x cuadrado más 1 00:05:08
al cuadrado 00:05:10
ojo, no puedo eliminar 00:05:12
uno del denominador con el de arriba 00:05:14
porque no está en el segundo sumando 00:05:16
lo que sí que puedo hacer es multiplicar 00:05:18
el logaritmo de x más 1 por el x cuadrado más 1 porque lo podría simplificar con el otro valor, ¿vale? 00:05:20
Pero también lo puedo dejar así, sin operar, y así esto sería cuando la x es mayor que 1. 00:05:29
Y ahora, ¿qué significa? Porque si no vamos a hacer mucho cálculo. 00:05:36
¿Qué significa que la función sea derivable en x igual a 1? 00:05:41
Pues esto lo que quiere decir es que la derivada en 1 por la izquierda tiene que ser igual a la derivada en 1 por la derecha. 00:05:48
Voy a subir un poquito. 00:05:57
Vamos a ir calculando estos valores. 00:06:01
F' de 1 por la izquierda es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la derivada por la izquierda, 00:06:06
es decir, de elevado a x más x por elevado a x. 00:06:16
Y esto sería e más e, es decir, 2e. 00:06:21
Y ahora calculamos la derivada de 1 por la derecha, 00:06:27
que es el límite cuando x tiende a 1 por la derecha 00:06:32
de todo lo que acababa de calcular arriba. 00:06:36
Logaritmo neperiano de x más 1 por x cuadrado más 1 menos 2 00:06:38
x cuadrado logaritmo neperiano de x partido de x cuadrado más 1 al cuadrado 00:06:49
Ojo, si al hacer este límite tuviéramos una determinación 00:06:58
sí que tendríamos que operarlo para que nos resultara más sencillo 00:07:01
Pero en este caso, si sustituyo la x por 1, me queda logaritmo de 1, que es 0, ¿vale? 00:07:05
0 más 1 es 1, 1 más 1 es 2, me queda 2, menos logaritmo de 1 vuelve a ser 0, luego me queda 2 menos 0, 00:07:11
y abajo que me queda 1 más 1 es 2, al cuadrado es 4. 00:07:20
Es decir, si no me he equivocado, me queda un medio. 00:07:25
Pero ¿qué ocurre? Que estos valores, dos valores que he calculado son distintos, 00:07:28
lo que significa es que f de x no es derivable en x igual a 1, ¿vale? 00:07:32
Es continua, pero no es derivable. 00:07:44
Vamos a calcular ahora el apartado b, para ello voy a borrar primero la pizarra. 00:07:47
Vale, ya he borrado y ahora lo que me están pidiendo es calcular el límite 00:07:52
cuando x tiende a más infinito, es decir, para los mayores que 1 00:07:57
Tengo que coger la función de abajo, luego tengo que calcular el límite cuando x tiende a más infinito de e más x logaritmo neperiano de x partido de x cuadrado más 1. 00:08:02
Si yo sustituyo, esto sería, esto es el número e, es un número fijo, pero arriba me quedaría logaritmo de infinito es infinito, infinito por infinito es infinito y abajo infinito. 00:08:19
luego esto tiene una determinación del tipo infinito partido por infinito 00:08:31
entonces lo que voy a hacer aquí es aplicar la regla de L'Hôpital 00:08:35
también podría haber puesto que el límite de una suma es la suma de los límites 00:08:39
y esto me hubiera quedado que es directamente E 00:08:47
pero vamos a aplicarlo directamente así y vamos a aplicar a ver cuánto sería 00:08:49
si yo aplico L'Hôpital me queda que la derivada de E es 0 00:08:55
y me quedaría simplemente, bueno, límite cuando x tiende a más infinito de, 00:08:59
ah, bueno, no, no lo podemos hacer así porque tendríamos que, 00:09:06
tendríamos que, para operar la regla del hospital, primero tendríamos que hacer la suma, 00:09:13
no me daba cuenta, que es derivada del numerador y del denominador, 00:09:18
entonces lo que voy a hacer es pensar que el límite de una suma, 00:09:21
lo que os he dicho es la suma de los límites, 00:09:25
Entonces el límite del primero, es decir, a ver, perdona, que es que no me he dado cuenta, voy a quitar esto último y vuelvo al principio, ¿vale? 00:09:26
Porque está sumando, es decir, si yo calculo este límite, esto sería e más infinito partido por infinito, ¿vale? 00:09:39
Esto sería e más infinito partido por infinito, porque el límite de una suma es la suma de los límites. 00:09:51
Entonces lo que voy a poner es que esto es igual a e, que ya está calculado la primera, más el límite cuando x tiende a infinito de x logaritmo neperiano de x partido de x cuadrado más 1. 00:09:58
Ahora sí, ¿vale? Porque si no tendríamos que haber operado para poder hacer l'Hôpital. 00:10:12
Y ahora, para este segundo límite, porque el otro ya lo tengo, aplico aquí la regla de l'Hôpital. 00:10:17
Aplico el hospital y me quedaría L que tengo más el límite cuando x tiende a infinito de 00:10:23
Derivada del numerador es un producto derivada de x que es 1 por el logaritmo neperiano de x 00:10:33
Más la derivada, o sea el primero sin derivar que es x por la derivada del logaritmo que es 1 partido por x 00:10:41
Y en el denominador me queda la derivada de x cuadrado más 1 que es 2x 00:10:47
Vamos a simplificar un poquito 00:10:52
Me queda que esto es igual a e más el límite cuando x tiende a infinito de 00:10:58
Arriba me queda logaritmo neperiano de x 00:11:05
x por 1 partido por x es 1 00:11:08
Por lo tanto me queda logaritmo neperiano de x más 1 00:11:11
Y abajo me queda 2x 00:11:14
Pero si yo ahora sustituyo, arriba me sigue quedando infinito 00:11:17
y abajo también, luego me siga quedando un infinito partido por infinito, pues no pasa nada, volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital, ¿vale? 00:11:21
Es lo que os dije, que muchas veces hay que aplicarla más de una vez, y esto será e más el límite cuando x tiende a infinito de derivada del numerador, 00:11:30
El logaritmo, la derivada del logaritmo neperiano es 1 partido por x, derivada de 1 es 0 y la derivada de 2x es 2, luego esto es e más el límite cuando x tiende a infinito de, hacemos los extremos entre medios y esto es 1 partido de 2x, si yo sustituyo la x por infinito que tengo 1 partido por infinito que es 0, luego esto sería e más 0, ¿vale? 00:11:40
Pongo el 0 para que veáis que es el límite de la derecha y esto sería y ya estaría calculado el límite. 00:12:10
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
19
Fecha:
13 de noviembre de 2025 - 21:06
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
12′ 17″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
31.35 MBytes

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